ポンスレの定理

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ぜんぺいえんの
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1 ポンスレの定理. qution Section 定理有本彰雄東京都市大学平成年月 4 日定義. n 角形 P とは平面上にあるn 個の点の順序列 ( p, p,, pn - ) のことである各 pk は P の頂点と呼ばれる記号法を簡単にするため便宜的に p n とするまた線分 p i i pp, i,,,, n - を P の辺と呼ぶ定義. すべての頂点 p k が曲線 C の上にあるとき P は曲線 C に内接しているという定義. すべての線分 pp i i i,,,, n - が曲線 C の接線となっているとき P は曲線 C に外接しているというポンスレの定理, は平面上にあるつの楕円 ( 曲線 ) ではをその内部に完全に含んでいるとするいまもし角形がに内接しに外接しているとすると同様な n 角形が無限個ある n P ( 実際はの点に対してそれを頂点とする角形でに内接しに外接している n ものがちょうどひとつだけ決められる ). アフィン座標変換平面座標, から平面座標, への変換で次の関係を満たすものをアフィン座標変換と称する p, c d q( d - c ¹ ). 面積ルール : アフィン座標変換によりが描く図形がが描く図形に変換されるとき図形が持つ面積は d,, - c 倍されるこれはヤコビアンというもので面積要素はdd d - c dd などとなるしかし実際はヤコビアンは符号をもち d - c > は半時計まわり方向の変換 d - c < のときは時計回りの変換に対応する補題.. 直線と楕円は高々点で交わる証明楕円と直線 c d があるとする c d を楕円の式に代入して ( c d ) なる式を得るがこれはについての次方程式であり次方程式の実解は高々つ

2 しかない補題. (, ) を楕円 - となるの点とするとき ( ) をとおるこの楕円の接線は, 証明 ) の外部の点 ( h, ) はに注意する (.) ( t) t, h > をみたし内部の点 ( h, ) は h < を満たすこと (.) ( t) t, - - < t < とすると ( ( t), ( t) ), t は平面上で, ) をとおる直線であるまた - < < ( ( ) ( ) ( t) ( - t) t t ( ) t > であるから ( ( ), ( )) は, ) の一点を除いて - < t < は (.) ( t) t t ( の外部にあるつまり ( ( t), ( t) ), への接線である (.) の両辺に t (.) の両辺にをかけると (.4) ( t) - t を得る (.),(.4) を辺々加えると ( ) ( t) t をかけるとが導かれるつまりこれは直線 - が, をとおる所与楕円の接線であることを示している ( ) 円 - の外部の点 ( r,) からこの円に本の接線が引ける

3 (, h ) r (, ) (,), ) を頂点とする直角三角形を考えることにより接点 (, h ) は個ありそれぞれ ( h ) r ( h æ r -,, ç r r çè ø ( h ) æ r, - -, ç r r であることが平方の定理による簡単な計算でわかる çè ø このことからアフィン座標変換を用いて楕円を円に直線は直線に写せることを考慮すれば楕円の外部の点から接線を引くとき本あることがわかる補題. 楕円の外部の点 p よりp をとおる接線がちょうど本引ける p をとおるへの接線は結果として個の接点を持つ次は重要な補題補題.4 楕円の中心をC X をの外部の点とするとき X をとおるへの接線と, P の個の接点をとるときこれからできるつの三角形 ( CP,, X) と ( CP,, X) P の面積は同じである P C X P ( ( を上図のような円とすると CP,, X) の面積 CP,, X) の面積が等しいことは図形の合同から明らかである一般の場合はアフィン座標変換することでわかるつまり全体の図形が d - c 倍されるだけで

4 面積が等しいことは変わらない事実となる. qution Section 射影座標変換 æ ç 4 5 ç çè ø 行列 A ç, があるとき平面座標 deta ¹ から平面座標への変換で次の関係を満たすものを射影座標変換と称する,, 4 5, (.) このとき次の補題が成立する補題. (.) の逆は (.) であるただし B A - とするとき, 4 5 æ B 4 5 ç çè ø とおいた証明 ) 直接計算でわかる ( ) ( ) ( ) 4 5 と ( ) ( ) ( ) 4 5 æ æ æ æ æ AB ç ç ç ç ç において ç ç ç ç è ø è øè øè ø çè ø を参照すれば同様にを得る æ æ æ æ * * * 4 5 * * ç ç è øè ç øè ç ø èø ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) 座標の変換でポンスレの定理をつぎの場合について証明すればよいことになる : - : -, >,

5 4. 角測度とそのほかの測度ケプラーの第法則は惑星は太陽を焦点とする楕円軌道を描くケプラー第法則は太陽と惑星を結ぶ直線が同じ時間間隔では一定の面積を占める楕円形のパイこの考えで n 等分する量を探せないか? 5. qution Section 5 ポンスレの定理へとというつの楕円がありはの内部にすっぽり含まれているとする q をの任意の点とするをの点でありそのをとおるの接線が q を通るものとする p p q p q p q 図 5- p を通る接線に対してでは点交わるが上の操作を時計回りの方向に継続していくように番号をつけていくと図のようにとを結ぶ直線が上の点 p をとおるように通りに点列がきまっていく q i q i i q p q p q p ( 一番最初に p を選んでいる時計回りという条件で一意に点列がきまる ) このときポンスレの定理は次のように述べられるポンスレの定理とというつの楕円がありはの内部にすっぽり含まれているとする上のある点に対して上で求めた数列で q q がなりたてば任意の点 q に対して上と q n 同じにとった数列においても q n q となるいいかえればとというつの楕円がありはの内部にすっぽり含まれているとするに内接しに外接する多角形は ()() のいずれか一方がおきる () どこを出発点にしようとも n ステップで閉じる () どこを出発しても決してn ステップでは閉じることがない射影座標変換で一方の楕円は円に変換され他方は楕円のままそして中心を共有できるようにできるこの特別な場合について定理を証明すれば一般のポンスレの定理が証明できていることになる

6 ( zw, ) (, ) (, ) O ( zw, ) 図 5- {( ) }, ï í( ), ìï z w ü z, w ý ï >, ï î ïþ, とおく {(,,, ) 4 (, ), (, ), (, ) をとおる直線が(, ) をとおる接線である } S z w Î Î z w Î z w とおく言い換えれば z w (5.) - - z w - zw (, ) 4 をみたす ( zw,,, ) Î をS と言ってよい図 5- において (, ) と zw は次の式で結び付けられる (5.) z z t, w w - t ( zw, ) と ( zw, ) をつなぐ線は (, ) に直交するベクトル (, - ) はベクトル (, ) に直交するので ( ) ( ) ( zw, - zw, t, - ) となる実数 t がとれるこれを書きなおしたものが (5.) である (, ) はの点であるから z (5.) を w に代入すると t と (5.) t - ( z / - w / ) ( / / ) ( ), ) zw を得る図 5- で (, ) とをつなぐ線分は O と ( zw, を結ぶ直線と直交するので同じ考えで (5.4) sw, - sz となる s がとれるが (, ) がであるという条件から s と (5.5) s - ( w - z ) ( z w ) をえる q p q p q p 次の量が保存されるにおいて符号が逆向きになることを除く

7 補題 5.: (5.) w - z -( w - z ) (5.) z / - w / -( z / - w / ) z 注意 :( w - z ) はベクトルと ( zw, がつくる平行四辺形の面積である w ( ), ) 証明 ) (5.) 最初の式の両辺に w, 番目の式の両辺に z をかける結果を引き算すると ( ) ( ) ( ) w - z w - z s w z w -z - w - z (5.) も同様である (5.) の微分を行列形式にかきなおすと æd æ æ d z / w / dz çz w è ø çdw è ø çè ø とくに最初の行をのこして dw に関するものを右辺にもっていくと æ æd æ z / d w / - dw çz w çdz ç è øçè ø è ø - æ æ -zw - z z / z z - z( z w) - z w ç è ø ç ( z - w) è ø をもちいて æ w ç ç- z æd ç ç w d z - ç- - dw - èç dz ø ç z ( z w) ç w ç ( z - w ) よって ç è ø d -d - dz dw z w z w ( / - / ) ( / - / ) w( w -z) z( w -z) を得るあとはとなり L ò dq S dq とおくとという invrint な mesure が存在しこれが S に向きをつけた正の -form q : S R / L を (5.) q( ) ( zw,,, ) zw,,, ò dq mod L (,, z, w ) とおくことによって q p q p q p のステップでだけ変換されるつまり n ステップで n º mod L となるしかしこのことは

8 出発点る ) q に無関係である ( 自励系微分方程式のように初期条件を変えても周期であることは保存す Reference [] Roert L. Brnt Poncelet s Theorem from internet

2014年度筑波大・理系数学

2014年度筑波大・理系数学筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は本あるとするつの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の重心を G とする () + +, + + およびを, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G