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1 計量経済学講義 第 0 回回帰分析 Part 07 年 月 日 ( 水 ) 限 ( 金曜授業実施日 ) 担当教員 : 唐渡 広志 研究室 : 経済学研究棟 4 階 4 号室 mal: kkarato@co.-toama.ac.jp wbst:

2 講義の目的 ロジスティック関数の推定方法について学びます 多重回帰分析について学びます kwords: ロジスティック関数 集計ロジットモデル 多重回帰モデル 回帰平面 教科書 : pp. 4( 第 章 )

3 復習 Excl での回帰分析 関数 :slop ntrcpt rsq など散布図 : 観測点を右クリックして近似曲線の追加分析ツールの 回帰分析 表示された結果の意味について理解

4 復習 非線形式の回帰分析. べき関数 両辺の対数をとり 両対数モデルを推定する データとして ln ln x を利用する b の意味 = 弾力性 x が % 変化するときの の変化率 [%]. 指数関数 両辺の対数をとり 半対数モデルを推定する データとして ln を利用する c の意味 = 変化率 x が 単位変化するときの の変化率 [%] 4

5 ロジスティック関数 が大きく ( 小さく ) なると 0 普及率 増え方 が減少 増え方 が増加 飽和 ある程度普及すると飽和急速な勢いで普及 x 耐久消費財の普及率を推定するのに便利な形をしている 5

6 耐久消費財の普及率 普及率 (%) 00 乗用車 R 普及率 (%) 00 携帯電話 R 年次 年次 カラーテレビ 普及率 (%) R 年次 データ出所 : 消費動向調査 ( 内閣府 ) 6

7 ロジット () ある耐久消費財の保有 値変数 もっている もっていない 0 もっていない 0 4 もっている 5 もっていない 年の調査 0 年の調査 5056 もっている 合計 年 毎年の調査 ( 年によって調査人数は違うこともある 多くの場合 同じ人に調査はできない ) ある耐久消費財の保有 値変数 もっている もっている もっている 4 もっていない 0 5 もっている 485 もっている 合計 965 平均 ( 普及率 ) = 比率 985 = 760/5056 = 0.5 平均 ( 普及率 ) = 比率 0 = 965/485 = 0.8 普及率 ( 比率 ) データ n 普及率データは各年次の集計値になっている 7

8 ロジット () n : もっている人の割合 ロジスティック関数 : もっていない人の割合 と の比をとる 両辺の対数をとる ln 右辺が単純化されている ln のことをロジット ( Logt ) とよぶ は各年次の集計値なので 集計ロジット ともいう 8

9 ロジットとロジスティック関数 ln ロジスティック関数における比率 ロジット ln になっている を について解いたものが ロジットはロジスティック関数の逆関数である ( 指数関数の対数をとったので ) ロジスティック関数 Z Z ln Z z ロジット z 9

10 ロジスティック関数の推定 : 普及率の分析 例. 表.9 (p.4) ルームエアコンの普及率 各年次の普及率データ 年次 n n n 計算手順 - を計算ロジット ln (/(-)) を計算ロジットを被説明変数 として回帰分析 ln 0

11 ロジットモデルの限界効果 (Margnal Effcts) 年次 と普及率 の関係 年でどれぐらい普及率は変化するのか ( 何 % 増えるのか )? ln は 年でロジット がどのように変化するのかを示している 普及率 の変化は示していない z z d d dz d z とおくと z z z z z z z z z z 普及率は 年で b( ) だけ変化する は の値によって変わるので 代表的な の値で評価した * と利用する たとえば : 代表的な の値 = の平均 * 限界効果 ME * *

12 例 例. 表.9 (p.4) ルームエアコンの普及率 年次の平均 99 推定値 xp * ME * * 限界効果による推定結果の解釈 99 年時点では 年あたり.% づつ普及率が上昇している

13 練習問題 () 表.0 駅前の違法駐輪と駐輪場以下のデータから違法駐輪割合のロジットモデルを分析しなさい I N 5 ln 違法駐輪台数駅乗り入れ台数 収容可能台数割合 ロジット 推定値と限界効果 (ME) 推定結果 R adj. R 今と同じ規模の駐輪場がもう一つできると 違法駐輪割合が 6% 削減できる

14 逆数の説明変数 フィリップス曲線 : インフレと失業のトレードオフ関係 U : 物価上昇率 [%] : 失業率 [%] U 物価上昇率 [%] U 完全失業率 [%] 物価上昇率 [%] = 6.48x R² = /U 完全失業率の逆数 U を として を推定 4

15 非線形式推定のまとめ 5 x b a ax b ln ln ln ベキ関数 : U 逆数の説明変数 : b a x x xp ln ln 両対数モデルを推定としてを対数変換し と c a a c ln ln 指数関数 : c a xp ln 半対数モデルを推定としてを対数変換し * * ln : ME 限界効果ロジットモデルロジスティック関数を利用して計算する の代表的な値で定義される限界効果はを推定集計ロジットモデルとしては比率データ * ln を推定として U

16 多重回帰分析 説明変数が二つ以上ある場合の回帰分析一つの結果に対して 複数の原因が考えられる経済現象 ; ある財の需要 結果 : 需要量 原因 : その財の価格 他の財の価格 所得 好みなど ある財の生産 結果 : 生産量 原因 : 労働投入量 資本投入量 中間財投入量など 労働者の賃金 結果 : 賃金 原因 : 業種 職種 企業規模 年齢 学歴 性別 能力など 犯罪の発生 結果 : 犯罪の発生件数 原因 : 失業 貧困 不平等 家庭環境など 6

17 多重回帰モデル () : : 個推定すべき回帰パラメータは個説明変数の数が : : 個推定すべき回帰パラメータは個説明変数の数が 4 4 : 4 : 個推定すべき回帰パラメータは個説明変数の数が

18 多重回帰モデル () 8 K K j j 一般的な表現説明変数の番号データの番号 : : j 個の未知パラメタ説明変数の係数 : 個の説明変数説明変数 : 切片は定数項の係数 K K K j K j 普通は明示しない

19 多重回帰モデル () 9 個の推定すべきパラメタは個ののとき 説明変数は例. K n n n n 切片は定数項の係数 n

20 多重回帰モデル (4) 回帰する という表現 回帰モデル を推定する 被説明変数 を定数項と説明変数 に回帰する 回帰モデル を推定する 被説明変数 を定数項 説明変数 および に回帰する 土地取引価格 [ 百万円 ] 面積 [ m ] 駅までの徒歩時間 [ 分 ] を推定する 表. の場合 土地取引価格 を定数項 面積 および 駅までの 徒歩時間 に回帰する 0

21 最小 乗推定値の計算公式 :K = のケース 最小 乗法 単純回帰モデル : 乗和の偏差乗和の偏差記号の意味 の偏差の積和との偏差の積和と n n のとき K

22 理論値 残差 決定係数 推定回帰平面残差の定義 : 実績値から理論値を引くという意味で単純回帰モデルと同じ 決定係数 : 単純回帰モデルと同じ定義式 : : R 乗和実績値の偏差乗和理論値の偏差 のとき K

23 推定回帰平面の図示 à ¾ Ï ª Â Ì ñ Aƒ ƒ fƒ Æ è ³ ê ½ ñ A ½ Ê

24 例.5 ( 表.0 pp.8-9) 計算は p.9 を参照 理論値 ( 推定回帰平面 )

25 分析ツール による回帰分析 () 表. (p.0) 入力 範囲 に説明変数データをまとめて指定する 5

26 分析ツール による回帰分析 () 推定値の見方 理論値 ( 推定回帰平面 )

27 推定結果の意味 () 表. (p.0) JR 西荻窪駅周辺 ( 東京都杉並区 ) モデル n 土地取引価格 [ 百万円 ] 面積 駅までの [ m ] 徒歩時間 [ 分 ] 駅までの徒歩時間が同じで 面積が m 増えると 価格は b だけ変化する面積が同じで 駅までの徒歩時間が 分増えると 価格は b だけ変化する 推定結果 駅までの徒歩時間が同じで 面積が m 増えると 価格は 0.5 百万円 (5 万円 ) 上昇する面積が同じで 駅までの徒歩時間が 分増えると 価格は.8 百万円 (8 万円 ) 下落する 7

28 推定結果の意味 () 点予測 面積 が 00 m で 駅までの徒歩時間 が 0 分の土地取引価格 百万円 8845 万円 駅までの徒歩時間が同じで 面積が m 増えると 価格は b だけ変化する 徒歩時間が同じ 引き算 面積が m 増える 駅までの徒歩時間が同じで 面積が m 増えると 価格は 0.5 百万円 (5 万円 ) 上昇する ( 図 も参照 ) 8

29 練習問題 () 過去 0 年間のデータを元に ある地域の梨の収穫量 { }(0 a あたり kg ) を定数項 7 月の平均気温 [ ] { } 4-7 月の平均月間降水量 [mm] { } に回帰したところ次の結果が得られた 以下の問いに答えなさい []. 7 月の平均気温 が 月の平均月間降水量が 50mm のときの収穫量を予測しなさい []. 7 月の平均気温 が 下がると 収穫量はどのように変化すると予測できるか 降水量は例年どおりと仮定して予測しなさい 9

30 残差 乗和の自由度 : n の自由度は二つのルールが制約になって残差のルール説明変数の数が個 : n の自由度は三つのルールが制約になって残差のルール個説明変数の数が K K K n K K K K の自由度は個のルールが制約になって残差のルール個説明変数の数が :

31 残差分散と自由度調整済み決定係数 説明変数が 個 残差分散 n 説明変数が K 個 K K n K 残差 乗和の自由度 = n 説明変数の数 と覚えておく 決定係数 R 自由度調整済み決定係数 adj. R p.5 自由度調整済み決定係数の性質も参照 n K n s

32 まとめ 集計された比率データ ( 例. 普及率 ) に対して集計ロジットモデルを適用して ロジスティック関数を推定することができる 説明変数が複数ある回帰分析を多重回帰分析とよぶ 回帰パラメータの計算公式が単純回帰分析とは異なっている 多重回帰分析における回帰パラメータの推定値は 当該変数以外の変数を一定とするときの当該変数が被説明変数に与える影響を示している 説明変数の数が増えると 残差 乗和の自由度が減る 説明変数が複数ある場合 決定係数よりも 自由度調整済み決定係数 の方が当てはまりの指標として重要になる

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