2014年度 筑波大・理系数学

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1 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G の x 座標が正で, y 座標が負となるような点 P の範囲を図示せよ

2 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面上の曲線 C : y= xsinx+ cosx ( < x < ) に対して, 以下の問いに答えよ ただし < < 6 であることは証明なしで用いてよい () 曲線 C と x 軸の交点はただ つであることを示せ () 曲線 C と x 軸の交点を A (, ) とする > であることを示せ () 曲線 C, y 軸および直線 y = で囲まれる部分の面積を S とする また, xy 平 面の原点 O, 点 A および曲線 C 上の点 B (, ) を頂点とする三角形 OAB の 面積を T とする S < T であることを示せ

3 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 関数 f ( x) = e x を x > で考える y = f ( x ) のグラフの点 (, f ( )) における接線を l とし, l と y 軸との交点を (, Y( )) とする 以下の問いに答えよ ただし, 実数 k に対して lim k t te = であることは証明なしで用いてよい t () Y( ) がとりうる値の範囲を求めよ () < < である, に対して, l と l が x 軸上で交わるとき, のとりうる値の範囲を求め, を で表せ () () の, に対して, Z( ) = Y( ) Y( ) とおく を求めよ lim Z( ) および lim + + Z ( )

4 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 平面上の直線 l に同じ側で接する つの円 C, C があ C り, C と C も互いに外接している l, C, C で囲まれた領域内に, これら つと互いに接する円 C を作る 同 C 様に l, C n, C n + ( n =,,, ) で囲まれた領域内に C あり, これら つと互いに接する円をC n+ とする 円 Cn l A A A の半径を r n とし, x n = とおく このとき, 以下の問 rn いに答えよ ただし, r = 6, r = 9 とする () l が C, C, C と接する点を, それぞれ A, A, A とおく 線分 AA, AA, AAの長さおよび r の値を求めよ () ある定数, に対して x n + = x n + + x n ( n =,,, ) となることを示せ, の値も求めよ () () で求めた, に対して, 次方程式 t = t+ の解を, ( > ) とする x = c + d を満たす有理数 c, d の値を求めよ ただし, が無理数であるこ とは証明なしで用いてよい n+ n+ () () の c, d,, に対して, xn = c + d ( n =,,, ) となることを示し, 数列 { rn } の一般項を, を用いて表せ

5 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数を成分とする正方行列 æ ö A = ç çèc d ø, B = æ ç ö, çè ø E = æ ç ö çè ø について, 以下の問いに答えよ () AB = BA を満たす A は, 実数 x, y を用いて A = xb + ye と表せることを示せ () A = E のとき, ( t ) A = ( t + ) E を示せ ただし, t= + d, = d c とする () AB = BA かつ A = E を満たす A をすべて求めよ

6 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 6 解答解説のページへ y xy 平面上に楕円 C : x + = ( > ), および双曲線 C 9 があり, C と C は同一の焦点をもつとする またC と ( t > ) におけるC, C の接線をそれぞれ l, l とする : x y = ( > ) C の交点 P( + t, t ) () と の間に成り立つ関係式を求め, 点 P の座標を を用いて表せ () l と l が直交することを示せ () が > を満たしながら動くときの点 P の軌跡を図示せよ 6

7 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f ( x) = x x に対し, = f ( x) x となり, 点 (, t t t) における接線は, y ( t t) = (t )( x t), y = (t ) x t 点 P(, ) を通ることより, = (t ) t, t t + + = ここで, g( t) = t t + + とおくと, = = g ( t) 6t 6t 6 t( t ) となり, 条件より, t についての 次方程式 が, 異なる 実数解をもつことから, ¹, g() g ( ) = ( + )( + + ) < のもとで, の つの実数解が t =,, なので, + + =, + + =, = + () ABC の重心 G( x, y) とおくと, () より, x = ( + + ) = ( y = + + ) = {( )( ) ( )} { ( 9 ) + = } = 9 8 よって, G 9 (, ) となる 8 () 条件から, について, > かつ 9 < 8 となり, >, > 9 6 そこで, 6の共通部分を求めるために, + = と= 9 を連立して, 9 =, 9 = > より, = となる また, + + = と = 9 を連立し, 9 =, = O > より, = となる よって, 点 P(, ) の存在範囲は右図の網点部である ただし, 境界は含まない [ 解説 ] 領域の図示をテーマとした標準的な問題です ただ, 記述量は非常に多いため, 上の解答例では, 次曲線の概形については省いています 電送数学舎

8 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () C : y= xsin x+ cosx ( < x < ) に対して, y = sin x+ xcosxsin x = xcosx x すると, y の増減は右表のようになり, 曲線 C と x 軸は, < x < において, ただ つ y + y の交点をもつ () x = のとき, < < 6 から, y = = > = > よって, 曲線 C と x 軸の交点を A (, ) とすると, y > である B A () 曲線 C, y 軸および直線 y = で囲まれる網点部の O α x 面積 S は, S = ( ) ( xsinx+ cosx) dx ò = ( ) + [ xcosx ] cosxdx[ sinxx ] ò = ( ) + = また, 原点 O, 点 A および点 B (, ) を頂点とする OAB の面積 T は, T = ( ) すると, () より, > なので, = ( ) + ( ) T S > + = ( + ) + さらに, < < 6 から, T S> 6 6 ( + ) + = > よって, S < T である [ 解説 ] 微積分の基本問題です 評価式が複数ありますが, どれも見通しはよいものです 電送数学舎

9 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f ( x) = e x に対して, y e =e ( x ), l と y 軸との交点を (, Y( )) とすると, f ( x) =xe x となり, 点 (, f ( )) Y ( ) = e ( + ) e における接線 l は, y= e x+ ( + ) e (*) =( )( + ) e > において, Y( ) の増減は右表のようにな り, lim Y( ) = lim( + ) e = から, <Y( ) e () l と x 軸との交点は, (*) から, Y( ) = ( + ) e となり, = e x + ( + ) e となり, x = + = + 同様に, l と x 軸との交点は x = + となり, 条件より, + = + + =, ( ) ( ) = < < から, = すなわち = であり, < < となる () Z( ) = Y( ) Y( ) + のとき となり, = ( + ) e ( + ) e lim Z( ) + = = また, Z ( ) =( )( + ) e + ( )( + ) e d d すると, d = = から, d Z ( ) =( )( + ) e ( )( + ) e Z ( ) よって, =( )( + ) e ( )( + ) e から, Z ( ) lim = = + Y ( ) + Y( ) e [ 解説 ] 本問も計算量の多い問題です lim k t te = の適用については, やや雑な記述とな っています t 電送数学舎

10 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 右図より, となり, 同様に, r r r r A A = ( + ) ( ) = rr AA = rr, AA = rr ここで, AA = AA + AAより, rr = rr + rr r = 6, r = 9 なので, から, = r + r, r = よって, r =, AA =, AA 96 =, AA 7 = () と同様にして, rr n n+ = rr n n+ + rn+ rn+ 両辺を rr n n+ rn+ で割って, = + となり, x n = から, r r r r x = x + x n+ n+ n 7 n+ n+ n 条件より, xn+ = xn+ + xnなので, = = () 次方程式 t () ここで, = t+ の解を, ( > ) とすると, = +, = + から, c + ( ) d ( ) x c d = c(6+ ) + d(6 ) = + となり, A A A n = c, d が有理数, が無理数なので, 6c+ 6d=, c d= より, c= d= n+ n+ xn = + ( n =,,, ) となることを数学的帰納法で示す (i) n =, のとき n = のときは () より成立し, ( ) ( ) (+ ) + = + + = = 8 すると, x = r = より, n = のときも成立する (ii) n= k, k+ のとき k+ k+ xk = +, k+ k+ xk+ = + と仮定すると, より, xk+ = xk+ + x k+ k+ k+ k+ k = k+ k+ = ( + ) + ( + ) k+ k+ = + + k+ k+ = + k+ k+ = + l C C C 電送数学舎

11 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 よって, n= k+ のときも成立する (i)(ii) より, n+ n+ xn = + ( n =,,, ) さらに, x n = から, r n = = である n+ n+ r x ( + ) n n [ 解説 ] 有名な構図の問題で, 本年度は名大 理系で出題されています ただ, 筑波大では, 良くも悪くも, 誘導が丁寧です 電送数学舎

12 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ æ öæ ö æ öæ ö () AB = BA より, c d = c d となり, çè øèç ø èç øèç ø = + c, + = + d c d= + c, c+ d= + d より = c となり, このときは成立する より + = d 6となり, このときは =から成立する æ ö æ ö æ ö 6より, A = ( ) = + = B + ( ) E çè + ø çè ø çè ø よって, x =, y = とおくと, A = xb+ yeと表せる () ハミルトン ケーリーの定理より, A = ta Eとなり, A = ta A = t( ta E) A = ( t ) A t E () (i) すると, t A = E より, ( t ) A t E = E となり, = のとき () よりt + = となり, t= + d= 7, = d c = 8 6を代入すると, + = 9, 9より, + ( ) + ( ) =, =, ( t ) A = ( t + ) E t + = から, + + = + = となり, よって, (,, c, d ) = (,,, ) または (,,, ) (ii) t ¹ のとき () より A = t + E = ke(k は実数 ) t すると, A = E から, このとき, AB = BA は成立する (i)(ii) より, A = æ ç ö çè ø, æ ö ç, çè ø ke= Eとなり, k = すなわち A = E である æ ö ç çè ø [ 解説 ] 行列の演算についての典型題です 連立方程式をまとめていく力が問われています 6 電送数学舎

13 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 6 問題のページへ () 楕円 : x y C + = ( > ) の焦点の座標は( 9, ) であり, 9 双曲線 C 条件より, : x y = ( > ) の焦点の座標は( +, ) である 9 = + から, 9= +, また, C とC の第 象限の交点 P( s, t) は, より, s t + 9 =, s t = より, 9s + t = 9, æ 9 öæs ö æ9 ö =, çè øè çt ø èç ø = s t = となり, æ s ö æ öæ9 ö = çt 6 è ø èç 9 øè ç ø を代入すると, æ s ö æ 6 + ö æ = (9+ ) ö çt 6 + = è ø çè 9 6 ø 6 + ( ) çè9( )( ) ø æ ( ) ö æ = ö ( )( 9) = çè9( )( ) ø 9 çè9( ) ø これより, s =, t = となり, ( P, ) () P( s, t) におけるC の接線 l, C の接線 l の法線ベクトルを, それぞれ n, n とおくと, (, n = s t ), n = s (, t ) となり, () から, 9 n s t n = 9( ) = = 9 ( 9) 9( )( 9) よって, l と l は直交する () () より, これより, s 6 9 9, t = = 9 = = + s + t = また, > のとき, < s < (< s < ), < 6 < 9より, 9 9( ) y < t < 9 (< t < ) よって, 点 P( s, t) の軌跡は右図の実線部である O x [ 解説 ] 計算量は半端ではありません 特に () において, 行目の変形をしなかったときは, たいへんなことになります 7 電送数学舎