13章 回帰分析

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1 単回帰分析 つ以上の変数についての関係を見る つの 目的 被説明 変数を その他の 説明 変数を使って 予測しようというものである 因果関係とは限らない

2 ここで勉強すること 最小 乗法と回帰直線 決定係数とは何か?

3 最小 乗法と回帰直線 これまで 変数の間の関係の深さについて考えてきた 相関係数 ここでは 変数に役割を与え 一方の 説明 変数を用いて他方の 目的 被説明 変数を説明することを考える 回帰分析 この関係は 必ずしも 因果関係でなくてもよい 3

4 直近のデータを利用して予測する 時間的に先行する測定値から 遅れて観察される他の測定値を予測する 例 前日のニューヨーク市場の指数をもとに 東京市場の変動を予測する 例 人体の中で最も成長の早い部位で かつ身長と相関の深い量を測定して 最終的な身長を予測する 怪しい説である

5 収益率の相関係数行列 009 年 5

6 6

7 収益率の相関係数行列 008 年 7

8 8

9 収益率の相関係数行列 007 年 9

10 0

11 調査困難な量を推測する 調査するのに膨大な時間と経費のかかる量を 代替物の測定値をもとに推測する 精密調査法の代わりに 簡易検査法を用いる 例 体脂肪率を測定する 家庭にある体脂肪計を用いる 例 アルツハイマー病の診断 脳の中を調べる代わりに 脳脊髄を調べる

12 体脂肪率測定の場合 正確な測定 被説明変数 目的変数 体をスキャンして計算する. 水中体重測定法 空気置換法 により体の容積を測定する 生体インピーダンスを測定する 説明変数 予測式を立てる 身長 体重 年齢 性別なども考慮に入れる

13 アルツハイマー病の診断法 00/0/5 日経朝刊より 脳内にタンパク質断片 ペプチド の 種 アミロイド β が蓄積して発病する 病気の進行程度を目的 被説明 変数とし 脳脊髄の ALβ の濃度を説明変数とする 3

14 直線 =α+β とは? 4

15 直線 =α+β とは? 点 0 α を通る 傾き β の直線 5

16 直線 =+c- とは? c 6

17 直線 =+c- とは? c c 点, を通る傾き c の直線 7

18 直線 =α+β を回帰直線と考える とき 8

19 直線 =α+β を回帰直線と考える とき *, } * 観測値には誤差が加わっている 9

20 直線 =α+β を回帰直線と考えるときの観測値の得られ方 3 0

21 直線 =α+β を回帰直線と考える ときの観測値の得られ方, 3, 3

22 回帰直線 =α+β は未知である

23 回帰直線 =α+β は未知である データから推定するしかない 直線であるという保証もない 3

24 直線 =α+β の推定法.5 上の式を最小にするように α と β を決める 最小 乗法により決めるとも言う.6 SSE 上の Sum of Squred Error を最少化するとも考えられる 4

25 回帰直線 =α+β の推定法 図解 5

26 回帰直線 =α+β の推定法 図解 赤線の長さの 乗和を最小にする を求めよう 6

27 最小 乗推定値の公式結果を先に示す.7.8 ここで, 7

28 回帰直線とは 8

29 回帰直線とは 9 傾きの直線を通る,

30 回帰分析の実習 30

31 散布図を描く 3

32 散布図 相関図 を完成させよ う データ点に 番号をつける

33 平均と平均からの偏差を求める

34 分散 共分散の計算

35 回帰直線の切片と傾き 相関係数 35

36 回帰直線を描き込む

37 残差とは? 実際の観測値と推定値との差を残差と呼ぶ 37

38 ˆ e 残差とは? 実際の観測値と推定値との差を残差と呼ぶ } { e 38, e ˆ

39 残差プロット 軸に残差をとったものを残差プロットと呼ぶ 39

40 残差プロット 軸に残差をとったものを残差プロットと呼ぶ ˆ, e e 40

41 残差の計算と残差プロット

42 残差の計算と残差プロット

43 残差の和と残差の平方和 残差の総和は 0 である 43 e ee e e e e 0 当然のことだが 残差の平均も 0 である 残差の分散は 下のように表される 0

44 残差について考える この場合は 身長の影響を取り除いた体重と考えてよい 残差がプラスの場合 身長の割に重いと言える 残差は 身長以外の他の要素で説明されるかもしれない 44

45 残差分散 ˆ 45 ee ˆ

46 残差平方和と相関係数の関係 r : 相関係数 ee r 相関係数が に近いほど 残差平方和は小さくなる つまり 推定精度が高い r : 回帰の決定係数という r あるいは r あるいは R と書く 46

47 残差平方和の計算 ee r ee

48 3 決定係数 r r : 相関係数 : 回帰の決定係数という 決定係数は相関係数を 乗したものであるが その他にもさまざまな方法で性格づけができる 48

49 決定係数の意味 小さな相関 図を書いてみる ee r 49 ee e S

50 決定係数の意味 小さな相関 ee e 図を書いてみる e e e ee S r 相関係数が小さければ 残差分散は小さくならない 50

51 決定係数の意味 大きな相関 図を書いてみる ee r 5 ee e S

52 決定係数の意味 大きな相関 図を書いてみる ee r 5 ee e S 相関係数が大きければ 残差分散は小さくなる

53 以上が第一回目 第二回目は 身長体重データ 0 名 を使って復習する 決定係数の意味を説明する 決定係数とは 回帰直線により説明できた割合を言う 53

54 の変動の分解と決定係数 ˆ ˆ, ˆ 54

55 の変動の分解と決定係数 残差 : 回帰直線では説明しきれない部分 e ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ 平均からの偏差 回帰直線で説明できる部分 55

56 の全変動 平均からの変動, 56

57 の全変動 平均からの変動, 平均からの偏差 57

58 回帰で説明されない変動 残差 58, ˆ e ˆ ˆ e ˆ

59 回帰で説明されない変動 残差 ˆ e, ˆ e ˆ 残差 ˆ 59

60 回帰で説明される変動 ˆ, ˆ ˆ 60

61 回帰で説明される変動 ˆ, ˆ ˆ 説明できた部分 6

62 決定係数のもう一つの意味 ˆ ˆ 両辺を で割ると ˆ ˆ 6

63 決定係数のもう一つの意味 計算すれば この等式が成り立つことが分かる ˆ ˆ 両辺を で割ると ˆ ˆ この部分をR と呼ぶ. 63

64 決定係数の意味 さらに ˆ ˆ R ˆ R e 64

65 決定係数の意味 さらに ˆ ˆ R ˆ R e 65

66 決定係数のまとめ ee R r r R ˆ e R 66

67 決定係数は 全変動のうち回帰で説明できる割合である 決定係数のまとめ ee R r r R ˆ 決定係数は 相関係数の 乗である R e 決定係数は 全変動のから回帰で説明できなかった部分を除いた割合である 67

68 プロ野球 J 68

69 犯罪率と死亡 率の関係 犯罪率が上がると 死亡率が下がると考えて良いのだろうか? 69

70 人口構成比の内 0 34 歳人口に注目してみる 70

71 死亡率と犯罪率から 0 34 歳人口の影響を取り除いた残差の相関係数を求めてみる 7

72 最小 乗推定値の求め方 難 7 } { } {

73 最小 乗推定値の求め方 難 } { 0 73

74 最小 乗推定値の求め方 3 難 のとき 0 になる. 74 この部分を最小にするように を決める

75 最小 乗推定値の求め方 4 難 のとき最小となる 75

76 決定係数とは 難 ˆ 76 { ˆ ˆ } ˆ ˆ ˆ ˆ 0 } }{ { ˆ ˆ 0 なぜなら

77 全変動 決定係数とは 3 回帰からの変動 難 回帰による変動 ˆ ˆ ˆ ˆ { } ˆ 決定係数 :R 全変動のうち 回帰による変動の占める割 合 77

78 決定係数とは 4 難 78 ˆ ˆ e R R ˆ 相関係数の 乗この表現が後に重要になる

13章 回帰分析

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