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みがねすみい
4 years ago
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1 第 3 章フーリエ変換 3.1 フーリエ積分とフーリエ変換第章では周期を持つ関数のフーリエ級数について学びましたこの章では最初に周期を持つ関数のフーリエ級数を拡張し周期を持たない ( 一般的な ) 関数のフーリエ級数を導きましょう具体的には関数 f(x) を区間 L x L で考えこの L を限りなく大きくするというアプローチを取ります (L ) なおここで扱う関数 f(x) は (, ) で定義されていて f(x) dx M< を満足しているとします ( もちろん区分的に連続かつ区分的になめらかとします ) まず関数 f(x) を周期 L を持つ関数と考え区間 L x L でフーリエ級数展開すると関数 f(x) のフーリエ級数は a + X ³ a n cos n L x + b n sin n x L a k 1 L b k 1 L Z L L Z L L n1 f(t)cos k tdt (k, 1,, ) L f(t)sin k tdt (k 1,, 3, ) L となりますここで L を考えることにします lim a lim 1 L L L Z L L f(t) dt lim L f(x) dx M< に注意すれば Z 1 M f(t) dt lim L L L

2 54 第 3 章フーリエ変換となり a が得られますさらにとおき L ( ) を考えると L X lim a n cos n X µ Z 1 L L L x lim f(t)cos n L L n1 n1 L L tdt cos n L x Ã X Z! lim f(t)cosn t dt cos n x n1 X µµ Z 1 lim f(t)cosn t dt cos n x n1 µ Z 1 f(t)costdt cos x d ( 区分求積法 ) が得られます同様に X lim b n sin n X µ Z 1 L L L x lim L L n1 n1 L Ã X Z lim n1 X µµ 1 lim n1 µ Z 1 f(t)sin n L tdt sin n L x! f(t)sinn t dt sin n x f(t)sinn t dt sin n x f(t)sintdt sin x d ( 区分求積法 ) が得られますしたがって周期を持たない関数のフーリエ級数 ( フーリエ積分 ) は次の定理によって与えられます定理 3.1 関数 f(x) の ( 三角関数による ) フーリエ積分はであるただし A() 1 B() 1 A()cosx d + f(t)cost dt, とする 1 なお 1 式を関数 f(x) のフーリエ積分と呼ぶ B()sinx d 1 続けて 1 式を変形すると A()cosx + B()sinx 1 1 f(t)(cos t cos x +sint sin x) dt f(t)cos(x t)dt 1 A() と B() は周期を持つ関数をフーリエ級数展開した際に得られるフーリエ係数に相当します

3 3.1. フーリエ積分とフーリエ変換 55 よりとなりますさらにに注意すると 1 f(t)cos(x t)dtd cos θ cos( θ) eiθ + e iθ ( 与式 ) Z となりますここで 1 1 f(t) ei(x t) + e i(x t) f(t)e i(x t) dtd + 1 f(t)e i(x t)v dtdv + 1 dtd f(t)e i(x t) dtd f(t)e i(x t) dtd ( v とおき前項を変数変換 ) f(t)e i(x t) dtd ( v をとおき直す ) µ 1 e ix d F () 1 とおくと次の定理を得ます ( 三角関数によるフーリエ積分を指数関数で表現し直したもの ) 定理 3. 関数 f(x) の ( 指数関数による ) フーリエ積分はであるただし 1 F () 1 F ()e ix d 1 とするなお式を関数 f(x) のフーリエ変換 (Foie tansfom) と呼ぶまた 1 式と式の積分の形が対称的によく似ていていることと式では関数 f(x) を積分して関数 F () が得られるのに対して 1 式では関数 F () を積分して関数 f(x) が得られることから 1 式 ( フーリエ積分 ) を関数 f(x) の逆フーリエ変換または反転公式と呼びます 3 F () は周期を持つ関数を複素フーリエ級数展開した際に得られる複素フーリエ係数に相当します 3 下記のように式の変数 t を変数 x に書き換えると対称的によく似ていることがわかります F () 1 f(x)e ix dx 標準的な書き方

4 56 第 3 章フーリエ変換これまで見てきたようにフーリエ積分 ( 逆フーリエ変換 ) およびフーリエ変換の表記方法には三角関数による表現と指数関数による表現があります以後本テキストでは基本的に表現のシンプルな指数関数による表現で記述することにします ( 一般的な書籍も指数関数による表現が標準となっています ) ただし三角関数による表現の方がシンプルな場合は三角関数による表現で記述しますオイラーの公式 e iθ cosθ + i sin θ を使って互いに変換できるようにしておきましょう (p.15 参照 ) 例として区間 (, ) で定義された関数 (x<), f(x) 1 ( x 1), (x>1) のフーリエ変換を求めてみましょう定理より関数 f(x) のフーリエ変換 F () は F () 1 1 Z 1 1 e it dt i e it 1 i(e i 1) となりますここで関数 F () を調べるために三角関数による表現に直すと ( 与式 ) 1 i(cos( )+isin( ) 1) sin + icos 1 となりますを変数として関数 F () の実部 Re F () および虚部 Im F () のグラフを描くと図 3.1 のようになります Re F () ImF () 図 3.1: 関数 F () の実部および虚部のグラフ

5 3.1. フーリエ積分とフーリエ変換 57 また関数 F () を波として捉えると振幅の絶対値 F () はより F () µ sin + µ cos 1 sin +cos cos +1 cos cos 1 ³1 cos 1 sin F () sin となり偏角 θ は µ Áµ cos 1 sin tan θ ³ sin.³ sin cos tan ³ tan µ 1 cos 4 ( sin θ +cos θ 1) ( 半角の公式 ) Áµ sin ( 半角の公式 ) より区間 n <(n +1) (n, ±1, ±, ) において θ + n となります 4 を変数として関数 F () の振幅の絶対値 F () および偏角 θ のグラフを描くと図 3. のようになります F () θ 図 3.: 関数 F () の振幅および偏角のグラフこのような考察はフーリエ変換を用いて波を解析する上で非常に重要となりますこれからもここに描かれたグラフによく似たグラフがたくさん現れるので注目するようにしましょう 4 図 3. の偏角 θ のグラフの線はつながっていますが実際には点 n における θ の値はとなります

6 58 第 3 章フーリエ変換フーリエ級数の場合と同様に関数が偶関数の場合と奇関数の場合のフーリエ積分を求めると以下の系が得られます系 3.3 偶関数 f(x) のフーリエ積分はであるただし C() とするなお C() をフーリエ余弦変換と呼ぶ証明定理 3.1 よりフーリエ積分は µ Z 1 f(t)cost dt cos x d + C()cosx d f(t)cost dt µ Z 1 sin x d であるここで関数 f(x) が偶関数 (f( x) f(x)) であることに注意すると f(t)cost dt となる同様に Z Z Z Z f(t)cost dt + f( s)cos( s)( ds)+ f( s)cos( s) ds + f(s)coss ds + f(t)cost dt + f(t)cost dt f( s)sin( s)( ds)+ f( s)sin( s) ds + f(s)sins ds + f(t)cost dt ( t s とおき前項を変数変換 ) f(t)cost dt f(t)cost dt ( cos x は偶関数 ) ( t s とおき前項を変数変換 ) ( sin x は奇関数 )

7 となるしたがって ( 与式 ) 3.1. フーリエ積分とフーリエ変換 59 µ Ã f(t)cost dt cos x d! f(t)cost dt cos x d となるここでとおけばが得られ証明が完了する C() f(t)cost dt C()cosx d 系 3.4 奇関数 f(x) のフーリエ積分はであるただし S() とするなお S() をフーリエ正弦変換と呼ぶ S()sinx d 証明偶関数と同様に証明する定理 3.1 よりフーリエ積分は µ Z 1 µ Z 1 f(t)cost dt cos x d + sin x d であるここで関数 f(x) が奇関数 (f( x) f(x)) であることに注意すると f(t)cost dt Z Z f(t)cost dt + f( s)cos( s)( ds)+ f( s)cos( s) ds + f(s)coss ds + f(t)cost dt f(t)cost dt ( t s とおき前項を変数変換 ) f(t)cost dt f(t)cost dt ( cos x は偶関数 )

8 6 第 3 章フーリエ変換となる同様にとなるしたがって Z Z ( 与式 ) + f( s)sin( s)( ds)+ f( s)sin( s) ds + f(s)sins ds + µ Ã ( t s とおき前項を変数変換 ) ( sin x は奇関数 ) sin x d! sin x d となるここでとおけばが得られ証明が完了する S() S()sinx d また次のような系も得られます 5 系 3.5 (1) 関数 f(x) が偶関数ならば C() F () が成り立つ () 関数 f(x) が奇関数ならば S() if () が成り立つ 5 関数 F () を実部 (cos 波形 ) と虚部 (sin 波形 ) のベクトルで構成された波として捕らえれば F () に i を掛けることは各ベクトルの位相を [ad] だけ進ませることに他なりませんしたがって F () が実部のみからなるベクトルの場合はそれ自身が実軸への像となり C() に一致します一方 F () が虚部のみからなるベクトルの場合は位相を [ad] だけ進ませこれが実軸への像となり S() に一致します

9 3.1. フーリエ積分とフーリエ変換 61 証明 (1) を証明する F () 1 1 µz + 1 µz f( s)e i( s) ( ds)+ 1 µ f(s)e is ds + 1 µ f(t)e it dt + 1 f(t)(e it + e it ) dt ( t s とおき前項を変数変換 ) ( f( x) f(x)) f(t) eit + e it dt () を証明する F () 1 1 µz f(t)cost dt C() + C() F (). 1 µz f( s)e i( s) ( ds)+ 1 µ f(s)e is ds + 1 µ f(t)e it dt + 1 f(t)( e it + e it ) dt i ( t s とおき前項を変数変換 ) ( f( x) f(x)) f(t) eit e it i dt i i S() S() if ().

10 6 第 3 章フーリエ変換定理 3.1 系 3.3 系 3.4 をまとめると下表のようになりますフーリエ積分フーリエ変換関数 1 F ()e ix d F () 1 偶関数 C()cosx d C() f(t)cost dt 奇関数 S()sinx d S() 表 3.1: フーリエ積分 ( 逆フーリエ変換 ) とフーリエ変換

11 3.1. フーリエ積分とフーリエ変換 63 例題 1 区間 (, ) で定義された関数 1 ( x 1), f(x) ( x > 1) のフーリエ余弦変換を求めなさい解答例関数 f(x) のフーリエ余弦変換 C() は Z C() f(t)cost dt sin t 1 となる sin Z 1 1 cos t dt * 参考のため関数 C() の実部 Re C(), 虚部 Im C(), 振幅の絶対値 C(), 位相 θ のグラフをそれぞれ挙げておきます Re C() ImC() C() θ

12 64 第 3 章フーリエ変換例題区間 (, ) で定義された関数 (x 1), 1 ( 1 <x<), f(x) (x ), 1 ( <x<1), (x 1) のフーリエ正弦変換を求めなさい解答例関数 f(x) のフーリエ正弦変換 S() は Z S() cos t 1 となる Z 1 1 cos 1 sin t dt * 参考のため関数 S() の実部 Re S(), 虚部 Im S(), 振幅の絶対値 S(), 位相 θ のグラフをそれぞれ挙げておきます Re S() ImS() S() θ

13 3.1. フーリエ積分とフーリエ変換 65 例題 3 区間 (, ) で定義された関数 (x<), f(x) 1 ( x 3), (x>3) のフーリエ変換を求めなさい解答例関数 f(x) のフーリエ変換 F () はとなる F () 1 1 Z 3 1 e it dt 1 e it 3 1 i(e i3 e i ) i * 参考のため関数 F () の実部 Re F (), 虚部 Im F (), 振幅の絶対値 F (), 位相 θ のグラフをそれぞれ挙げておきます Re F () ImF () F () θ

14 66 第 3 章フーリエ変換 3. フーリエ積分の収束フーリエ積分の収束についてもフーリエ級数の収束と同様に次の定理が成り立ちます定理 3.6 関数 f(x) が区間 (, ) で区分的に連続かつ区分的になめらかでさらに f(x) dx M< を満たしているとき関数 f(x) のフーリエ積分はする f(x) が連続な点 x で f(x) に収束し f(x) が不連続な点 x で f(x +)+f(x ) に収束証明フーリエ級数の収束の場合とほとんど同じなので証明は省略します上の定理より次の系が直ちに得られます系 3.7 関数 f(x) のフーリエ変換を F () とすると等式 f(x +)+f(x ) 1 F ()e ix d が成り立つここで関数 f(x) をフーリエ変換 F () しさらに逆フーリエ変換することを考えてみましょう前節で挙げた例で試してみると関数 (x<), f(x) 1 ( x 1), (x>1) のフーリエ変換 F () はでしたから逆フーリエ変換 f(x) は 1 F () 1 i(e i 1) F ()e ix d 1 µ 1 i(e i 1) e ix d を解けばよいことがわかりますしかしながらこれを直接解くことは非常に困難ですところが定理 3.6 に注意すればフーリエ積分によって得られた f(x) は不連続な点以外では元の関

15 3.. フーリエ積分の収束 67 数 f(x) に一致することから不連続な点のみ系 3.7 を使って値を修正すれば逆フーリエ変換 f(x) を容易に得ることができます具体的には例の場合 (x<), 1 とすればよいことがわかります µ 1 i(e i 1) e ix d ³ f(x+)+f(x ) (x ), 1 ( <x<1), 1 (x 1), (x>1) 例題 1 区間 (, ) で定義された関数 1 ( x 1), f(x) ( x > 1) のフーリエ余弦変換を利用して定積分の値を求めなさい sin cos x 解答例関数 f(x) のフーリエ余弦変換 C() は Z C() f(t)cost dt sin t 1 d sin であるから逆フーリエ余弦変換 f(x) は Z C()cosx d Z 1 1 cos t dt sin cos x となるしたがって系 3.7 より以下のように定積分の値が求まる 1 ( x < 1), Z sin cos x 1 d ( x 1), ( x > 1). d

16 68 第 3 章フーリエ変換例題解答例次の方程式を満たす関数 f(x) を求めなさい 1 x ( x 1), f(x)cosxt dt (x>1). 関数 f(x) を偶関数と考えて Z (1 ) ( 1), C() f(t)cost dt (>1) とおく ( フーリエ余弦変換が与えられている ) このとき逆フーリエ余弦変換は C()cosx d Z 1 Ã! (1 ) cos x d Z 1 1 x (1 )cosx d Ã (1 ) µ + 1 x Z 1 cos x x 1 cos x x 1 sin x x sin x d 1 Z 1 ( 1) sin x x となるまた C() の不連続な全ての点で C() C( +)C( ) が成り立ち逆フーリエ余弦変換と求める関数 f(x) は一致するしたがってとなる f(x) 1 cos x x * フーリエ積分 ( 逆フーリエ変換 ) とフーリエ変換は対称的な式であることからフーリエ積分の収束と同様にフーリエ変換の収束について d! F ( +)+F ( ) 1 が成り立ちます ( もちろん同じ条件を与えた上で )

17 3.. フーリエ積分の収束 69 例題 3 等式 Z sin sin x 1 d sin x ( x ), ( x > ) が成り立つことを証明しなさい解答例奇関数 f(x) を sin x ( x ), f(x) ( x > ) とするこのとき関数 f(x) のフーリエ正弦変換は Z S() Z sin t sin t dt Z 1 (cos(t + t) cos(t t)) dt 1 Z 1 sin(1 + )t 1+. sin 1 (cos(1 + )t cos(1 )t) dt sin(1 )t 1 となるさらに関数 f(x) の逆フーリエ正弦変換を求めると S()sinx d Z Ã! sin 1 sin x d sin sin x 1 d となるまた f(x) の不連続な全ての点 x で f(x) f(x +)f(x ) が成り立ち逆フーリエ正弦変換と元の関数 f(x) は一致するゆえに等式 Z sin sin x sin x ( x ), 1 d ( x > ) が成り立つ

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DVIOUT 3 第 2 章フーリエ級数 23 フーリエ級数展開これまで関数 f(x) のフーリエ級数展開に関して関数の定義区間やフーリエ級数の積分区間を断りなく [, ] に取ってきましたこれはフーリエ級数を構成する三角関数が基本周期 2 を持つためですすなわちフーリエ級数の各項 cos nx および sin nx (n =1, 2, 3, 4, ) の周期はそれぞれ 2, 2 2, 2 3,