EigenExa Version 2.3c EigenExa

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3 EigenExa /Copyright EigenExa EigenExa API eigen init eigen free eigen get blacs context eigen sx eigen s eigen get version eigen show version eigen get matdims eigen memory internal eigen get comm eigen get procs eigen get id eigen loop start eigen loop end eigen translate l2g eigen translate g2l eigen owner node KMATH EIGEN GEV

4 x A 23 A A A.3 eigen s A.4 eigen sx A.5 eigen s eigen sx A

5 EigenExa EigenExa. EigenExa, 2002 EigenES( )[1]. EigenES SC2006, PC. EigenExa EigenK[3, 4] 2008, [5, 6] EigenExa. EigenExa ( ). 2.3c), ( ). [2, 3, 4], EigenK EigenExa. EigenExa, MPI, OpenMP, BLAS, SIMD Fortran90.,. 1. MPI 2. OpenMP 3. BLAS 4. SIMD EigenExa Fortran90. EigenExa API Fortran77,. 2,, ScaLAPACK., ( ),., EigenK, EigenExa EigenK ScaLAPACK [4].

6 6 1, EigenExa, Fujitsu PRIMEHPC FX10, Intel x86, IBM Blue/Gene Q, NEC SX, HPC. EigenExa [7, 8, 9, 10, 11] EigenExa version 2.3c..,,,, API, EigenK. EigenExa,. 1.2 /Copyright EigenExa 2 BSD (The BSD 2-Clause License) ( LICENCE.txt ). LICENCE.txt Copyright (C) RIKEN. Copyright (C) Toshiyuki Imamura Graduate School of Informatics and Engineering, The University of Electro-Communications. Copyright (C) Japan Atomic Energy Agency Copyright notice is from here Redistribution and use in source and binary forms, with or without modification, are permitted provided that the following conditions are met: * Redistributions of source code must retain the above copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer. * Redistributions in binary form must reproduce the above copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the distribution. THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE COPYRIGHT HOLDERS AND CONTRIBUTORS AS IS AND ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL THE COPYRIGHT HOLDERS OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE

7 EigenExa EigenExa BLAS, LAPACK, ScaLAPACK MPI EigenExa., EigenExa. BLAS LAPACK ScaLAPACK MPI Intel MKL, GotoBLAS, OpenBLAS, ATLAS Fujitsu SSL II, IBM ESSL, NEC MathKeisan Version Version MPICH2 version 1.5, MPICH version OpenMPI version MPI/SX 2.2 EigenExa EigenExa URL. : tarball. EigenExa. 2.3 EigenExa.., tarball., EigenExa- 2.3c. % tar zxvf EigenExa-2.3c.tgz % cd EigenExa-2.3c

8 8 2, Makefile make_inc.xxx, xxx 1. BX Intel Intel.shared 3. K_FX10 K_FX10.shared 4. gcc 5. BlueGeneQ 6. SX.,.shared. 3, make. libeigenexa.a libeigenexa.so. % make, libeigenexa.a ( libeigenexa.so) eigen_libs.mod eigen_blacs.mod. /usr/local/lib. % cp libeigenexa.a eigen_libs.mod eigen_blacs.mod /usr/local/lib/ KMATH EIGEN GEV make KMATH_EIGEN_GEV.o.., EigenExa. EigenExa.

9 9 3, make benchmark. main2.f Makefile. main2.f. main2.f use MPI use eigen_libs... call MPI_Init_thread( MPI_THREAD_MULTIPLE, i, ierr ) call eigen_init( ) N=10000; mtype=0 call eigen_get_matdims( N, nm, ny ) allocate ( A(nm,ny), Z(nm,ny), w(n) ) call mat_set( N, a, nm, mtype ) call eigen_sx( N, N, a, nm, w, z, nm, m_forward=32, m_backward=128) deallocate ( A, Z, w )... call eigen_free( ) call MPI_Finalize( ierr ) end,. eigen_init(). eigen_init() comm=xxx. MPI_Comm_split()., eigen_init() MPI_COMM_WORLD, eigen_init() MPI_COMM_WORLD., MPI_COMM_NULL eigen_init(), eigen_sx()., eigen_sx() eigen_sx().

10 10 3 MPI Comm split MPI COMM NULL if ( my_rank < 10 ) then else endif comm = MPI_COMM_SELF comm = MPI_COMM_NULL call eigen_init( comm ) call eigen_sx(... ) EigenExa eigen_init().., EigenExa, MPI comm. EigenExa,., Row-major, order= C., EigenExa Column-Major. eigen_sx() mat_set().,.,. mat_set(), Frank. matset(before)! Global loop program to compute a Frank matrix do i = 1, n end do do j = 1, n end do a(j, i) = (n+1-max(n+1-i,n+1-j))*1.0d+00

11 11 matset(after)! Translated local loop program to compute a Frank matrix use MPI use eigen_libs call eigen_get_procs( nnod, x_nnod, y_nnod ) call eigen_get_id ( inod, x_inod, y_inod ) j_2 = eigen_loop_start( 1, x_nnod, x_inod ) j_3 = eigen_loop_end ( n, x_nnod, x_inod ) i_2 = eigen_loop_start( 1, y_nnod, y_inod ) i_3 = eigen_loop_end ( n, y_nnod, y_inod ) do i_1 = i_2, i_3 end do i = eigen_translate_l2g( i_1, y_nnod, y_inod ) do j_1 = j_2, j_3 end do j = eigen_translate_l2g( j_1, x_nnod, x_inod ) a(j_1, i_1) = (n+1-max(n+1-i,n+1-j))*1.0d+00 eigen_loop_start() eigen_loop_end()., ID. x, y (, x y )., EigenExa ID 1., eigen_get_id( ) ID MPI 1. MPI ID 1.. eigen_translate_l2g()., eigen_loop_start()., eigen_translate_g2l()., eigen_translate_g2l(), ( ). eigen_owner_node().., ScaLAPACK, eigen_get_blacs_context() EigenExa. mat_set() mtype=2 (, AS A PDTRAN() ).

12 12 3 pdtran! Cooperation with ScaLAPACK NPROW = x_nnod; NPCOL = y_nnod ICTXT = eigen_get_blacs_context( ) CALL DESCINIT( DESCA, n, n, 1, 1, 0, 0, ICTXT, nm, INFO )! A AS^T CALL PDTRAN( n, n, 1D0, as, 1, 1, DESCA, 1D0, a, 1, 1, DESCA ) mpif90, eigen_libs -I. EigenExa, MPI, OpenMP, ScaLAPACK( 1.8 BLACS ). Intel MPI (ScaLAPACK BLAS ). % mpif90 -c a.f -openmp -I/usr/local/include -I/usr/local/lib % mpif90 -o exe a.o -openmp -L/usr/local/lib -leigenexa -lscalapack \ -llapack -lblas

13 13 4 API eigen_libs.mod public.,. Optional ( ), Fortran TERM=variable or constant value. 4.1 eigen init EigenExa. comm order. ( MPI_COMM_WORLD, ),, comm, (eigen_sx() eigen_s()),. comm MPI_COMM_NULL, eigen_sx() eigen_s(). subroutine eigen init( comm, order ) 1. integer, optional, intent(in) :: comm = MPI_COMM_WORLD comm 2 : MPI COMM WORLD 2. character*(*), optional, intent(in) :: order = C Row Column : C. comm R. 4.2 eigen free EigenExa. subsroutine eigen free( flag ) 1. integer, optional, intent(in) :: flag = 0. 0.

14 14 4 API 4.3 eigen get blacs context EigenExa ScaLAPACK(BLACS). integer function eigen get blacs context( ) 4.4 eigen sx EigenExa..,. subroutine eigen sx( n, nvec, a, lda, w, z, ldz, \ m forward, m backward, mode ) 1. integer, intent(in) :: n 2. integer, intent(in) :: nvec. eigen_sx(). 3. real(8), intent(inout) :: a(lda,*). a(1, 1) FLOPS 4. integer, intent(in) :: lda a 5. real(8), intent(out) :: w(n) 6. real(8), intent(out) :: z(ldz,*) a 7. integer, intent(in) :: ldz z 8. integer, optional, intent(in) :: m_forward = 48 ( ) integer, optional, intent(in) :: m_backward = character, optional, intent(in) :: mode = A A : (default) N : X : A

15 4.5. eigen s eigen s EigenExa. subroutine eigen s( n, nvec, a, lda, w, z, ldz, \ m forward, m backward, mode ) 1. integer, intent(in) :: n 2. integer, intent(in) :: nvec. eigen_s(). 3. real(8), intent(inout) :: a(lda,*). a(1, 1) FLOPS 4. integer, intent(in) :: lda a 5. real(8), intent(out) :: w(n) 6. real(8), intent(out) :: z(ldz,*) a 7. integer, intent(in) :: ldz z 8. integer, optional, intent(in) :: m_forward = integer, optional, intent(in) :: m_backward = character, optional, intent(in) :: mode = A A : (default) N : X : A 4.6 eigen get version EigenExa

16 16 4 API subroutine eigen get version( version, data, vcode ) 1. integer, intent(out) :: version 3 major version minor version patch level 2. character, intent(out) :: date 3. character, intent(out) :: vcode 4.7 eigen show version EigenExa subroutine eigen show version() 4.8 eigen get matdims EigenExa. (nx,ny). (CYCLIC,CYCLIC). subroutine eigen get matdims( n, nx, ny ) 1. integer, intent(in) :: n 2. integer, intent(out) :: nx a z 3. integer, intent(out) :: ny a z 4.9 eigen memory internal EigenExa, 2.3c 8 integer(8) 1 EigenExa

17 4.10. eigen get comm 17 integer(8) function eigen memory internal( n, lda, ldz, m1, m0 ) 1. integer, intent(in) :: n 2. integer, intent(in) :: lda a ) 3. integer, intent(in) :: ldz z 4. integer, intent(in) :: m1 ( ) 5. integer, intent(in) :: m eigen get comm eigen_init() MPI. subroutine eigen get comm( comm, x comm, y comm ) 1. integer, intent(out) :: comm 2. integer, intent(out) :: x_comm. id. 3. integer, intent(out) :: y_comm. id eigen get procs eigen_init(). subroutine eigen get procs( procs, x procs, y procs ) 1. integer, intent(out) :: procs comm 2. integer, intent(out) :: x_procs x_comm 3. integer, intent(out) :: y_procs y_comm 4.12 eigen get id eigen_init() ID. ID MPI 1, MPI = ID 1.

18 18 4 API subroutine eigen get id( id, x id, y id ) 1. integer, intent(out) :: id comm ID 2. integer, intent(out) :: x_id x_comm ID 3. integer, intent(out) :: y_id y_comm ID 4.13 eigen loop start. integer function eigen loop start( istart, nnod, inod ) 1. integer, intent(in) :: istart 2. integer, intent(in) :: nnod 3. integer, intent(in) :: inod ID 4.14 eigen loop end. integer function eigen loop end( iend, nnod, inod ) 1. integer, intent(in) :: istart 2. integer, intent(in) :: nnod 3. integer, intent(in) :: inod ID

19 4.15. eigen translate l2g eigen translate l2g integer function eigen translate l2g( ictr, nnod, inod ) 1. integer, intent(in) :: ictr 2. integer, intent(in) :: nnod 3. integer, intent(in):: inod ID 4.16 eigen translate g2l integer function eigen translate g2l( ictr, nnod, inod ) 1. integer, intent(in) :: ictr 2. integer, intent(in) :: nnod 3. integer, intent(in) :: inod ID 4.17 eigen owner node ID. integer function eigen owner node( ictr, nnod, inod ) 1. integer, intent(in) :: ictr 2. integer, intent(in) :: nnod 3. integer, intent(in) :: inod ID 4.18 KMATH EIGEN GEV EigenExa. eigen_sx. eigen_sx. EigenExa KMATH_EIGEN_GEV.o.

20 20 4 API subroutine kmath eigen gev( n, a, lda, b, ldb, w, z, ldz ) 1. integer, intent(in) :: n 2. real(8), intent(inout) :: a(lda,*) (A λb) A 3. integer, intent(in) :: lda a 4. real(8), intent(inout) :: b(ldb,*) (A λb) B. 5. integer, intent(in) :: ldb b 6. real(8), intent(out) :: w(n) 7. real(8), intent(out) :: z(ldz,*) B 8. integer, intent(in) :: ldz z

21 EigenExa EigenK.,,., EigenExa EigenK. 5.2 Fortran90 EigenExa., (language bindings)., Python Python binding of EigenExa [12],. 5.3 EigenExa,. BLAS LAPACK.., HP x 1.x. 1.x, gcc. 1.x., EigenExa 2.x,. make.inc, (LD_LIBRARY_PATH ).

22

23 23 A A.1 EigenExa EigenExa eigen s eigen sx [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] A.2 real symmetric (A) tridiagonal (T) ScaLAPACK, EigenExa(eigen_s) eigenpairs of T eigenpairs of A DPLASMA, ELPA eigenpairs of B banded (B) EigenExa(eigen_sx) A.1: A.1 ScaLAPACK[21] LAPACK ELPA[22] DPLASMA[23] A.1 byte/flop T B

24 24 A EigeExa A.1 eigen s A.1 eigen sx A.3 eigen s EigenExa eigen s ScaLAPACK Ax i = λ i x i (i = 1,..., N 1. Q AQ T 2. T y i = λ i y i 3. Qy i x i HN 2 H1 AH 1 H N 2 T, H i = I u i β i u i (A.1) A.2(a) β (I uβu ) A(I uβu ) = A uv vu, v = (w 1 2 uβ (w u))β, w = Au (A.2) A Dongarra A (I u K β K u K ) (I u 1 β 1 u 1 ) A(I u 1 β 1 u 1 ) (I u K β K u K ) = A UV V U. (A.3) V Cuppen [24] A.2(b) 1 1 H 1 H K = (I u 1 β 1 u 1 ) (I u K β K u K) I USU, U = [u 1 u K ] (A.4)

25 A.4. eigen sx 25 S compact-wy H 1 H N 2 Y = (I U 1 S 1 U1 ) (I U M S M UM )Y X (A.5) Level-3 BLAS Y = [y 1 y N ], X = [x 1 x N ] (A.6) (a) = + (b) A.2: eigen s eigen s ScaLAPACK A.4 eigen sx EigenExa eigen sx 1. Q A Q B 2. By i = λ i y i 3. Qy i x i H N/2 1 H 1 A H 1 H N/2 1 P, Hi = I ũ i βi ũ i (A.7) A.3(a) ( ) β (i) 11 β (i) 12 ũ i = [u (i) 1 u (i) 1 ], βi = β (i) 21 β (i) 22 (A.8) (A.2) Dongarra Aũ A.3(b) 2 2

26 26 A 1 [25] (A.4) = + (a) (b) A.3: eigen sx eigen sx ScaLAPACK A.5 eigen s eigen sx eigen s eigen sx eigen s eigen sx w = Au (in eigen s) [w 1 w 2 ] = A[u 1 u 2 ] (in eigen sx) (A.9) eigen s eigen sx Au A[u 1 u 2 ] A byte/flop eigen sx eigen s

27 A Communication-Avoidance eigen sx eigen s eigen s 1 eigen sx A.6 EigenExa eigen s eigen sx eigen sx ScaLAPACK eigen s

28

29 29 EigenExa. EigenExa EigenExa.. CREST ( ) : (B) ( 24 ), (A) ( ), (B) 15H02709 ( ) HPCI, : hp ( 26 ), hp120170( ) : ra ( 25 ), EigenExa EigenK.. CREST ( )

30

31 31 [1] S. Yamada, T. Imamura, T. Kano and M. Machida, High-Performance Computing for Exact Numerical Approaches to Quantum Many-Body Problems on the Earth Simulator, Proceedings of the 2006 ACM/IEEE Conference on Supercomputing (SC 06), November Tampa USA. [2], T2K,, Vol.11, No.6, pp (2009). [3] T. Imamura, S. Yamada and M. Machida, Development of a High Performance Eigensolver on the Peta-Scale Next Generation Supercomputer System, Progress in Nuclear Science and Technology, the Atomic Energy Society of Japan, Vol. 2, pp (2011). [4] T. Imamura, S. Yamada and M. Machida, Eigen-K: high performance eigenvalue solver for symmetric matrices developed for K computer, 7th International Workshop on. Parallel Matrix Algorithms and Applications (PMAA2012), June 2012, London UK. [5] AICS, [6] Fujitsu, Japan, [7] T. Imamura and Y. Yamamoto, CREST: Dense Eigen-Engine Groups, International Workshop on Eigenvalue Problems: Algorithms; Software and Applications, in Petascale Computing (EPASA 2014), Tsukuba, March 7 9, 2014 (poster). pdf [8] T. Imamura, The EigenExa Library High Performance & Scalable Direct Eigensolver for Large-Scale Computational Science, HPC in Asia, Leipzig, Germany, June 22 26, [9] T. Imamura, Y. Hirota, T. Fukaya, S. Yamada and M. Machida, EigenExa: high performance dense eigensolver, present and future, 8th International Workshop on Parallel Matrix Algorithms and Applications (PMAA14), Lugano, Switzerland, July 2 4, 2014.

32 32 A [10],, FX EigenExa,, Vol.16 No.3, pp (2014). http: // [11] T. Fukaya and T. Imamura, Performance evaluation of the EigenExa eigensolver on the Oakleaf-FX supercomputing system, Annual Meeting on Advanced Computing System and Infrastructure (ACSI) 2015, Tsukuba, January 26 28, [12] Python binding of EigenExa, HPC Usability Research Team, RIKEN AICS, hpcu.aics.riken.jp/ [13],,, (2009). [14] B. Parlett, The Symmetric Eigenvalue Problem, SIAM (1987). [15] J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM (1997). [16] L. Trefethen and D. Bau, III, Numerical Liner Algebra, SIAM (1997). [17] W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling and B. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd ed., Cambridge University Press (2007). [18] G. Golub and C. Van Loan, Matrix Computations, 4th ed., Johns Hopkins University Press (2012). [19], (I) : Multiple Relatively Robust Representations,, Vol.15, No.2, pp (2005). [20], (II) : QR,, Vol.16, No.4, pp (2006). [21] ScaLAPACK, [22] ELPA, [23] DPLASMA, [24] J. Cuppen, A divide and conquer method for the symmetric tridiagonal eigenproblem, Numer. Math, Vol.36, pp (1981). [25] P. Arbenz, Divide and conquer algorithms for the bandsymmetric eigenvalue problem, Parallel Computing, Vol.18, No.10, pp (1992).

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