1999年度 センター試験・数学ⅡＢ

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1 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 問 ( 必答問題 ) [] 関数 y cos3x の周期のうち正で最小のものはアイウ 解答解説のページへ 0 x 360 のとき, 関数 y cos3x において, y となる x はエ個, y となる x はオ 個ある また, y sin x と y cos3x のグラフより, 方程式 sin x cos3x は 0 x 360のときカ個の解をもつことがわかる x x x x [] 実数 x に対して, y 53 3, z 53 3 とおくと y z z 0 となるのは キク 3 x ケ コ のときであり, y は x サ (log 3 ス log 3 セ ) シ のとき最小値ソ タチ をとる --

2 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 問 ( 必答問題 ) 解答解説のページへ 放物線 y x x を C とし, C 上に点 P(, ) をとる ただし, は 0<<を満たす定数とする () P におけるC の接線 l の方程式は, y ア ( イ - ウ ) x 原点 O における C の接線を l とすると, l と l との交点 Q の座標は オ, キ カ () 直線 x オ, l およびC で囲まれた図形の面積 S は カ エ S ク ケコ (3) 放物線 y px qx rをc とする C が 3 点 O, P, Q を通るとき, p サシ, q ス, r セとなる このとき C と C で囲まれた図形の面積 S は S タ したがって S チ S が成り立つ ソ --

3 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 3 問 ( 選択問題 ) 解答解説のページへ を正の実数とする 三角形 ABC の内部の点 P が 5PA PB PC 0を満たしているとする このときアウ AP AB AC イ エ が成り立つ 直線 AP と辺 BC との交点 D が辺 BC を : に内分するならば, オ とな カり, AP AD となる このとき, 点 P は線分 AD をケ : コに内キク 分する さらに, AB, BC 0, AC 6 ならば AB AC したがって サ AP シスセ ソタ となる -3-

4 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 4 問 ( 選択問題 ) 実数係数の方程式 3 x x bx c 0 が x を解にもつとする このとき c ア イ b ウ 解答解説のページへ であり 3 x x bx c ( x ) x ( エ ) x オ b カ となる の解を,, とし, 複素数平面において 3 点,, が正方形の異なる三つ の頂点になっているとする さらに, この正方形の一辺の長さが5 で,, の実 部が負であるならば,, はキク ケ i このとき コ, b サシ, c スセソ となる -4-

5 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 5 問 ( 選択問題 ) 解答解説のページへ 座標平面上に 9 個の点 P ( 0, ) P (, ) P 3 (, ) P 4 ( 0, ) P 5 (, ) P 6 (, ) P 7 ( 0, 0) P (, 0) P 9 (, 0) をとる 袋の中に P, P,, P9と書かれた 9 個の玉が入っている この袋から 個の玉を取り出すとき, 取り出した 個の玉に書かれている 点に対 し, その距離の 乗を X とする () X となる確率は ア イ () X 5となる確率は ウ エ (3) X となる確率は オ カキ (4) 確率変数 X はク通りの値をとり, その平均 ( 期待値 ) はケであり, 分散はコ -5-

6 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 6 問 ( 選択問題 ) 解答解説のページへ 整数 5 は次のように連続した二つ以上の正の整数の和として表すことができる より大きい整数 n について, これを連続した二つ以上の正の整数の和で表すこと ができるかどうかを調べるプログラムを次のように作った 0 INPUT n= ; N 0 FOR J= TO N- 30 W=0 40 FOR K=J TO N 50 PRINT K; 60 W=W+K 70 IF W>N THEN PRINT No : GOTO 00 0 IF W=N THEN PRINT Yes : GOTO NEXT K 00 NEXT J 0 END () このプログラムを実行し, n=? に対して 0 を入力すると, 新たに表示される最初 の 行は ア イ ウ エ Yes オカキク No となる () n=? に対して を入力すると, Yes がケ回, No がコサ回表示される (3) から 9 までの数を n として, このプログラムを実行する このとき, Yes が 回も表示されない n を小さい順に書くとシ, ス, セ -6-

7 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 第 問 [] y cos3x の周期は 右図より, 0 x 360のとき, y となる x は 0, 0, 40, 360の 4 個 また, y となる x は 60, 0, 300 の 3 個 さらに, y sin x と y cos3x のグラフは 共有点を 6 個もつので, 方程式 sin x cos3 x は 6 個の解をもつ y O - - 問題のページへ x 誘導に従ってグラフを書けば, 一目瞭然という問題です 空欄を埋めるのに, 計算はほとんど不要です --

8 第 問 [] x x まず, y z ( y z)( y z) x x x z 0 とすると, から, 5 ( 3 ) 0 3 x >0なので, 3 x 5 ここで, 相加平均と相乗平均の関係より, x x x x y センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 問題のページへ x 等号が成立するのは, x のとき, すなわち z 0 のとき より, x log 3 ( log3 log 3 5 ) 5 よって, x (log3 log 3 5) のとき, から y は最小値 0 をとる 相加平均と相乗平均の関係を用いて最小値を求めるという頻出タイプの問題です 上記の解もその方針で書きましたが, 出題者の意図どおり y 利用しても構いません z 40 という関係を --

9 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 第 問 問題のページへ () y x x より, y x y P における接線 l の方程式は, y ( )( x ) ( ) ( ) x Q P O における接線 l の方程式は, y x の交点は, ( ) x x, x 0 0 より x, から y より, Q, O x 3 () S x x x dx x dx ( ) (3) 放物線 y px qx rが 3 点 O( 0, 0 ), Q, ) を通るの で, r 0 3, p qr 4, pq r より, 0 なので, p q, q p 4 35より, 0 なので, p q よって, p p, 0 なので p q ( ) このとき, C : y x ( ) x S x x x x dx x x dx ( ) ( ) 0 ( ) 0 6 よって, S 4S 3 昨年度の第 問と比べると, 計算量が半分程度になっています テクニカルな式変形もまったく必要でなく, 平均点アップに大きく寄与した問題です -3-

10 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 第 3 問問題のページへ 5PA PB PC 0より, 5AP ( AB AP ) ( AC AP ) 0 ( 6) AP AB AC A AP AB AC 6 6 AD kap とおくと, AD k AB k P AC 6 6 BD : DC : より, k : k : B D C 6 6 よって, : : から すると, AP AB AC, AD k AB k AC となり, D が辺 BC 上にある ことより, k k, k よって, AD 4 AP, AP 9 AD 9 4 このとき, AP : PD : ( k ) 9 : 5 ここで, ABC に余弦定理を適用して, ( 0 ) ( ) ( 6 ) AB AC AB AC 6 0 また, AP AB AC 4 ( ) より, 64 6 AP AB AC AB AB AC AC ( ) 9 平面上のベクトルを題材とした頻出問題の一つです たとえ誘導がなくても, 解の方針に迷うことはありません -4-

11 第 4 問 3 x が x x bx c 0 の解なので, 4 b c 0, c 4 b 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説問題のページへ 3 このときの左辺は, x x bx c ( x ) x ( ) x b4, は x ( ) x b4 0 3の解なので, と は共役であり, 複 素数平面上で実軸対称となる 点,, が, 一辺の長さが 5 の正方形の頂点であり, しかも, の実部が負であるのは, 右図から, 35i ( 3 5i) ( 3 5i ) 6 ( 3 5i)( 35i ) 34 3から解と係数の関係より, ( ) 6, b 4 34 よって, 4, b より, c O -5 実数係数の整方程式が虚数解をもてば, それと共役な複素数も解となることを用いた問題です その事実を複素数平面で味付けしています -5-

12 第 5 問 異なる 9 個の玉から 個の玉を取り出す組合せ 9C 36 通りが同様に確からしいとする () X となるのは, PP, PP3, P4P5, P5P6, PP 7, PP 9, PP 4, PP 5, PP 3 6, PP 4 7, PP 5, PP 6 9 の 通りで, その確率は 36 3 () X 5 となるのは, PP 6, P3P4, P4P9, P6P7, PP, PP 7, PP 9, PP 3 の 通りで, その確率は センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 9 (3) X となるのは, PP 9, PP 3 7の 通りで, その確率は 36 問題のページへ (4) 同様に考えて, X となるのが 通り, X 4 となるのが 6 通りで, 以上合わせて 36 通りとなるので, 確率変数 X は X,, 4, 5, と 5 通りの値をとる このとき, X の期待値を E ( X ), 分散をV ( X ) とすると, E( X ) E( X ) V ( X ) E( X ) E( X ) 4 y O P P P3 P4 P5 P6 P7 P P9 x 総数が 36 通りしかないので, 丁寧に数えあげていけば, 数えもれは防げます また, 期待値や分散についても, 計算量はさほど多くありません -6-

13 99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 解答解説 第 6 問 問題のページへ () N 0 のとき, J 9, J K 0 で J, W, K の値の変化は次表のようになる J W K 出力 3 4 Yes No () N のとき, J 0 となり, これより, Yes が表示されるのは, J, 6, 0のときのみで 3 回, No が表示さ れるのは, 回となる (3) 奇数は連続 整数の和として表せるので, 偶数だけ ( n, 4, 6, ) を調べる この中で, n 6 のときは 6 3として連続 3 整数の和として表せるが, それ以外の数は連続する整数の和として表せない よって, Yes が 回も表示されないのは, n, 4, となる 昨年の追試ほどではありませんが, 4 題の選択題のなかではいちばん難しめです 数 ⅡB では数 ⅠA と異なり, コンピュータの問題を選択するには, それなりの覚悟が必要です -7-