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あいねかつま
5 years ago
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1 マクスウエルの方程式 Akio Arimoto, Monday, November, 7. イントロ長野 []p.4 に証明抜きで以下のような解説がある次節以下これを証明していきたいと思う grad f «df d dx =,, rot «( i i), [ ] div «d ( dx dx + dx dx + dx dx ) æ f f f æ f f f rot grad f = rot( df ) = rot dx + dy + dz = d dx + dy + dz = ddf è x y z è x y z div rot = div d dx = d d dx = dd dx ( ( i i) ) ( ( i i) ) ( i i) とかけるが外微分 d の一般的性質 dd º よりベクトル解析でよく知られた関係 : rot grad f = div rot = が導かれる電磁気学で基本となる静止媒質に対するマクスウエルの方程式は磁場 c 光速 D 電気変位 i 電気密度 r 電荷密度 E 電場 B 磁場次とすると 4p rot - D = i, div D = 4pr, rot E + B =, div B = c c c である次微分形式 F = B dx dx + B dx dx + B dx dx + E dx dx G =- D dx dx + D dx dx + D dx dx + dx dx s = i dx dx + i dx dx + i dx dx dx -rdx dx dx c 次形式 4

2 とおく ( x, x, x ) て x 4 = は我々の住む空間の座標を表し時間 t とおい = ct としてみると上のマクスウエルの方程式は外微分を用いて df =, dg = 4ps と非常に簡単に書ける. 微分形式以下の外積の定義から示されるのであるが座標 xy, に対して dx dy =-dy dx, dx dx = などを頭に入れておく m のある領域で定義された関数 w (,. i ) i w k i m i< i< < i m i = x x ÎC に対して w= w x,, x dx dx を k 次微分形式と呼ぶ k 次微分形式 w w < < < = x,, x dx dx とl 次微分形式 i< i< < i m i h= h x,, x dx dx の外積 w h を m i i x,, x,, k m x x l m dxi dx i dx k dx i< <, < < w h= w h で定義する k 次微分形式 w w i< i< < = x,, x dx dx の外微分を i< i< < i m i dw= dw x,, x dx dx i m i で定義するここで dw ( x x ) は関数 w = w ( x x ) i i m,. k ( x,. x ) w ( x,. x ) w dw x x dx dx,. i i m 全微分で i m i m ii,. k m = + + m x xm という次形式である

3 . grad, rot,div の微分形式による表現 æ f x æ æ æ f f f f grad f = = + + y x y z è ø è ø è ø f è z である他方の基底 f f f df = dx + dy + dz x y z æææ に対し次の微分形式のベクトル空間 V は基底 dx, dy, dz èøèøèø をもつ ([]p.56) æ «dx, dy «, è ø è ø «dz の対応を考えれば è 関係 : æ f x f f f f grad f = «dx + dy + dz y x y z f è z grad f «df æ - y x = z ) に対して rot = - z x である è ø - x y è

4 æ «dx, dy «, è ø è ø «dz の対応をもう一度考えれば è = xyz,, «w = ( xyzdx,, ) + ( xyzdy,, ) + ( xyzdz,. ) è となるが次形式 w の外微分 dw をの定義で計算してみると (,, ) (,, ) (,. ) dw = d x y z dx + d x y z dy + d x y z dz æ æ dx dy dz dx dx dy dz dy è x y z è x y z æ + dx + dy + dz dz è x y z ø = ここで dx dx = などの関係を使うと æ dy dz æ æ dx dx dz = dy è y z è x z + dx + dy dz ø è x y そして分配法則と dx dy =-dy dx などの関係を使うと æ æ æ = - dy dz + - dz dx + - dx dy è y z è z x è x y 今度はにおける次微分形式の基底は dy dz, dz dx, dx dy である ([]p.58) æ dy dz, dz dx, dx dy の対応を考えれば è ø è ø è 関係 : = «w = dx+ dy+ dz è rot dw となる 4

5 (,, ) = x y z に対して div = + + x y z è である (,, ) = x y z h = dy dz + dz dx + dx dy è の対応を考え h = dy dz + dz dx + dx dy の外微分を計算する æ æ dx dy dz dy dz dx dy dz è x y z è x y z dz dx æ + dx + dy + dz dx dy è x y z = 再び dx dy =-dy dx, dx dx = の関係と分配法則を使うと æ è x y z dh = + + dxdydz をえる結局関係 (,, ) = x y z h = dy dz + dz dx + dx dy è div = + + «x y z æ dh = dx dy dz + + è x y z もちろんにおける次微分形式全体は次元でその基底は dx dy dz という関係をもちている 5

6 4. rot E + B =, div B = の証明と関係 df = c この節以降では 4 で考える座標 ( x, x, x, x ) z, ct) 4 外微分 " d " もと 4 では異なり 4 では f f f f df = dx + dy + dz + dt x y z = を用いるそしてと最後の dt 項が追加されるこれは 4 における次微分形式であるつまり次微分形式の基底は { dx, dy, dz, dt } 次微分形式の基底は { dx dy, dx dz, dx dt, dy dz, dy dt, dz dt} 次微分形式の基底は { dx dy dz, dx dy dt, dx dz dt, dy dz dt} 4 次微分形式の基底は { dx dy dz dt} となるさて次微分形式において df を計算する F = B dx dx + B dx dx + B dx dx + E dx dx df = db dx dx + db dx dx + db dx dx + de dx dx æ B B B B B B è x y z x B B dbdx dx= dy dz dx + dt dz dx y dbdx dx = dx + dy + dz + dtdy dz = dx dy dz + dt dy dz B B = + z したがってこれらを加えて db dx dx dz dx dy dt dx dy () db dx dx + db dx dx + db dx dx æ B B B æ B B B = + + dx dy dz + dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z è ø また de dx = de dx + de dy + de dz は 6

7 æ E E E E E de dx = dx + dy + dz dx =- dx dy + dz dx è x y z ø y z æ E E E E E de dy = dx + dy + dz dy = dx dy - dy dz è x y z x z æ E E E E E de dz = dx + dy + dz dz =- dz dx + dy dz è x y z x y の和となるしたがって () æ E E æ E E æ E E de dx = - dy dz + - dz dx + - dx dy è y dz è z x è x y ø である (),() より df = db dx dx + db dx dx + db dx dx + de dx dx æ B B B æ B B B = + + dx dy dz + dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z è ø ææ E E æ E E æ E E y dz z x x y èè ø è ø è ø c dy dz dz dx dx dy dt が得られた df は 4 における次微分形式形式でその基底 dx dy dz, dx dy dt, dxdz dt, dy dz dt は次独立であるつまり df = であるための必要十分条件は B B B + + = x y z および æ B B B dy dz + dz dx + dx dy dt cè ææ E E æ E E æ E E + dy dz dz dx dx dy dt = y dz è z x x y èè ø è ø ø これは div B = と B+ rot E= を表している c 証明終わり 7

8 5. d 4p rot - D = i, div D = 4pr と関係 dg = 4ps cdt c G =- D dx dx + D dx dx + D dx dx + dx dx において dg を計算するほとんど 4 節と同じ繰り返しになるが dg =- dd dx dx + dd dx dx + dd dx dx + d dx dx D D = + x D D dddx dx= dy dz dx + dt dz dx y dd dx dx dx dy dz dt dy dz D D z dddx dx = dz dx dy + dt dx dy これを加えて () dd dx dx + dd dx dx + dd dx dx æ D D D æ D D D = + + dx dy dz + dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z è また (4) d dx æ æ æ = - dy dz + dz dx dx dy è y dz ø è z x è x y ø である結局 dg は æ D D D æ D D D dg =- + + dx dy dz - dy dz + dz dx + dx dy dt è x y z ø è ìæ æ æ ü + í ï ï ý y dz z x x y ïîè ø è ø è ø ïþ c dy dz dz dx dx dy dt 4p 4 s = i dx dx + i dx dx + i dx dx dx -4prdx dx dx c これが p 4 に等しいことから dx dy dz, dx dy dt, dxdz dt, dy dz dt は次独立性を用いて 8

9 æ D D D + + dx dy dz = 4prdx dy dz è x y z すなわち div D = 4pr そして æ D D D - dy dz + dz dx + dx dy dt + cè ø ì æ æ æ ü í ï dy dz dz dx dx dyï ýdt y dz z x x y ïîè ø è ø è ø ïþ 4p = ( idx dx+ idx dx+ idxdx) dt c より D 4p rot - = i c c が得られた証明終わり参考文献 [] 志賀浩二ベクトル解析講朝倉書店 [] 清水勇二基礎と応用ベクトル解析サイエンス社 [] 長野正曲面の数学培風館 9

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクラインゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクラインゴルドン方程式素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クラインゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクラインゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクラインゴルドン方程式素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クラインゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0 /7 平成 9 年月 5 日 ( 土午前時分量子力学とクラインゴルドン方程式 ( 学部年次秋学期向量子力学とクラインゴルドン方程式素粒子の満たす場 (,t の運動方程式 : クラインゴルドン方程式 : æ ö ç å è = 0 c + ( t =, 0 (. = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ