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1 1/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 9 複素微分 : 正則関数 で 正則性は複素数 z の関数 f ( z) の性質として導き出しまし た 複素数 z は つの実数, で表され z i 数 u, v で表され f ( z) u i 複素数 z と つの実数, : z + i + です 同様に 複素関数 f ( ) + v と表せます つまり 複素数 z の複素関数 f ( z) と つの実数, の つの実関数 u, f ( z) u + iv z も つの実関 v : と同じ様な関係が成り立ちます 複素関数 f ( z) で導いた正則条件を実関数 u, v 条件として表してみます まず Ⅰ. コーシー リーマンの方程式 : 実関数と正則性 必要条件 f ( z) が u + iv の形で書かれているとき 正則関数である f ( ) (, ), u v にはどんな条件が必要か? という問題の答えを探すことになります 出発点として f ( z) は正則である が成り立ちます そのときは f ( z) が計算できて の z では ( z) f です ここで Δ z 0 ( +Δ ) ( ) f z z f z Δz (10.1) z + i Δ z Δ + i Δ f z u ( ) (, ) + v(, ) (10.) と置き換えられるので ( z) f ( +Δ, +Δ ) + v( +Δ, +Δ ) (, ) + v(, ) Δ z 0 u i u i Δ + iδ (10.3)

2 /8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 になります 極限値があるので 計算結果は Δz 0 になる方向によりません どの方向で計算しても同じ答えになります 従って 計算が簡単になる方向を選べます 実軸に平行に Δz 0 になる場合 ( Δ 0 : 図 1a) 虚軸図 1a より ( z) f Δ 0 ( +Δ, + v( +, u + v(, ) u i i ( +Δ, ) (, ) (, ) u u u Δ 0 i v u i Δ 0 を用いて ( + Δ, ) (, ) v(, ) (, ) v f ( z) + i を得る 虚軸に平行に Δz 0 になる場合 ( Δ 0: 図 1b) ( z) f Δ 0 (, + Δ ) + iv(, + Δ (, ) + iv u u iδ 虚軸 + i 0 Δ 0 + i (10.4) 実軸 Δ 0 Δ 0 図 1b より Δ 0 Δ 0 i i 1 1 i (, + Δ ) (, ) (, ) i (, ) u u u u i iδ i ( +Δ, ) (, ) i u v v v i iδ i を用いて f ( z) i + を得る (, ) v 計算結果は方向に依らず同じ値なので (10.4) と (10.5) は同じ値 f ( z) (, ) v v(, ) u u f ( z) + i i + が成立します 従って 実部と虚部が等しいので (, ) v(, ) u v より + i i + になり 実軸 (10.5) (10.6) (10.7)

3 3/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 (, ) v v (, ) u (, (10.8) がわかります これを コーシー リーマン (Cauch-Riemann) の方程式といいます このとき (, ) v f ( z) + i (10.9) もわかります f ( z) が微分可能 ( 正則関数 ) であることを示しています 出発点は u u), v u u), v です そのとき 十分条件 が 1 次微分可能である u + iv は z( i はコーシー リーマンの方程式を満たす + のみの関数で 且つ 正則関数 ( 微分可能 ) である 一般に u i u + u (, ) v + ( + v(, ) + + v は, の関数なので z,z * の関数になり z のみの関数ではない 例として i 1 + i + i + i+ + i + i i + i + + i i z + i z z z i ( ) ことが導かれるか? という問題になります 答えとしては (10.9) が成り立つ事 つまり w u + iv (10.10) とするとき w の微分が (, ) v dw + i dz になり 微分可能であることを示せればよい訳です 複素数 w を (10.11) w u + iv (10.1) と表し 複素数の微小差を Δ w とすると Δ w Δ z dw Δw dz Δ z 0 Δz で微分が計算できます Δw は を計算すると (10.13)

4 4/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 w+δ w u +Δ +Δ + iv +Δ +Δ (10.14) で与えられるので (, ) (, ) (, ) v Δ w w+δ w w u +Δ +Δ + iv +Δ +Δ u + i (10.15) となります この Δ w を用いると Δ w Δ z が計算できます Δw を計算すればよいのですが Δw の実部 (Real part: リアルパート ) と虚部 (Imarginar part: イマージナリィーパート ) に分けて計算すると楽になります そのため (, ) v(, ) (, ) v(, ) (, +Δ ) (, ) i v(, v(, ) Δ w u+δ +Δ + i +Δ +Δ u+ i u+δ u+ +Δ +Δ (10.16) とすると Re Im ( Δ w) u( +Δ, +Δ u ( Δ w) v( +Δ, +Δ v(, ) (10.17) になります まず Re( Δw) は u( u(, +Δ +, +Δ 0を加えて 0 ( Δ w) u( +Δ, +Δ u u( +, +Δ u +Δ + u( + Δ u Re, 平均値の定理平均値の定理 u, u, u, u, ( +Δ +Δ ) ( +Δ ) + ( +Δ ) ( ) (10.18) と変形します ここで 平均値の定理 を使います 平均値の定理 図 1c において 直線 に平行な接線がひけ と + の間の値で表せる この間の 値は t ( 0 t 1) +Δ < < で表せ t 0 t 1 + t +Δ となります 従って 接線の傾きは f ( + t) と表 す事ができます 図 1d から ( ) ( ) ( ) f +Δ f + f + t Δ なので 平均値の定理 ( t ) f +Δ を得ます ( +Δ ) ( ) ( 0 < t < 1) f f 傾き f ( +Δ t ) + t 0 +Δ t t 1 0 t 1 ( ) 平均値の定理を使いますが と の 変数なので偏微分になり f ( ) f ( +Δ t ) f ( ) f ( ) + +Δ t 0 t 1 ( ) 接線 傾き の代わりに ( t ) f + Δ ( + ) f 図 1c 図 1d

5 5/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 u u u u (, という省略記号を用いています そのとき 平均値の定理は ( +, +Δ ) +Δ ( ) u u u ( + t, +Δ 0< t < 1 u + Δ u u + tδ ( 0< t < 1 Δ ) となります これを (10.18) に代入して Re ( Δ w) u( +Δ, +Δ u +Δ + u +Δ u ( + Δ, + Δ + u +Δ t Δ ( 0 < t, t < 1) u t (10.19) (10.0) (10.1) を得ます 従って ( w) u( t u( t ( t t ) Re Δ + Δ, +Δ Δ +, + Δ Δ 0 <, < 1 (10.) になります 全く同様にして (10.17) の Im( Δw) ( Δ w) ( + sδ +Δ Δ + ( + sδ Δ ( < s s < ) は Im v, v, 0, 1 (10.3) になります 以上から w Re( w) iim ( w) Δw Re + ( Δw) i Im ( Δw) Δ Δ + Δ は ( + Δ, +Δ ) Δ + (, + Δ i ( + s Δ, +Δ Δ + + s Δ u t u tδ + Δ v v (10.4) です ここで, 0, Δ 0をとり d Δ d Δw dw にすると dw Δw, Δ 0 ( + Δ, +Δ ) Δ +, ( ) u t u + tδ Δ, Δ 0 + i v ( + s, +Δ ) Δ + v (, + sδ Δ u d + u d + i v (, ) d + v d (10.5) (10.6) になります u u), v はコーシー リーマンの方程式を満たす ので

6 6/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 (, ) v u v v u, v(, ) u v u u v ( ) ) (, (10.7) を用いて u, v を u, v に置き換えることができ なので (, ) u v (, ) v (, ) dw u d + d + i d + d (, ) v (, ) v(, ) u (, ) v (, ) v 1 (, ) ( ) v (, ) + v (, ) + (, ) (, ) d + iv d iv d + i d u d + d + i d + d u d d+ i d+ iu d u d ii d i d iu d u i + u dz dz )( d id v (, )( d id (, ) v (, ) (, ) v (, ) u + + i + u dz+ i dz u + i dz (10.8) dw u + iv dz (10.9) と計算できます 両辺を dz で割り dw u i dz + v (10.30) が求められます 省略形 u, v を (10.19) で戻して (, ) v dw + i dz が導かれます これが求める式 (10.11) になっています w u i + v なので (10.31) u i であることが分かりました + v は正則関数 ( z だけで表され 微分可能 ) 以上から f ( z) u i + v において f ( z) が正則関数であると ( ) ( ) ( ) ( ) u, v, v, u, コーシー リーマンの方程式, ( ) ( ) ( ) ( ) を満たす u, v, v, u, コーシー リーマンの方程式, を満たすと

7 7/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 u + iv は z( i + のみの関数で正則関数になる が証明できました Ⅱ. 例 10 複素微分 : 正則関数 で扱った つの例 f ( z) z と ( ) f z zz z をコーシー リーマンの方程式を用いて 微分可能かどうかを調べます 結果は 10 複素微分 : 正則関数 で分かっていて でした f ( z) z は正則関数である ( 微分可能である ) ( ) f z zz z は正則関数ではない ( 微分可能ではない ) まず つの実関数 u, v は f ( z) z ( ) ( + ) + + ( + i u + i f z z i i i v (10.3) より 実部と虚部を比較して (, ) u v を得ます コーシー リーマンの方程式は (, ) ( ) u v 満たす v(, ) ( (10.33) v(, ) ( v(, ) u (, ) 満たす u ( ) ( ) となり 両方満たされるので f ( z) z は コーシー リーマンの方程式を満たすので 微分可能とわかります ( ) ( ) f z zz z

8 8/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 同様に つの実関数 u, v は ( ) z ( + )( i i+ + ( )( i + (, ) + (, f z z i i i u iv (10.34) より 実部と虚部を比較して (, ) ( u + v, 0 を得ます コーシー リーマンの方程式は (, ) ( ) + u v 満たさない v(, ) ( 0) 0 (, ) ( 0) v 0 v(, ) u (, ) 満たさない u ( + ) となり 両方満たさないので f ( z) zz ( z ) は (10.35) コーシー リーマンの方程式を満たさないので 微分不可能とわかります