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1 06 年 8 月 日 ( 月 )-6 日 ( 金 ) 千葉大学総合校舎 号館 4 階情報演習室 宇宙磁気流体 プラズマシミュレーションサマースクール 差分法の基礎 三好隆博 広島大学大学院理学研究科

2 時限目の目標 線形移流方程式 コンピュータ を計算機で解く!

3 内容 はじめに 差分法 移流方程式の差分法 高次精度風上差分法

4 はじめに

5 はじめに 微分方程式 未知関数とその導関数を含む方程式 自然現象などを記述する基礎方程式 d r m d, F r,, V RI I LI, X, X, Ψ Ψ m V r di dx d d Ψ, 0 p db d,,

6 はじめに 物理によくでる偏微分方程式 0 F y E D y C y B A 0 4 y AC B 楕円型 : ( ポアソン方程式 ) 0 4 AC B 放物型 : ( 拡散方程式 ) 0 4 a AC B 双曲型 : ( 波動方程式 )

7 はじめに 双曲型方程式 線形移流方程式 非粘性 Brgers 方程式 Mawell 方程式 Eler 方程式 理想 MHD 方程式 微分方程式を計算機で解きたい!

8 はじめに 微分方程式の世界 無限と連続の世界 計算機の世界 有限の 0 と の世界 連続場の離散化 空間 : 0,, 時間 : 0,, 実数値 : 0., 0., program ma mplc oe real(8) :: a a = 0. ; wre(*,*) a a = 0.d0; wre(*,*) a ed program ma 0 0 c c $./a.o

9 はじめに 座標および変数の離散表記法 y, y,,, j j y j j j, j j j j y, j, j, j, j

10 はじめに 時間 空間座標および変数の離散表記法,,,,,,,,

11 差分法

12 差分法 微分法 差分法 lm 0 ただし y y 前進差分という以上

13 差分法 前進差分の誤差! O! O 誤差が Δ の 次に比例 Taylor 展開

14 差分法 中心差分 !! 3!! ! O 誤差が Δ の 次に比例

15 差分法 階差分法のまとめ ( 次後退差分 ) ( 次前進差分 ) ( 次中心差分 ) ( 次後退差分 ) (4 次中心差分 )

16 差分法 二階中心差分 !! 3!! 4 O 誤差が Δ の 次に比例 / /

17 log 0 (0)- 0 差分法 誤差の比較 e 3e log 0 Δ

18 移流方程式の 差分法

19 移流方程式の差分法 線形移流方程式 a 0, a cos. 0 ここで a d d とすると d d d d 0, d d d d d d a に沿って d 0

20 移流方程式の差分法 線形移流方程式 d d a : 特性曲線 a, a,0

21 移流方程式の差分法 FTCS(Forward-Tme Ceered-Space) 法 時間微分 : 前進差分 空間微分 : 中心差分 0.5 振幅が単調に増大! a 0 a : Cora 数

22 移流方程式の差分法 vo Nema の安定性解析 厳密解の時間発展 I e I : 虚数単位 : 波数 e I e I,

23 移流方程式の差分法 vo Nema の安定性解析 厳密解の時間発展 I e e I g e I e I : I ge 虚数単位, I : g : 増幅率 波数 g g e g eac I e, I eac

24 移流方程式の差分法 vo Nema の安定性解析 FTCS 法 無条件不安定 s a, s s g g I s I I I I I e e e e ge I

25 移流方程式の差分法 La 法 (La-Fredrchs 法 ) 0 a

26 移流方程式の差分法 La-Wedro 法 次中心差分 次後退差分 : Warmg-Beam 法 3 O a a, a a 3 O 3, O a a

27 移流方程式の差分法 風上差分法 0, 0 a a 0, 0 a a

28 移流方程式の差分法 vo Nemaの安定性解析 La 法 g cos La-Wedro 法 g 風上差分法 g s 条件付き安定, a a s cos s, a cos cos, a a s cos

29 移流方程式の差分法 vo Nema の安定性解析 FTCS 法 g 増幅率 La 法 g eac 位相誤差 eac La- Wedro 法 g 風上差分法 g eac eac

30 移流方程式の差分法 CFL(Cora-Fredrchs-Lewy) 条件 a a a a 差分法は因果律と整合 差分法は因果律を破綻 数値的不安定 発散

31 移流方程式の差分法 数値実験 (cos 関数 ) 0.5 FTCS 法 La 法 La-Wedro 法 風上差分法

32 移流方程式の差分法 FTCS 法 La 法 風上差分法 La-Wedro 法 j > 時間 次 空間 次時間 次 空間 次時間 次 空間 次時間 次 空間 次 > 数値拡散項

33 移流方程式の差分法 数値実験 ( 階段関数 ) 0.5 FTCS 法 La 法 La-Wedro 法 風上差分法

34 ちょっとまとめ 線形移流方程式に対する様々な差分法を導出した FTCS 法 La 法 La-Wedro 法 風上差分法など 各差分法にvo Nemaの安定性解析を行った CFL 条件による条件付き安定 ただし FTCS 法は絶対不安定 数値実験の結果から

35 ちょっとまとめ La-Wedro 法 風上差分法 いいとこ取りしたい

36 高次精度 風上差分法

37 log 0 y-y 高次精度風上差分法 高次精度差分法へのいざない ( 例 ) 常微分方程式の誤差評価 h h 4 h log 0 h

38 高次精度風上差分法 保存型差分法 ( 有限体積法 ) / / / / 0, d d a 0 3/ / / 3/ 0 / / / 0 / / / / : 数値流束

39 高次精度風上差分法 FTCS 法 La 法 風上差分法 La-Wedro 法 j

40 高次精度風上差分法 保存型 FTCS 法 保存型 La 法 保存型風上差分法 保存型 La-Wedro 法 a / / /, a a / / /, a a / / /, a a / / /,

41 高次精度風上差分法 Godov の定理 [959] 移流方程式 + a = 0 に対する 次またはそれ以上の高次精度のどのような線形スキームも解の単調性を維持できない 線形スキーム 単調性を維持するためには全ての係数が非負 単調スキーム = 次精度 の風上差分法 : cos. k k k k c c k k k k k k k k k k c c c

42 高次精度風上差分法 風上差分法 単調性を維持する線形スキーム ( 単調スキーム ) / a La-Wedro 法 空間 3 点 時間 点で最も高次な線形スキーム / a 非線形スキーム 風上差分法とLa-Wedro 法を非線形結合 / a / / : 流束制限関数

43 高次精度風上差分法 全変動 (Toal Varao) TV d + = 0 の物理的な解の全変動は増加しない 離散系における全変動 [Hare, 983] TV TV + TV (TVD 条件 ) を満足するスキーム TVD スキーム

44 高次精度風上差分法 r r / /, / / に代入 or 0 0 a

45 高次精度風上差分法 / 0 / r / / r ここで十分条件について考えると 0 ν なので / / r で これは 以下が満たされれば自動的に満足 / 0 /, 0 r

46 高次精度風上差分法 / 0 /, 0 r / Warmg-Beam ( 風上版 La-Wedro) La-Wedro r 0 / 0 単調性を維持 r

47 高次精度風上差分法 / 0 /, 0 r / sperbee lmer 次精度 mmod lmer r 0 / 0 r

48 高次精度風上差分法 流束制限関数の例 mmod lmer: sperbee lmer: r ma0,m,r r ma0,m r,,m r, Kore lmer (3 次精度 ): r ma0,m r, r 3, va Leer lmer: r r r r

49 高次精度風上差分法 MUSCL Moooc Upwsream-ceered Schemes or Coservao Laws [va Leer, 979] 制限関数付き高次変数補間を用いた有限体積法

50 高次精度風上差分法 次精度風上差分法 / / 3/ 3/ / / 3/ 5/ a a /

51 高次精度風上差分法 次精度風上差分法 L / R / L / R / L 3/ R 3/ / / 3/ 3/ / / 3/ 5/ a a L R R L / / / / /

52 高次精度風上差分法 MUSCL L / L / R / R / L 3/ R L / / R 3/ 制限関数によって TVD 条件を満足 / / 3/ 3/ / / 3/ 5/ a a L R R L / / / / /

53 高次精度風上差分法 MUSCL 3 O O のまわりで Taylor 展開 O

54 高次精度風上差分法 MUSCL 4 4 / / O d / / で積分 / / O d / / O d もう時間方向の はやめますね

55 高次精度風上差分法 MUSCL 3 O 3 / / O L 3 / / O R

56 高次精度風上差分法 MUSCL L / 4 3 : 3 次精度 O 以下を用いると あとちょっと R / 4 O

57 高次精度風上差分法 MUSCL L / R / : 次の完全風上差分 : 次の風上バイアス差分 : 3 次の風上バイアス差分 : 隣接セル値の代数平均

58 高次精度風上差分法 MUSCL L / 4 4 / 4 4 R / L R / 4 4 3

59 高次精度風上差分法 MUSCL L r r / 4 4 / 4 4 R r r r r :( 流束 ) 制限関数 r r r の場合 R L r r / /,

60 高次精度風上差分法 数値実験 (cos 関数 ) 0.5 風上差分法 MUSCL (mmod) MUSCL (va Leer) MUSCL (Kore)

61 高次精度風上差分法 数値実験 ( 階段関数 ) 0.5 風上差分法 MUSCL (mmod) MUSCL (va Leer) MUSCL (Kore)

62 高次精度風上差分法 WENO スキーム Weghed Esseally No-Oscllaory scheme [Jag+, 996] ENOでは滑らかさを指標にして補間関数を選択 TVB(Toal Varao Boded) TV B WENO は ENO の重み付き平均で高次精度化 ここでは結果だけ

63 高次精度風上差分法 数値実験 (cos 関数 ) 0.5 風上差分法 MUSCL (Kore) 3rd-order WENO 5h-order WENO

64 高次精度風上差分法 数値実験 ( 階段関数 ) 0.5 風上差分法 MUSCL (Kore) 3rd-order WENO 5h-order WENO

65 まとめ 重要なキーワード幾つおぼえてますか? 風上差分法 CFL 条件 / Cora 数 vo Nemaの安定性解析 Godovの定理 TVD / MUSCL / WENO 後半は難しい上に 駆け足になったはずです ( 予想 ) 大丈夫 大事なことは 時限目にもう一度いいます 大丈夫 簑島先生がしっかりと教えてくれます

66 おしまい お疲れ様でした