PowerPoint プレゼンテーション

Size: px

Start display at page:

Download "PowerPoint プレゼンテーション"

おさむらぶり
4 years ago
Views:

1 多倍長計算手法平成年度第四半期今回はパラメータの設定と精度に関してまとめて記述しましたループ積分と呼ばれる数値積分計算では質量の光子や質量が非常に小さい事はわかっているがその値は不明なニュートリノに対して赤外発散を防ぐため微小量を与えて計算していますこの設定する微少量の値により結果の精度及び反復に要する時間が大きく作用したり誤った値を得る事がありますここでは典型的なつのケースで説明します Ir o -vrt g lr

2 Ir o z z z tz dzdd I l l t t I t t の場合解析近似解 l l t t 最大相対誤差

3 l l 6 l l l l l i 6 される精度の結果が得られる事になります形式倍精度でぎりぎり要求このことから桁落ち等を工夫すればビットとすると有効ビットとすると式を整理するとを解けば良い事になりますこれからなりますで要求される精度の結果が得られる事にとなるが表現できればですからではに対しとしますとまた重みをとなりますの場合かかる重みはではとしますこれをよりが求まりますがとしますするととなりますいま要求される相対誤差をとするとはとなりますでの最小値はでは E d d E d d d d z z d o r 要求する精度の結果を得るのに必要な仮数部のビット数は以下の様にして推定できます

4 t します計算は iとして複素数計算として実行します結果の精度は解析近似式を複素数計算して得られたものと比較します式から虚数部分の値はに依存しない事がわかりますまた一般に演算に必要な精度はに依存します演算に必要な仮数部のビット数はlog 要求精度の進桁数例えば要求精度を進 6桁とするとlog 6 6となリます実数部の計算には倍精度演算が必要で虚数部の計算はに依存しないので倍精度演算でも可能ですまた iで計算すると虚数部の値は非常に収束性の良い列がえられますがの初期値の取り方によりつの異なる値が得られますの計算を行うと反復の最初の値をとします正しい値は事になってしまいます : : : の場合ですが結局倍精度演算が必要という i iとしたのは符号を合わせるためとしてをにしますと倍精度演算で十分な精度が得られますこのように計算の特徴に合わせて計算を行う必要があります程度

5 -vrt / / l : : 877 : の場合を考えます計算手法の検討のためになりますの値に依存しない事とではの場合この様に dd urio ltro oo 以降ページに <= の場合の実行結果を示しその後 = の解析式の導入方法を示します l 誤差も簡単に見積もれる事がわかりますとして計算すると演算量も削減され事を示していますの項がでて発散するように見えるがうまく切り抜けられるの解析式の検討で数学公式に出てくる式からは

6 S< の場合の結果 = - = E-6 = iz= ki= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= 6 rult= Q- :^{-}= 8 rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= 6 rult= Q- :^{-}= 8 rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= 6 rult= Q- :^{-}= 8 rult= Q- :^{-}= rult= Q-

7 S= の場合の結果 = E-6 = iz= ki= 9678Q- :^{-}= rult= Q- :^{-}= rult= 96786Q- :^{-}= 6 rult= 9678Q- :^{-}= 8 rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q- :^{-}= 6 rult= 9678Q- :^{-}= 8 rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q- :^{-}= 6 rult= 9678Q- :^{-}= 8 rult= 9678Q- :^{-}= rult= 9678Q-

8 l l l l l l l l l l l l l d d dd I I d I d d dd なら誤差解析近似解

9 d d d d d I lr g - の形の計算があるため桁落ちに注意が必要になります

10 ] [ ] [ 計算した方が精度演算量からみて良い事がわかります式の形から定義式どうり計算するより式を変形した形でよりならならよって以上からとおくと式を整理すると下記の様になります

11 性能モニターでの演算量 g lr 演算量 origi =8 8GFLOP =6 78GFLOP = TFLOP = 86PFLOP tu =8 689GFLOP =6 768GFLOP = 66TFLOP = PFLOP /66=9 演算量は式の変形のみで倍以上の差があります

12 計算する前にg lr で場合で発散は起きない事誤差はになる事を確認しましたがない g lr で以下の様に変わります I ddとなりますとすると I がない場合の式は SP SP この式からI これを倍精度 Qで- iの算法で計算した結果は下記のとうりで発散は起きていません = :

13 に値をいれると誤差がになる事が以下の結果でわかりました注 : : : : : : の許容値をで誤差に変化がないのはプログラムで相対誤差に設定している事によりますこのあと BG/Q で必要な分点数を定め計算は SR6/ で実行したものを採用していますこれは必要な分点数を求めるには演算量が多くなる事とこの計算は精度に鋭敏な事によります分点数 N= BG/Q ノード 87 秒分点数 N= SR6/ 8 ノード 886 秒演算量は分点数の乗に比例

14 積分計算は二重指数関数型積分で行い変数変換区間は [ ] で実施していますまた一般にこの種の積分はの形の式がでますので桁落ちを考慮して形式の倍精度を使用する必要がありますまた区間幅が結果の精度に影響しますので分点数を変化させ必要な分点数を BG/Q でもとめました λ= 結果分点数 rult= rult= rult= rult= rult= rult= rult= rult= rult=

15 SR6/ 8 ノードでいくつかの λ の値と λ= の場合の値は以下の様になっています 6 vlu vlu log Rult=66666

PowerPoint プレゼンテーション

PowerPoint プレゼンテーション多倍長精度演算の性能評価日時年月日 :3-: 場所工学院大学新宿校舎 8 階第 4 会議室高エネルギー加速器研究機構濱口信行 hgu@post.kek.jp // 第回多倍長精度計算フォーラム . はじめに計算センター => ユーザプログラムの実行効率は何 % ですよく出ています or 改善してください実行性能 = 演算量 / 実行時間実行効率 = 実行性能 / 理論性能ユーザ実行時間