FdData中間期末数学2年
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- さや はまもり
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1 対頂角 同位角と錯角 [ 対頂角 ] [ 解答 1] 対頂角 [ 解答 2] a+ b=180, c+ b=180 なので, a+ b= c+ b よって, a= c [ 解答 3] x =107 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように x の角を移す 図より, x =180, x +73 =180 x =180-73, ゆえに, x =107 [ 解答 4](1) x =80 (2) x =50 y =55 (1) 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように x の角を移すと,55 + x +45 =180 x = =80 (2) 対頂角は等しいので, x =50 また, 対頂角が等しい性質を使って y を右図のように移すと, 50 + y +75 =180 よって y =55 [ 同位角と錯角 ] [ 解答 5](1) 対頂角 (2) 同位角 (3) 錯角 1
2 [ 解答 6] ア d イ f ウ h [ 解答 7](1) c (2) g (3) d [ 平行線と同位角 錯角 ] [ 解答 8](1) 対頂 (2) 同位 (3) 錯 [ 解答 9] l // m [ 解答 10](1) d, f, h (2) 70 [ 解答 11] 右図のように c をとる m // n で, 平行線の錯角は等しいので, a= c 1 また, b+ c= ,2 より, a+ b=180 平行線の角の計算 [ 基本問題 ] [ 解答 12] x =62 y =83 平行線の錯角は等しいので, x =62 平行線の錯角は等しい の性質を使って, y を右図のように移すと, y +97 =180, y = =83 [ 解答 13]1 x =75 y =115 2 x =45 y =135 1 平行線の錯角は等しい の性質を使って 105 を右図のように移すと,105 + x =180 よって x =75 同様にして,65 を右図のように移すと,65 + y =180 よって y =115 2
3 2 平行線では同位角は等しいので, x =45 y +45 =180 y =135 [ 解答 14]1 x =65 y =105 2 x =40 1 平行線の錯角は等しいので, x =65 y = =105 2 対頂角は等しい, 平行線の場合の錯角は等しい などの性質を使って, 等しい角度を図に記入 右図で, x =180 ゆえに, x =40 [ 解答 15] x =102 y =46 平行線では錯角は等しい, 平行線では同位角は等しい の性質を使って 46 と 102 の角を移す 図より x =102, y =46 [ 平行な補助線をひく ] [ 解答 16] x =50 このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント 20,30 の角を中央部へ移す 図より x = =50 [ 解答 17]1 x =140 y =65 2 x =40 1 x +40 =180 なので, x =140 このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント 40,25 の角を中央部へ移す 図より, y = =65 2 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように x,35 の角を中央部へ移す 図より, x +35 =75 ゆえに, x =40 3
4 [ 解答 18]1 x =56 2 x =93 3 x =39 1 このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように, 27 と 29 の角を中央部へ移す x = =56 2 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように, 63 の角を移す 次に,24 の角を移し, さらに,54-24 =30 の角を移す 図より, x = =93 3 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引く 平行線では同位角は等しい, 平行線では錯角は等しい の性質を使って, 図のように 39 を移していくと, x =39 三角形の内角 外角 [ 三角形の内角の和 ] [ 解答 19] x =70 三角形の内角の和は 180 なので, x =180 ゆえに, x =70 [ 解答 20] ア錯角イ d ウ同位角エ e [ 解答 21] ( ABC の内角の和 )= BAC+ ABC+ ACB 1 DE // BC で, 平行線の錯角は等しいので, ABC= BAD 2 ACB= CAE 3 1,2,3より, ( ABC の内角の和 )= BAC+ BAD+ CAE= DAE=180 4
5 [ 三角形の外角 ] [ 解答 22] x =100 三角形の外角は, そのとなりにない 2 つの内角の和に等しい まず, 右の図を使って, これを説明する 右の ABC で, BAC=a, ABC=b, ACB=c とし,AB // CD となるように補助線 CD を引く 平行線の錯角は等しいので, ACD= BAC=a 平行線の同位角は等しいので, DCE= ABC=b (2 つの内角の和 )= BAC+ ABC=a+b ( 外角 )= ACE= ACD+ DCE=a+b よって, 三角形の 1 つの外角は, となりあわない 2 つの内角の和に等しい この問題では, x = =100 [ 解答 23]1 x =115 2 x =65 3 x =135 1 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, x = =115 2 x +45 =110 ゆえに, x = =70 を図の中に記入する x = =135 [2 つの三角形と外角 ] [ 解答 24] x =28 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, ABC で BCE= =75 CDE で BCE= x +47 ゆえに, x +47 =75, x =75-47 =28 5
6 [ 解答 25] x =35 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, ABC で, ACD= =105 CDE で, ACD= x +70 ゆえに, x +70 =105 よって, x =35 [ 外角 + 補助線 ] [ 解答 26] x =120 図のように,AD を延長させた補助線 DE を引くのがポイント (CD を延長してもよい ) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, ABE で, DEC= =80 CDE で, x = DEC+40 = =120 [ 解答 27]1 x =96 2 x =60 1 図のように AD を延長させた補助線 DE を引く 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, ABE で, DEC= =66 CDE で, x = DEC+30 ゆえに, x = =96 2 右図のように BD を延長させて補助線 DE を引く 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, ABE で, DEC= x +25 CDE で, DEC+30 =115 よって, x =115 ゆえに, x =60 6
7 [ 解答 28] x =31 右図のように,AD を延長して BC との交点を G とする ACG で, AGB= =99 BEG で, GEF= =128 EFD で, x =180 よって, x = =31 [ 解答 29] x =38 右図のように AF を延長して BC との交点を G とする ABG で, AGC= x +65 DEF で, CDF= =35 CDG で, x +65 =180 x = よって, x =38 [ 解答 30] x =71 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい 性質を使う まず, ADF で, AFB= DAF+ ADF= =63 次に, BEF で, CEH= EBF+ EFB= =87 HEC で, 三角形の内角の和は 180 なので, x + CEH+ HCE=180, x =180 x =180 -( )=71 [ 解答 31] x =45 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい 性質を使う まず, CFI で, GFI= FCI+ FIC= =55 FGH で, AHE= HFG+ HGF= =80 次に, AEH で, 内角の和は 180 なので, 7
8 x + EAH+ AHE=180 x =180, x = 180 -( )=45 [ 三角形と平行線の角 ] [ 解答 32] x =45 平行線では同位角は等しい 性質を使って, 図のように 70 の角を移す 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, x +25 =70 ゆえに, x =70-25 =45 [ 解答 33]1 x =80 2 x =130 y =90 1 右図で, BAC= =30 (90 より大きい角は小さい角にしておく ) また, 平行線の錯角は等しい の性質を使って x を右図のように移す ABC で, 三角形の 2 つの内角の和は他の外角に等しいので, x = =80 2 平行線の錯角は等しい ので,50 の角を図のように移動する 図より, x +50 =180 ゆえに, x =130 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, y = =90 [ 解答 34] x =140 右図のように, l, m に平行で点 E を通る直線を引く ABC で, 三角形の内角の和は 180 なので, ACB=180 -( )=50 l // EF なので, 同位角は等しく, CEF= ACB よって, CEF=50 1 次に, HIJ で, 三角形の内角の和は 180 なので, IHJ=180 -( )=90 m // EF なので, 同位角は等しく, HEF= IHJ よって, HEF=90 2 1,2より, x = CEH= CEF+ HEF= =140 8
9 [ 解答 35]180 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように角 b と d を移す DEF で, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, GEF=a+b 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように角 a+b を移す ABC で三角形の内角の和は 180 ので, a+b+c+d=180 [ 三角形の内角の二等分 ] [ 解答 36]117 PBC で三角形の内角の和は 180 なので, BPC+a+b=180 よって, BPC=180 -(a+b) 1 同様に ABC で 2a+2b+54 =180,2(a+b)=126,a+b=63 これを1に代入すると, BPC= =117 [ 解答 37] x =50 ABC で, 三角形の内角の和は 180 なので, x +2a+2b=180 よって, x =180-2a-2b=180-2(a+b) 1 同様に, PBC で,a+b+115 =180 よって,a+b= =65 2 2を1に代入すると, x = = =50 [ 解答 38] x =90 右図のように, の角を a, の角を b とする l, m に平行な直線 BG を引く 平行線の錯角は等しいので, BEC= ECH=b, BED= EDF=a よって, x =a+b 1 9
10 ところで, 平行線の錯角は等しいので, ADC= DCH=2b ADE は直線なので,2b+a+a=180,2a+2b=180,a+b=90 2 1,2 よる, x =a+b=90 [ 解答 39] x =60 右図のように, 平行線の錯角は等しいので, ABR=3a よって,3a+b+b+b=180 3a+3b=180,a+b=60 1 ABC で, 三角形の内角の和は 180 なので, x +a+a+b+b=180, x +2(a+b)=180 1を代入して, x =180 x +120 =180, よって, x = =60 a [ 解答 40] 2 図のように角 x, y,b をおく 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, BCD で,b+ x = y,b= y x 1 ABC で,a+2 x =2 y,2 y -2 x =a, 1 よって y - x = a 2 2 1,2 より,b= 2 1 a [ 解答 41] x =50 右図において, ABC=180-2a ACB=180-2b ABC で内角の和は 180 なので, A+ ABC+ ACB=180 10
11 a+180-2b=180-2a-2b= a-2b=-260,a+b=130 次に, BCD で内角の和は 180 なので, x +a+b=180 a+b=130 を代入すると, x +130 =180 よって, x = =50 [ 折り返し ] [ 解答 42] x =70 折り返してできた角は等しいので, ABE=80 直角三角形 BCD で, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, x +90 = ゆえに, x = =70 [ 解答 43] x =36 DPQ= =72 平行線の錯角は等しいので, PQB= DPQ=72 折り返してできた角は等しいので, PQB = PQB=72 BQC は一直線なので, x =180 よって, x = =36 [ 解答 44] x =136 AC を折り目にして折り返しているので, B AC= BAC=68 また, CAE=90-68 =22 よって, B AE= B AC- CAE=68-22 =46 AB E において,1 つの外角は他の 2 つの内角の和に等しいので, x = B AE+ AB E= =136 11
12 [ 三角形の角 : その他 ] [ 解答 45] x =165 三角定規の角は と 右図のように a の角をとる ADE で, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので,a+ 45 =60 ゆえに,a=15 x +a=180, x +15 =180 ゆえに, x =165 [ 解答 46] x =38 BED= =116 AED と CFD は合同 (2 辺とその間の角が等しいので ) ゆえに, CFD=64 で, BFD= =116 四角形 BFDE で, 四角形の内角の和は, 180 (4-2)=360 なので, x =360 x +322 =360 ゆえに, x =38 [ 解答 47]56 右図のように BAD= EAD= x とおく AFD で,1 つの外角は他の 2 つの内角の和に等しいので, ADE= FAD+ AFD= x +18 ADE= CDE なので, ADC=2 ADE=2( x +18 ) ADC で, 内角の和は 180 なので, x +2( x +18 )+60 =180 3 x =180,3 x = x =84, よって x =84 3=28 ゆえに, BAC=2 x =2 28 =56 12
13 [ 鋭角 鈍角 直角 ] [ 解答 48]1 鋭角 2 鈍角 0 < x <90 のときの x を鋭角,x =90 のときの x を直角,90 < x <180 のときの x を鈍角という 三角形の 3 つの角の中で最大の角が,1 鋭角なら鋭角三角形,2 直角なら直角三角形,3 鈍角なら鈍角三角形である [ 解答 49](1) 鈍角三角形 (2) 直角三角形 三角形の 3 つの角の中で最大の角が,1 鋭角 (90 より小さい ) なら鋭角三角形,2 直角なら直角三角形,3 鈍角 (90 より大きい ) なら鈍角三角形である (1) ( 残りの角 )=180 -( )=111 で最大角 111 が鈍角なので鈍角三角形 (2) ( 残りの角 )=180 -( )=90 なので, 直角三角形 [ 解答 50](1) 鈍角三角形 (2) 鋭角三角形 (3) 直角三角形 (4) 鈍角三角形 三角形の 3 つの角の中で最大の角が,1 鋭角 (90 より小さい ) なら鋭角三角形,2 直角なら直角三角形,3 鈍角 (90 より大きい ) なら鈍角三角形である (1) C=180 -( )=95 なので鈍角三角形 (2) C=180 -( )=30 で, 最大の角が鋭角なので鋭角三角形 (3) C=90 なので直角三角形 ( 他の 2 角は 90 より小さくなる ) (4) B=100 で鈍角なので鈍角三角形 ( 他の 2 角は 90 より小さくなる ) [ 角の総合問題 ] [ 解答 51](1) x =77 (2) x =127 (3) x =36 (1) 対頂角は等しい 性質を使って角 x を図のように移す 図より, x =180 x +103 =180 ゆえに, x =77 (2) 図のように AE を延長させた補助線 ED を引く 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, ABD で, EDC= =101 CDE で, x = EDC+26 ゆえに, x = =127 13
14 (3) このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント 平行線では錯角は等しい ので,24 と x の角を図のように移す 図より, x +24 =60 ゆえに, x =36 [ 解答 52](1) x =90 (2) x =130 (3) x =70 (4) x =55 (5) x =140 (6) x =49 (7) x =114 (1) 対頂角は等しい 性質を使って図のように x の角を移す 図より, x =180 ゆえに, x =90 (2) 平行線では同位角は等しい ので, x =130 (3) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, x = =70 (4) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, CDE で, ACD= =85 ABC で, ACD= x +30 よって, x +30 =85 ゆえに, x =55 (5) 図のように AE を延長させた補助線 ED を引く 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, ABD で, EDC= =110 CDE で, x = EDC+30 = =140 (6) 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 15 の角を移す また,46 の角を移し, さらに =34 の角を移す 図より, x = =49 14
15 (7) 三角形の内角の和は 180 の性質より, BDC で, x +a+b=180 ゆえに, x =180 -(a+b) 1 次に, ABC で,2a+2b+48 =180 2a+2b=132 ゆえに,a+b=66 2 1に2を代入すると, x = =114 [ 解答 53](1) x =60 (2) x =25 (3) x =20 (4) x =85 (5) x =67 (1) 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように 50 の角を移す 図より, x =180, x +120 =180 ゆえに, x =60 (2) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので CDE で, BCE= =75 ABC で, BCE= x +50 よって, x +50 =75 ゆえに, x =25 (3) 平行線では同位角は等しい 性質を使って, 図のように 50 の角を移す 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, x +30 =50 ゆえに, x =20 (4) このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント ( この場合は 2 本 ) 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 50 の角を移す また,25 の角を図のように移し, さらに =35 の角を移す 図より, x = =85 (5) 三角形の内角の和は 180 の性質より, ABC で, x +29 +a+24 +b=180 ゆえに, x = (a+b) 次に BCD で,a+b+120 =180,a+b=60 よって, x = =67 15
16 [ 解答 54](1) x =54 (2) x =113 (3) x =69 (4) x =25 (5) x =63 (6) x =25 (7) x =20 (8) x =40 (9) x =125 (10) x =115 (1) 平行線では錯角は等しい ので, x =54 (2) 平行線では同位角は等しい の性質を使って, 図のように 67 を移す 図より, x +67 =180 ゆえに, x =113 (3) 三角形の内角の和は 180 なので, x =180 x +111 =180 ゆえに, x =69 (4) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, x +58 =83 ゆえに, x =25 (5) 平行線では錯角は等しい の性質を使って, 図のように 52 を移す また, 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように 65 を移す 図より, x =180 x +117 =180 ゆえに, x =63 (6) このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント 平行線では錯角は等しい の性質を使って, 図のように 65 と x の角を移す 図より, x +65 =90 ゆえに, x =25 (7) 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 40 を移す 三角形の内角の和は 180 の性質より, x =180, x +160 =180 ゆえに, x =20 (8) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので ABC で, BCE= =88 CDE で, BCE=48 + x ゆえに,48 + x =88 よって x =40 16
17 (9) 図のように AE を延長させた補助線 ED を引く 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, ABD で, EDC= =90 また, EDC で, x = EDC+35 ゆえに, x = =125 (10) 三角形の内角の和は 180 なので, DBC で x +a+b=180, x =180 -(a+b) 1 ABC で,2a+2b+50 =180 2(a+b)=130 ゆえに,a+b=65 2 2を1に代入すると, x = =115 [ 解答 55](1) x =60 (2) x =105, y =123 (3) x =31 (4) x =150 (5) x =25 (6) x =92 (7) x =90 (1) 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように 50 の角を移す 図より, x =180, x +120 =180 ゆえに, x =60 (2) 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように 57 を移す 平行線では同位角は等しい ので, 図より, x = =105 次に, 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 57 を移す 図より,57 + y =180 ゆえに, y =123 (3) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, ABC で, BCE= =84 CDE で, BCE= x +53 ゆえに, x +53 =84 よって x =31 17
18 (4) 図のように AE を延長させた補助線 ED を引く 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, ABD で, EDC= =105 CDE で, x = EDC+45 = =150 (5) 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, BCE で, x +a=b, x =b-a 1 ABC で,2b=2a+50 2b-2a=50,b-a=25 2 1に2を代入すると, x =b-a=25 (6) このタイプの問題は, 右図のように他の 2 本の直線と平行な補助線を引くのがポイント 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 52 と 40 の角を移す 図より, x = =92 (7) 図のように角 a,b をとる 三角形の内角の和は 180 の性質より, x +a+b=180, x =180-(a+b) 1 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 2a の角を移すと, 図より, 2a+b+b=180,2a+2b=180,a+b=90 2 2を1に代入すると, x = =90 多角形の内角の和 外角の和 [ 多角形の内角の和 ] [ 解答 56] ( 考え方 ) 図のように 5 つの三角形に分けると, 五角形の内角の和は,5 つの三角形から,360 をひいたものになるから, =540 18
19 n 角形の場合, 木村さんの考え方では,n-2 個の三角形ができるので, ( 内角の和 )=180 (n-2) 山田君の考え方では,n 個の三角形の内角の和から 360 を引くので, ( 内角の和 )=180 n-360 =180 n-180 2=180 (n-2) [ 解答 57]900 (n 角形内角の和 )=180 (n-2) なので, ( 七角形の内角の和 )=180 (7-2)=900 [ 解答 58](1) 1080 (2) 144 (1) (n 角形内角の和 )=180 (n-2) なので, ( 八角形の内角の和 )=180 (8-2)=1080 (2) (n 角形の内角の和 )=180 (n-2) なので, ( 正十角形の内角の和 )=180 (10-2)=1440 (1 つの内角 )= =144 [ 解答 59] 十二角形 (n 角形内角の和 )=180 (n-2)=1800 とおくと, n-2= ,n-2=10,n=12 したがって十二角形 [ 解答 60](1) 1800 (2) 七角形 (3) 正十八角形 (1) (n 角形の内角の和 )=180 (n-2) なので, ( 十二角形の内角の和 )=180 (12-2)=1800 (2) (n 角形の内角の和 )=180 (n-2)=900 とおく n-2= n-2=5 ゆえに,n=7 よって七角形 (3) 正 n 角形とする (n 角形の内角の和 )=180 (n-2) また,1 つの内角の大きさが 160 であるので,(n 角形の内角の和 )=160 n ゆえに,180 (n-2)=160 n 9(n-2)=8n,9n-18=8n,n=18 よって正十八角形 19
20 [ 多角形の外角の和 ] [ 解答 61](1) 360 (2) 36 (1) 多角形の外角の和は 360 であるが, これは次のようにして説明できる 右図のように,1 つの頂点から対角線を引いて三角形に分割すると,n 角形の場合は n-2 個の三角形ができるので, ( 内角の和 )=180 (n-2) となる 1 つの頂点について,( 内角 )+( 外角 )=180 になるので, (n 角形の内角の和 )+(n 角形の外角の和 )=180 n となる よって,(n 角形の外角の和 )=180 n-(n 角形の内角の和 ) =180 n-180 (n-2)=180 n-180 n+360 =360 (2) =36 [ 解答 62]72 多角形の外角の和は 360 なので,( 正五角形の 1 つの外角 )=360 5=72 [ 解答 63] 正六角形 正 n 角形とする 1 つの外角の大きさが 60 なので外角の和は 60 n 多角形の外角の和は 360 なので, 60 n=360 n= =6 したがって正六角形 [ 解答 64](1) 正二十四角形 (2) 8 本 (1) 正 n 角形とする 1 つの外角の大きさが 15 なので外角の和は 15 n 多角形の外角の和は 360 なので, 15 n=360 n= =24 よって正二十四角形 (2) 外角の大きさを x とすると, 内角は外角の 3 倍なので 3 x ( 内角 )+( 外角 )=180 なので, x +3x =180 4x =180 ゆえに, x =45 正 n 角形とする 1 つの外角の大きさが 45 なので外角の和は 45 n 多角形の外角の和は 360 なので, 45 n=360,n=8 よって正八角形で, 辺の数は 8 本 20
21 多角形の角の計算 [1 つの角を求める ] [ 解答 65] x =110 多角形の外角の和は 360 であるので, x =360 x +250 =360 よって, x =110 [ 解答 66] x =140 右図のように角 y をとる 多角形の外角の和は 360 なので, y +320 =360 よって, y = =40 x =180 - y = =140 [ 解答 67] x =50 右図のように角 y をとる 四角形の内角の和は, 180 (4-2)=360 なので, y =360 y +230 =360 ゆえに, y =130 よって x =180 - y = =50 [ 解答 68]1 x =50 2 x =104 1 右図のように y の角をとる 6 角形の内角の和は,180 (6-2)=720 なので, y =720 y +590 =720 ゆえに, y =130 よって, x =180 - y = =50 2 五角形の内角の和は,180 (5-2)=540 ゆえに,( )+ x =540 x =104 21
22 [ 角の二等分 ] [ 解答 69] x =105 三角形の内角の和は 180 の性質より, x +a+b=180 x =180 -(a+b) 1 四角形の内角の和は 180 (4-2)=360 なので, 2a+2b =360 2a+2b=150 ゆえに,a+b=75 2 1に2を代入すると, x = =105 [ 解答 70] x =110 三角形の内角の和は 180 の性質より, x +a+b=180 x =180 -(a+b) 1 四角形の内角の和は,180 2=360 なので, a+2b=360 2a+2b=360 -( ),2(a+b)=140, a+b=140 2=70 2 1に2を代入すると, x = =110 [1 つの角を求める ] [ 解答 71] x =115 図のように a,b の角をとって考える 四角形の内角の和は,180 (4-2)=360 なので, a =360 a=105 b=180 -a= =75 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, x =40 +b= =115 22
23 [ 解答 72] x =19 右図のように,AB を延長して OY との交点を F とする 五角形の内角の和は,180 (5-2)= 540 であるので, 正五角形の 1 つの内角は, 540 5=108 になる FBC で, FBC= =72, FCB= =72 なので, BFC= =36 また, OAF= =17 AOF で, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, x + OAF= BFC よって, x +17 =36, x =36-17 =19 [ 解答 73] x =72 五角形の内角の和は,180 (5-2)=540 であるので, 正五角形の 1 つの内角は,540 5=108 になる よって, ABC で, ABC=108 ABC は BA=BC の二等辺三角形なので, BAC=( ) 2=36 ABE は ABC と合同な三角形なので, ABF=36 ABF で, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, x = AFE= ABF+ BAF= =72 [ 角の和を求める ] [ 解答 74]180 図のように各頂点の角を a,b,c,d,e で表す 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい 性質を使って角をまとめていく まず, ACG で, AGE=a+c 次に, EFG で, BFD=a+c+e 三角形 BDF で, 三角形の内角の和は 180 なので, (a+c+e)+b+d=180 ゆえに,a+b+c+d+e=180, A+ B+ C+ D+ E=180 23
24 [ 解答 75]180 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい 性質を使う ADP で, APG=a+d 1 BEQ で, EQF=b+e 2 CFS で, RSG=c+f 3 次に, PQR で, 1,2より, SRG=(a+d)+(b+e) 4 三角形の内角の和は 180 なので, SRG で, SRG+ RSG+ SGR=180 3,4より,(a+d)+(b+e)+(c+f)+g=180 よって,a+b+c+d+e+f+g=180 [ 解答 76]180 図のように角 a~e, x ~z をおく 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので,z=d+e,z= x + y ゆえに,d+e= x + y また, 三角形の内角の和は 180 なので ( 求める角の和 )=a+b+c+d+e =a+b+c+ x + y =180 [ 解答 77]540 右図のように, 角 x, y, z をとる 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので,z=d+e,z= x + y よって,d+e= x + y また, 五角形の内角の和は 180 (5-2)=540 なので, a+b+c+d+e+f+g=(a+b+c+f+g)+(d+e) =(a+b+c+f+g)+( x + y )=540 24
25 [ 解答 78]540 図のように,p,q,r,s,t,u, および x の角をとる ( 角の合計 )= a+ b+ c+ d+ e+ f+ g = a+ b+ c+ d+ f+ p+ q+ r+ s =( a+ b+ c+ d)+( f+ p+ r)+( q+ s) 三角形の内角の和は 180 なので, f+ p+ r=180 よって,( 角の合計 )=( a+ b+ c+ d)+180 +( q+ s) ところで, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, q+ s= x, t+ u= x よって q+ s= t+ u ゆえに,( 角の合計 )=( a+ b+ c+ d)+180 +( t+ u) =( a+ b+ c+ d+ t+ u)+180 四角形の内角の和は 180 (4-2)=360 なので, a+ b+ c+ d+ t+ u=360 ゆえに,( 角の合計 )= =540 [ 解答 79]720 右図のように角 a~j をとる CDE で 三角形の内角の和は 180 なので, a+b+c=180 1 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, BCE で, ABF=d+e さらに, ABF で BFJ=d+e+f ( 五角形 FGHIJ の内角の和 )=(d+e+f)+g+h+i+j= 180 (5-2)= ,2より,a+b+c+d+e+f+g+h+i+j= =720 [ 解答 80]360 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいので, ABH で, BHJ=a+b CDJ で, DJI=c+d EFI で, FIJ=e+f 25
26 HIJ で, 多角形の外角の和は 180 なので, (a+b)+(c+d)+(e+f)=180 1 次に, FEG で,g+h+i= ,2の両辺をそれぞれ加えると, a+b+c+d+e+f+g+h+i= =360 [ 解答 81]540 右図のように, AIJ の A 以外の 2 つの内角の大きさを a,b とする 同様にして, 内角 c~g をとる ( 対頂角は等しいので, GIH= AIJ=a) 三角形の内角の和は 180 なので, A+a+b=180 1 B+b+c=180 2 C+c+d=180 3 D+d+e=180 4 E+e+f=180 5 F+f+g=180 6 G+g+a= ~6を加え合わせると, A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g=180 7 A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+2(a+b+c+d+e+f+g)=180 7 ところで,a+b+c+d+e+f+g は 7 角形 HIJKLMN の外角の和であるので, a+b+c+d+e+f+g=360 よって, A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+360 2=180 7 ゆえに, A+ B+ C+ D+ E+ F+ G= = =540 [ 解答 82]1440 (n 角形内角の和 )=180 (n-2) なので, ( 五角形の内角の和 )=180 (5-2)=540 内側の三角形の印をつけた角の和は, ( 三角形の内角の和 )= = =900 よって, 全体の角の和は, =
27 [ 解答 83]1800 ( 六角形の内角の和 )=180 (6-2)=720 内側の四角形の印をつけた角の和は, ( 四角形の内角の和 )= =1080 よって, 全体の角の和は, =1800 Fd 教材開発 27
FdData中間期末数学2年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 2 年 対頂角 同位角と錯角 [ 対頂角 ] [ 問題 ](2 学期中間 ) http://www.fdtext.com/dat/ 右の図で a と c の位置にある角を ( ) という [ 解答 ] 対頂角 右の図で, a= c であることを説明せよ [ 解答 ] a+ b=180, c+ b=180 なので, a+ b= c+ b よって, a=
図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは
図形と証明 1 対頂角 a = b a+ c= 180 なので a = 180 - c b+ c= 180 なので b = 180 - c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは それを筋道立てて説明することです a も b も 角度を使った式で 同じ式になる ということを述べるのが この証明です
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 図形 を問う問題 ) 1 レベル 6~8(H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 答え 度 2 レベル 9 10 (H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 答え
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 図形 を問う問題 ) 1 レベル 6~8(H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 度 2 レベル 9 10 (H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 3 太郎さんは, 次の問題を考えています 問題右の図で,AO=BO,CO=DOならば, AC=BDであることを証明しなさい D A O B C このとき,(1)
S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である
S01 1 図において = =とする このとき であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 3 1 2 3 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって である S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 3 1 2 3 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい
学習の手順
NAVI 2 MAP 3 ABCD EFGH D F ABCD EFGH CD EH A ABC A BC AD ABC DBA BC//DE x 4 a //b // c x BC//DE EC AD//EF//BC x y AD DB AE EC DE//BC 5 D E AB AC BC 12cm DE 10 AP=PB=BR AQ=CQ BS CS 11 ABCD 1 C AB M BD P
中２テスト０６
中学校第 学年単元別確認テスト 6 単元名 : 一次関数と方程式 ( 啓林館 ) 次関数と方程式 ( 東京書籍 ) 年 ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) ~6 7~9 得点 ( /) ( /) ( /) ( /9) 知識 理解技能見方や考え方 χ+=6 のグラフは ( 0,( ア ) ),( ( イ ),0) の 点を通る直線である ( ア ),( イ ) にあてはまる数を書きなさい ( ア )
【】 1次関数の意味
FdText 数学 1 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 直線と角 解答欄に次のものを書き入れよ 1 直線 AB 2 線分 AB 1 2 1 2 右図のように,3 点 A,B,Cがあるとき, 次の図形を書き入れよ 1 直線 AC 2 線分 BC - 1 - 次の図で a, b, c で示された角を A,B,C,D の文字を使って表せ a : b : c :
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面積の比 つの三角形の高さが等しいときは, 面積の比は底辺の長さの比に等しい. 三角形の面積は ( 底辺 ) ( 高さ ) で求められる. 右図の ABC と ABD の面積は各々 ABC ABD BC h BD h ここで BC:BDa:b ならば 辺 BC の長さを BC と書く. 文字式の計算として B と C を掛けているわけではない.BD も辺の長さを表す記号. 式の中で ABC と書いたときは
数学 A 図形の性質発展問題 ( 1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つ
数学 A 図形の性質発展問題 (1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つことを証明せよ ( 証明 ) 点 Cから辺 ABに平行線を引いて ABの延長線と交わる点を Fとする 点
二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2
三角形 四角形 二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形 二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理 二等辺三角形の底角は等しい 定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は 底辺を直角に2 等分する 正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で 同じ印をつけた辺や角が等しいとき の大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)
平成２４年度高知県算数・数学
平成 4 年度高知県算数 数学思考オリンピック ( 中学校 ) 解答例 問題 1 (1) 1 L 字型の縦の和と横の和を求めると, 左の図のように, アからケまでのうちオだけが 回足したことになる オ =5 なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+5 =50 縦の和は,50 =5 とわかる アからオのうちア, イ, オが 1,9,5 のときだから, ウ + エ =5-(1+9+5)
丛觙形ㆮ隢穓ㆮ亄ç�›å‹ƒç·ı
三角形の面積は == 三角形の面積の二等分線 == ( 面積 )=( 底辺 ) ( 高さ ) 2 の公式で求められます. 次の図のように, ABC の頂点 A から対辺 BC の中点 ( 真ん中の点,1 対 1 に内分する点 ) D に線分 AD をひくと, ABD と DCA とは, 底辺が等しく, 高さが共通になるから, これら 2 つの三角形の面積は等しくなります.( 高さは底辺と垂直 ( 直角
PSCHG000.PS
b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bcd
FdData中間期末数学2年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 年 方程式とグラフ [ 二元一次方程式 ax + by = c のグラフ ] [ 問題 ]( 後期中間 ) 二元一次方程式 x + y = 4 のグラフをかけ http://www.fdtext.com/dat/ [ 解答 ] 方程式の解を座標とする点の全体を, その方程式のグラフという 二元一次方程式 x + y = 4 の解は無数にあるが, 例えば,
テレビ講座追加資料1105
数学類題にチャレンジ 問題編 類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形 を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目とします さらに, 頂点 が線分 上に重なるように を折り目として折り曲げ, 頂点 と線分 が重なった点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい 類題 縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形
2002.N.x.h.L.......g9/20
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 8 9 1 11 11 12 13 k 14 l 16 m 17 n 18 o 19 k 2 l 2 m 21 n 21 o 22 p 23 q 23 r 24 24 25 26 27 28 k 28 l 29 m 29 3 31 34 42 44 1, 8, 6, 4, 2, 1,2 1, 8 6 4 2 1, 8, 6, 4, 2, 1,2 1, 8
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 答え 2 15x 2 y 5xy 2 3 答え 2 次の各問いに答えなさい レベル 9 10 (1)
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 2 15x 2 y 5xy 2 3 2 次の各問いになさい レベル 9 10 (1) 次の等式を の中の文字について解きなさい c=5(a+b) a a= (2) 次の連立方程式を解きなさい 3x 5y
Microsoft Word - スーパーナビ 第６回 数学.docx
1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16
頻出問題の解法 Check Exercize 1. 四角形 ABCD において 辺 AB, BC,CD, DA の中点をそれぞれ P,Q, R, S とすると 四角形 PQRS は平行四辺形であることを証明せよ 2. AB=2, BC =4,CA=3 である ABC において 辺 BC の中点を M
第 4 章平面図形 1. 三角形の性質 1-1 平行線と線分の比 平行線と線分の比一般に 平行線において次の定理が成立する 頻出問題の ABC の辺 AB, AC またはその延長上の点を それぞれ D, E とするとき DE BC AD AB = AE DE (= AC BC ) DE BC AD DB = AE EC 中点連結定理上の定理において D, E を辺 AB, AC の中点にとる ABC
平成 31 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) 3 (-2 2 ) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 1 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の ~(7) の問いに答えなさい (- ) を計算しなさい 表合計 次の ~(6) の問いに答えなさい 合計 関数 y = x のグラフについて正しいものを, 次のア ~ エからすべて選んで記号を書きなさい アイウエ グラフは原点を通る
a (a + ), a + a > (a + ), a + 4 a < a 4 a,,, y y = + a y = + a, y = a y = ( + a) ( x) + ( a) x, x y,y a y y y ( + a : a ) ( a : a > ) y = (a + ) y = a
[] a x f(x) = ( + a)( x) + ( a)x f(x) = ( a + ) x + a + () x f(x) a a + a > a + () x f(x) a (a + ) a x 4 f (x) = ( + a) ( x) + ( a) x = ( a + a) x + a + = ( a + ) x + a +, () a + a f(x) f(x) = f() = a
全都道府県 公立高校入試 数学 単元別
学習塾 家庭教師の先生方へ 公立高校入試過去問数学 4. 平面図形 3. 合同の証明ほか よく受ける質問内容をもとに この教材の効果的な使い方をお伝えいたします 特に中学 3 年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります 中学 1 2 年生の学年では 1 年間で数学の教科書 1 冊を終えればよいのですが 3 年生の場合はそういうわけにはいきません 3 年生の 1
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 図形の性質 線分 に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さ を求めよ ただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=:
二次関数 1 二次関数とは ともなって変化する 2 つの数 ( 変数 ) x, y があります x y つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また,2 つの変数を式に表すと, 2 y x となりま
二次関数 二次関数とは ともなって変化する つの数 ( 変数 ) x, y があります y 0 9 6 5 つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また, つの変数を式に表すと, x となります < 二次関数の例 > x y 0 7 8 75 x ( 表の上の数 ) を 乗して 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります x y 0 - -8-8 -
EBC= ABC これと ( ) より BFC= A.. ある人が0 段の階段を以下の条件を満たして登る登り方は何通りあるか 条件 : 一歩につき 段までとばして登ることができる 解説問題と同じ条件で k 段を登る場合の数を f(k) と表すことにする 一般に n 段の階段を登ることを考える 最初に
JFMO 解答 解説. 台形 ABCD において AD//BC, BC=AD が成り立っている 辺 AB の中点を点 E とし 線分 CE 上に点 F を ADE= FDE となるようにとると ADE= FBC が成り立つ 台形 ABCD の面積は であり AB=α,CE=β とするとき 三角形 FBC の面積をα,βを用いて表せ 解説直線 BF と AD の交点を G とする AD//BC より
平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合
平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合図で, 解答用紙の決められた欄に受検番号を書きなさい 5. 問題を読むとき, 声を出してはいけません
" 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な
1 " 数学発想ゼミナール # ( 改題 ) 直径を とする半円周上に一定の長さの弦がある. この弦の中点と, 弦の両端の各点から直径 への垂線の足は三角形をつくる. この三角形は二等辺三角形であり, かつその三角形は弦の位置にかかわらず相似であることを示せ. ( 証明 ) 弦の両端を X,Y とし,M を線分 XY の中点,, をそれぞれ X,Y から直径 への垂線の足とする. また,M の直径
平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問いに答えなさい 合計 (1) 関数 y = x 2 において,x の変域が -2 x 3 のとき, y
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(比例と反比例の応用/点の移動/速さ)
FdDt 中間期末過去問題 中学数学 1 年 ( 比例と反比例の応用 / 点の移動 / 速さ ) http://www.fdtet.com/dt/ 水そうの問題 [ 問題 ](2 学期期末 ) 水が 200 l 入る水そうに, 毎分 8 l の割合で水を入れていく 水を入れはじめてから 分後の水の量を y l とするとき, 次の各問いに答えよ (1), y の関係を式に表せ (2) の変域を求めよ
【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(平行四辺形の性質/条件/等積変形)
FdData 中間期末 : 中学数学 2 年 : 四角形 [ 平行四辺形の性質 / 平行四辺形になることの証明 / 平行四辺形についての計算問題 / いろいろな四角形 / 平行線と面積 /FdData 中間期末製品版のご案内 ] [FdData 中間期末ホームページ ] 掲載の pdf ファイル ( サンプル ) 一覧 次のリンクは [Shift] キーをおしながら左クリックすると, 新規ウィンドウが開きます数学
1 次の (1) から (4) までの各問いに答えなさい (1) ' を計算しなさい (2)2#(-5 2 ) を計算しなさい 中数 A 1
平成 26 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
(Microsoft Word - part2.docx)
2 章図形と角の性質 () 鋭角 (2) 直角 () 鈍角 (4) 平行 :A//D 垂直 :A D 2 () x= 60 (2) x= 80 () x= 07 (4)60 (5)20 () e (2) g () f (4) c (5) w (6) s (7) x (8) r 4 () x = 65 (2) x = 45 () x = 85 y = 60 (4) x = 02 (5) x = 45
数論入門
数学のかたち 共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1 テーマ メネラウスの定理 チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える 共線 点が同一直線上に存在 共点 直線が 1 点で交わる 2 内容 I. メネラウスの定理 1. メネラウスの定理とその証明 2. メネラウスの定理の応用 II. 3. チェバの定理とその証明 メネラウスの定理 チェバの定理の逆 1. メネラウスの定理の逆
( 表紙 )
( 表紙 ) 1 次の各問いに答えなさい. 解答用紙には答えのみ記入すること. ( 48 点 ) (1) U108 -U8 %5U6 + 7 U を計算しなさい. () 15a 7 b 8 &0-5a b 1& - 8 9 ab を計算しなさい. () + y - -5y 6 を計算しなさい. (4) 1 4 5 の 5 枚のカードから 枚を選び, 横に並べて 桁の数を作 るとき, それが の倍数になる確率を求めなさい.
() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, =
図形の性質演習題 解法例 //F,F// より, 四角形 F は平行四辺形である よって,=F は の中点だから,= ~ より, 四角形 F は平行四辺形である したがって, 平行四辺形 F の対角線の交点を P とすると, 平行四辺形の性質より,P=P P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 また, 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7
FdData中間期末数学3年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 3 年 http://www.fdtext.com/dat/ 相似比と面積比 [ 相似比と面積比 1] [ 問題 ](3 学期 ) 右の図の 2 つの円 A,B について, 次の各問いに答えよ (1) A,B の円の相似比を求めよ (2) A,B の円の面積をそれぞれ求めよ (3) 面積の比を求めよ (1) (2)A B (3) [ 解答 ](1) 7:10
Taro-1803 平行線と線分の比
平行線と線分の比 1 4 平行線と線分の比 ポイント : 平行な直線がある つの三角形の線分の比について考える 証明 右の図で で とする (1) は と相似である これを証明しなさい と において から 平行線の ( ) は等しいから 9c = ( ) 1 = ( ) 1, より ( ) がそれぞれ等しいので 相似な図形になるので相似比を利用して () : の相似比を求めなさい 対応する線分の長さを求めることができる
【】三平方の定理
FdText 数学 3 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 三角形 x を求めよ (3) (4) (5) (6) (3) (4) (5) (6) [ 解答 ] (1) 34 cm (2) 2 2 cm (3) 13cm (4) 2 7 cm (5) 5 3cm (6) 11 cm - 1 - 次の三角形, 台形の高さ (h) を求めよ (3) (4) (3)
3-category
3-category alg-d http://alg-d.com/math/kan_extension/ 2018 年 8 月 29 日 次元がもう一つ上がり,2-morphism の間の射も存在するのが 3-category である. 即ち定義. (at-at)- 豊穣圏を strict 3-category という. 3-category の場合も weak バージョンがあり, それを tricategory
< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A>
数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点 は辺 を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点 は辺 を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点 は辺 を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線 は の二等分線であるから :=: 直線 は の二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=:
2015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名
015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名 正負の数 (1) 6-1 4 3 を計算しなさい () 6-4 ( -3) を計算しなさい (3) 4+5 ( -6) を計算しなさい 正負の数指数を含む計算 (4) 3-3 - 3 1 を計算しなさい 1 1 3 (5) ( 3- ) + - 4 を計算しなさい (6) 9 5 3 1 - - 3 6 を計算しなさい 3 (7) { (
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 図形と計量 三角形の面積 三角形の面積 の面積を S とすると, S in in in 解説 から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in より, S H in H STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in(
紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 2 個 固定固定固定 固定 2 個 2 個 固定 固定 3 個 3 個 固定 3 個 4 個 4 個
紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 個 固定固定固定 固定 個 個 固定 固定 個 個 固定 個 4 個 4 個 * 隣り合う辺を結んで折るとき 最大 個 * 向かい合う辺を結んで折るとき 最大 4 個 < 問題 > 固定される場合 その位置はどこか? そのときの相似比はいくらか? 返上を移動する場合 その範囲はどうか? 合同になるときはあるか? それはどんなときか?
年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0y) 4 ()(-9χ-y) χ+5y -χ -4y ()(-6a-9ab) (4)(5χ +5χ-0) (-5) -a- a-ab ab -χ -χ+6 次の計算をしなさい ()(χ+4y)+(χ-4y) ()(4a-b)+6
年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + y - χ - y ab-a - χ - y 6 次の計算をしなさい - ()(χ+y)+( 4χ +y) ()(χ y)+(χ +5y) - - χ + y 5χ + y ()(4χ-y)-(5χ-y) (4)(-χ-8+y)+(χ+5y)
平成 25 年度京都数学オリンピック道場 ( 第 1 回 ) H 正三角形 ABC の外接円の,A を含まない弧 BC 上に点 P をとる. このとき, AP = BP + CP となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4APC = 4ABC = 60, であるから, 図のよ
1 正三角形 の外接円の, を含まない弧 上に点 をとる. このとき, = + となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4 = 4 = 60, であるから, 図のように直線 上に点 を, 三角形 が正三角形となるようにとることができる. 三角形 と三角形 において, =, = であり, 4 = 4 = 60, - 4 であるから, 辺とその間の角がそれぞれ等しく, 三角形 と三角形 は合同である.
平成25年度全国学力・学習状況調査：調査問題の内容/中学校/数学Ａ｜国立教育政策研究所 National Institute for Educational Policy Research
平成 25 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります すべ 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
iii 1 1 1 1................................ 1 2.......................... 3 3.............................. 5 4................................ 7 5................................ 9 6............................
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 次
![夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 次](/thumbs/88/115011777.jpg "夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 次")
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 第 講 三角比 データの分析 ABC は AB=,BC=,AC= を満たす ⑴ cos B= アイ である 辺 BC 上に点 D を取り, ABD の外接円の半径を R とするとき, AD R = ウであり, 点 D を点 B から点 C まで移動させるとき,R の最小値はエである ただし, 点 D は点 B とは異なる点とする ⑵ ABD の外接円の中心が辺
2016発展新演習春期数学中3（01-06）.indd
を利用した多項式や単項式の乗除の計算ができるようにする 式の値では, できるだけ式を簡単にしてから代入し, 式の値を求めるようにする 等式変形や連立方程式を解けるようにする 導入 この課では, 多項式の加減や単項式の乗除, 式の値や等式変形, 連立方程式を復習する これらは中学 3 年の学習においても多く利用するものであり, 今まで以上に正確に, より素早く計算できるようにしたい 基本的な計算方法などは既習内容と同じだが,
熊本県数学問題正解
00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (
<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364>
4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において,
数学 Ⅲ 無限等比級数の問題解答 問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は ( 答 ) であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって
問 1 次の無限級数の和を求めよ (1) (5) (2) (6) (7) (3) ( 解 )(1) 初項 < 公比 < の無限等比級数より収束し (4) (2) (3) その和は であるから 初項 < 公比 となっている よって 収束し その和は よって 収束し その和は < の無限等比級数 であるから 初項 < 公比
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平成 28 年度全国学力 学習状況調査 中学校数学 2 特徴的な問題 A 問題より A B C 垂線の作図方法について理解しているかどうか 3 関連問題 問題番号 問題の概要 全国正答率 三重県 公立 正答率 H24A 4 (1) 角の二等分線の作図の方法で作図された直線がもつ性質として, 正しい記述を選ぶ 58.2% 56.9% H26A 4 (2) 線分の垂直二等分線の作図の方法で作図される直線について,
48 * *2
374-1- 17 2 1 1 B A C A C 48 *2 49-2- 2 176 176 *2 -3- B A A B B C A B A C 1 B C B C 2 B C 94 2 B C 3 1 6 2 8 1 177 C B C C C A D A A B A 7 B C C A 3 C A 187 187 C B 10 AC 187-4- 10 C C B B B B A B 2 BC
2016年度 広島大・文系数学
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を正の定数とし, 座標平面上において, 円 C : x + y, 放物線 C : y ax + C 上の点 P (, ) を考える - におけるC の接線 l は点 Q( s, t) でC に接してい る 次の問いに答えよ () s, t および a を求めよ () C, l および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ () 円 C
20～22.prt
[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点
【】平行四辺形の性質①（向かい合う辺が等しい）
FdText 数学 2 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 平行四辺形の性質 1( 向かい合う辺が等しい ) 次の図を使って, 平行四辺形の2 組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことを証明せよ ABCと CDAにおいて, ACは共通 1 AD // BCなので, 錯角が等しく, BCA= DAC 2 AB // DCなので, 錯角が等しく, BAC= DCA
3 1 1 BCA ACD HP A AB BC ABC ONP x AM, CN x 30 DM DM! CN CN AM AMD 10 1 AB AC
3 BCA ACD HP A AB BC ABC ONP x AM, CN x 30 DM DM!CN CN AM AMD 0 AB AC AMD3AMB3030 x x x 0,60,50,30,30 ABCD AC, BD ABD, DBC, BCA, ACD BDA x BDC 80 AB AD ABD sin x sin AD AC ACD sin sin x AC ABC sin AB sin
EPSON VP-1200 取扱説明書
4020178-01 w p s 2 p 3 4 5 6 7 8 p s s s p 9 p A B p C 10 D p E 11 F G H H 12 p G I s 13 p s A D p B 14 C D E 15 F s p G 16 A B p 17 18 s p s 19 p 20 21 22 A B 23 A B C 24 A B 25 26 p s p s 27 28 p s p
Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき,
図形と計量 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする 地点の目の位置 ' から 木の先端への仰角が 0, から 7m 離れた Q=90 と なる 地点の目の位置 ' から木の先端への仰角が であ るとき, 木の高さを求めよ ただし, 目の高さを.m とし, Q' を右の図のように定める ' 0 Q' '.m Q 7m 要点 PQ PQ PQ' =x とおき,' Q',' Q' を
年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0) 4 =x ()(-9χ-) =-9x - χ+5 -χ -4 ()(-6a-9ab) = - 6 a - 9 a b (4)(5χ +5χ-0) (-5) =5x (- 5 )+5x (- 5 )+(-0) (
年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ =( 9-)a+(-6+5)b =(-)χ +(-6-)χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + - χ - =(5-)ab+(-6+5)a =( - )x+( - ) 次の計算をしなさい ab-a - χ - 6 - ()(χ+)+( 4χ +) ()(χ
相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を
台形に潜むいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 台形に調和平均 相加平均をみる 右図の台形 において = = とする の長さを, を用いて表してみよう = x = y = c とすると であることから : = : より c y = x + y であることから : = : より c x = x + y を辺々加えると x + y c + = より + = x + y c となる ここで = = c =
1 6 2011 3 2011 3 7 1 2 1.1....................................... 2 1.2................................. 3 1.3............................................. 4 6 2.1................................................
DEF ABC の外接円に内接する種々の DEF について, の値 ABC 点 P を ABC 内の点とし,AP,BP,CP をそ れぞれ延長し, ABC の外接円との交点をそ れぞれ D,E,F とする また,AD と BC,BE と CA,CF と AB との交点をそれぞれ L,M, DEF N
の外接円に内接する種々の について の値 点 P を 内の点とし PBPP をそ れぞれ延長し の外接円との交点をそ れぞれ DEF とする また D と BBE と F と B との交点をそれぞれ LM N とする 次の種々の点 P に対して の値を 辺 と を用いて表せ ただし (7) については = の使用も 可とする また (0) については さらに ot の使用も可とする ( 二等辺三角形を
1 次関数 1 次関数の式 1 次の表は, ろうそくを燃やした時間 x 分と残りのろうそくの長さ ycm の関係を表しています 次の問いに答えなさい x( 分 ) y(cm ) (1) 上の表のをうめなさい (2) ろうそくは,5 分間に何 cm 短くなっていく
次関数 次関数の式 次の表は, ろうそくを燃やした時間 分と残りのろうそくの長さ cm の関係を表しています 次の問いに答えなさい ( 分 ) 0 5 0 5 (cm ) 0 () 上の表のをうめなさい () ろうそくは,5 分間に何 cm 短くなっていくか () ろうそくは, 分間に何 cm の割合で短くなっていくか () ろうそくは, 分間に何 cm の割合で短くなっていくか (5) ろうそくの長さ
Taro-3.jtd
演習問題集応用編 6 年上 第 3 回のくわしい解説 問題 ページ 応用問題 A 1(1) 2 (2) 4 (3) 5 2(1) 7 (2) 9 3(1) 10 (2) 12 4(1) 14 (2) 15 (3) 16 5(1) 17 (2) 19 (3) 20 応用問題 B 1(1) 22 (2) 24 2(1) 26 (2) 30 3 34 4(1) 36 (2) 38 すぐる学習会 - 1 -
木村の理論化学小ネタ 体心立方構造 面心立方構造 六方最密構造 剛球の並べ方と最密構造剛球を平面上に の向きに整列させるのに次の 2 つの方法がある 図より,B の方が A より密であることがわかる A B 1
体心立方構造 面心立方構造 六方最密構造 剛球の並べ方と最密構造剛球を平面上に の向きに整列させるのに次の 2 つの方法がある 図より,B の方が A より密であることがわかる A B 1 体心立方構造 A を土台に剛球を積み重ねる 1 段目 2 2 段目 3 3 段目 他と色で区別した部分は上から見た最小繰り返し単位構造 ( 体心立方構造 ) 4 つまり,1 段目,2 段目,3 段目と順に重ねることにより,
課題 次の つの図形が相似であるとき角の大きさや対応する 辺の長さはどのような関係があるかを調べなさい A D B C E F 角の大きさについて 辺の長さについて 対応する角の大きさが等しい 対応する線分の長さの比が全て等しい 相似な図形の性質 まとめ 相似な図形では 相似な図形では 対応する線分
目標相似とは何かが説明でき性質を利用して問題が解ける あるキャラクターを町で見つけ写真を撮りましたすると とても小さくて見づらく写ってしまいました 課題 見やすくする方法を考えよう 僕が誰だか分かるかな? どんな方法があるだろう ( メモ欄 ) 虫 メガネで見る コピー木幾で拡大する など 倍に拡大 _ 誥に縮小 相似 について まとめ 拡大形を変えずに, 一定の割合で大きくすること 縮小 " 小さくすること
IMO 1 n, 21n n (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a
1 40 (1959 1999 ) (IMO) 41 (2000 ) WEB 1 1959 1 IMO 1 n, 21n + 4 13n + 3 2 (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a = 4, b =
2 (1) a = ( 2, 2), b = (1, 2), c = (4, 4) c = l a + k b l, k (2) a = (3, 5) (1) (4, 4) = l( 2, 2) + k(1, 2), (4, 4) = ( 2l + k, 2l 2k) 2l + k = 4, 2l
ABCDEF a = AB, b = a b (1) AC (3) CD (2) AD (4) CE AF B C a A D b F E (1) AC = AB + BC = AB + AO = AB + ( AB + AF) = a + ( a + b) = 2 a + b (2) AD = 2 AO = 2( AB + AF) = 2( a + b) (3) CD = AF = b (4) CE
A(6, 13) B(1, 1) 65 y C 2 A(2, 1) B( 3, 2) C 66 x + 2y 1 = 0 2 A(1, 1) B(3, 0) P 67 3 A(3, 3) B(1, 2) C(4, 0) (1) ABC G (2) 3 A B C P 6
1 1 1.1 64 A6, 1) B1, 1) 65 C A, 1) B, ) C 66 + 1 = 0 A1, 1) B, 0) P 67 A, ) B1, ) C4, 0) 1) ABC G ) A B C P 64 A 1, 1) B, ) AB AB = 1) + 1) A 1, 1) 1 B, ) 1 65 66 65 C0, k) 66 1 p, p) 1 1 A B AB A 67
立体切断⑹-２回切り
2 回切り問題のポイント 1. 交線を作図する 2つの平面が交わると 必ず直線ができます この直線のことを 交線 ( こうせん ) といいます 2. 体積を求める方法は次の 3 通りのどれか! 1 柱の体積 = 底面積 高さ 1 2 すいの体積 = 底面積 高さ 3 3 柱の斜め切り= 底面積 高さの平均 ただし 高さの平均が使えるのは 底面が円 三角形 正方形 長方形 ひし形 平行四辺形 正偶数角形のときだけ
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 3 年 : 仕事 [ 仕事の原理 : 斜面 ] [ 仕事の原理 引く力 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 図のような斜面を使って質量 35kg の物体を 3m の高さまで引き上げた ただし, ひもの重さ, 斜面や滑車の摩擦はないものとする また,100g の物体を引き上げるのに必要な力を 1N とする (1) このとき, 物体がされた仕事はいくらか (2) 図のとき,
( )
18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................
問 題
数学 出題のねらい 数と式, 図形, 関数, 資料の活用 の 4 領域について, 基礎的な概念や原理 法則の理解と, それらに基づき, 数学的に考察したり, 表現したり, 処理したりする力をみることをねらいとした () 数と式 では, 数の概念についての理解の程度, 文字を用いた式を処理したり, 文字を用いて式に表現したりする力, 目的に応じて式を変形する力をみるものとした () 図形 では, 平面図形や空間図形についての理解の程度,
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( )!? 1 1. 0 1 ..1 6. 3 10 ffi 3 3 360 3.3 F E V F E + V = x x E E =5x 1 = 5 x 4 360 3 V V =5x 1 3 = 5 3 x F = x; E = 5 x; V = 5 3 x x 5 x + 5 3 x = x =1 1 30 0 1 x x E E =4x 1 =x 3 V V =4x 1 3 = 4 3 x
2015－2017年度 ２次数学セレクション（複素数）解答解説
05 次数学セレクション解答解説 [ 筑波大 ] ( + より, 0 となり, + から, ( (,, よって, の描く図形 C は, 点 を中心とし半径が の円である すなわち, 原 点を通る円となる ( は虚数, は正の実数より, である さて, w ( ( とおくと, ( ( ( w ( ( ( ここで, w は純虚数より, は純虚数となる すると, の描く図形 L は, 点 を通り, 点 と点
頻出問題の解法 4. 絶対値を含む関数 4.1 絶対値を含む関数 絶対値を含む関数の扱い方関数 X = { X ( X 0 のとき ) X ( X <0 のとき ) であるから, 絶対値の 中身 の符号の変わり目で変数の範囲を場合分けし, 絶対値記号をはずす 例 y= x 2 2 x = x ( x
頻出問題の解法 4. 絶対値を含む関数 4.1 絶対値を含む関数 絶対値を含む関数の扱い方関数 X = { X ( X 0 のとき ) X ( X
12~
R A C D B F E H I J K A A A A A A A A A A AD B C BD AD E A DB DB ADB D D DB BD A C D B F E AD B B B B BF AD B B DB B B B B DB B DB D D ADB D D D D D AB AD D DB AB B B B F D D B B D D BF DBF B B B FD
SO(2)
TOP URL http://amonphys.web.fc2.com/ 1 12 3 12.1.................................. 3 12.2.......................... 4 12.3............................. 5 12.4 SO(2).................................. 6
2016年度 九州大・理系数学
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S,
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 平面のベクトル 例題 1 つなぐ, 伸ばす / 正多角形正 n 角形問題を解くとき注目すべき主な点 角 図形点について頂点, 辺の中点, 外接円の中心角について円周角, 中心角図形について頂点を結んで
平面のベクトル 例題 つなぐ, 伸ばす / 正多角形正 n 角形問題を解くとき注目すべき主な点 角 図形点について頂点, 辺の中点, 外接円の中心角について円周角, 中心角図形について頂点を結んでできる平行四辺形 ( ひし形 ) または三角形頂点, 外接円の中心, 辺の中点を頂点とする直角三角形別解頂点を結んでできる平行四辺形 ( ひし形 ) と三角形に注目して解く A B E F C D 図より,
<4D F736F F D208FAC5F8E5A5F355F88C08C7C8D E7397A789C288A48FAC2E646F6378>
安芸高田市立可愛小学校第 5 学年算数科学習指導案指導者末永裕子 1 日時平成 25 年 11 月 6 日 水 2 学年第 5 学年 31 名 3 単元図形の角 4 単元について 本単元では, 図形についての観察や構成などの活動を通して, 平面図形について理解を深める 学習指導要領 C1 ことをねらいとしている 本単元では, まず三角形の内角の和を帰納的に求める学習を行い, 次に四角形の内角の和を三角形の内角の和から演繹的に求める
4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた 平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1
平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 A B AB AA AB + AC AA + AB AA AB + AC AB AB + AC + AC AB これと A B ¹, AB ¹ より, A B // AB \A B //AB A C A B A B B C 6 解法 AB b, AC とすると, QR AR AQ b QP AP AQ AB + BC b b + ( b ) b b b QR よって,P,
PSCHG000.PS
a b c a ac bc ab bc a b c a c a b bc a b c a ac bc ab bc a b c a ac bc ab bc a b c a ac bc ab bc de df d d d d df d d d d d d d a a b c a b b a b c a b c b a a a a b a b a
<4D F736F F D F90948A F835A E815B8E8E8CB189F090E05F81798D5A97B98CE38F4390B A2E646F63>
07 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅰ A 第 問 9 のとき, 9 アイ 0 より, 0 であるから, 次に, 解答記号ウを含む等式の右辺を a とおくと, a a a 8 a a a 8 a これが 8 と等しいとき,( 部 ) 0 より, a 0 よって, a ウ ( 注 ) このとき, 8 9 (, より ) 7 エ, オカ また,より, これより, 9 であるから, 6 8 8 すなわち,
【FdData中間期末過去問題】中学数学3年(二次方程式応用/係数/数/面積･体積/動点)
FdData 中間期末 : 中学数学 3 年 : 二次方程式応用 [ 係数の決定 / 整数の問題 / 面積 体積の問題 / 動点の問題 ] [ 数学 3 年 pdf ファイル一覧 ] 係数の決定 [ 係数 a を求める ] 二次方程式 + a = 0 の 1 つの解が 3 であるとき, a の値を求めよ また, もう 1 つの解を求めよ a = = a = 3 = 1 + a = 0 1の解の 1
25math3
2 年 1 組数学科学習指導案 平成 25 年 10 月 28 日 ( 月 ) 3 校時場所 2 年 1 組教室指導者小林剛 1) 単元名平面図形の性質と図形の合同 2) 単元の目標 平行線や角の性質 多角形の内角 外角の和の性質など 基本的な図形の性質に関心をもち それを確かめようとする 数学への関心 意欲 態度 平行線や角の性質 多角形の内角 外角の和の性質などを 基本的な図形の性質を帰納的な考え方や類推的な考え方
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 )
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください
( )
5 60 2 1 54 ( ) 0.8 2 37 3 180 4 1 9 123654789 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 32 4 9 3 8 2 5 6 0 7 30 36 24 8 8 6 450 3 9 26 5 2 2016 2013-2015 14 10 ABC 24DEF BCADAB BEF A F E B D C 11 4 4 1 5 5 2 6 6 3 12 54 24
1 1 3 ABCD ABD AC BD E E BD 1 : 2 (1) AB = AD =, AB AD = (2) AE = AB + (3) A F AD AE 2 = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD 1 1
ABCD ABD AC BD E E BD : () AB = AD =, AB AD = () AE = AB + () A F AD AE = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD AB + AD AB + 7 9 AD AB + AD AB + 9 7 4 9 AD () AB sin π = AB = ABD AD
座標軸以外の直線のまわりの回転体の体積 ( バウムクーヘン分割公式 ) の問題の解答 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 に
立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 による立体の断面積を とする 図 1の から までの斜線部分の立体 の体積を とすると, 図 2のように は 底面積 高さ の角柱の体積とみなせる よって 図 2 と表せる ただし とすると,
解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 29 年 12 月 17 日実施 ) 数 学 数学 2= 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 1 整理して (60 分 100 点 ) (2 3+ 2)(
解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 9 年 月 7 日実施 ) 数 学 数学 = 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 整理して (60 分 00 点 ) 3+ ( 3+ )( 6 ) ( 与式 ) = = 6 + + 6 (3 + ) すなわち 5 6 (5 6 )(3+ ) = = 3 9 8 = 4 6
全都道府県 公立高校入試 数学 単元別
学習塾 家庭教師の先生方へ よく受ける質問内容をもとに この教材の効果的な使い方をお伝えいたします 特に中学 3 年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります 中学 1 2 年生の学年では 1 年間で数学の教科書 1 冊を終えればよいのですが 3 年生の場合はそういうわけにはいきません 3 年生の 1 年間で 3 年生の教科書 1 冊と受験対策 (1 年 ~3 年
1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C
0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,
EPSON LP-S7000 セットアップガイド
h h h h h h h h h h h h h h h abc ade o n A A B o C F D G E o H B G n K I L M I K J o o C A D B E F G h h h h h h h abc ade B ade A C D F E G A C h ade A C D B o ade E G H F G I F J M K N L O A B n C P
. 角の二等分線と調和平均 平面上に点 を端点とする線分 と を重ならないようにとる, とし とする の二等分線が線分 と交わる点を とし 点 から に垂直に引いた直線が線分 と交わる点 とする 線分 の長さを求めてみよう 点 から に垂直な直線と および との交点をそれぞれ, Dとする つの直角三
角の二等分線で開くいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 0. 数直線上に現れるいろいろな平均下図は 数 (, ) の調和平均 相乗平均 相加平均 二乗平均を数直線上に置いたものである, とし 直径 中心 である円を用いていろいろな平均の大小関係を表現するもっとも美しい配置方法であり その証明も容易である Q D E F < 相加平均 > (0), ( ), ( とすると 線分 ) の中点 の座標はである