§６

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へいぞういとえ
5 years ago
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1 6. 代数方程式 [ 第回 ] 6. ベアストウ法 3 の代数方程式の数値解を求める方法の一つにベアストウ法がある. fz () z + az +! + a z+ a 0 この式を次式 : z + pz +q で割ると一般に, 3 fz () ( z + pz+ q)( "###############$# z + bz +! ############## + b 3z+ b ) + #%# Rz "##$##% + S もし余りR S 0 ならば fz () 0の根が求まる. すなわち z 商 p ± p 一般に p, q の値はR, S の値に影響を与えるのでRp (,), q Spq (,) と考える. そこで 4q 余り (6.) (6.) (6.3) Rpq (,) 0 Spq (,) 0 (6.4) を満たすような pq, の値を求めるアルゴリズムを作る. 上式を満たす pq, は未知であるから始めに試行値 p q を与える., の修正値を p とすると,, p q, q R( p + p, q + q) R( p, q) + Rp( p, q) p + Rq( p, q) q S( p + p, q + q) S( p, q) + Sp( p, q) p + Sq( p, q) q (6.5) ただしここで R S p p R R, Rq p q S S, Sq p q Rp ( + pq, + q) 0 Sp ( + pq, + q) 0

2 となる p, q を決定する. prp( p, q) + qrq( p, q) R( p, q) psp( p, q) + qsq( p, q) S( p, q) (6.6) 上式において R ( p, q ), R ( p, q ), R( p, q ) p q S ( p, q ), S ( p, q ), S( p, q ) p q を求めることができれば p, q は (6.6) 式より求められる. p p+ p q q+ q (6.7) とおけば試行値の修正値 p, + q+ を得る. すなわち p+ p + p q+ q + q (6.8) + として反復計算を行えば p は真の値 pq に収束する., + q+, Rp (, q), Sp (, q) の計算 : (6.) 式を展開し (6.) 式の係数と比較すると ( p p q q とおく )., a0 b0 a b + p a b + pb + q a b + pb + qb a R + pb + qb a S + qb k k k k 3 (6.9) 上式を b に関する式に書き換えると

3 b0 a0 b a p b a pb q b a pb qb R a pb qb S a qb k k k k 3 (6.0) ここで漸化式 : b a pb qb ( b a p, b ) k k k k 0 (6.) を使って k まで繰り返すと, 最後のつの式は b a pb qb b a pb qb 3 (6.) となる. これを使うと R a pb qb b S a qb b + pb 3 (6.3) となり,R, S はb とb によって計算できる. Rp( p, q), Rq( p, q), Sp( p, q), Sq( p, q) の計算 (6.3) 式より b Rp p b Rq q b b Sp + p + b p p b b これらの偏微分係数に関する漸化式を導く. Sq + p q q (6.4) 3

4 bk ck p bk dk q を定義し,(6.0) 式を p, でそれぞれ偏微分すれば (k まで ), q (6.5) c c b pc ck bk pc k qc k c b pc qc c b pc qc 3 d 0 d dk bk pd k qd k d b pd qd d b pd qd 3 3 (6.6) (6.7) よって (6.6) 式は Rp c Rq d S c + pc + b Sq d + pd p (6.8) pc + qd b pc ( + pc + b ) + qd ( + pd ) b pb (6.9) 式の第式に p をかけ, 第式から引くと (6.9) 4

5 pc + qd b pc ( + b ) + qd b (6.0) これより p, q について解くと b d c b b d c + b b p, q c d c d c + b d c + b d (6.) この p, を (6.8) 式に代入すると, の修正値が求められる. q p q p, + q+ 以上計算アルゴリズムを整理すると, 計算のステップは以下のようになる. () 0 とし, 試行値として例えば p 0, q 0 を与える. () b a pb qb ( b a p, b ) を用いてk まで繰り返し, k k k k 0 b,!, b, b を求める. (3) c b pc qc ( c b pc, c ) を用いてk 3 まで繰 k k k k り返し,c,!, 3 c, c を求める. (4) d b pd qd ( d, d 0) を用いてk 3 まで繰り返し, k k k k d 3,!, d, dを求める. (5) b d c b b d c + b b p, q c d c d c + b d c + b d p p + p, q q + q + + を計算する. (6) 判定条件 : 5

6 R b S b + p b + R > ε, S > ε ( ε は例えば ) ならば + としてステップ () へもどる. R ε, S εならば fz () は fz () ( z + pz+ q)( z + bz +! + b z+ b ) z + q 0 とみなしてz p より根を求める. (7) とし, ならばz + b 0 より根を求め, 終了. ならばz + bz + b より根をもとめ. 終了. 0 3 ならばa b, a b,!, a b としてステップ () へもどる. ( 例 ) fz ( ) ( x + )( x )( x 3)( x 4)( x+ 5) x x x + x x この 5 次方程式の根を求めよ. ( 解 ) 上述のアルゴリズムに基づく C 言語のプログラム例は以下のようである. #clude<math.h> #clude<stdo.h> t ma(vod) { t,,k; log double p,q,a[6],b[6],c[6],d[6],dp,dq,r,s,e,eps, re,m,x,x,delta; 5; a[]-6.0; a[]-0.0; a[3]4.0; a[4]-355.0; a[5]300.0; eps.0e-0; 6

7 step: 0; p0; q0; step: b[0].0; b[]a[]-p; for(k; k<; k++) b[k]a[k]-p*b[k-]-q*b[k-]; /*step3:*/ c[]-.0; c[]-b[]-p*c[]; for(k3; k<; k++) c[k]-b[k-]-p*c[k-]-q*c[k-]; /*step4:*/ d[]0; d[]-.0; for(k3; k<; k++) d[k]-b[k-]-p*d[k-]-q*d[k-]; /*step5:*/ deltac[-]*d[]-d[-]*(c[]+b[-]); dp(-b[-]*d[]+b[]*d[-])/delta; dq(-c[-]*b[]+b[-]*(c[]+b[-]))/delta; pdp+p; qdq+q; /*step6:*/ Rb[-]; Sb[]+p*b[-]; ep*p-4.0*q; f(r*r>eps S*S>eps){+; goto step;} else f(e<0){re-0.5*p; m0.5*sqrt(-e); prtf("%f %f ",re,m); prtf("%f - %f ",re,m); prtf("r%e S %e %d ", R,S,);} else{x0.5*(-p+sqrt(e)); x0.5*(-p-sqrt(e)); prtf("%f ",x); prtf("%f ",x); prtf("r%e S %e %d ", R,S,);}; /*step7:*/ -; f(){prtf("%f ",-b[]); goto owar;}; f(){eb[]*b[]-4.0*b[]; f(e<0){re-0.5*p; m0.5*sqrt(-e); prtf("%f %f ",re,m); prtf("%f - %f ",re,m); prtf("r%e S %e %d ",R,S,); goto owar;} 7

8 } owar: else{x0.5*(-b[]+sqrt(e)); x0.5*(-b[]-sqrt(e)); prtf("%f ",x); prtf("%f ",x); prtf("r%e S %e %d ",R,S,); goto owar;} }; f(>3){for(k; k<; k++) a[k]b[k]; goto step;}; retur 0; 実行結果 : R e-006 S e R e-00 S e Press ay key to cotue ( 参考 )C 言語の処理系は Mcrosoft Vsual C を用いた,C を起動する方法およびコンパイルの方法等は下記の書物に出ている. やさしい C 高橋麻奈著ソフトバンク ( 株 ) 8

Microsoft Word - NumericalComputation.docx

Microsoft Word - NumericalComputation.docx 数値計算入門武尾英哉. 離散数学と数値計算数学的解法の中には理論計算では求められないものもある. 例えば, 定積分は, まずは積分 ( 被積分関数の原始関数をみつけることできなければ値を得ることはできない. また, ある関数の所定の値における微分値を得るには, まずその関数の微分ができなければならない. さらに代数方程式の解を得るためには, 解析的に代数方程式を解く必要がある. ところが, これらは必ずしも解析的に導けるとは限らない.