Taro-1803 平行線と線分の比

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なごみそや
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1 平行線と線分の比 1 4 平行線と線分の比ポイント : 平行な直線があるつの三角形の線分の比について考える証明右の図ででとする (1) はと相似であるこれを証明しなさいとにおいてから平行線の ( ) は等しいから 9c = ( ) 1 = ( ) 1, より ( ) がそれぞれ等しいので相似な図形になるので相似比を利用して () : の相似比を求めなさい対応する線分の長さを求めることができる (3), の長さを求めなさいポイント : 平行線のある三角形の線分の比の性質を, 相似な図形の性質と関連づけて理解するこれからは次の図のようにだったら, すぐにと気づくことならば相似な図形より, 対応する線分の比は等しいので : = : = : 1: 1 = : = 3 : 3 が成り立つ

2 平行線と線分の比ポイント : 三角形の線分の比の性質を用いて, 相似な図形の線分の長さを求めることができる問 1. 下の図のでのとき各問いに答えなさいまず, 相似な図形を確認する次に, 相似比が分かる線分を探す (1), の長さ (), の長さ 9c 7c 9c 1 (3), の長さ (4), の長さ 9c 7c (5), の長さ (6), の長さ 9c c c c

3 平行線と線分の比 3 ポイント : 平行な直線があるつの三角形の線分の比について考える証明右の図でとする (1) はと相似であるこれを証明しなさいとにおいてから平行線の ( ) は等しいので = ( ) 1 = ( ) 1, より ( ) がそれぞれ等しいから () (1) の相似において, 点に対応する点を求めなさいまた, に対応する辺を求めなさい (3) = 15 c, = 1 c, = 6 c, = 8 cのとき : の相似比を求めなさい相似な図形になるので相似比を利用して対応する線分の長さを (4), の長さを求めなさい求めることができるポイント : 平行線のある三角形の線分の比の性質を, 相似な図形の性質と関連づけて理解するこれからは次の図のようにだったら, すぐにと気づくことならば相似な図形より, 対応する線分の比は等しいので : = : = : 1: 1 = : = 3 : 3 が成り立つ

4 平行線と線分の比 4 ポイント : 三角形の線分の比の性質を用いて, 相似な図形の線分の長さを求めることができる問 3. 下の図でのとき各問いに答えなさい (1), の長さ (), の長さ (3), の長さ 3c 7c 3c (4) の長さ (5), の長さ 3c c

5 平行線と線分の比 5 ポイント : 三角形の 1 辺に平行な直線で他の辺を切り取るときの線分の比について考える証明右の図において R とするとき R を証明しなさいと R において 1 から平行線の ( ) は等しいので ( ) = ( ) 1 1 R から R 平行線の ( ) は等しいので ( ) = ( ) 1 より ( ) 等しいので R 相似な図形の線分の比は等しいので, : =:R 相似な図形になるので相似比が等しくなる同じ線分の長さを利用し横割りの比が等しくなるまた四角形 R は平行四辺形なので, R = したがって, : = : ( 注意 ) とは, この相似な三角形の対応する辺ではないので上記の比の関係は成り立たないポイント : 三角形の線分の比の性質を用いて, 相似な図形の線分の長さを求めることができる問 4. 下の図でのとき各問いに答えなさい (1), の長さ (), の長さ 7c 9c 3c 1 7c

6 平行線と線分の比 6 つの相似な三角形における線分の比の定理ならば (1) : = : = c: n () : = : (3) : = : = c: n n l c l n c 問 5. 次の各図の長さを求めなさい (1) () (3) c c 問 6. 次の各図の, の長さを求めなさいただしとする (1) () (3)

7 平行線と線分の比 7 ポイント : 平行線にはさまれた線分の比を理解する ( 三角形が消えた今までの進化形 ) 証明 l n のとき,: = : となることを証明しなさい l l n n つの直線を, 平行な直線で切り取るとき, 次の関係が成り立つ (l n) 1 : = : :c = :z :c = :z : = : = c:z ともいえる l n c z 問 7. 下の図で直線,, c が平行のときの値を求めなさい (1) () (3) 3c. c c c 5.

8 平行線と線分の比 8 問 8. 右の図で, E, F は平行である線分 EF, の長さを求めなさい 1 E R F 問 9. 右の図で直線,, c, d が平行のとき,, z の値を求めなさい 0c zc 30c 7c c d c

9 平行線と線分の比 9 ポイント : 三角形の角の二等分線と線分の比の関係を理解する E 問 10. 左の図においてはにおけるの二等分線である点を通りに平行な直線との延長との交点を E とするとき E は二等辺三角形であることを証明しなさい点を通りに平行な直線とを延長した直線との交点を E とする E から平行線の ( ) は等しいので = ( ) 1 また平行線の ( ) は等しいので = ( ) 仮定より = ( ) 3 1,, 3より ( ) = ( ) E は ( ) ので二等辺三角形といえる問 11. 問 10 において : = : が成り立つことを証明しなさい E は二等辺三角形なので E = ( ) 1 E において E から :E = ( ) : ( ) 1, より : = ( ) : ( ) 角の二等分線の公式での二等分線との交点をとするとき, : = : : = : ポイント : 三角形の角の二等分線の公式を利用して線分の長さを求めることができる問 1. での二等分線との交点をとするとき, ( ア ) と ( イ ) において, の長さを求めなさい ( ア ) ( イ ) 1 1

10 平行線と線分の比 10 5 線分の比と平行線ポイント :( 復習 ) 平行な直線があるつの三角形の線分の比の定理を理解する (1) ならば相似になるので : l = : () ならば相似になるので : = : ( 学習済みの内容 ) (1) () l ポイント : 上記の (1), () の仮定と結論を逆にした内容が正しくなることを理解するポイント :( 復習 ) 平行を証明する手段を理解する証明平行な直線があるつの三角形の線分の比の定理の逆は正しい (3) :l = : ならば (4) : = : ならば ( 本日学習する内容 ) (3) (4) l 平行を証明する方法としては, 次のつの方法がある ( ア )( ) あるいは ( ) が等しいことをいう方法 ( イ ) ( ) になることを証明しその性質を利用する方法

11 平行線と線分の比 11 (3) : l = : ならば l ( ) と ( ) において共通な角ので ( ) = ( ) 1 仮定より : l = : 比が等しい 1, より ( ) 等しいので ( ) ( ) 三角形の相似を証明相似な図形の対応する角は等しいので ( ) = ( ) したがって ( ) が等しいことがいえたので錯角同位角が等しい平行 (4) : = : ならばからに平行な直線をひき, 直線との交点を R とすると, と ( R から平行線の ( ) において ) が等しいので ( ) = ( ) 1 ( ) = ( ) R 1, より ( ) 等しいので ( ) 三角形の相似を証明相似な図形では, 対応する辺の比は等しいので : R = : ( ) 3 比が等しい仮定より : = ( ) : ( ) 4 3, 4 より : = ( ) : ( ) したがって = R 平行四辺形になるための条件がいえる = R と R から, ( ) 平行四辺形といえる四角形 R は平行四辺形となる平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ平行なので平行

12 平行線と線分の比 1 問 1. 右の図の線分 E, EF, F のうち, の辺に平行なものはどれですか 4. F E 3c 問. の台形で,, の交点を O とするとき O, O の長さを求めなさい 9c O 問 3. 長方形で, 辺, の中点を, それぞれ, とし, 対角線と,, の交点をそれぞれ X,Y としますこのとき, 点 X,Y は対角線を 3 等分することを証明しなさい四角形は長方形なので, より 1 仮定より = 1, より ( ) なので X Y 四角形は ( ) となるしたがって, ( ) ( ) 3 Y において, 3 より X Y だから : = X:XY = ( ): ( ) 4 数字を入れて! X において,3 より Y X だから : = Y:XY = ( ) : ( ) 5 数字を入れて! 4, 5 より,X:XY:Y = 1:1:1 となるので, 点 X,Y は対角線を 3 等分する

13 平行線と線分の比 13 問 4. 次の各図の長さを求めなさい ( ア ) ( イ ) c c c c c ( ウ ) ( エ ) c c c 7c c ( オ ) ( カ ) c 7c c 4. 3.c

14 平行線と線分の比 14 6 拡大図縮図ポイント : 相似な図形の性質を利用して, 拡大図や縮図を書くことができる問 1. 点 O を中心として, を倍に拡大した ' ' ' をまた, 点を中心として, E F を 3 倍に拡大した 'E 'F ' を書きなさい O F E E < 書けたら理由を考えよう!!> () 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので < 数字が入ります > O O ' ' 対応する辺の比なので : ' ' = ( ): ( ) 1 () 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので < 数字が入ります > O ( ) 対応する辺の比なので ( ): ( )= ( ): ( ) (c) 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので < 数字が入ります > O ( ) 対応する辺の比なので ( ): ( )= ( ): ( ) 3 1,, 3 より ( ) ' ' '

15 平行線と線分の比 15 1 問. 四角形を点を中心として, 倍の縮図をかきなさい四角形 E F G H を点 O を中心として, 倍の拡大図をかきなさい E H O F G 1 問 3. 点 Oを中心として, 図のおうぎ形 O のの縮図をかきなさいまた, 倍の拡大図をかきなさい O

16 平行線と線分の比 16 問 4. ( ア ) = 9 5 = 3 ( イ ) 40 0 = = 7 7 ( ウ ) 4 16 = = 5 5 = 1 = 18 ( エ ) = 7 = 6 ( オ ) 1 = = 3 ( カ ) = 1 = 8

17 平行線と線分の比 17 角の二等分線の定理の別証明 Ⅰ & Ⅱ &Ⅲ E E E n F

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2 三角形四角形二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理二等辺三角形の底角は等しい定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は底辺を直角に2 等分する正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で同じ印をつけた辺や角が等しいときの大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)