2017年度 神戸大・理系数学

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1 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ を自然数とする f ( si + とおく < < 4 であることを用い て, 以下の問いに答えよ ( < < のとき, f ( < であることを示せ ( 方程式 f ( は < < の範囲に解をただ つもつことを示せ ( ( における解を とする lim であることを示し, lim を求めよ

2 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ を自然数とする 以下の問いに答えよ ( 実数 に対して, 次の等式が成り立つことを示せ ( ( + + ( + ( 次の等式を満たす S の値を求めよ ( 不等式めよ ( ( ( + S ( + ( + d d が成り立つことを示し, + + ( ( を求

3 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ 辺の長さが a の正四面体 OABC がある 図 O のように, 辺 OA 上の点 A, 辺 OB 上の点 B, 辺 OC 上の点 C から平面 ABC に下ろした垂線をそ A C れぞれ A A, BB, CC としたとき, 三角柱 B ABCABC は正三角柱になるとする ただし, A C ここでは底面が正三角形であり, 側面が正方形であ A C H る三角柱を正三角柱とよぶことにする 同様に, 点 B B A, B, C, A, B, C, を次のように定める 正四面体 OABCにおいて, 辺 OA 上の点 A +, 辺 OB 上の点 B +, 辺 OC 上の点 C + した垂線をそれぞれ A+ A +, B+ B +, C+ C+ から平面 ABC に下ろ としたとき, 三角柱 A+ B+ C+ A + B + C + は正三角柱になるとする 辺 A B の長さを a とし, 正 三角柱 ABCABC の体積をV とするとき, 以下の問いに答えよ ( 点 O から平面 ABC に下ろした垂線を OH とし, OAH とするとき, os と si の値を求めよ ( a を a を用いて表せ ( V を a を用いて表し, V を求めよ

4 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 4 解答解説のページへ v (,,, v (,,, v (,,, v 4 (,, とする 座標空間内の動点 P が原点 O から出発し, 正四面体のサイコロ (,,, 4 の目がそれぞれ確率 4 で出る をふるごとに, 出た目が (,,, 4 のときはv だけ移動する すなわち, サイコロを 回ふった後の動点 P の位置を P として, サイコロ を ( + 回目にふって出た目が ならば, PP + v である ただし, P Oであ る 以下の問いに答えよ ( 点 P が 軸上にある確率を求めよ ( PP ^ PP 4 となる確率を求めよ ( 4 点 P, P, P, P が同一平面上にある確率を求めよ (4 を 6 以下の自然数とする P Oとなる確率を求めよ 4

5 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 5 解答解説のページへ r,, は正の定数とする 座標平面上の動点 P は時刻 t のとき原点にあり, 毎 秒 の速さで 軸上を正の方向へ動いているとする また, 動点 Q は時刻 t のとき点 (, r にあるとする 点 P から見て, 動点 Q が点 P を中心とする半径 r の円 周上を毎秒 ラジアンの割合で反時計回りに回転しているとき, 以下の問いに答えよ ( 時刻 t における動点 Q の座標 ( ( t, y( t を求めよ ( 動点 Q の描く曲線が交差しない, すなわち, t ¹ t ならば ( ( t, y( t ¹ ( ( t, y( t であるための必要十分条件を r,, を用いて与え よ 5

6 7 神戸大学 ( 理系 前期日程解答解説 問題のページへ ( を自然数とし, f ( si + に対して, < < のとき, f ( os +, f ( si +, f ( os+ すると, os となる ( < < が ただ つ存在し, このとき f ( の増減は右 f ( + 表のようになる f ( ここで, f ( < であり, ( f + + ( + < よって, < < のとき, f ( < である ( ( より, < < において f ( は単調減少となり, f ( >, f ( + すると, ( f となる ( ただ つ存在し, このとき f ( の増減は右表 のようになる ここで, f ( から f ( > であり, ( + ( + < < < が f + + { (8 7} < すると, < < の範囲に f ( となる がただ つ存在する ( f ( ( < < より, si + となり, si si +, + ここで, < si <, よって, < < より, のとき si, 8 lim から lim である si また, + となり, lim から, lim + f ( + f ( [ 解説 ] 微分と増減に極限が融合した典型題です なお, スペースの関係上, < < 4 を利用した部分については省いています 電送数学舎 7

7 7 神戸大学 ( 理系 前期日程解答解説 問題のページへ + + ( + ( ( ( ( ( より, ( + ( + ( ( ( ( の両辺を から まで積分すると, ここで, ( + ( ( + + d d d ( + ( ( + d ( となり, d + + d d + é log( ù ê + + ë úû log + ( ( d d ( + ( d d ( é ù ( ( + êë úû + ( ( ( + より, + log + ( d となり, + ( ( ( + ( + ( + ( + ( + d d é ù ê ë + ú û S ( において, + より, + ( + ( + d d log + log + ( + + すると, ( d + + ( + ( + ( d, ( d + + ここで, ( から, + から, のとき, + ( ( ( + log + + ( + d なので, ( ( ( + log + lim ( + + d log + [ 解説 ] 定積分と無限級数の融合問題です 細かく誘導がつけられているので, 方針に迷うことはないでしょう 電送数学舎 7

8 7 神戸大学 ( 理系 前期日程解答解説 問題のページへ ( 辺の長さが a の正四面体 OABC に対して, 辺 BC O の中点を M とし, 点 O, A, M を含む平面で切断する すると, 点 O から平面 ABC に下ろした垂線 OH はこの A 断面上にあり, 図示すると右図のようになる さて, 点 H は正三角形 ABC の重心となるので, θ AH A AM a a A ここで, OAH とすると, OA aより, AH os, si 6 OA H M ( 正四面体 OABCに対して OA A B a となり, 正三角柱 ABCABC に 対して AA AB a である a すると, AA OA OA a aとなり, si a a より, ( から, a 6 a a, a 6( a a, (+ 6 a 6a よって, 6 6( 6 a a a ( 6a である ( ( と同様にして, a+ ( 6 aとなり, a a( 6 これより, 正三角柱 ABCABC の体積 V は, V ( a si a a ( すると, < ( 6 < より, V ( 6 4 ( 6 a ( 6 (5+ 6 a 8(54 a ( ( a ( 6 a 8 ( 6 8(5 6 a a 8 [ 解説 ] 図形と無限級数の問題です ( はいろいろな方法が考えられますが, ( の結果を利用すると, 解答例のようになるでしょう なお, ( は数値計算がやや面倒です 電送数学舎 7

9 7 神戸大学 ( 理系 前期日程解答解説 4 問題のページへ ( 正四面体のサイコロを 回ふったとき, 回目, 回目に出た目を, それぞれ a, b とする v (,,, v (,,, v (,,, v 4 (,, に対して, P Oから v + v である OP a b このとき, 点 P が 軸上にあるのは, ( a, b (,, (,, (, 4, (4, のときであり, その確率は ( 4 となる 4 4 ( ( と同様に, 点 P が y 軸上にあるのは, ( a, b (,, (,, (, 4, (4, のときであり, その確率は 4 である また, 点 P が z 軸上にあるのは, ( a, b (, 4, (4,, (,, (, のと きであり, その確率は 4 である さらに, ( a, b (, では P (,,, ( a, b (, では P(,,, ( a, b (, では P (,,, ( a, b (4, 4 では P (,, となる さて, サイコロを 4 回ふったとき, 回目, 回目, 回目, 4 回目に出た目を, それ ぞれ a, b,, d とすると, PP va + vb, PP 4 v + vd となる すると, PP 4 v + vd についても PP va + vb と同様に考えることができるの で, PP ^ PP 4 となるのは, 次の場合である (a PP が 軸に平行で, PP 4 が y 軸に平行または z 軸に平行なとき (b PP が y 軸に平行で, PP 4 が 軸に平行または z 軸に平行なとき ( PP が z 軸に平行で, PP 4 が 軸に平行または y 軸に平行なときその確率は, ( + + ( + + ( + である ( ( と同様に設定すると, PP va, PP vb, PP v となる これより, 4 点 P, P, P, P が同一平面上にある条件は, v a, v b, v が同一平 面上のベクトルであることになる ここで, v a, v b, v が同一平面上にないときを考えると, v, v, v, v 4 から異なる 個のベクトルを選ぶとして, その確率は 4 C! である 4 8 よって, 4 点 P, P, P, P が同一平面上にある確率は, 5 となる 8 8 (4 サイコロを 回 ( 6 ふったとき,,,, 4 の目がそれぞれ r 回, s 回, t 回, u 回だけ出て, P O になったとすると, r+ s+ t+ u, rv + sv + tv + uv4 より, r+ st u, r s+ t u, rs t+ u なので, r s t u 4 電送数学舎 7

10 7 神戸大学 ( 理系 前期日程解答解説 をに代入すると 4r となり, が 4 の倍数のとき, すなわち 4 のときのみ P Oとなる そこで, P4 Oについては r s t u から, その確率は, ( 4 4! 4 また, ¹ 4 のときは, P O となる場合はない 以上より, P O となる確率は, 4 のとき, ¹ 4 のとき である [ 解説 ] 確率に空間ベクトルが融合した記述しにくい問題です ( では, 余事象を利用して 次独立な つのベクトルを選ぶ確率をもとに計算しましたが, 場合分けをして直接的に求めても構いません なお, 理系のみの設問 (4 については, ( までの流れでは記述量が多くなりすぎるため, 設定を変更しています 5 電送数学舎 7

11 7 神戸大学 ( 理系 前期日程解答解説 5 問題のページへ ( 正の定数 r,, に対し, 条件より, 時刻 t において, y r P( t, となるので, OQ OP + PQ P ( t, r( os ( t, si O + + ( + t t Q r ( t, + r(si t, os t ここで, Q( ( t, y( t とおくと, ( t t+ rsit, y( t rost ( ( より, ( t rost r( ost + +, y ( t r sit r (i ( r のとき r つねに ( t となり, ( t は単調に増加する これより, 動点 Q の描く曲線 は交差しない (ii < < ( < r のとき r osu ( u< の解を u, r これをもとに, t におけ る ( t, y( t の値 の変化をまとめると右表になる なお, (, ( の値は, それぞれ t (, とおいている そこで, 動点 Q の描く曲線の概形を図示すると, 右図のようになり, このとき曲線は交差する (i(ii より, 動点 Q の描く曲線が交差しない条件は, r < < < < と設定する ( t + + ( t y ( t + + y( t r r y r O r r [ 解説 ] パラメータ曲線が題材になっています 典型的な問題ですが, 曲線の交差する条件という目新しさも加えられています 6 電送数学舎 7

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