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4 i 1947 G.B. Dantzig 3 (1) (2) (3) (4) Microsoft Excel Web

5 ii 4 Web Microsoft Excel

6 iii

7 iv

8 P 1 P 2 P 1 1 M 1 M 2 M P 2 1 M 1 M 2 M M 1 M 2 M P 1 P P 1 P 2 P 1 P 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

9 P 1 P 2 M M M x 1 +8x 2 2x 1 +6x x 1 +2x x 1 + x x 1 0, x z = 3x 1 8x 2 (1.1) z x 1 x 2 x 1 -x 2 (x 1,x 2 ) 1.1 ABCDE ABCDE z (1.1) x 2 = 3 8 x z

10 x 1 =0z x z x 2 D x 1 =3, x 2 =3.5, z = 37 D P 1 3 P ABCDE z A A B C D A E D P 1 P 2 x 1 x 2

11 4 1 3x 1 +8x 2 2x 1 +6x x 1 +2x x 1 + x 2 18 x 1 0, x 2 0 x 1 :, x 2 : x 1 x 2 x 1 -x (x 1,x 2 ) 1.2(a) z 1.2(a) z x 2 D (x 1,x 2 )=(3, 3.5) 1.1 (x 1,x 2 )=(3, 3.5) 1.2 (x 1,x 2 )=(3, 3.5) (3, 4) 1.2(a)

12 (x 1,x 2 )=(3, 3.5) R(3, 3) R P(x 1,x 2 )=(1, 4) P 1 P 2 1 P 1 P 2 x 1 x 2 P 1 P 2 4 x 1 11 x 2 z =(4 x 1 )x 1 + (11 x 2 )x 2

13 6 1 z = x 2 1 x x 1 +11x 2 (1.2) 2x 1 +6x x 1 +2x x 1 + x 2 18 x 1 0, x (1.2) 1 f f = x 2 1 4x 1 + x x 2 (x 1 2) 2 +(x 2 5.5) 2 = f f Q(2, 5.5) 2 x 1 -x

14 7 S(1.5, 4) x x 2 2 4x 1 11x 2 = x 1 =1.5x 2 = (x 1 1) 2 +(x 2 1) 2 T(1, 1) P 1P 2 P 1 1 M 1M 2M P 2 1 M 1M 2M M 1M 2M P 1P P 1P 2 (1) P 1P 2 x 1x 2 (2) x 1 x 2 x 1-x (1) (2) P 1P 2 1 P 1P 2 3 x 114 x 2 (1) (2) x 1 x 2 x 1-x 2

15 (transportation problem) m n i a i j b j i j 1 c ij i j x ij 1.5 (assignment problem) n n 2 i j c ij i j 1 0 x ij

16 (1) 2x 1 +5x 2 2x 1 +6x 2 278x 1 +6x 2 453x 1 + x 2 15 x 1 0x 2 0 (2) 1 x 1 =3x 2 = (1) 2x 1 +5x 2 2x 1 +6x 2 278x 1 +6x 2 453x 1 +x 2 15x 1 0 x 2 0x 1 : x 2 : (2) 2 (x 1,x 2)=(3, 3.5) R(3, 3) (x 1,x 2)=(1, 4) x 1 =1x 2 = (1) x 2 1 x 2 2+3x 1+14x 2 2x 1+6x 2 278x 1+6x 2 453x 1+x 2 15 x 1 0x 2 0 (2) 3 x 1 =0.6x 2 =

17 m n i=1 j=1 cijxij n j=1 xij ai, i =1, 2,...,m, m xij bj, i=1 j =1, 2,...,n, x ij n i=1 n j=1 cijxij j =1, 2,...,n, x ij {0, 1} n j=1 xij = 1, i = 1, 2,...,n, n xij = 1, i= (1) maximize z = 3x 1 +2x 2, subject to 2x 1 +5x 2 40, 3x 1 +1x 2 30, 3x 1 +4x 2 39, x 1 0, x 2 0 (2) minimize z = 9x 1 +15x 2, subject to 9x 1 +2x 2 54, 1x 1 +5x 2 25, 1x 1 +1x 2 13, x 1 0, x (1) x j = x + j x j, x+ j 0, x j 0 xj = x+ j + x j minimize n j=1 cj(x+ j +x j ), subject to n j=1 aij(x+ j x j )=bi, i =1, 2,...,m, x + j 0, x j 0, j =1, 2,...,n (2) t =1/( n djxj + d0), yj = xjt, j =1, 2,...,n minimize j=1 n j=1 cjyj +c0t, subject to n j=1 djyj +d0t =1, n aijyj bit =0, j=1 i =1, 2,...,m, y j 0, j =1, 2,...,n, t>0 (3) λ n j=1 cl jx j, l =1, 2,...,L n aijxj = bi, j=1 minimize λ, subject to n j=1 cl jx j λ, l =1, 2,...,L, i =1, 2,...,m, x j 0, j =1, 2,...,n 2.3 z = cx l, l =1, 2,...,Lcx = L l=1 λ lcx l = L l=1 λ lz = z Ax l = b, l =1, 2,...,L L l=1 λ lax l = L l=1 λ lb Ax = b x x + k x k 2.5 (1) x 3x 4x 5

18

19 BFGS 130 BFGS 130 Farkas 50 Fritz John 112 Fritz John 111 Gordon 51 GRG 137 GRG 141 Kuhn-Tucker 114, 115, 140 Kuhn-Tucker 115 ε , , , 25, , , , , 64 75, 84 75, , , , 32,

20 , 82 3, , , , , 75, , , 25, , , , , , ,

21 C FAX Printed in JapanISBN

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