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すずりなかじゅく
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1 205 年 4 月 28 統計モデリング統計モデリング第三回配布資料文献 : A. J. Dobso ad A. G. Barett: A Itroducto to Geeralzed Lear Models. 3rd ed., CRC Press. J. J. Faraway: Etedg the Lear Model wth R. CRC Press. 配布資料の PDF は以下からも DL できます. 短縮 URL 担当 : 田中冬彦

2 Chap. 3: データは主に Faraway から Google map から転載

3 Google map から転載 Locato

4 生データ数値と記号のられつ ) Gve Data /2) > galapagos NS ES Area Aear Dst DstSC Elevato EM Baltra NA 0 Bartolome Caldwell Champo Coamao NA 0 Daphe_Maor NA 0 Darw Ede NA 0 Ederby Espaola Ferada Garder Garder Geovesa Isabela Marchea Oslow Pta Pzo Las_Plazas NA 0 Rabda Sa_Crstobal Sa_Salvador Sata_Cruz Sata_Fe Sata_Mara Seymour NA 0 Tortuga Wolf CRAN alr3 パッケージ内, galapagos データセット alr3 は, S. Wesberg による.

5 Gve Data 2/2) データの説明 galapagos 各島ごとの亀の種類サンプルサイズ 29) 島の地理情報 NS=Number of speces, 島で観測された亀の種類 Area= 島の面積 [hr], Aear = 一番近い島の面積 [hr], Dst= 一番近い島との距離 [km], DstSC=Sata Cruz 島からの距離 [km], Elevato = 島の高度 [m] > galapagos NS Area Aear Dst DstSC Elevato Baltra NA Bartolome Caldwell データの図示重要!) 見てわかること定量的な確認

6 散布図散布図 > parsgala.cor); NS はずれ値? 散布図をみると Area でひとつでかいのが目立つ Isabera slad Area Dst Eleva

7 Chap. 3: データは主に Faraway から面積 Area) のはずれ値! Google map から転載

8 Processed Data データの説明 gala.test = galapagos データの一部を削除説明の都合 ) NS=Number of speces, 島で観測された亀の種類 Area= 島の面積 [hr], Aear = 一番近い島の面積 [hr], Dst= 一番近い島との距離 [km], DstSC=Sata Cruz 島からの距離 [km], Elevato = 島の高度 [m] > gala.test NS Area Aear Dst DstSC Elevato Bartolome Caldwell Champo Sata_Mara Tortuga Wolf 分析の課題島ごとの亀の種類を説明する統計モデルを考えるまずは線形モデルで )

9 線形モデルでむりやり解析線形回帰 > gala.lm.res <- lmns~., data=gala.test); 線形回帰モデル 5 Y = α + β + ε = ε ~ 2 N0, σ ) あてはめた値 Ftted Value) 5 yˆ = ˆ α + = ˆ β α = 29.6, ˆ β = 0.285, ˆ β = , ˆ β ˆ 2 3 = ˆ β = 0.33, ˆ β 4 5 = ,

10 線形モデルでの残差プロット回帰式は 6 次元なので図示できない残差プロットでモデルのよさを検討 y yˆ Galapagos Tortose あてはめた値 Ftted Value) yˆ = ˆ α + 5 = ˆ β Resduals 残差 Resduals) y ˆ y Ftted ŷ > plotpredctgala.lm.res), resdualsgala.lm.res), lab="ftted", ylab="resduals", ma="galapagos Tortose" ); > ableh=0, col="red"); モデルが正しいなら, 残差は平均 0 分散一定の正規分布から発生しているようにみえるはずだが

11 一般化線形モデルの導入問題点 NS=Number of speces, 島で観測された亀の種類離散値 Categorcal Data) 残差分析の結果分散が一定とはいいがたいモデルが不適切であることを示唆 ) 分析の課題線形モデルよりもよいモデルを考える Remark * 一般にAICや検定統計量の計算以前に残差はチェック相関, 等分散 etc.)

12 ポアソン回帰モデル /2) 一般のポアソン回帰モデル Y Po µ ) ~ E[ Y ] = µ =,, log µ = p = β 説明変数の意味 µ µ = 0, = ) = = 0) 男女, 喫煙喫煙なし, etc.) e β 他の条件が同じ場合説明変数が連続量でも同様に β を解釈できる.

13 ポアソン回帰モデル 2/2) ポアソン回帰モデルでの解析例 > gala.glm.res <- glmns~., famly=posso, data=gala.test); ポアソン回帰モデル Y Po µ ) ~ E[ Y ] = µ log µ = α + 5 = β あてはめた値 Ftted Value) 5 log ˆ µ = ˆ α + = ˆ β ˆ 4 ˆ 4 α = 3.48, β , , ˆ = β2 = β3 ˆ 3 ˆ 3 β4 = , β = ˆ 5 = ,

14 ポアソン回帰の残差プロット /3) 残差 * いくつかある ) Devace resduals スケーリングされた残差の一種 ) r = sg y ˆ µ ) DR d = d y, ˆ µ ) = 2 y log y / ˆ µ y + ˆ µ ) d Devace Resduals Galapagos Tortose ^ µˆ > plotpredctgala.glm.res, type="respose"), resdualsgala.glm.res), lab=epressohatmu)), ylab="devace Resduals", ma="galapagos Tortose"); > そのままのスケールだと, 左によってしまっている log mu) を横軸にとって残差プロットする

15 ポアソン回帰の残差プロット 2/3) Galapagos Tortose 残差 * いくつかある ) Devace resduals r = sg y ˆ µ ) DR d = d y, ˆ µ ) = 2 y log y / ˆ µ y + ˆ µ ) d Devace Resduals ^ log > plotpredctgala.glm.res, type= lk"), resdualsgala.glm.res), lab=epressohatlogmu))), ylab="devace Resduals", ma="galapagos Tortose"); > 特徴的なパターンは見つからない

16 ポアソン回帰の残差プロット 3/3) Galapagos Tortose 残差 * いくつかある ) Respose resduals r = µˆ RR y ポアソン分布の分散 Var Y 5 ) = µ = + ep α β = Respose Resduals ^ log >plotpredctgala.glm.res, type="lk"), resdualsgala.glm.res, type="respose"), lab=epressohatlogmu))), ylab="respose Resduals", ma="galapagos Tortose"); 実はもっと良いモデルが作れる詳細は Faraway Chap.3, Chap.6 を参照 )

17 Offset ポアソン回帰の注意点 N 例 : 各地区ごとに人口 ) が違う場合の患者数 p p µ = N ep β = ep log N + β = = Y というモデル化をする offset term kow costat) Overdsperso 本来, ポアソン分布は期待値と分散は一致 Var Y ) = E[ ] = µ Y しかし, 実際のデータは分散が大きくみえる負の二項分布でモデル化できる * 詳細は文献を参照

18 一般化線形モデル

19 Epoetal Famly /2) Y 確率変数 θ θ,, θ ) = パラメータ p Y の確率密度関数もしくは確率分布 ) が以下の形でかける時変数の ) 指数型分布族 Epoetal Famly) という. p y θ ) = s y) t θ )ep a y) b θ )) = ep a y) b θ ) + c θ ) + d y)) s y) > 0, t θ ) > 0 Caocal form p z θ ) = ~ s z) t θ )ep z b θ )) Natural Parameter η : = b θ ) 多くの確率分布が指数型分布族になっている.

20 )) ) )ep ) ) θ θ θ b y a t y s y p = )) ) ) ) ep y d c b y a + + = θ θ 例 :,) N m 2 ) 2 2 ) m e m p = π 平均 m, 分散の正規分布ガウス分布 ) σ 2 = = ) log ep 2 2 π µ m 二項分布回の試行, は固定 ),,,2, = 0 q q q p = ) ) = q q q log ep ) Epoetal Famly 2/2)

21 独立な確率変数 Geeralzed Lear Models /2) Y,,Y 各々, 同じ指数型分布族に従うとき変数の ) 一般化線形モデル Geeralzed Lear Models; GLM) という. p y θ ) = ep yb θ ) + c θ ) + d y )) = p y θ ) ep yb θ ) + c θ ) + = = ここで興味あるパラメータは = E[ Y ] = µ GLM では共変量説明変数 ) で以下を仮定 g µ ) = β p = = d y gµ) lk fucto リンク関数 ) )

22 ポアソン回帰の例 p y 以下を仮定 Geeralzed Lear Models 2/2) µ ) = µ ) y! ここで興味あるパラメータは log µ ) = p = y e β µ E[ Y ] = µ 以下の対数尤度関数をについて数値最大化最尤推定 ) = = log p y µ ) = µ + y log µ β,, =,2,, = GLM ではプログラムによる数値解法が前提になっている β p = log y!

23 統計モデリング ~ 次回予告 Schstosoma apocum の卵 *) Schstosoma apocum の成虫イメージイラスト ) 成虫 Schstosoma apocum) の写真は日本住血吸虫で検索してください閲覧注意 *

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スライド 1 2016 年 4 月 26 日 @ 統計モデリング統計モデリング第三回配布資料文献 : A. J. Dobson and A. G. Barnett: An Introducton to Generalzed Lnear Models. 3rd ed., CRC Press. J. J. Farawa: Extendng the Lnear Model wth R. CRC Press. 配布資料の