< 中 3 分野例題付き公式集 > (1)2 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は偶数 ( 例題 )1~5 までの 5 つの数字を使って 3 ケタの数をつくるとき 2 の倍数は何通りできるか (2)5 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は 5 ( 例題 )1~9 までの 9 個の数字を使って 3

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1 () の倍数の判定法は の位が 0 又は偶数 ~ までの つの数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は の位が 0 又は ~9 までの 9 個の数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は 下 ケタが 00 又は の倍数 ケタの数 8 が の倍数となるときの 最小の ケタの数は ( 解 ) 一の位の数は の 通り 十の位は一の位の数以外の 通り 百の位は一の位と十の位の数以外の 通りあるので = 通り ( 解 ) 一の位の数は の 通り 十の位は一の位の数以外の 8 通り 百の位は一の位と十の位の数以外の 7 通りあるので 8 7 = 6 通り ( 解 ) 下 ケタが の倍数ならいいので 最小の ケタの数は 008 () の倍数の判定法は 各位の数の和が の倍数 ケタの数 6 が の倍数となるとき に入る数を全て求めよ ( 解 ) = + が の倍数となればよいので = ()9 の倍数の判定法は 各位の数の和が 9 の倍数 ケタの数 が 9 の倍数となるときの に入る数を求めよ ( 解 )+ + = 0+ が 9 の倍数となればよいので = 8 (6) の倍数の判定法は の位から左に向かって奇数番目の位の数の和と 偶数番目の位の数の和との差が 0 又は の倍数 8 ケタの数 が で割り切れるとき に入る数を求めよ ( 解 ) 奇数番目の数の和 = = + 偶数番目の数の和 = = より, 0-(+ ) = 0 又は の倍数となればよいので, = 9 (7) つの自然数 及び の最大公約数を G 最小公倍数を L と = GL したとき 及び G L の間に成り立つ関係は つの自然数 8 と の最大約数が 最小公倍数が のとき を求めよ ( 解 )8 = = 6 8 = 7 (8) 素因数分解の形が x y z となる整数の約数の個数は (+) (+) (+) 個 0 の約数の個数は ( 解 )0 = より (+) (+) (+) = 0 個 (9)(x+)(x+) = x +(+)x+ (-)(+) を展開せよ (0)(+) = ++ ( 解 )(-)(+) = () +(-+) +(-) = +- (x + y) を展開せよ ()(-) = -+ (-) を展開せよ ()(+)(-) = - (x+y) (x-y) を展開せよ ( 解 )(x + y) = (x) + x y+y = 9x + 6xy + y ( 解 )(-) = () - +() = -+ ( 解 )(x+y) (x-y) = (x) -(y) = 9x -y

2 ()(++) = (x-y+) を展開せよ ( 解 )(x-y+) = x +(-y) + + x (-y)+ (-y) + x = x +y +9-xy-6y+6x () 次方程式 x +x+ = 0 の つの解は x = ( 解の公式 ) x +x- = 0 を解け ( 解 ) x x 0 ( ) x 6 8, 6 6 () 次方程式 x +x+ = 0 の つの解をそれぞれα βと α+β= αβ= すると つの解の和 (α+β) 及び つの解の積 (αβ) は ( 解と係数の関係 ) 次方程式 x -x- = 0 の解が x のとき ( 解 ) 解と係数の関係より の値を求めよ ( ) ( ) ( )( ) (6)y = x において x の値がαからβまで (α+β) 変化するときの変化の割合は y x において x の値が n から n- まで変化 ( 解 ) ( n n ) より するときの変化の割合が のとき n の値は n n 7 (7) 放物線 y = x に直線が 点 で交わっているとき の x 座標をそれぞれ α β とすると 直線 の傾き及び y 切片は y x に 直線が 点 で交わっている の x 座標がそれぞれ - と のとき 直線 の式は (8) 左図で成り立つ つのことは ( 中点連立定理 ) = ( 解 ) と において : = : = :( 仮定 ) 上の図で となることを証明せよ は共通 より 辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので よって = より 同位角が等しいので である (9) 左図で成り立つ つのことは 本の中線をそれぞれ : に分ける ( 重心 G の性質は ) 面積を 6 等分する 傾き = (α+β) y 切片 =-αβ ( 解 ) 求める直線 の傾き ( ) y 切片 ( ) ( ) 6 y x6 G 上の図で = 8 のとき G の長さを求めよ ( 解 )G は の重心より G : G : G 8

3 (0) 左図において 成り立つことは : = : = : ( 角の二等分線の性質 ) 上の図で = 6m = m = 8m のとき の長さを求めよ () ( 解 ) : : 6: : 8 m F 左図において 成り立つ つの式は ( メネラウスの定理 ) F 上の図で : = : : = : のとき F:F を求めよ () F F F F F 左図において 成り立つ式は F ( チェバの定理 ) 上の図で : = : F:F = : のとき : を求めよ () 左図において 成り立つ式は + = (M +M ) ( 中線定理 ) M 左の図で = 8 M = = 6 の とき M の長さを求めよ F ( 解 ) より F F F F F : F : F F ( 解 ) より F : : ( 解 ) 8 6 (6 M ) より 00 (6 M ) 0 6 M M () 左図において s するとき の面積は ( ヘロンの公式 ) 上の図で = 0 = = のとき の面積を求めよ と s(s )(s )(s ) 0 ( 解 ) s 7 7(7 )(7 )(7 0) () 左図で : は : = : 上の図で = = のとき : は ( 高さの等しい三角形の面積比 = 底辺の比 ) ( 解 ) : = : = :6 = :

4 (6) 左図で : は : = : d d ( 解 ) : = : 左の図で : = : : = : = : のとき : は = : = : 6 (7) 左図で : は : = : ( 相似な図形の面積比 ) = ( 相似比 ) 上の図で : = : のとき : 台形 は ( 解 ): = : より : = : より : = : = : よって : 台形 = :(-) = : (8) x e d 左図で x の大きさは x = 80 d d e 上の図で :::d :e= :::: のとき x の大きさは ( 解 ) x (9) 左図において 成り立つ関係式は + = + 上の図で = = = のとき の長さは ( 解 )+ = + より = (0) 左図において = 成り立つ関係式は T 上の図 において = = 6 = のとき の長さは ( 方べきの定理 ) ( 解 ) = x とおくと ( 6) x( x ) x x 7 0 x () 辺の長さがそれぞれ の三角形に 半径 r の円が内接しているとき 三角形の面積 S は 辺の長さがそれぞれ 6m 8m 0m の に 半径 r の円 O が内接している r の長さを求めよ () 辺の長さがそれぞれ の直方体の 対角線の長さは 辺の長さがそれぞれ m m 7 m の直方体の対角線の長さを求めよ S r ( ) ( 解 ) 辺の長さの比を考えると 6:8:0 = :: より は斜辺 = 0 の直角三角形となることが分かる よって 68 r (6 8 0) より r m ( 解 ) ( 7 ) 6m

5 () 辺の長さが の立方体の対角線の長さは 体積が 6m の立方体の対角線の長さは ( 解 ) 辺の長さを とすると 6 = = ( ) = 6 より = 6m よって 対角線 6 6 m () 辺の長さが の正三角形の面積は 面積が の正六角形の 辺の長さは ( 解 ) 正六角形は正三角形 6 枚でできているので 正三角形 枚の面積は とわかる 求める 辺を とすると 6 ( 0) () 辺の長さが の正四面体の高さ及び体積は 高さ = 6 体積 = 辺の長さが の正四面体の高さ及び体積は ( 解 ) 高さ 6 6 体積 6 (6) 辺の長さが の正八面体の高さ及び体積は 高さ = 体積 = 辺の長さが の正八面体の高さ及び体積は ( 解 ) 高さ 体積 ( ) (7) 左図の切頭四角柱の体積は 体積 = 底面積 d d 左の図で = 7 = 6 = で底面が 辺 の正方形のとき d の長さ及び体積は ( 解 ) 切頭四角柱では + = +d が成り立ち d = +- = 7+-6 = 6 体積 (8) 左図の切頭三角柱の体積は 体積 = 底面積 左の図で 底面の三角形の面積が 8 のときの体積は ( 解 ) (9) e Q d f R 左図で三角錐 -QR は 三角錐 - の何倍か [ 三角錐 -QR] = [ 三角錐 -] e d f 上の図で 三角錐 - が 辺 6 の正四面体で : = : Q:Q = :6 R: = : 三角錐 -QR の体積は ( 解 ) 正四面体 の体積 6 8 三角錐 -QR 8 8