テレビ講座追加資料1105

Size: px

Start display at page:

Download "テレビ講座追加資料1105"

やすはるおえづか
5 years ago
Views:

1 数学類題にチャレンジ問題編類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目としますさらに, 頂点が線分上に重なるようにを折り目として折り曲げ, 頂点と線分が重なった点をとしますこのとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい

2 類題縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形を, 頂点が辺上にくるように, 点を通る折り目で折りますこのとき, 折り目の直線と辺との交点をとし, 点が移った点をとしますこのとき, 次の各問に答えなさい (1) とが相似であることを証明しなさい () =6cm のとき, 線分の長さを求めなさい

3 類題 3 下の図のように,=10cm で, 縦と横の辺の長さの比が 1: の長方形があります辺の中点をとり, 線分を折り目として長方形を折ったとき, 点が移った点をとし, の延長と辺との交点を G とします折った紙を元に戻し折り目の線分と線分 G,G を書きますこのとき, 次の各問に答えなさい (1) G G であることを証明しなさい G () G の面積を求めなさい

4 類題 4 下の図 1のような,=0cm で, 縦と横の長さの比が 1: の長方形の紙があります辺を 3 等分する点をに近い方から, とし, 辺を 3 等分する点をに近い方から R,S とします図のように, 線分 R,S を折り目として, 線分, がぴったり重なるように折って, 立体をつくりますこのとき, 次の各問に答えなさい図 1 図 R S (1) 図でつくられた立体の体積を求めなさい () 図において, 重なった線分, を離し, 右の図 3 図 3 のように改めて対角線を折り目として折り重ねたときの点の移った点を, 線分, の交点をとし, 線分,S の交点をとしますこのとき, 四角形の面積を求めなさい R S

5 数学類題にチャレンジ解法解答編類題 1 ポイント 1 図形を折り返すと, 等しい長さの線分や等しい大きさの角が移るポイント直角三角形の 3 辺の長さを数や文字で表し, 三平方の定理を用いて方程式をつくるポイント 3 3 辺の比が,1:: ポイント 4 相似な三角形の 3 辺の比は等しい解法 (1 ) ポイント 1 より, 線分, が移った線分が, なので,=,==8cm になるポイントより, で三平方の定理を用いて, + = + 4 = 8 = 4 3 である直角三角形の 3 つの内角は,30,60,90 であるよって, の 3 辺の比は 1:: 3 となり, ポイント 3 より,30,60,90 の直角三角形になるとにおいて = =90 1 = =90-30 =60 また, =60 より = =60 1, より, 組の角がそれぞれ等しいので ( はさみ込み型 ) ポイント 4 より, の 3 辺の比は 1:: 3 となるで,=8-=(8-4 3 ) cm :=:1 より =(8-4 3 )=( ) cm 答え ( ) cm ( ) の面積は, 1 で求められるので, 1 ( ) 8=( ) cm 答え ( ) cm

6 類題ポイント 1 図形を折り返すと, 等しい長さの線分や等しい大きさの角が移るポイント直角三角形に着目し, 三平方の定理を用いて辺の長さを求めるポイント 3 直角二等辺三角形の 3 辺の比は 1:1: である解法 (1) ポイント 1 よりが移った角がなので, 大きさはいずれも 90 また,, も 90 なので, ( 図中の ) を用いて, 角の大きさを図のように表すことができる解答例とにおいて, 仮定より, = =90 1 長方形を折っているので, =90 ここで, 点に集まる角の和より = また, の内角の和より, = ,3 より, = 4 1,4 より, 組の角がそれぞれ等しいので終 ( ) 長方形の辺の長さの比は :1 なので, 辺の長さは 6 =6 cm ポイント 1 より辺が移ったのが辺なので,=6 cm また, 辺が移 6-6(cm) ったのが辺なので, 辺の長さを求めればよいここで, ポイントよりに注目する辺の長さを x(cm) とおくと, 三平方の定理を用いて x +6 =(6 ) 6 cm これを解いて,x=6cm よって ==6cm なので, は直角二等辺三角形また, 6 cm x=6cm なので, も直角二等辺三角形次に, ポイント 3 よりの 3 辺の比を利用する =6 cm,=6cm なので,=6-6(cm) :=1: なので, 6cm =(6-6) =1-6 (cm) 答え 1-6 (cm)

7 類題 3 ポイント 1 図形を折り返すと, 等しい長さの線分や等しい大きさの角が移るポイント合同の証明の後の問題では, 対応する辺の長さや角の大きさが等しいことを利用するポイント 3 直角三角形に着目し, 三平方の定理を用いて辺の長さを求める解法 (1 ) G G を証明するためにはポイント 1 より折り返した図形の辺や角は等しいことと, さらに長方形の角の大きさがすべて 90 であることを利用する証明例 G と G において, 折っているので = 1 点は辺の中点なので,= 1,より = 3 長方形の角はすべて 90 なので = G=90 4 折っているので = =90 5 5より, G=180 - = =90 6 4,6より, G= G=90 7 共通なので G=G 8 3,7,8より, 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので, G G () 縦と横の長さの比が 1: で縦の長さが 10cm であるから, 横の長さは10 cm であるまた, 辺の中点がなので 1 ==10 = 5 cm である 5 cm ポイント 1 より,==10cm,== 5 cm, = =90 であるまた,G=xcm とおくと, ポイントより, G=G だから,G=xcm 10cm 5 cm 10cm xcm xcm G (10-x)cm よって,G=(10-x)cm と表すことができるここで, ポイント 3 より, 直角三角形 G に 10 cm 三平方の定理を用いて, ( 10 ) +(10-x) =(10+x) これを解いて,x=5 よって,G=10+5=15cm G の面積は,G 1 で求められるので, = cm である答え 75 cm

8 類題 4 ポイント 1 90,60,30 の直角三角形の 3 辺の比は,1:: であるポイント直角三角形の 3 辺の長さを, 数や文字で表し, 三平方の定理を用いて方程式をつくるポイント 3 相似な三角形 ( 砂時計型 ) を発見し, その相似比から辺の長さを求める解法 (1 ) できた立体は三角柱で, 底面は R=RS=S より正三角形 =0cm で,:=1: より,= 0 cm また, を 0 3 等分しているので, 正三角形 RS の 1 辺の長さは 3 cm () 30 ここで, 正三角形 RS の頂点から辺 RS に垂線 H を引くと, RH は 90,60,30 の直角三角形ポイント 1 より, その 3 辺の比は,1:: 3 したがって, 0 RH= 3 1 = 10 3 cm,h= = 3 cm, R 60 H S 0 RS= = 9 cm 00 よって, 求める立体の体積は, = 9 cm 3 答え cm 3 () 折り返しにより, = また, 平行線の錯角より, = よって, = だから, は = の二等辺三角形であるここで,==xcm とおくと, =(0 -x)cm と表せる ( はみ出し型 ) より ==xcm よって,=(0 -x)cm としてもよいまた,=0cm であることから, ポイントより, で三平 R S 方の定理を用いて, (0 -x) +0 =x 1 これを解いて,x=15 cm よって, の面積は15 0 =150 cm と分かる次に, ポイント 3 より, S で, その相似比は,:S=:1 だから,:S=: よって,=0 = cm また,= 0 = cm ゆえに, = = cm したがって, 求める四角形の面積は, = 9 9 cm 答え cm

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2 三角形四角形二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理二等辺三角形の底角は等しい定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は底辺を直角に2 等分する正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で同じ印をつけた辺や角が等しいときの大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)