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1 経済統計学 ( 補足 ) 最小二乗法について 担当 : 小塚匡文 2015 年 11 月 19 日 ( 改訂版 ) 神戸大学経済学部 2015 年度後期開講授業

2 補足 : 最小二乗法 ( 単回帰分析 ) 1.( 単純 ) 回帰分析とは? 標本サイズTの2 変数 ( ここではXとY) のデータが存在 YをXで説明する回帰方程式を推定するための方法 Y: 被説明変数 ( または従属変数 ) X: 説明変数 ( または独立変数 )

3 ここでは最小二乗法最小二乗法とよばれる 最も標準的な方法を紹介この場合の真の回帰直線の式 : Y t ( t = α+ βx u = 1,2,3, L, T) t + t L(1) 通常は定数項 αも含めるので 回帰方程式を求めるとき 2つの係数 (αとβ) を推定する推定する (αは定数項 βは傾き )

4 < 注意すべき点 > 回帰直線の式はXがY に及ぼす影響を示すもの 同じ2 変数の関係を表すものに相関係数がある XとYの相関係数は XとYの2つの動きの傾向を見たもの : どちらかが原因ではない点に注意!

5 2. 概念 X と Y の関係を表す直線の 最もよい引き方は何か? Ⅹ と Y の散布図を描き その中にある直線を引く そして 各点とその直線との間の 縦軸と平行な方向で測った距離を総計したものを最小にする回帰直線が ここで求めるべきもの

6 u t (1) 式におけるは 誤差項 ( または撹乱項 ) とよばれる確率変数である u t については単純化のため 以下の仮定が置かれる 期待値は0 共分散は0 分散は一定 Y Y は確率変数であるが X はそうでないものと仮定

7 またの推定値は 図 1の点と直線の 垂直 ( 上下 ) 方向の差であらわされる これを残差を呼び と書くことが一般的 なお u t = ˆ 0 e 0, = 0, t Xtet Ytet = この残差を2 乗して足した値 = 残差 2 乗和 望ましい直線を引いた場合これは最小になる (=もっとも点から離れていない直線) 残差二乗和が最小になる傾き 定数項はどのようなものか? e t

8 図 1: 残差と回帰直線 Y 真の回帰直線 推定回帰直線 Yˆt Y t 残差 e t X X t

9 3. 導出 α と β は 観測できない真の回帰式に含まれる未知のパラメータ ( 未知の係数 ) そのため X Y の得られたデータから推定を行う 未知パラメータを書き換え Yˆ =α ˆ+ ˆ β t X t L(2) ˆ, α ˆ β とする はアルファハット ベータハットとよび α βの推定量である

10 (2) 式 : 推定回帰直線の式 点と直線の垂直方向での距離 = 残差の二乗の総和を最小にするようにを求める ˆ, α ˆ β なお Yˆ は理論値と呼ぶ ここで残差は 次のようにあらわすこともできる e t = Y t Yˆ t

11 誤差項は 真の回帰式に存在する確率的な誤差 残差は推定された回帰式の 説明しきれない部分 両者の違いに注意!!

12 この残差を2 乗し その和 ( 残差 2 乗和 ) が最小になる ように ˆ, α ˆ β を求める 残差 2 乗和を L とし L= 2 T T e = t= 1 t t= 1 とおく これを ˆ, α ˆ β 0 に等しいとすると ( ) 2 Y ˆ α ˆ βx L(3) t t について偏微分して その 1 階の導関数を L を最小とする αˆ, ˆ β が求まる

13 (3) を偏微分した式を =0 とした式は次の通り : L 2 T = ˆ = X = t 1 t t t β この (4)(5) を正規方程式という ( Y ˆ α ˆ βx ) 0L(4) L 2 T = 1 ˆ = = t t α ( Y ˆ ) t ˆ α βx 0L(5)

14 正規方程式 (4)(5) は連立の 2 元 1 次方程式であるので これを解くとを得る これが最小 2 乗推定量である Y βx α ˆ ˆ = ( )( ) ( ) ˆ X X Y Y X X t T t T t t t = = = β

15 この推定量推定量に 具体的なデータを代入したものが 推定値推定値 推定量と推定値の違いに注意

16 4. 検定とは? 検定とは何か? 母数についての仮説があり それが支持されるか判断するもの 以下がその手順 : 1 帰無仮説と対立仮説対立仮説を設定する 2 検定統計量を計算する 3 帰無仮説が正しいという仮定で 確率分布を調べる

17 4 有意水準を設定し 棄却域と臨界値を求める 5 絶対値で 検定統計量が臨界値より大きければ帰無仮説を棄却 棄却域に含まれる 検定統計量が臨界値より小さければ帰無仮説を採択

18 棄却域とは? そのエリアに検定統計量が入っていれば 帰無仮説を棄却する領域のこと 臨界値とは? 絶対値で見た 棄却域の下限 ( 棄却域の始まる点 ) ( 棄却域とそうでない個所の境界 )

19 5. t 検定 Excelで計算すると t とよばれる値が掲載される これが 帰無仮説を 係数 =0 とした場合の 各推定値のt 統計量 ( 検定統計量はt 分布に従っている ) 帰無仮説を 係数 =0 とした場合を 特にt 値という

20 ( 単 ) 回帰分析における t 値は t ˆ β 0 = ~ t( T SE( ˆ) β 2) である (T-2)=( 標本数 - 推定する係数の数 ) =t 統計量の自由度 SE: βˆ の標準誤差の推定値

21 6. 検定方法 1 帰無仮説 対立仮説を次のように設定する 帰無仮説 : 対立仮説 : β = 0 β 0 ( 両側検定の場合 ) ここで β は 正 負どちらの値も取り得ると考えられるケースである

22 2 有意水準 5% で検定するとき ( 両側検定を想定して )t 分布表より 2.5% 点を見る ( 自由度に注意!) 2.5% 点 : 臨界値 3 絶対値で t 値が臨界値より大きければ ( 分布の中心とは反対側にあれば ) 帰無仮説を棄却する ( 係数は 0 ではない ) と判断

23 ここでt 分布 ( ここでは自由度 120とする ) に従って 5% の有意水準でt 検定を行うとき 棄却域は下図の太線で示した区間 : 両側に存在することに注意 面積 面積 棄却域 0 棄却域

24 Excel による最小二乗推定量の求め方 1 データファイル内の 家計最終消費支出 を被説明変数に 国内総支出 を説明変数にして 定数項ありのモデルで ケインズ型消費関数を推定する データファイルは講義資料コーナーにアップロードしています (Excel2013 で作成 )

25 データファイル

26 2 ツール メニューの 分析ツール を選び その中の 回帰分析 を選択する ( 分析ツール がメニューの中にない場合は アドイン をクリックし 分析ツール の項目にチェックを入れる )

27 2 の データ分析 の場所

28 2 の 回帰分析 の場所

29 3 選択 Y 変数 に被説明変数のデータの範囲を 選択 X 変数 に説明変数のデータの範囲を入力 データファイルでは B2 から B77 に被説明変数 C2 から C77 に説明変数がある 4 出力箇所を指定し OK をクリック データファイルでは 出力先を E15 のセルにしている

30 3 の説明変数 被説明変数の指定 4 の出力先の指定

31 出力結果

32 5 結果の見方 推定結果のうち 係数 の上側にある 切片 が定数項の 下側の X 値 1 が回帰係数の それぞれの推定値である ここで t と表記されているものが t 値 ( 帰無仮説を当該係数 =0 としたときの t 統計量 ) である これは推定値を 標準誤差 で割ったものと等しい また P- 値は その検定統計量が何 % 点であるかを意味するもので 有意水準 (1% 5% 10% のいずれかに設定 ) よりもその値が小さければ 帰無仮説を棄却し その係数は有意 (0 ではない ) と考える

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