項別超微分

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まさとしのえ
5 years ago
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1 13 項別超微分本章では 2 階以上の高階導関数を簡単な一般式で表すことが困難な関数についてこれらを級数に展開した上項別に超微分するものである従って 12 超微分で扱った e x, logx, sinx, cosx, sinhx, coshx の各関数は本章では扱わない 13 1 三角関数双曲線関数の項別超微分公式ベルヌイ数とオイラー数をそれぞれ B 0 =1, B 2 =1/6, B 4 =-1/30, B 6 =1/42, B 8 =-1/30, E 0 =1, E 2 =-1, E 4 =5, E 6 =-61, E 8 =1385, とし ( x) をガンマ関数, をそれぞれ天井関数床関数とするとき非負数と 0< x < /2 について次式が成立する ( tan x ) +1 k= 2 2 2k 2 2k -1 B 2k 2k- -1 x 2k ( 2k-) ( tanhx ) ( sec x ) ( sech x ) +1 k= 2 +1 k= 2 +1 k= 2 2 2k 2 2k -1B 2k x 2k- -1 2k ( 2k-) E 2k x 2k- : 傍系超微分 ( 2k- +1) E 2k x 2k- : 傍系超微分 ( 2k- +1) 導出 10 項別高階微分 ( 三角関数双曲線関数 ) の公式 ( tan x ) 公式 ( tanhx ) n +1 k= 2 n +1 k= 2 2 2k 2 2k -1 B 2k 2k- n-1 x 2k ( 2k-n -1)! 2 2k 2 2k -1B 2k x 2k- n-1 2k ( 2k-n -1)! 公式 ( sec x ) n +1 k= 2 E 2k x 2k-n ( 2k-n )! 公式 ( sech x ) n +1 k= 2 E 2k x 2k-n ( 2k-n )! において m! をガンマ関数 ( 1+m) に置換し微分演算子のインデックスを [ 1,n ] から [ 0, ] に解析接続する sec -1 x, sech -1 x についてはこれらの項別超積分が傍系であった - 1 -

2 ことからこれらの超微分も傍系となる ( 本章において以下同じ ) 例 1 tan x の 3/4 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の 1 点 x=0.4 における超微係数を求めた両者はほぼ一致しているまた図中において青は tan x 赤は 3/4 階微分緑は 1 階微分を示す tan x の項別超微分 ( 級数 ) tan := (,x)-> sum(2^(2*k)*(2^(2*k)-1)*abs(bernoulli(2*k))/((2*k *gamma(2*k-))*x^(2*k-1-),k=ceil((+1)/2)..200 (, x) k 2 2 k 1 bernoulli(2 k) 2 k 1 x (2 k) (2k ) k 1 2 Riemann-Liouville differintegral :=3/4: h := 10^-10: f := x-> 1/gamma(1-)*int((x-t)^(1--1)*tan(t), t=0..x) x 1 x (x t) 1 1 tan(t) d t (1 ) 0 例 2 tanh x の 9/10 階微分図のみ示す青は tanh x 赤は 9/10 階微分緑は 1 階微分を示す - 2 -

3 例 3 sec x の 1/2 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の 1 点 x=0.3 における超微係数を求めた両者はほぼ一致しているまた図中において青は sec x 赤は 1/2 階微分緑は 1 階微分を示す公式ベルヌイ数とオイラー数をそれぞれ B 0 =1, B 2 =1/6, B 4 =-1/30, B 6 =1/42, B 8 =-1/30, E 0 =1, E 2 =-1, E 4 =5, E 6 =-61, E 8 =1385, とし ( x) をガンマ関数, をそれぞれ天井関数床関数とするとき非負数と /2< x < について次式が成立する ( cot x ) ( csc x ) = - Σ +1 k= 2 +1 k= 2 2 2k 2 2k -1 2k ( 2k-) B 2k x- 2 2k- -1 E 2k ( 2k- +1) x- 2 2k- : 傍系超微分 - 3 -

4 導出 10 項別高階微分 ( 三角関数双曲線関数 ) の公式 ( cot x ) 公式 ( csc x ) = - Σ n +1 k= 2 n +1 k= 2 2 2k 2 2k -1 2k( 2k-n -1)! B 2k x- 2 E 2k ( 2k-n )! x- 2 2k-n 2k- n-1 において m! をガンマ関数 ( 1+m) に置換し微分演算子のインデックスを [ 1,n ] から [ 0, ] に解析接続する例 1 cot x の 3/4 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の 1 点 x=1.7 における超微係数を求めた両者はほぼ一致しているまた図中において青は cot x 赤は 3/4 階微分緑は 1 階微分を示す cot x の項別超微分 cot := (,x)-> -sum(2^(2*k)*(2^(2*k)-1)*abs(bernoulli(2*k))/((2* *gamma(2*k-))*(x-pi/2)^(2*k-1- ),k=ceil((+1)/2)..200) 200 (, x) 2 2 k 2 2 k 1 bernoulli(2 k) x (2 k) (2k ) 2 2 k 1 k

5 例 2 csc x の 14/15 階微分図のみ示す青は csc x 赤は 14/15 階微分緑は 1 階微分を示す csch x と sech x については次なる直系項別超微分が成立する公式 , x>0 について次式が成立する ( csch x ) = - 2Σ k=0 ( 2k+1) e ( 2k +1 ) x ( sech x ) = - 2Σ k k=0 ( 2k+1) e ( 2k +1 ) x 導出 8 項別超積分の公式は次のようであった x x csch x dx = 2Σ k=0 e -( 2k +1 ) x ( 2k+1) x x sech x dx = 2Σ k k=0 e -( 2k +1 ) x ( 2k+1) 微分は積分の逆演算であるからこれらの演算子のパラメータの符号を反転して与式を得る例 csch x の 7/9 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の1 点 x=3.8 における超微係数を求めた両者はほぼ一致している - 5 -

6 - 6 -

7 13 2 逆三角関数の項別超微分公式 ( x) をガンマ関数を天井関数とするとき非負数と 0< x < 1 に対して次式が成立する tan -1 x -1 k= 2 cot -1 x x - = 2 ( 1-) sin -1 x -1 k= 2 k ( 2k )! ( 2k+2-) - Σ -1 k= 2 x 2k+1- k ( 2k )! ( 2k+2-) x 2k+1- ( 2k-1 )!! 2 x 2k+1- : 傍系超微分 ( 2k+2-) cos -1 x x - = 2 ( 1-) - Σ -1 k= 2 ( 2k-1 )!! 2 x 2k+1- : 傍系超微分 ( 2k+2-) 導出 11 1 逆三角関数の項別高階微分の公式 tan -1 x 公式 sin -1 x n -1 k= 2 n -1 k= 2 k ( 2k )! ( 2k+1-n )! ( 2k-1 )!! 2 x 2k+1-n ( 2k+1-n )! x 2k+1- n において m! をガンマ関数 ( 1+m) に置換し微分演算子のインデックスを [ 1,n ] から [ 0, ] に解析接続してtan -1 x, sin -1 x を得る次に cot -1 x = 2 x 0 - tan -1 x であるから cot -1 x = x 0 - tan -1 x 2 これに x 0 () x - = ( 1-), tan x -1 k= 2 k ( 2k )! ( 2k+2-) を代入してcot -1 x を得る cos -1 x も同様にして得る x 2k+1- Note =1,2,3, のとき ( 1- ) =( 0 ),,(-2), i.e. ( 1- ) = であるから x - = 0 for =1,2,3, ( 1-) - 7 -

8 よってを n に置き換えればcot -1 x ( ), cos -1 x ( ) 公式 cot -1 x = - Σ k ( 2k )! ( 2k+1-n )! 公式 cos -1 x () n -1 k= 2 n = - Σ n -1 k= 2 ( 2k-1 )!! 2 x 2k+1-n ( 2k+1-n )! は 11 1 の次の公式に帰着する x 2k+1- n 例 1 tan -1 x の 9/10 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の1 点 x=0.1 における超微係数を求めた両者はほぼ一致しているまた図中において青は tan -1 x 赤は 9/11 階微分緑は1 階微分を示す例 2 cot -1 x の 1/2 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の 1 点 x=0.05 における超微係数を求めた両者はほぼ一致している - 8 -

9 例 3 sin -1 x の 4/5 階微分図のみ示す青は sin -1 x 赤は 4/5 階微分緑は 1 階微分を示す例 4 cos -1 x の項別 1 階微分 =1 のとき ( 1- ) =( ) cos -1 x () 1 = -Σ k=0 x - 0=であるから ( 1-) ( 2k-1 )!! 2 x 2k = - ( 2k+1) 実際 x <1 においてこの級数は右辺に収束する = 0 よって公式より 1 1-x 2-9 -

10 13 3 逆双曲線関数の項別超微分公式 ( x ), ( x ),, をそれぞれガンマ関数ディガンマ関数天井関数オイラーマスケロニの定数 (= ) とするとき 0 と 0< x < 1 に対して次式が成立する tanh -1 x ( 2k )! x 2k+1- ( 2k+2-) -1 k= 2 sinh -1 x -1 k= 2 sech -1 x = ( 1-) csch -1 x = ( 1-) k ( 2k-1 )!! 2 x 2k+1- : 傍系 ( 2k+2-) x - 2 log +( ) x Σ k= x - 2 log +( ) x 導出 11 2 逆双曲線関数の項別高階微分の公式 t tanh -1 x 公式 s sinh -1 x n -1 k= 2 n -1 k= Σ k= 2 ( 2k )! ( 2k+1-n )! 2 ( 2k-1 )!! 2 x 2k- 2k( 2k-+1) : 傍系 k ( 2k -1)!! 2 x 2k- 2k ( 2k -+1) x 2k+1- n k ( 2k-1 )!! 2 x 2k+1-n ( 2k+1-n )! : 傍系において m! をガンマ関数 ( 1+m) に置換し微分演算子のインデックスを [ 1,n ] から [ 0, ] に解析接続してtanh -1 x, sinh -1 x を得る次に sech -1 x は 0< x<1 について次のようにテイラー展開される sech -1 x = log 2x 0 - log x -Σ k=1 この両辺を n 回微分するとこれに sech -1 x ( 2k-1 )!! 2 x 2k 2k ( 2k )! = log 2x 0 - ( log x ) () x 0 x -n =, ( log x ) () ( 1-n) を代入すれば sech -1 x = ( 1-n) n = n - Σ n k= 2 ( 2k-1 )!! 2 x 2k-n 2k ( 2k-n )! log x -( 1-n) - x -n ( 1-n) x -n 2 log +( ) x 1-n + - Σ k= 2 n ( 2k-1 )!! 2 x 2k-n 2k ( 2k-n )!

11 n をに置換してsech -1 x () Note 証明中のsech -1 x に 1 3 の特異点公式 ( 1-n) ( 1-n) = n ( n -1)! を得る csch -1 x ( ) も同様にして得られる n =1,2,3, を代入すれば 11 2 の公式 sech -1 x = n ( n -1)! ( 2k-1 )!! 2 - Σ x n x 2k-n n k= 2k ( 2k-n )! 2 に帰着する例 1 tanh -1 x の 3/4 階微分公式と Riemann-Liouville differintegral とにより任意の1 点 x=0.2 における超微係数を求めた両者はほぼ一致しているまた図中において青は tanh -1 x 赤は 3/4 階微分緑は1 階微分を示す

12 例 2 sinh -1 x の 3/2 階微分 Riemann-Liouville differintegral の積分と微分の演算順序を入れ替えた式は次のとおり f 1 x () x = ( n -) ( x-t) a n--1 d n dt n f() t dt n= 公式とこの式とにより任意の1 点 x=0.3 における超微係数を計算した両者は一致した例 3 sech -1 x の 6/7 階微分図のみ示す青は sech -1 x 赤は 6/7 階微分緑は 1 階微分を示す Renewal 宇宙人の数学 K. Kono

偶数ゼータの公式

4 偶数ゼータの公式ゼータ母関数で得られた偶数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 4 cot x 系ゼータの公式公式 4 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とし n を自然数とするとき 0< x