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1 宇宙工学基礎 ( 軌道の基礎 松永三郎 機械宇宙学科 機械宇宙システム専攻 ニュートンの法則 第 法則 力が作用作用しないしない限り 質点質点は静止静止ないしはないしは一定速度一定速度で運動するする ( 慣性の法則 慣性空間 慣性座標系慣性座標系の定義第 法則 慣性座標系におけるにおける質点質点の運動 p F ( pɺ t ( F: 全作用力, pmv: 並進運動量 ( 質量と速度速度の積 慣性系を規準規準としてとして時間微分時間微分を行うことにことに注意第 法則 全てのての作用作用にはには 向きがきが反対反対で大きさのきさの等しいしい反作用反作用が存在するする ( 作用 反作用反作用の法則

2 体問題の基本微分方程式 つの質点質点に関するする運動方程式 mɺ F ɺ ɺɺ m mɺ F ɺ Fˆ m + ニュートンの万有引力 : 外力 : F m m F G 体問題の基本微分方程式 : + ɺɺ 0 F, G Fˆ, ˆ / : m に対するm の運動方程式 : 万有引力定数 ( : 重力定数 G m + m / 基本微分方程式の特徴 + ɺɺ 0 を に変えても式は不変 m に対する m の運動方程式でもある t を t に変えても式は不変 時間反転で物理は不変 質量 m +m を固定原点とする単位質量 m u の運動を表す : 外力 ( 重力 はスカラー ポテンシャルで表せる : 4 質量中心という考えは運動方程式を導く際に必要としない mɺɺ u + mu 0 V gav, V 5 つの質点という仮定は 球対称質量分布を持つ球対称物体へ拡張可能 > つまり ニュートンの 体問題は 太陽 地球 月などの球状物体に高い精度で適用可能 ( テキストの問参照レポート課題 ɺɺ

3 x x( t 運動の積分 n 次元 階常微分方程式 ɺ x F ( x,x,t ɺ x x x が上式の解のとき 任意の関数 x n F F F F n ( xɺ,x G,t の中で G ( xɺ, x, t const. ( 時間に対して不変 となるのを運動運動の積分積分と呼ぶ 例 : 体問題では エネルギーと角運動量が運動の積分 上式で n 個の積分が存在すれば 系を完全可積分完全可積分と呼ぶ 例 : 体問題では x x x x x F x x したがって n 6 個の積分が完全解を持つために必要 体問題の運動運動の積分 : 面積分 c ɺɺ + 0 ( を計算すると ɺ 0 これを変形して t ( 0 0 より の形にする t t ɺ c 一定 : 面積分 (aea ntegal 軌道面垂直方向 ( 面積分方向 c γ 方向 ( ɺ ɺ ɺ + ɺɺ ɺɺ ( ɺ 0 北極点方向 k Ω s / c θ u ω 軌道面 b j 赤道面 a 角運動量保存則を表し 特に c を角運動量ベクトル ( 軌道面ベクトル と呼ぶ 幾何学性質 :c は運動の軌道面に垂直 言い換えれば 軌道面が存在する

4 体問題の運動運動の積分 : エネルギー積分 h ( を計算する : ɺ ɺ ɺɺ + 0 ɺ ɺɺ t t t ( ɺ ɺ ɺ ɺ h 一定 運動エネルギー ɺ ɺ v E v + h ( t ( 位置エネルギー ( ポテンシャル エネルギー 速さ : 無限遠 ɺ に注意して エネルギー積分 h : 体エネルギー ( ケプラー エネルギー とも呼ぶ v 虚数 0 h V h < 0 h 0 h > 0 h < 0 h 0 h > 0 h E + V v h 楕円軌道 ( 閉軌道 周期的 放物線軌道 ( 開軌道 双曲線軌道 ( 開軌道 体問題の運動運動の積分 : ラプラス ( レンツ 積分 c ɺ ɺɺ + 0 c ɺɺ + ( ɺ 0 y z x zy y を用いて ( x zx c ɺɺ + [( ɺ ( ɺ ] 0 次の関係式に注意して c ɺ ( c ɺ [( ɺ ( ɺ ] t t c ɺ + 0 c + 一定 t 即ち ɺ : ラプラス ( レンツ 積分 をラプラスベクトル ( 離心率ベクトル 大きさがきさが離心率離心率に比例 ( 後述

5 運動の積分 c, 間の関係 c と は互いに垂直 : c 0 > は軌道面内にある の姿勢方向は つの角 ( オイラー角 で表現できる, のなす角を θ とすると その内積は cosθ Ω : 昇交点角 : 軌道傾斜角 ω : 近点引数 軌道面垂直方向 ( 面積分方向 c γ 方向 北極点方向 k Ω s / c θ u ω 軌道面 b j 赤道面 a 一方 したがって c ( ɺ c c / p + ecosθ + cosθ : 円錐曲線を表す c θ : 真近点離角 e : 離心率 p : 半直弦 t θ β n s / c u ω+ θ θ ω a 運動の積分 c, h, 間の関係 の関係式より ( c ɺ ( c ɺ + ( c ɺ + ( ( x y( z w ( x z( y w ( x w( y z x y z x y z 右辺第 項 c ɺ ɺ 右辺第 項 c 右辺第 項 を用いて ɺ ɺ + c hc + 変形して c h または p a( e a : 長半径 ( または半長径 h

6 軌道面の姿勢姿勢と宇宙機 s/cの位置位置の関係 軌道面垂直方向 ( 面積分方向 c 北極点方向 k Ω s / c θ u ω 軌道面 b j 赤道面 t θ β n s / c θ ω uω+θ γ 方向 a a 古典的軌道要素 : オイラーの軌道 6 要素 軌道の形 大きさ軌道の向き軌道上の位置 a 長半径 ( 半長径 semmajo axs e 離心率 eccentcty Ω 昇交点赤径 ght ascenson o the ascenng noe 軌道傾斜角 nclnaton ω 近点引数 agument o peaposs θ 真近点離角 tue anomaly. 運動の積分 ( 計 7 個 運動の積分 ( 中間 まとめ ɺ c ɺ ɺ h c ɺ +. 拘束条件式 ( 計 個 c 0 c h 個 個 個 個 個 独立な積分の個数 ( 自由度 は 7-5 個であり 完全積分にはもう 個必要 備考 : 対称性により 力学性質が決まる 中心力 系の回転対称性 角運動量保存則 (c 一定 時間を陽に含まない 時間の平行移動に関する対称性 エネルギー保存則 隠れた対称性 ラプラスベクトル の保存 ( 特に方向

7 ケプラー方程式 : 第 6 番目の運動運動の積分 ɺ c c c c ( ɺ ( ɺ ( ɺ ɺ ( ( ɺ ( ɺ ɺ ɺ h t t ( ɺ ɺ を用いて : c h + ( ɺ h t ( z / h h < 0 と仮定して 変数変換 : z + を行うと : ± ht z h ( 楕円 z h z 積分して : ± h( t + const. z cos h h / h 定義 : a ( t + K E esn E の形にして 時間と積分定数の関係を求めるのが目標 const. K : 第 6 番目の定数 t t p : 近点通過時刻 E cos z h, sn E / h h z : ケプラー方程式 ( 楕円 ; 位置と時刻の関係が求められる M a 定義 : ( t t ( : 平均近点離角 p n t t p 0 ( 放物線, h > 0( 双曲線 n: 平均運動 の場合も同様に導出可能 M E esn E 円錐曲線のまとめ

8 円錐曲線のまとめ 円錐曲線のまとめ

9 円錐曲線のまとめ ケプラー軌道要素のまとめ 軌道の形 大きさ 軌道の向き a 長半径 ( 半長径 semmajo axs e 離心率 eccentcty Ω 昇交点赤径 ght ascenson o the ascenng noe 軌道傾斜角 nclnaton ω 近点引数 agument o peaposs 軌道上の位置 n: 平均運動 mean moton ν, θ 真近点離角 tue anomaly E 離心近点離角 eccentc anomaly M 平均近点離角 mean anomaly M n( t T t 観測時刻 Tokyo the Insttute tme o obsevaton o Technology T, t p 近点通過時刻 the tme o peocal passage

10 ケプラー軌道要素のまとめ 軌道の形 大きさ a 長半径 ( 半長径 semmajo axs e 離心率 eccentcty ケプラー軌道要素のまとめ 軌道の向き Ω 昇交点赤径 ght ascenson o the ascenng noe 軌道傾斜角 nclnaton ω 近点引数 agument o peaposs

11 ケプラー軌道要素のまとめ ν, θ 真近点離角 tue anomaly 軌道上の E 離心近点離角 eccentc anomaly 位置 M 平均近点離角 mean anomaly M n( t T t 観測時刻 the tme o obsevaton T, t p 近点通過時刻 the tme o peocal passage n: 平均運動 mean moton

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