1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 37 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は

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1 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は 素粒子を質量 とすると ì x : ( ct, x, y, z) :,,, ì c ct ç + y (, t) ç å x x x è = x ( ct x y z) c c è t - Ñ + y ( x, t) x ç è x y z Ü :,-, -,- :, -,-,- x ç x y z ç è ct Ñ = i + j + x y z である あるいは 素粒子の量子状態 y ( t ) ( x y z ) 或いは ( ) (7.) の従う量子力学の表式では 運動量ベクトル p : p, p, p p : p, p, p (7.) を用いた アインシュタインの関係式 : ( x y z ) 4 4 E = c p + c = c p + p + p + c (7.) の量子力学版 ( Hˆ - c pˆ ) y ( t ) = c 4 y ( t ) である あるいは ˆ ( ) = ( pˆ + ) y ( ) H y t c c 4 t (7.4) (7.5) である また 量子力学の運動方程式は ì ˆ H y ( t) = i y ( t) t ˆ y ( t) y ( t) ç Ñ y ( t) p = = ( Ñ) + + i i Ü = = i j x è x x y z で与えられる ( 問題 (7.4) と (7.6) から (7.) を導け ) 素粒子が決まったエネルギー E と運動量 ( ベクトル ) p を持つとすると ( ) y ( ) ì Hˆ y t = E t p ˆ y ( t) = p y ( t) (7.6) (7.7) として与えられる (7.5) に代入して ( ) = ( p + ) y ( ) E y t c c 4 t (7.8)

2 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) (7.) を導き そのエネルギーは 4 ì c p + c E = - c p + c 4 (7.9) で与えられる これより E < の素粒子が現れる ことがわかる エネルギーは定義により正 なので これは受け入れられない この困難を とり除くのが 場の理論で E < の素粒子は 場の理論で反物質を構成する反素粒子として 取り扱う可能性を開く つまり E > の反素粒子 ( 反物質 )= E < の素粒子 ( 物質 ) の関係を持つ 一方 ディラックは (7.) が時間について 階の微分方程式 ( および空間 :4 次元なので時間と 空間は同等に扱われる ) あり 相対論の関係式から導かれる素粒子場 : y ( x,t ) の従う方程式は時間 ( および空間 ) と考えた 現在では について (7.6) のような 階の微分方程式 ( ディラック方程式 ) であるべし スピン の素粒子 ( 未発見のヒッグス粒子 ) は クライン ゴルドン方程式 スピン / の素粒子 ( 電子など ) は ディラック (Dirac) 方程式 で記述される 素粒子の従う (7.4) は時間 空間について 階の微分方程式であるので このまま では ディラックの思い描く 階の微分方程式は導かれない 実数の演算のままでは 階の微分方程式から (7.5) を導くので 階の微分方程式を導くこと はできない つまり 通常は 階の微分方程式から (7.5) Hˆ y ( t) = ( c pˆ + c 4 ) y ( t) られ 因数分解 : ( Hˆ ( )) ( ) ( )( ) c c 4 y t Hˆ c c 4 Hˆ c c 4 - pˆ + = - pˆ + + p ˆ + (7.) より 正と負のエネルギーの素粒子 : ( ) ( ) 4 ( ) pˆ ( ) ( ) ì Hˆ y t = c + c y t = E y t Hˆ y t c c y t E y t 4 ( ) = - pˆ + ( ) = - ( ) が導かれる これを回避するには 単純に 完成平方化することを考え ( ) ( ) が得 (7.) 完全平方化 ì Hˆ t c ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ c ˆ 4 t 4 y = ± p + y H y t = c pˆ + c y t = h y t Ü hはを使わない未知の完全平方解 の未知の完全平方解 h がないかを考える もし 答えがあるとすれば (7.) h は cpˆ と c とで表される

3 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) はずであり 係数を a, b とすれば h = acpˆ + bc と表せるはずである ところで この式は (7.) ベクトル実数 h = ac pˆ + b c のようにベクトルと実数の足し算になっていて 数学として間 違い である 正しくするには. ベクトルを実数にする ベクトル ( ˆp ) から内積を作る もう一つのベクトルとし て係数 a をベクトル a : ( a x, a y, a z ) a pˆ Þ a pˆ = a pˆ + a pˆ + a pˆ 実数実数 h = ca pˆ + bc にする x x y y z z. 実数をベクトルにする 実数 ( bc Þ bc h もベクトル h になり にする トル h の内積 であるが ここでは が正解になり にして c ) の係数 b をベクトル b : ( b x, b y, b z ) にして トベク ルベク h = ac pˆ + b c なので (7.) の h もベク ベクルトトル 4 h h で置き換え ( pˆ ) ( ) ( ) 内積 h h ( ) c + c y t = h y t = y t ì 実数実数 h = ca pˆ + bc = c ( a ˆ ˆ ˆ x px + a y py + az pz ) + bc ˆ 4 H y ( t) = h y ( t) = ( c ˆ p + c ) y ( t) (7.4) と表せる Ⅱ. 次元ベクトルと行列表示による完全平方化 実数のままでは (7.4) に解 h はない そのため 実数 = 行列と考えれば 次には 実数 = 行列 行列と拡張できる (7.4) を行列の演算に拡張すると h も 行列であり ( ) ( ) ( 4 h µ I = ç Ü h y t E y t E c c ) = = p + (7.5) è になるような行列 h を求めることになる その結果 行列演算ができるために y ( t) も 行列

4 4/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) で与えられる事に注意する 一番簡単な解は h が単位行列 I に比例する場合で カッパ h = I = ç = ± E è ( ) (7.6) であり これは (7.) に当たり ( ) = ± pˆ + 4 y ( ) Hˆ y t c c t (7.7) を与える 次に の行列の場合を考える 行 列表記 カッパ h = a b ç A è c d = (7.8) とすると (7.5) より ( ( ) ) Hˆ y t = h y ( t) I y ( t) ( c ˆ + c 4 ) I y ( t) = c pˆ + c 4 = = p (7.9) が要請される ところで これから出す結果を見ると (7.9) は成立せずに ((7.49) 参照 ) 質量項の c 4 を無視する 或いは の素粒子を考える 時に限り成り立つ事が分かるので ( Hˆ y ( t) ) h y ( t) = I y ( t) = c ˆ I y ( t) (7.) = p (7.) を調べる ここで 以降では y ( t) を省略する ことにして (7.) を h = I = c p ˆ と表わす (7.8) を用いて A を求めるので (7.) ( ) h = A = I より a b a b ç c d ç c d è è ( ) A = = I (7.) を満たす A は a b a b ç I c d ç c d = è è (7.4) を満たす必要がある ¹ の場合は 4 4 行列になる

5 5/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 以上これより a b a b a + bc ab + bd ç ç = ç = ç è c d è c d èca + dc cb + d è (7.5) なので 4 つの条件として ì a + bc = ìab + bd 対角成分, 非対角成分 (7.6) cb + d = ca + dc を得る (7.6) から 以下のように 4 つの行列が求まり b= c= ì a b a = a= ç c a = ç ì a + bc = è è ìab + bd Þ A = Þ b= c= も自動的に満たされる (7.7) cb d + = ca + dc a b a = a=- ç = c -a ç è - è a= d ì a b bc= b= c= ç c a = ç a ì + bc = è è ìab + bd Þ A = Þ a= d も自動的に満たされる (7.8) cb + d = a b bc= b=- i, c= i i ca + dc - ç = c a ç è è i になる (7.7) の単位行列を除いた つの行列は パウリのスピン行列 : s, s, s 或いは s x, s y, s z (7.9) として知られていて ì s ( x ) = ç è -i s ( y ) = ç i è s ( z ) = ç - è と定義される これらの行列は (7.) の性質 : s s s s = I 以外に ìs s = - s s = is s s = - s s = is s s = - ss = is (7.) (7.) (7.) という性質を満たす事が知られている (7.) と (7.) は s, s, s の関係式を

6 6/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 交換関係 :[ A, B] = AB - BA 反交換関係 :{ A, B} = AB + BA に直すことができ (7.) は [ ] [ ] [ ] ì s, s s - s s s = is s, s s - s s s = is s, s s - ss s = is (7.) { } { } { } ì s, s s + s s s - ss s, s s + s s s - s s (7.4) s, s s + ss s - s s を得る また (7.) を (7.4) に合うように表示でき { s } { } { } ì, s s + ss = I s, s s + s s = I s, s s + s s = I と書き換えられる (7.4) と (7.4) は一つの式で表され (7.5) ì i = j i ¹ j { s i, s j} = diji Ü dij = ( i, j =,,) である 同様に (7.) は ( ) ( ) ( i j ) ( ) ( i j ) = ( ) ì i, j, =,, の順置換 : i j ë és i, s j û ù = iåe ijs Ü e ij = -,, =,, のつの添え字の入れ替え =,,,, のつ以上の添え字が等しい時 (7.6) (7.7) である ( 問題 (7.7) から (7.) を導け ) [ ] 角運動量の交換関係 :[ L L ], = i L と同じ é ù s, s = is から ê, = i ç ë s s ú û è s は なので s をスピン演算子といい i S i i = s = ( i,,) (7.8) と表す パウリのスピン行列と 次元ベクトルパウリのスピン行列は 種類あるので これをベクトルの つの成分と見なし e = e = e =, e = e = e = - 以外は

7 7/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ( ) A ( A A A ) s : s, s, s, :,, (7.9) とするとき 形式的に 次元ベクトル Ai ( i =,,) との内積を考えると A s = å Ais i i= (7.4) になる s, s, s は (7.) を満たすことを思いだし ç å i i i= ( A s ) = As = ( As + A s + A s )( As + A s + A s ) è = As As + A s As + A s As + As A s + A s A s + A s A s + As A s + A s A s + A s A s = A As s + A A s s + A As s Ü s s s s = I + A s As + As A s + A s As + As A s + A s A s + A s A s ( ) ( s ) ( s s s s ) = A + A + A + A A s s + s s Ü s s + s s = A + A + A = A + A A s + s s Ü s s + s s と計算できるので ( A s ) = A ( = A + A + A ) + A A + Ü s s + s s (7.4) (7.4) のように A + A + A の完全平方化 が導ける (7.) をもちいると -i A s = As + A s + A s = A ç + A ç + A è è i A A - ia = ç è A + ia -A ç è - (7.4) なので A A A - ia s = ç A + ia -A è (7.44) を得る これを直接計算すれば 簡単に (7.4): ( ) A s = A が得る ( 問題 (7.44) から

8 8/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ( ) A s = A を導け ) 逆に ( ) A s = A = A + A + A (7.45) から 出発して s, s, s の満たす条件を調べる事ができる つまり (7.4) より ( A s ) = ( As + A s + A s ) = A s s + A s s + A s s ( s s s s ) ( s s s s ) ( s s s s ) + A A + + A A + + A A + = A + A + A を要請すると (7.5) と (7.4) と同じ条件式 : s s s s = I s s + s s s + ss s + s s (7.46) (7.47) が得られる 勿論 具体的な 行 列の (7.) の時に満たされている 行 列のエネルギーと 行 列の素粒子 以上から (7.) Hˆ y ( t) c ˆ I y ( t) = p に適用するには A = cˆ p に対応し (7.48) ì ˆ ˆ ˆ c p = H Þ H = ± c pˆ + pˆ + pˆ ( s ) ˆ ˆ s = ( s s s ) c pˆ I = cpˆ = H Þ H = ± cpˆ ± c pˆ ˆ ˆ + p + p の 通りの解があることがわかる 実際には (7.49) は 行 列の解は y ( t ) に対して (7.49) ( ) = ˆ ( ) Þ ˆ ( ) = ± s ( ) pˆ p (7.5) c y t H y t H y t c y t として成立する 行 列の行列演算ができるために y ( t ) は 行 列 ( 成分列ベクトル ) になり y y Hˆ = ± cpˆ s ç y ç y と表される ( t) ( t) ( t) ( t) è è Ⅲ. 特殊相対論と素粒子 ( 復習 ) (7.5) (7.4) の場合は 素粒子の質量項 c がない時

9 9/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ˆ ( ) = pˆ I y ( ) H y t c t (7.5) の解が (7.5) で与えられた その原因は (7.4) で表されているように 次元ベクトルの大きさが 行 列の行列から計算できる 事であった 素粒子の質量項 c を取り入れると ˆ である ( ) ( ˆ + c ) y ( t) H t c 4 I y = p (7.5) ところで 素粒子は光速近くで飛行できる 4 元ベクト ルを用いた特殊相対論にあった表記が必要になる 特 殊相対論では 人の観測者が必要となり この場合 人は飛行する素粒子を観測する人 : E, p つまり ある速度 ( ベクトル )v で飛行する素粒子を観測している c v = p c E ( 問題 4 (7.54) を E = c p + c 4 と E = 人は素粒子と共に飛行しながら観測する人 : つまり 静止している素粒子を観測している ( (7.54) c - v v より導け v v c を導けばよい ) c E = c, p ) を考える 人が同じ素粒子を観測していること確認するには それぞれの観測データを比較 すれば良い 通常は 飛行する素粒子の観測でデータ ( E, p ) を 素粒子と共に飛行しながら観測する人 用データに変換した値 ( E, p ) と比較し 静止している素粒子の観測データ を行う この変換を という E = c, p= と一致すれば良い このとき 同じ素粒子を観測していることになる ローレンツ変換 v 速度で移動する観測者 静止している観測者 静止中 ( c, ) ( E, p) v v ここで 簡単のため x 軸正の方向に飛行する素粒子 ; p : ( p x,,) とすると エネルギー ( E ) と運動量 ( p ) には を用いて 運動量の次元をエネルギーに揃えた cp E - bcpx v E = b ç = - b è c (7.55)

10 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) cpx - b E v cp x = b = ç - b è c (7.56) の関係がある ここで v cp = c E x であるので 例えば (7.56) に代入して v - b cpx - b E p c x = = E - b - b (7.58) であるが b = v のことなので c p x (7.59) を得る 同様に (7.56) から E = c を得る ( 問題 5 (7.59) を (7.55) より導け ) 従って 比較すべきデータとして 飛行する素粒子を観測する人の観測データとしてローレンツ変換より E = c, p : (,,) (7.57) (7.6) 素粒子と共に飛行しながら観測する人の観測データは静止 ( p ) している素粒子 E = c, p : (,,) と一致することがわかる また (7.55) と (7.56) より v 速度で移動する観測者 静止している観測者 静止中 ( c,) ( E, px ) v v E,cp を用いて静止した素粒子を見ている人に換算したデータ (E,cp ) を教える E - c p = E - c p x x (7.6) が証明できる ( 問題 6 (7.6) を導け ) これは p Þ p + p + p = p として x x y z E - c p = E - c p に拡張される この結果から 観測する人に依らずに E c - p の値は一定で c 4 ( = E - c p ) ローレンツ不変量というになる ( 問題 7 E - c p = c 4 を導け ) このことにより 素粒子の質量は 観測者に依らない不変な値となる つまり E - c p = c が導かれた 4 (7.6) (7.6) (7.6) はローレンツ不変量なので 次の 4 次元ベクトル p

11 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ì E p : ç, px, py, pz è c Ü p E p : ç,- px, - py, - pz è c = p, p = - p, p = - p, p = - p を用いて 表す事ができ E ( ) - ( ) + ( ) + ( ) ì é ù c p c p p p ê ú - c p = ë û c ( p ) - c é( p ) + ( p ) + ( p ) ù ë û ( ) c p p p p p p p p = = c å と表される ここで p p p = å p p を 4 次元ベクトルの大きさ という (7.6) は (7.64) (7.65) E p = p p = - = c ç å ç è c p (7.66) è と表される 以上から (7.5) の Hˆ y ( t) ( c ˆ + c 4 ) I y ( t) = p は (7.64) に倣って ì ˆ H pˆ : ç, pˆ, ˆ, ˆ x py pz è c Ü pˆ = pˆ, pˆ = - pˆ, pˆ = - pˆ, pˆ = - pˆ Hˆ pˆ :, ˆ, ˆ, ˆ ç - px - py - pz è c を導入して (7.66) より 演算子表記 ( ˆp ) にして (7.67) を得る pˆ = pˆ pˆ = - = c ç = è c è Hˆ å ˆ ç p y ( t) y ( t) (7.68) Ⅳ.4 次元ベクトルと行列表示による完全平方化 次元ベクトルの場合 (7.) Hˆ y ( t) c ˆ I y ( t) = p に習って 次元ベクトルの ˆp を 4 次元ベクトルの pˆ = ç - pˆ ç c è è Hˆ ç

12 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) に拡張して ( ) = pˆ I y ( ) c y t t (7.69) を調べることになる そのため 次元ベクトルのs i : s, s, s の代わりに 4 元ベクトルの :,,, や :,,, とした ( ) ì :,,, :,,, を用いる ( ) ( ) は Ü =, = -, = -, = - (7.7) つの 次元ベクトル,, を用いて ( ) = ( ) = ( ) ( - ) = ( ) = ( ) :,,,,,,, :,,,,,,, (7.7) と表される 次元ベクトルの場合の ディラックのガンマ行列と 4 次元ベクトル ( s s s ) p = p + p + p = p + p + p (7.7) に対応して p E ( p p p ) = ç è c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p p p p ) ì p - é p + p + p ù ì ê ú p + p + p + p = ë û = ( p ) - é( p ) + ( p ) + ( p ) ù ë û (7.7) と表せると類推する 従って (7.4) と同じ計算をすれば 4 元ベクトルの行列 ( ) す条件として (7.47) に対応して の満た = I, = = = -I ì + = + = + = + = + = + (7.74) を得る ( 問題 8 (7.74) を導け ) ここで 次の計量テンソル( n ):

13 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ç - ì n = ( ) n ì =, = = = - = ç Þ Þ - ç - = ( ) = = = = - ç è - n, n ( これ以外は) (7.75) を用いると (7.74) は (7.6) に対応した関係式 { } { }, = n n, = n n I I Ü, n,,, (7.76) としてまとめる事ができる ( 問題 9 (7.76) を導け ) (7.76) を満たす を ディラックのガンマ行列という (7.76) を満たせば のように ( p ) - ( p ) + ( p ) + ( p ) = ( p + p + p + p ) ì é ù E ëê ûú ç - ( p + p + p ) = è c - é + + ù = ë û E ç è c - ( + + ) ( p ) ( p ) ( p ) ( p) ( p p p p ) p p p の完全平方化 が導ける 以上から (7.7) の p = c には ì p = c Þ c = ± p p I = p + p + p + p = c I Þ ci = ± p + p + p + p ( ) ( ) (7.77) の 通りの解があることがわかる 実際には (7.77) は 素粒子の状態 y ( t ) に対して ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p y t = c y t Þ p + p + p + p y t = ± c y t (7.78) 成り立つ関係式ある 行列演算ができるために y ( t ) は列ベクトルで表される Ⅴ. ディラック方程式 (7.4) に適用すると ì Hˆ pˆ : ç, pˆ ˆ ˆ, p, p ˆ ˆ H c è H - c pˆ = c ç ç - pˆ = c pˆ Ü ç c Hˆ èè pˆ :, ˆ ˆ ˆ ç - p, - p, - p è c

14 4/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) なので Hˆ pˆ I = ç - pˆ ˆ ˆ - p - p è c と表せる 従って (7.4) は なので ˆ c è ( ˆ H 4 H - c pˆ ) y ( t) = c pˆ y ( t) = c ç - pˆ ˆ ˆ - p y - p ( t) = c y ( t) Hˆ Hˆ ç - pˆ - pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ - p - c ç - p - p - p + c y è c è c と表せる つまり ì Hˆ ç - pˆ ˆ ˆ - p - p c y ( t) è c ( t) (7.79) (7.8) である この の内どちらをとっても同じ結果を表す事が後ほどわかるので 通常は Hˆ ç - pˆ ˆ ˆ - p - p - c y è c を用いる 4 次元ベクトル表記をすれば ç å pˆ - c y ( t) è ( t) (7.8) (7.8) を得る ( 問題 (7.8) を導け ) 従って 素粒子のエネルギーは (7.74) の = I を利用 して ( ) = ( pˆ + pˆ + pˆ + c) y ( ) Ĥ y t c t で決定でき シュレディンガー方程式 : H ˆ t ˆ ˆ ˆ ˆ t + + y = p y = p p p y t ( ) ( ) ( ) に代わる 階の微分方程式を与える (7.) に対応して (7.8) より得られる y (,t ) = y ( t ) (7.8) (7.84) x x の x ç å x = になるが は定数 ( の行列 ) なので è = 満たす方程式は i - c y (, t) ç - x = è = åi c y ( x, t) と整理でき

15 5/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ç åi - c y (, t) x x è = (7.85) を という ディラック方程式 このディラック方程式は形式的に ì Hˆ pˆ pˆ c i pˆ i i x = = i c t の置き換えで得ることができる それは å = pˆ i = - pˆ i + ˆ ˆ ˆ ˆ + + = - p - p - p pˆ = pˆ pˆ pˆ p pˆ i - ç - ç - ç c t è i x è i x è i x = i + i + i + i c t x x x = i ç = i ç è c t x x x è c t x x x (7.86) (7.87) ここで :,,,,,, ç = ç x è c t x x x è x x x x に注意して つまり c t x x x = x x x x = å x å ˆp = i å x の置き換えが成立し (7.8) が (7.85) に変更になる Ⅵ. クリフォード代数とディラックのガンマ行列 (7.88) (7.89) (7.9) (7.76) をみたすディラックの 行列は s, s, s を用いて作る事ができ

16 6/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) ディラックの 行列は 4 4 行列 で表される 一般に (7.76) をみたす行列のつくる代数を クリフォード代数 (Clifford alebra) という 行列は次のようなテンソル積によって作る事ができる つの もうつの つの積 ( とする) Äs Äs Ä i j Äs Äs Ä i j s Äs s Äs s Ä i i j j (7.9) である 例えば s -i Ä s Ä ç i = ç is è è -is (7.9) は 4 行 4 列の行列であり -i -is s Äs Ä s Äs Ä ç i Äç Ü s = i ç è è s è -i -is ç ç i -i ç - = ç s s Ä = ç i ç is ç ç i is è è (7.9) n n は 8 行 8 列の行列である (7.76): { } I { }, =,, = I Ü, n,,, を満たすデ n n ィラックの行列は (7.9) のタイプの 4 行 4 列の行列になる 標準的な行列 は ( ) I = ç è (7.94) として ( ) ì s ( ) I i I ( ) = = Ä s = = Ä s = Ü s ç ç I ç è -s è è s = Ä is = ç (,,) Ä is = Ü is = ç è -s è - s : (,, ) Þ = (, ) = Ä is = ç è -s (7.95) で与えられる ( 問題,,, の行列表記を導け ) また は ì = - = = - = - (, ) = - Þ = - (7.96) n n として 与えられる また { } I { }, =,, = I Ü, n,,, を満たすディラック n n

17 7/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) の行列として ( ) ( ) I = I Ä s = Ü s ç è I ç = ç ( =,,) s s - - ( ) è è - Ä i Ü i = ç も (7.95) と異なる表記として用いられる のみ異なっている それぞれに用途があり (7.95) は v c の光速近くで飛行する素粒子の記述 (7.97) は v c の場合に相対論の効果の記述 に用いられる (7.97) どんなガンマ行列の表記も (7.95) が (7.76) の反交換関係を満たさないといけない (7.95) が満たすす事は (7.76) を実際に計算すれば ( 4) ( 4) {, } = = I = I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) { } Þ = I I Äs s = I Ä I Þ, = I Ä I = I ( 4) ( 4) { } ( 4) { } I ( ), = = I = - I =,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) { } Þ s Äis is = I Äi I = - I Ä I Þ, = -I Ä I = -I ( ), = + = =,,,, ( ) = ss = is ì = I s Äsis Ä -s Þ Þ {, } Ä -s + s Ä s s s=-is ( ) I Ä is s Äs ( 4) {, } I {, } = + = ( ) ( ) ì s Äis is = is Äi I = -is Ä I ( ) ( ) Þ Þ {, } = -is ( ) ( ) Ä I + is Ä I s Äis is = - is Äi I = is Ä I ( ) 4 = + = I ( 4) {, } I ( ) ( ) ì s Äis is = is Äi I = -is Ä I Þ - s Ä is is = -is Äi I = is Ä I = + = ( ) ( ) Þ {, } = is ( ) ( ) Ä I + is I ( ) ( ) ì s Äis is = is Äi I = -is Ä I Þ ( ) s Äis is = - is Äi I = is Ä I のように証明できる ( 問題 (7.97) が満たす事を示せ 示せばよい ) Ä ( ) ( ) Þ {, } = -is I is I ( ) Ä + Ä (7.98) のみ違うので {, },{, } を