剛体過去問解答例 2 1.1) 長さの棒の慣性モーメントは 公式より l I G = Ml /12 A 点のまわりは平行軸の定理より 2 2 I A = Ml /12 + M ( l / 2) = Ml 2 / 3 B y 2) 壁からの垂直抗力を R, 床からの垂直抗力と摩擦力を N,f とすると

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1 剛体過去問解答例. 長さの棒の慣性モーメントは 公式より l G l A 点のまわりは平行軸の定理より A l l l B y 壁からの垂直抗力を R, 床からの垂直抗力と摩擦力を N,f とすると 運動方程式は 方向 : R f, y 方向 : y N l 回転 : G { N f R cos } A 静止しているとき 方向の力と 力のモーメントがつり合うので y ~ より R ' また 摩擦力が最大静止摩擦力より大きいとはしごは動き出すので 静止するためには 一方 に を代入して f cos f n 5 より f N N f R cos f N n 5 l A 5 壁が消失した直後 摩擦がある時は A 点を回転軸として回転的運動を起こすが 床との間に摩擦が無い時 ハシゴは床に対して滑るので ハシゴは [ ア : 重心 ] のまわりに [ イ : 回転 ] 運動を起こし 重心は [ ウ鉛直 ] 方向に [ エ並進 ] 運動を行う [ ] の中に適切は字句を入れよ なお がある程度以上に大きくなると ハシゴは必ず滑り出す

2 . 壁からの垂直抗力をR, 床からの垂直抗力と摩擦力をN,f とする人ははしごの下端から だけ登ったとすると 方向の釣り合い : θ R f R y 方向の釣り合い : N N はしごの最下点 P 点のまわりの力のモーメントの釣り合い : R cos また はしごが動かないためには 摩擦力が最大静止摩擦力以下なので f N よって より f R を に代入して n n ì ü í ý î n þ f P. 糸の張力を, 壁からの垂直抗力を N, 摩擦力を f とする 鉛直方向の力のつり合いは cos π ー θφ f 水平方向の力のつり合いは Q π ー θφn π ー θφ O 点のまわりの力のモーメントは P φ f φπ のとき より より θf cos θn N θ f O

3 また 静止するためには f N に ~ を代入して cos ³ cos O 点のまわりの慣性モーメントは 額縁の線密度は σ O 点から距離 の所の微少要素 d を考えると 微少質量は よって 慣性モーメントは dσd d ò d ò0 d または 棒の重心の周りの慣性モーメントは G ò d ò d d ò0 O 点のまわりの慣性モーメントを求めるので 平行軸の定理で h として G 糸が切れたとき 張力 がなくなり 棒は棒の重心に働く重力 によって反時計回りに回転を 始める このとき 力のモーメントは N θ よって 回転の方程式は d d d

4 . 棒の重心の周りの慣性モーメントは G 回転軸と重心の距離は h ー 6 6 よって 平行軸の定理より O G h 棒が鉛直線から θ 傾いたとき 回転軸の周りの 重力の力のモーメントは 距離が 6 なので N 6 θ 6 9 軸の周りの角運動量は dθ よって 運動方程式は dn より 9 d 6 振動の振幅が小さく 単振動と見なせるとき 前問の運動方程式は d» w, p 5 棒の下端にバネ定数 k のバネを付たとき角度 θ だけ傾いたとき θ<<のとき θ θ だけバネは縮むので バネの復元力により棒は左向きに k θ の力を受ける 従って バネの復元力による回転軸の周りのモーメントは N ー cosθ k θ θ k θ ー k 9 θ よって力のモーメントは θ<< のとき N 6 θ ー k 9 θ ー 6 θk 9 θ 以上より 回転の方程式は θ 9 6 w k, k 9 k p k

5 5. 円環の中心軸周りの慣性モーメントは 円環の微少要素 dについて慣性モーメントを足しあわせて R z å R d R åd また 長さR の棒の重心の周りの慣性モーメントは G R R 棒が 本あるので 円環と棒 本の分を足して R R 円環を含んだ面内で中心を通る軸の周りの慣性モーメントは 平板の定理より ここで対称性より y 一方 棒については 軸となった棒については慣性モーメントは 0, もう一つの棒は 重心周りの慣性モーメントを取ればよいので 以上より この つを足して R R z y, z R G R R 別法 平板の定理を使う 円環を含んだ面内で 中心を通り 本の棒を軸としたときの慣性モーメント もう一本の棒を軸としたときの慣性モーメントを とすると 平板の定理より また 対称性より 従って R R R R 回転角をφ とすると 力のモーメントは NRF よって 回転の運動方程式は d f RF d f RF, この各加速度は一定なので 0 で静止している dφ0 のもとで積分して d f RF また その時の運動エネルギーは df K RF R F F 6F 5

6 6. この振り子の支点まわりの慣性モーメント は 棒の慣性モーメントは 重心の周りの慣性モーメント O 点のまわりの棒の慣性モーメントは平行軸の定理より G d d 円板の慣性モーメントは 重心の周りの慣性モーメント O 点のまわりの円板の慣性モーメントは平行軸の定理より ' c よって 両方を足しあわせて { d } { c 図のように鉛直線から θ だけ傾いたとき 振り子の角運動量は & 軸の周りの力のモーメントは 棒の重心での 円板の重心での により N ー ー d θ ー c θ No θ ただし No ー d c よって 慣性モーメントを とすると 振り子の運動方程式は N 0 } G G 運動方程式の両辺に dθ を掛けると d ì ü í & N 0 cos ý 0 î þ 振り子の最大振れ角をΘ とするので このとき dθ0 よって上式を で積分し 0 でθ Θ dθ0 となることを使うと & N 0{ cos cosq} 5 振り子の振れ角 θが小さいとき θ θと近似できるので 運動方程式は N 0 であり これは単振動の方程式であるので N Q 0 周期は p N 0 6

7 7. の変位を y の変位を とすると に働く力は重力 と張力, に働く水平方向の力は張力 とバネの復元力 kなので 運動方程式は d y d ' k 回転の方程式は 回転角を θとすると d ' 平衡位置は 力やモーメントがつり合うので ~ の加速度を0 と置いて, k0, ' 0 k よって平衡位置は 自然長から0 の位置なので 壁からの位置は k 糸が伸び縮みしないので d dy d d y y,, よって より d d k また すべらないので ΔΔθ d d これを に代入して d k 自然長からの変位を Xとすると X0 これを に代入して d X kx d X k w X, w 単振動の方程式になる よって一般解は 振幅 A, 初期位相 δ とすると 7

8 XAcos ωδ 5 よって 質量 の質点の自然長からの変位は kacos ωδ 5 従って 0 で自然長の位置で静かに離すと 00,d 0 0 ゆえに 5 に 0 を代入すると 0kAcos δ0 Acos δ ー k 6 一方 5 を微分して d & Aw w d & 0 Aw d 0 d 0 これを 6 に代入して よって 質点の変位は cos w k k cos w k A ー k または δ0 より δπ これを6 に代入して Ak としてもよい 8

9 8. 物体には図のような力が働く 質点 の釣り合いは 動滑車 Bの釣り合いは また 定滑車 Aの力のモーメントの釣り合いは 動滑車 Bの力のモーメントの釣り合いは 以上より かつ のとき 釣り合いの状態になる 釣合の位置からの質点 の変位を下向きに 動滑車 B の変位を上向きに yとするとき 運動方程式は d d y また 定滑車 Aの回転角をθ 動滑車 Bの回転角をφ とすると 回転の方程式は d d f ひもが滑ることなくなめらかに滑車を回転するとき 錘 の変位と定滑車 A の回転角の関係は ΔΔθ & 5 また 質点 が だけ下がると 動滑車 B は半分だけ上がるので y y & 6 また 動滑車 B の回転角と変位の関係は ΔyΔΦ & y & f 7 よって 6 を 7 に代入して φの角加速度を で書くと f y 7 9

10 0 5~7 を ~ に代入すると より また より を求める も代入して 同様にして を変形して を求める も代入して を に代入して ' ' ' ' & & '' & & ' ' þ ý ü î í ì

11 9. 密度 ρ 高さd 半径 の円柱の中心軸まわりの慣性モーメントは 円柱の質量が π dρ なので pdr 0 この円柱から 半径 の円柱をくりぬけばよいので 円環の慣性モーメントは { } pdr 斜面に沿って 軸をとり摩擦力を f とすると 方向の運動方程式は, 円環の回転角を φ とすると 回転の方程式は j& & f 円環が滑らずに転がるためには j& & 運動方程式で の条件を用い かつ f を消去して 斜面に沿う加速度を求めると & 初速度ゼロの等加速度運動なので 秒間の移動距離は s よって だけ移動する時間は f s とおいて 並進速度は vα 回転の角速度は ωv なので 運動エネルギーは K R w なお 並進の運動エネルギーは K v 全運動エネルギーは K K R { } これは位置エネルギーの減少分であるので 全力学的エネルギーは保存している 6 この円環が坂を滑らず転がり上がる場合 軸を斜面に添って上向きに取る このとき 摩擦力は斜面に添って下向きになるので 重心の運動方程式は f よって加速度は &

12 0. この円環の密度は また 半径 の円板の慣性モーメントは 質量が ρπ なので これから 半径 の円板の慣性モーメントを引くと 円環の慣性モーメントになるので 斜面に添って下向きに 軸を取り 重心の運動方程式を書くと 摩擦力を f として 円環の回転角を φ とすると 回転の方程式は 円環が滑らずに転がるためには ~ より これは等加速度直線運動なので 秒後の速度と位置は 加速度 を α とおくと 坂を下りきるとき 軸に添って距離 h θ ほど移動するので 5 坂を下り落ちた時の速さは よって運動エネルギーは f f j& & & & j, & h h h h v K p r rp rp rp h h v

13 一方 水平面上を滑らずに回転しているとき 回転の運動エネルギーは よって運動エネルギーの和は これは 滑り落ちる前の位置エネルギー h に等しい このように 滑らずに回転する ときの 摩擦力 は 接点での物体の運動方向 面から離れようとする 面に垂直な変位 と直交しているので 仕事をしない そのため 摩擦力 はエネルギーを消耗しない 束縛力である h h v K f & h h h K K