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1 感度係数について 産業技術総合研究所計測標準研究部門 物性統計科応用統計研究室 城野克広 1

2 モデル式 そして感度係数 2

3 不確かさの見積もり例 例ある液体の体積 v を その質量と密度から求めることにした まず 液体の質量を質量計で 5 回反復測定し 測定データ {1., 1., 99.9, 99.7, 1.1 g} を得た 一方液体の密度については この液体の密度の値は 2. g/cm である この値の誤差は ±.1 g/cm を越えない という情報をハンドブックから得た

4 バジェット表 不確かさの評価をするために下のようなバジェット表と呼ばれる表が準備されることが好ましい 今回は体積を求める例について バジェット表の穴埋めをしながら 不確かさの求め方を説明する 不確かさ要因 記号 標準不確かさ u( i ) 感度係数 c i 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 備考 質量測定の繰返し性 密度の値の不確かさ 合成標準不確かさ u c (v) 拡張不確かさ U 4

5 モデル式 多くの場合 測定量 Y は直接には測定されず 他の N 個の量 X 1 X 2 X N から次の関数関係 により決定される Y=(X 1 X 2 X N ) (1) 例ある液体の体積 v を その質量と密度から求めることにした まず 液体の質量を質量計で 5 回反復測定し 測定データ {1., 1., 99.9, 99.7, 1.1 g} を得た 一方液体の密度については この液体の密度の値は 2. g/cm である この値の誤差は ±.1 g/cm を越えない という情報をハンドブックから得た 液体の体積 v 液体の質量 m 液体の密度 の間にどのような関係があるか? 5

6 モデル式 4.1.1( の要約 ) Y=(X 1 X 2 X N ) まず体積 v を求める式を立てる v m, m m:5 回測った質量の平均値 : ハンドブックから得られた密度 この定式化を 測定のモデル化 と言う 立てられた式は 測定のモデル式と呼ばれる まず どの値の標準不確かさを求めるのか明確化する上でモデル式は 重要である ここでは m と の標準不確かさを求める 6

7 測定値の計算 モデル式を用いて測定値を計算する 平均値を求める 1 m n n k 1 m k g 密度はハンドブックから得られている 2. g cm v m cm 7

8 バジェット表 体積 v のモデル式 v m, m m:5 回測った質量の平均値 : ハンドブックから得られた密度 不確かさ要因 記号 標準不確かさ u( i ) 感度係数 c i 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 備考 質量測定の繰返し性 u(m) 密度の値の不確かさ合成標準不確かさ拡張不確かさ u( ) u c (v) U モデル式を立てて 不確かさの要因を明らかにする それに相当する枠を作る ( それぞれの入力が複数の不確かさ要因をもつときには 段組みを工夫する必要がある ) 8

9 s バジェット表 m:5 回測った質量の平均値 m m m g u k n 1 n 1 s m sm k 1 m n k.1 g 不確かさ要因 記号 標準不確かさ u( i ) 感度係数 c i 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 質量測定の u(m).1 g 特記事項を備考欄に 5 回繰返し繰返し性記入しておく 密度の値の u( 不確かさ ) Aタイプ評価ではこの合成標準不欄に算出された平均 u 確かさ値の実験標準偏差を c (v) 単位付きで書き込む 拡張不確か U さ 備考 9

10 バジェット表 : ハンドブックから得られた密度 u.1 g/cm.5774 不確かさ要因 記号 標準不確かさ u( i ) 感度係数 c i 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 質量測定の u(m).1 g 特記事項を備考欄に繰返し性記入しておく 5 回繰返し 密度の値の.5774 u( 不確かさ ) g/cm ハンドブック 合成標準不 Bタイプ評価では統計的以 u 確かさ c (v) 外の何らかの方法で求め拡張不確かた標準偏差相当の値を単 U さ位付きで記入する 備考 1

11 合成標準不確かさ 例ある液体の体積 v を その質量と密度から求めることにした まず 液体の質量を質量計で 5 回反復測定し 測定データ {1., 1., 99.9, 99.7, 1.1g} を得た 一方液体の密度については この液体の密度の値は 2.g/cm である この値の誤差は ±.1g/cm を越えない という情報をハンドブックから得た 体積 v のモデル式 m: 質量の平均値 : 密度 v m, m 1. g 2. g/cm m um.1g u.5774 g/cm 体積 v の影響量の評価はできた v の不確かさ自体はどのように求めるか? 11

12 合成標準不確かさ が u() だけ変わるとき に関係する量 =() はどれだけ変わるだろうか? u()=c u() 例えば =.5 + b なら c =.5 ( 右図参照 ) b 係数 c を感度係数という u()=.5 u() u() 12

13 合成標準不確かさ しかし 普通は変化量を計算しよ うとすると 方向が二つある (+u())-() ()-(-u()) u() u() と の関係が直線 ( 前ページの例 ) でない限り 方向によって 感度係数 c の値が変わってしまう!! 1

14 合成標準不確かさ そこで こちらの方向で言えば 接線の変化は過小評価 読み値の点で接線 を引くと 両方向の 中間の特徴を持つ c u() 接線の傾きを感度 係数とする u() こちらでは過大評価 14

15 合成標準不確かさ 接線の傾きは微分で表わされるから 例えば 感度係数 c はモデル式の 微分 '() で表わされる z = (,) = + は が u() だけ変わるとき u (z) = (+u(),) (,) = u() これは c u z c u u としたのと同じ, から いくつも変数がある場合の微分の記号は d, d ではなく と書く 15

16 合成標準不確かさ m: 重さ測定の平均値 um.1 g m 1. g v m, m m, m 1 v u m (v)=1/ u(v) u(m) m 16

17 合成標準不確かさ m: 質量測定の平均値 m 1. g um.1 g c m m, m 1 感度係数には単位がある u =2. g/cm から 感度係数は c m =.5 cm /g m 質量測定の繰り返し ( 不確かさ要因 ) に由来する液体の体積 ( 測定量 ) の標準不確かさは v c um m.5 cm g.1 g.5 cm 17

18 合成標準不確かさ : 引用された密度 2. g/cm u.5774 g/cm v m, m m, m 2 v u (v)= -m/ 2 u( ) u( ) 18

19 合成標準不確かさ 2. g/cm : 引用された密度 u.5774 g/cm c m, m 2 m=1. g =2. g/cm から 感度係数は c = -25. cm 6 /g 密度のずれ ( 不確かさ要因 ) に由来する液体の体積 ( 測定量 ) の標準不確かさは u v c um.5774 g.25 cm cm 6 g.1444 cm 19

20 バジェット表 m の感度係数 c m =.5 cm /g の感度係数 c = -25. cm 6 /g 測定量の単位を ( ) 内に記載しておくなどする 不確かさ要因 質量測定の繰返し性密度の値の不確かさ合成標準不確かさ拡張不確かさ 感度係数を微分を計標準不確かさ記号 u( i ) 算することで 求める u(m) u( ) u c (v) U.1 g 感度係数 c i.5 cm /g.5774 g/cm -25. cm 6 /g 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 備考.5 5 回繰返し.1444 ハンドブック 感度係数と標準不確かさを掛け合わせた値 これによって 測定量の単位に変換された標準不確かさが求まる 2

21 バジェット表 u c v u m m u 合成標準不確かさ 不確かさ要因 記号 N 標準不確かさ u( i ) 感度係数 c i 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 質量測定の 2.5 uc u(m).1 g 繰返し性 ui i cm /g i 回繰返し 密度の値の に従って 合成標準不確か u( 不確かさ ) g/cm cm 6 /g さを求めて記入する.1444 ハンドブック 合成標準不確かさ u c (v).1528 拡張不確かさ U 備考 21

22 バジェット表 U 拡張不確かさ (k=2) v 2u v.56 cm c 不確かさ要因 質量測定の繰返し性密度の値の不確かさ合成標準不確かさ拡張不確かさ 記号 標準不確かさ u( i ) 感度係数 c i 測定量の標準不確かさ c i u( i ) (cm ) 備考.5 u(m).1 g cm.5 5 回繰返し /g 包含係数 kに関する 情報は書きとめておく u( ) g/cm cm ハンドブック標準不確かさに包含係数 /g 必要がある kを掛けた値を拡張不確か u c (v) さとして記入する.1528 U.1 k=2 22

23 6. モデル式の実際 2

24 モデル式の実際 例ある液体の体積 v を 5 回反復測定し 測定データ {1., 1., 99.9, 99.7, 1.1 cm } を得た 実験の最中に 温度は一定であったが 設定温度の 2. ºC から 1ºC を越えない範囲でずれていることが分かっている この液体の体積膨張係数が /ºC である この液体の 2. ºC での体積を報告する このモデル式がどうなるか考え そこから感度係数を計算してみる 24

25 モデル式の実際 この場合 温度の影響は補正できない 5 回の反復測定についてのみ考えて v 1 n n v k k 1 1. cm モデル式は以下のように思える v v v m:5 回測った重さの平均値 (g) 温度のずれは? 25

26 モデル式の実際 温度のずれを考慮するために 以下のように書くとよい v, v T v vt v: 5 回測った体積の平均値 (cm ) : 体積膨張係数 (/ o C) T: 温度のずれ ( o C) このとき 温度のずれ T は であることが期待されるが 不確かさはある という特徴をもっている 不確かさ評価を行おうとするときに 非常によく使われる T/ o C 26

27 c V 感度係数の計算 モデル式を微分すると感度係数が求まる 繰返し v, T 1 T v 温度のずれ T は であることが期待される c V 1 温度 c T v, T T v = /ºC v = 1. cm を代入 c T.5 cm o C 27

28 まとめ 28

29 モデル式の実際 ( 時に工夫が必要だが ) 感度係数はモデル式の微分で表わされ 不確かさ要因の測定値への影響の尺度になる モデル式を立てることは測定量を定義することとも言える これは計測において不確かさ評価以前に本質的な作業であり モデル式を立てることがいつも勧められる 物理的に曖昧なモデルほど 感度係数を求めるために調査や実験が必要であったり 感度係数を 1 の原因不明のばらつきを実験によって確かめたりすることが必要になる 計測のコストをなるべく小さくするように モデル式を立て 実験を計画する必要がある 29

30 微分の例

31 a b a a 2 b 2a alog b a b, a b,, a b, a,, a a 1

32 2 a, a, 2, a z z a, z a, 2, z z a 2, z a z z a, z a, z a, 2, z a z

33 Web int.php Katsuhiro AIST, NMIJ, JAPAN k.shirono*aist.go.jp (*@)

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