2018年度 筑波大・理系数学

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1 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S( q) が整数であるような cos の値をすべて求めよ --

2 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 : + a+ bが 直線 l : p ( p > ), l : q ( q < ) と接して いる また, と l, l で囲まれた図形の面積を S とする () a, b を p, q を用いてそれぞれ表せ () S を p, q を用いて表せ () l, l が直交するように p, q が動くとき, S の最小値を求めよ --

3 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 正三角形 AB に対し, 直線 A 上の点 P, P, P, および直線 B 上の点 Q, Q, Q, を, 次の (Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ) を満たすようにとる (Ⅰ) P Aである (Ⅱ) 線分 PQ, PQ, PQ, はすべて直線 A に垂直である (Ⅲ) 線分 QP, QP, QP, はすべて直線 B に垂直である A a, B b とおく 点 を基準とする位置ベクトルが, 整数 k, l によって ka + lb と表される点全体の集合を S とする を自然数とするとき, 以下の問いに答えよ () P と Q を a, b を用いて表せ () R a+ b で定まる点 R が線分 QP + 上にあるとき, を を用いて表せ また, 線分 QP + 上にある S の点の個数を求めよ () 三角形 P+ Qの周または内部にある S の点の個数を求めよ --

4 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 : si ( < < ), : (si- cos ) ( < < ) に ついて以下の問いに答えよ () 曲線 と曲線 の共有点の 座標を求めよ () 曲線 と曲線 とで囲まれた図形を 軸のまわりに 回転させてできる回転体 の体積 V が であることを示せ --

5 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ f ( ) dt とし, c とする 数列 { a } を a c, a+ f ( a) t + (,, ) で定める () f ( ) を求めよ また, のとき, < f ( ) が成り立つことを示せ () すべての自然数 に対して, a が成り立つことを示せ () すべての自然数 に対して, a + - a - が成り立つことを示せ ま た, lim a を求めよ -5-

6 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 6 解答解説のページへ 複素数 に対して, 複素数平面上の 点 (), A ( ), (Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ) をすべて満たす複素数 全体の集合を S とする (Ⅰ) は実数でも純虚数でもない (Ⅱ) > である (Ⅲ) 三角形 AB は直角三角形である このとき, 以下の問いに答えよ () が S に属するとき, AB であることを示せ B( ) を考える 次の条件 () 集合 S を複素数平面上に図示せよ (), を + iを満たす実数とする が S を動くとき, 平面上の点 (, ) の軌跡を求め, 図示せよ -6-

7 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () まず, < < のとき, (, ), A ( ta, ta ), ta B( - ta, ta ) に対し, 線分 AB と 軸との交点を B A とおく p さて, 二等辺三角形 AB の内心は, 軸と AB の 二等分線の交点であり, その 座標を p とする ここで, 直線 A の傾きは ta なので, A と 軸の -ta ta 正の向きとのなす角は である これより, AB となるので, p -Ata ta - tata ta cos ( ta - - ) + cos ta( ta - (-cos ) si si cos ) ( - - ) - cos cos cos si si - cos - cos cos cossi cos また, 二等辺三角形 AB の外心は, 軸と線分 A の垂直二等分線の交点であり, その 座標を q とする と, A ta + ta ta + ta ta cos で, A - から, q A ta cosa cos si -ta ta cos () まず, 直線 a ( a > ) と放物線 で囲まれた図形 a の面積 S( a) は, 軸に関する対称性から, () より, a { } S( a) a a - d a a a (-cos ) S( p), cos S( p) (-cos ) S( q) 条件から, a a - a a S( q) cos となり, {(- cos )} {(- cos )} k (k は自然数 ) と表せ, (- cos ) k (*) ここで, < < より < cos < となり, 満たす k は, k, である B ta < (- cos ) < なので, (*) を q A - a a -- 電送数学舎

8 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 (i) k のとき (ii) k のとき (- cos ) より- cos となり, cos (- cos ) より- cos となり, cos - [ 解説 ] () はいろいろな方法が考えられ, 解答例では図形的に処理しましたが, それ以外に角の二等分線や辺の垂直二等分線の方程式を立てて計算しても構いません -- 電送数学舎

9 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 放物線 : + a+ b と直線 c (c は定数 ) を連立して, + a+ b c, が接するとき, + ( a- c) + b D ( a-c) - b から, c - ac+ a - b ここで, 条件より は l : p ( p > ), l : q ( q < ) と接しており, これは, の解が c p, qであることを意味するので, p+ q a, pq a - b すなわち, ( ) a p+ q, b ( a - pq ) { ( ) } p+ q -pq ( ) 6 p- q () と l, l の接点の 座標を, それぞれ, とおくと, の重解が a-c - ( c-a ) となることより, l ( ) p-a ( ) p- q l ( ) q-a ( - p+ q ) すると, と l, l で囲まれた図形の面積 S は, β α ( ) d ( ) d [ ] ( - ) + [ ( - ) ] S ( + a + b- q ) d + ( + a + b-p ) d ( - ) -(- ) ( ) - {( p-q ) - ( - p+ q ) } 6 ( ) p-q ( ) 96 p- q pq - より q - となり, S ( p+ ) p 96 p () l, l が直交するとき, ここで, 相加平均と相乗平均の関係より, p + ( 等号は p のとき ) とな p るので, S の最小値は, である 96 [ 解説 ] 放物線と 接線に囲まれた図形の面積の最小値という超頻出問題です -- 電送数学舎

10 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () A B L とおくと, P L, Q Pta L Q P Qta L, Q Pta L, 同様に考えると, P - L, Q - L よって, P - a, Q - b である () 点 R が線分 QP + 上にあるとき, t として, () の結 果を代入すると, R (- t)p+ + tq - (- t) a+ tb また, 条件より, R a+ b から, a と b は 次独立なので, (- t), t となり, また, から が整数のとき も整数となるので, を満たす整数の組 (, ) の 個数, すなわち S の点の個数は, - - から + である () 点 R が P+ Qの周または内部にあるとき, r, s, r+ s として, - R rp + sq ra+ sb + ここで, R a+ b r, 5 より, とすると, () と同様に, r, - s 5 s となるので, r, s より, - 6, 7 さらに, r+ s より + となり, - + したがって, 67を満たす整数の組 (, ) の 個数, すなわち S の点の個数を N とすると, - - å ( i ) - - i N - + ( + )( + ) - ( )( + ) ( + - )( + ) ( + ) - i B Q P (A) - i P [ 解説 ] ベクトルの絡んだ数列の応用問題です ただ, メインではない () は, やや雑な記述になっています -- 電送数学舎

11 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () < < において, : si : (si- cos ) - となり,, の概形 は右図のようになる さて, を連立すると, (si cos ) si より, : si( ) si - si cos, (-cos ) - si +, ( ) si cos si + すると, < + < 9 から +, となり, と の共有点の 座 標は, 7 となる () と とで囲まれた図形を 軸のまわりに 回転させてできる回転体の体積 V は, 右図より, 7 7 (si -cos ) (si cos ) V si V d d si V - d, くと, V V - Vとなり, 7 d とお V (-si ) d é cos ù ê + ú V 7 é ù ê ë - ta ú û 7 ë û + ( + ) + cos 7 cos ta 7 ta si 7 si - cos 7 si + si 7 cos si 7 ( - ) si 7si cos 7 7 ( - )- cos( + ) + - よって, V ( ) となる [ 解説 ] 回転体の体積を求める問題ですが, その計算はやや面倒です -5- 電送数学舎

12 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () f ( ) dtに対して, f ( ) dt となる t + t + t ta ( - < < ) とおくと, dt d (+ ta ) d より, cos f ( ) (+ ta ) d d (ta + ) また, f ( ) となり, のとき + から, + <, < f ( ) + () 数列 { a } が a c, a+ f ( a) を満たすとき, すべての自然数 に対して a が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する (i) のとき a c より成立 (ii) kのとき ak と仮定する このとき, () より f ( ) で, しかも f ( ) > から f ( ) は単調増加するので, ak+ - f ( ak) - f ( ) よって, ak+ となり, k+ のときも成立 (i)(ii) より, すべての自然数 に対して a が成り立つ () まず, a のときは a+ f ( ) となり, a + - a - は成立 次に, a > のときは, 平均値の定理より, f ( a )- f ( ) f ( b )( a - ) ( < b < a ) すると, a+ - f ( a) - f ( ) と合わせて, a - f ( a )- f ( ) f ( b ) a - ( < b < a ) + ここで, () から < f ( b ) なので, f ( b ) a - a - となり, a + - a - 以上より, すべての自然数 に対して, a + - a - が成り立ち, - ( ) - a ( ) - a - ( c- ) すると, のとき - ( c - )( ) となるので, lim a - より, lim a [ 解説 ] 平均値の定理を利用して, 数列の極限を求める有名問題です -6- 電送数学舎

13 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 6 問題のページへ () 点 (), A ( ), B( ) に対して, AB は直角三角形より, (a) AB のとき arg とおくと arg となり, を整数として, - +, + ところが, これは が純虚数でないことに反する (b) BA のとき辺 A が斜辺となるので, A > B となり, >, > ところが, これは > に反する (a)(b) より, AB である () AB より, + - B A + AB となり, B( ) すると, + ( -)( -) から, ( ) + ( -){ ( ) - } + ( ) - - ( ) + これより, - - ( ) となり, (- - ) > より, -- となり, + よって, の実部は となるので, 全体を図示すると右図の直線である ただし, は除く () () より, でない実数 k をとり, + ki とおくと, ここで, ( + ki ) - k + ki ( k ¹ ) + iなので, - ( ¹ ) - k, k となり, よって, 点 (, ) の軌跡を図示すると, 右図の放物線となる ただし, 点 (, ) は除く - A( ) [ 解説 ] 複素数と図形についての標準的な問題です () はいろいろな方法が考えられますが, 解答例では三平方の定理を利用しました -7- 電送数学舎