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へいぞうしもね
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1 有限図形の代数的表現について三角形や星型を式で表現したいという思いから以下のことを考察をしました有限個の点と辺で構成される図形を関数で表現するそのため基礎体として素数の有限体を考える但し扱うのは点の数と辺の数が等しい特別場合である先ず P5 のときから始めることにします. グラフと写像と関数について ( 特別な場合 ) 集合 F {,,,, } について写像 f : F F を考える 5 このような写像は 5 5 個あります ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) f a f b f c f d f e となる写像を f a b c d e ( ) abcde,,,, a b または c 列ベクトル表示をする d e 次に円周上に 5 個の点を等間隔にとり上から ( 時 ) 左回りに,,,, と点に名前をつけます注意このは便宜上のことでありこれからの議論に適用されない例えば f (,,,,) の表すグラフとは有効グラフでを表すことができます更にここで有限体 F 5 上の関数を考えますたとえば ( ) f x x + x + x + x+ x x f ( ) x は上のグラフを表す関数であることがわかります

2 f ( x) A + Bx + Cx + Dx + Ex のときその係数をとって ( A, BCDE,,, ) と表す p F 上の写像を全て F5 [ x] の次以下の関数で表すことができる写像と関数が対に対応する証明 x + は写像 (,,,,) を表すので写像 ( abcde,,,, ) を表す関数は ( ) ( ) { } { ( ) } { ( ) } { ( ) } a x + + b x + + c x + + d x + + e x + ( ) ( ) ( ) ( ) a+ b+ c+ d + e x + b+ c+ d + e x + b+ c+ d + e x + b+ c+ d + e x+ a つまり a a b b+ c+ d + e c b+ c+ d + e d b+ c+ d + e e a+ b+ c+ d + e また逆に次以下の関数は F 上の写像を表す p 整式の表す写像は x,,,, A Bx Cx Dx Ex を代入して A A A + B+ C+ D+ E B A + B+ C+ D+ E C A + B+ C+ D+ E D A + B+ C+ D+ E E と表せる p

3 A, B とおくと AB I, A, B が成り立つ (A B をそれぞれ変換行列とよぶ ) また A の各行は関数 x, x, x, x, + の値になっている B の各列は関数, x, x, x, x の値になっている一般の P( 素数 ) のとき写像から関数への変換行列を A 関数から写像への変換行列を B とするとき上のことが成り立つつまり ( p ) p x + の値を行目とする L ( p ) x の値を行目とする M ( p ) の値を p 行目とする p p L p p p A ( p ) ( p ) k ( p ) 証明写像 ( a,,, a ap ) L をもつ関数は ( ) k ( ) { } p { ( ) } a x + + L+ a x k + L+ a x p+ + であり L a M p p M ( p ) ( p ) k ( p ) ak M p L p a p 定数項は a p x の係数は a( p ) + + ap ( p ) と比較すると L で一致する

4 関数の x ( p p ) の係数は a ( p ) C ( k) k x ( p ) k p 一方行列計算によるの係数は p k k p ( ) a p k p よって p C( ) p が成り立てばよい一般に C + C C が成り立つので np 素数のとき n r n r+ n r+ C + C C また p C p r p r+ p r+ より ( ) p C なので p p C( ) が成り立つよって全ての係数で一致していることが示されたまた B ついては整式 A + + Ax + + A x p L L p の表す写像は A M p A + L+ Ak + L+ Ap k M A + L+ A( p ) + L+ Ap ( p ) となるので p L L A M M M p L k L k A M M M p ( p ) ( p ) A L L p p 証明終わり

5 L p p A M ( p ) ( p ) k ( p ) p p L L L M M p B L k L k AB I M M p ( p ) ( p ) L L また AB の列目の行目以外はになるので p k ( p ) x ( k p ) つまり x ( ) + k + k + L + ( p ) k od p ( k p ) が成り立つこれは k が奇数のときは自明である x p x k 具体的には ( ) k が成り立つので k が偶数のとき k k p + L + ( od p) 但し k < p が成り立つ + od5,+ + od7, od od7, od n 一般の整数において f( n) k ( 累乗和 ) は nの多項式で表される k この分数係数の分母の最小公倍数を a とすると gn ( ) af( n) は整数係数の n の関数となる gn ( ) をn+で割った商を hn ( ), 余りをrとする n p を代入すると 5

6 p p p ( ) ( ) {+ + L+ } od g af a p となり一方 p p p g( ) ( + ) h( ) + r od p, つまり r odp ここで p は任意で成り立つので r が偶数のときf( n) はn+ を因数にもつことがわかる実際 n k n k n k ( + )( + ) 6 k n n n ( + )( + )( + ) k n n n n n ( )( )( 6 + ) 6 k n n+ n+ n + n n 6

元の写像と一致するので a b a のとき b, c, d, e b c a のとき b, c, d, e c d d e e a となり a のとき b, c, d, e a のとき b,

7 . 回転合同について回転によって重なるグラフを回転合同 ( 単に合同 ) と呼ぶことにするつまりこれらは右または左に回転させれば重なるので回転合同である元の写像に対して右につ回転する写像を考えると番号の付け替えによる違いなので a b c d e a b c d e b c d e a となるつまりまずこの回転に対して不変なものを考えると元の写像と一致するので a b a のとき b, c, d, e b c a のとき b, c, d, e c d d e e a となり a のとき b, c, d, e a のとき b, c, d, e a のとき b, c, d, e それぞれの写像に対応する関数は上から順に x, x+, x+, x+, x+ の5つの次関数であるそれぞれのグラフは左からの 5 つが存在する 7

8 回転合同の 5 つの写像を行列の形でまとめると a b c d e a b+ c+ d + e+ b c d e a b c+ d + e+ a+ c d e a b c d + e+ a+ b+ d e a b c d e+ a+ b+ c+ e a b c d e a+ b+ c+ d + となる関数 ( ) F x, α Ax ( + α) + Bx ( + α) + Cx ( + α) + Dx ( + α) + E+ α α,,,,の関数に対応する写像は右回転の関数がそれぞれ対応するの f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(, ) f(,) f(, ) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) E A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ E+ A+ B+ C+ D+ E A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E A+ B+ C+ D+ E+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ A+ B+ C+ D+ E+ 標準形 ( 次数次の項がない形 ) ( α ) ( α) ( α) 次関数のとき A x+ + B x+ + C x+ + D+ α ( ) ( ) 次関数のとき A x+ α + B x+ α + C+ α ( α) ( α) 次関数のとき A x+ + B+ α 次関数のとき A x+ + α 次式について考えるとどの任意の次式 A x + Bx + C x + Dx+ E 対してもただ一つの標準形 ( 次の項が抜けた ) が対応する 8

9 Ax Cx Dx E ( + α) + ( + α) + ( + α) + + Ax + Aαx + Aα x + Aα x + Aα + Cx + Cαx + Cα α なので係数を比較して + Dx + Dα + E + α B A A, α, C C Aα, D D Aα, E E Aα Cα Dα α A とすればよい以上によって回転合同の5つの関数は同じ次数であり最高次の係数が同じであり標準形によって一つにまとめることができる次式次式次式についてもそれぞれ標準形にまとめることができる回転合同のつの関数を f, f としたとき適当な行列 C が存在して Cf f を満たし更に他の5つの回転合同の関数に対しても満たしている具体的な例としてこの行列は一つの関数を右へ個回転した関数に移す関数が次式のとき回転合同な関数は a b+ c+ d + e+ b c d e a c d + e+ a+ b+ d e+ a+ b+ c+ e a b c d a b+ c+ d + e+ b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+ b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+ b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+ b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d + e b+ c+ d + e+ a c+ d + e+ a+ b d + e+ a+ b+ c e+ a+ b+ c+ d となりこれに回転する行列 C をかければよい 9

10 x C 但し a+ b+ c+ d + e なので x + ( a+ b+ c+ d + e) 関数が次式のときこれにかける右へ一つの回転行列は x 但し a+ b+ c+ d + e なので x + (b+ c+ d + e) 関数が次式のときこれにかける右へ一つの回転行列 x 但し a+ b+ c+ d + e かつb+ c+ d + e なので x + (b+ c+ d + e) とおけばよい関数が次式のとき x 但し a+ b+ c+ d + e かつb+ c+ d + e かつb+ c+ d + e なので x + (b+ c+ d + e) とおけばよい関数が定数のときは明らかに x

11 どの x の値も以外の数をとる一般の素数 P の場合の右個の回転行列は次数によって少し異なるが p れば P L C p p p p M O M p Ck p C M C L x C M p 次であ関数 A x + A x +L+ A p p p p A ( x+ ) + A ( x+ ) + L+ A + p p p p の一つ右回転した関数は A x + ( A C + A ) x + L+ ( A + A + LA p p p p p p p p p +) なので L x A A + LAp + xap p Cp p C A p M M M O M A p Ck k p C M M M A A p C p p Ap C + p p L A A p p p p 行目以降は成り立っている一行目は A p ならば x + とすればよい A p 以上によって回転行列は一般に定数以外は P を満たす三角行列である回転合同な 5 つの写像で作る行列の乗は対称行列になる

12 a b+ c+ d + e+ a b c d e b c+ d + e+ a+ b c d e a c d + e+ a+ b+ c d e a b+ d e a b c d e a b c e a+ b+ c+ d + e a b c d これを展開して a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d は対称行列の積は対称行列なのでこれは対称行列となる具体的に計算すると a + b + c + d + e ab+ bc+ cd + de+ ea ac+ bd + ce+ da+ eb ad + be+ ca+ bd + ec ae+ ba+ cb+ dc+ ed ab + bc + cd + de + ea a + b + c + d + e ab + bc + cd + de + ea ac + bd + ce + da + eb ac + bd + ce + da + eb ac + bd + ce + da + eb ab + bc + cd + de + ea a + b + c + d + e ab + bc + cd + de + ea ac + bd + ce+ da+ eb ac + bd + ce + da + eb ac + bd + ce + da + eb ab + bc + cd + de + ea a + b + c + d + e ab + bc + cd + de + ea ae + ba + cb + dc + ed ac + bd + ce + da + eb ac + bd + ce + da + eb ab + bc + cd + de + ea a + b + c + d + e a b c d e A ab + bc + cd + de + ea B ac + bd + ce + da + eb C とおけば A B C C B B A B C C C B A B C C C B A B B C C B A の形となる a b c d e b c d e a c d e a b, a+ b+ c+ d + e d e a b c e a b c d

13 a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d 但し a+ b+ c+d となりつの行列をたすととなり a b+ c+ d + e+ A B C C B b c d e a B A B C C c d + e+ a+ b+ C B A B C+ d e+ a+ b+ c+ C C B A B e a b c d B C C B A の形となる対称行列の和はやはり対称行列なので以上により先のれたが示さ特に定数写像のとき

14 次の写像のとき回転合同の行列を X 対応する関数の行列を Y とすると a b+ c+ d + e+ b c d e a X c d + e+ a+ b+ d e+ a+ b+ c+ e a+ b+ c+ d + a b+ c+ d + e+ A B C C B b c d e a B A B C C X c d + e+ a+ b+ C B A B C+ d e+ a+ b+ c+ C C B A B e a b c d B C C B A a b c d e A ab + bc + cd + de + ea B ac + bd + ce + da + eb C a+ b+ c+ d a b+ c+ d + e+ b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+ b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d Y b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+ b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+ b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d + e b+ c+ d + e+ a c+ d + e+ a+b d + e+ a+ b+ c e+ a+ b+ c+ d 次式なので次次次の係数はで次の係数は合同なのですべて等しい次式は全単射なので, a+ b+ c+ d + e a + b + c + d + e ( a+ b+ c+ d + e) a + b + c + d + e ( ab ac ad ae bc bd be cd ce de) ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de

15 a+ b+ c+ d + e b+ c+ d + e, L,a+ b+ c+ d b+ c+ d + e c+ d + e+ a d + e+ a+b e+ a+ b+ c a+ b+ c+ d これを解くと a b+ c, d b+ c, e b+ c ab + bc + cd + de + ea (b+ c) b+ bc+ c(b+ c) + b+ c b+ c + b+ c b+ c ( )( ) ( )( ) b bc bc bc c b bc c b bc c 先の ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de より ab + bc + ce + da + eb なので ac + bd; ce + da + ea つまり A, B, C, 次の写像のとき X 二次の回転合同の写像を X とすると a+ b+ c+ d + e L b+ c+ d + e L 上と同様にしてを解くと a b+ c+ d, e b+ c+ d ab + bd + ce + da + eb ( b c d) b bd c( b c d) d( b c d) ( b c d)( b c d) b c d bc bd cd 同様につまり ab ac + bd + ce + da + eb b + c + d + bc + cd + cd + bc + cd + de + ea ac + bd + ce + da + eb ( a+ b+ c+ d + e) a + b + c + d + e + ( ab + bc + cd + de + ea + ac + bd + ce + da + eb) 5

16 a + b + c + d + e, ab + bc + cd + de + ea ac + bd + ce + da + eb より a + b + c + d + e ab + bc + cd + de + ea が成り立つ以上により X の乗は成分がすべて同じ定数行列になる具体的には二次式を x α β γ α x,,,, を代入して, a γ, b α + β + γ, c α + β + γ d α + β + γ, e α + β + γ a + b + c + d + e + x+ とすると α ( α β γ) ( α β γ) ( α β γ) ( α β γ) α または X 次の関数のときとなる. 反転合同について反転によって重なるグラフを反転合同とよぶことにするつまり 6

17 軸対称ををををはそのままに式で表すと ( ) ( ) p この変換を行列で表すと Ax ( + α) + Cx ( + α) + Dx ( + α) + E+ α に対してその反転は p α,,,, に対する関数を Ax + Bx + Cx + Dx+ E ( ) として E E E E E D D D D D C C C C C B B B B B A A A A A やはりその 5 つの式も回転合同で標準形でによって反転すると ' ' ' ' A( x+ α) + C ( x+ α) + D( x+ α) + E + α Ax ( α) Cx ( α) Dx ( α) E α と表される 7

18 ' ' ' ' A AC, C, D DE, E それぞれの対応は α,,,, の右回転に対して α,,,, の左回転が対応する標準形は標準形に対応する他の軸に対する反転も右回転して後反転し更にもとに左回転して戻せばこの5つのどれかに対応している事がわかる,,,の軸に反転するときは標準形は標準形に対応しない反転に対して不変なものは軸対称ををををはそのままに a b c d e a b c d e a e d c b a a, b e, c d, d c, e b a, b+ e, c+ d を解くとなので bc, の取り方で決まり 5 種類あるつまり軸対称な図は 5 種類ある. サイクル合同二つの図形がサイクルを持ちその向きだけが逆順になってい 8

19 るときサイクル合同という三角形のサイクル種四角形サイクル種の合計 5 種があるのサイクルを持つ図形は式を一つにまとめて表すことができる a,,,, のいずれかとして ( a のときは反転すればサイクル合同を得る ) a a + a + a + a + a a a a a a+ a a+ a+ a+ a+ a+ a+ a a a a a a でまとめると 9

20 ( + ) a x x x x a(x + x + x + x) + x + x + x+ a(x + x + x + x) + x + a(x + x + x + x) + x + x + x+ a x + x + x + x + x + x + x+ ( ) パラメータ α でまとめると { ( α) } ( α ) a x+ + + x+ + + α + 同様にしてサイクルが右回り負の回転の場合は { ( α) } ( α ) a x+ + + x+ + + α + a, α が等しければサイクル合同となる他の場合 { ( ) } ( ) a x+ α + + x+ α + + α + { ( α) } ( α ) a x+ + + x+ + + α + { ( α) } ( α ) a x+ + + x+ + + α + { ( α) } ( α ) a x+ + + x+ + + α + ax ( + α)( x+ α + )( x+ α + )( x+ α) + ( x+ α + ) + α ax ( + α)( x+ α + )( x+ α + )( x+ α) + ( x+ α + ) + α a( x+ α)(x+ α + )(x+ α + )(x+ α) + (x+ α + ) + α a( x+ α)(x+ α + )(x+ α + )(x+ α) + (x+ α + ) + α 三角のときは標準形を表す通り

21 具体的にサイクル合同を求めると (,) の互換によりのサイクル合同は関数ではとなり a b c a b a p p p p となるように abc,, を定めることができる他の 5 つの回転合同な関数もそれぞれ右回転で対応する標準形どうしが対応する他のサイクル合同も適当な互換により逆回転を求めることができるグラフを見れば互換がすぐにわかるが関数から互換を判断するにはどうしたらいいか?

22 5. 全単射の関数次関数は明らかに全単射である Ax+ B( A ) に対してその写像の値は B B A B+ A B + A B + A B + A 全て値が異なるので全単射である p 通りある次関数は全単射にならない f x Ax Bx C A ( ) + + ( ) C C B C+ B+ A A C+ B+ A C+ B+ A C+ B+ A p B のときは f () f(), f() f() となる B のときは差をとって積を考えると B+ A B+ A B+ A B+ A ( )( )( )( ) ( )( ) B + A B + A B + A + なので f (), f(), f(), f() のいずれかは f () 次関数は全単射とならない a a b b+ c+ d + e c b+ c+ d + e d b+ c+ d + e e ( a+ b+ c+ d + e) 全単射ならば a+ b+ c+ d + e となり次関数とならない p に等しいので全単射とならない

23 x の値は,,,,であるから全単射であるよって x +, x +, x +, x + も全単射であるまたこれらは標準形なので更に通りあり f ( x) が全単射ならば kf ( x) も全単射である k の取り方通りなので結局 5 次関数の全単射と合わせて通り全てとなる一般の素数 P についても次関数は全単射次関数および P- 次関数については全単射ではないことがわかる全単射をグラフの立場から見ると各点の次数がすべてであること写像の立場からみると全射であること関数の立場から見ると p5のときは次関数のとき自明次関数のときは標準形が ( α ) D A x+ + + α の形 P7のときは次関数次関数 5 次関数が全単射になる事がわかる一般のときはどうなるか?

24 6. 置換写像の中で特に全単射のものを置換と呼ぶことにするしたがって全単射の関数が対応する次式か次式である置換 ( 名前の付け替え ) によって位相的に同型なグラフに移るこれを同型変換と呼ぶことにする S σσ a b c d e 写像全体 T σσ a b c d e 置換全体とすると同型変換は S: σ τ - στ τ T と表される互換 ( 通り ) とき成り立つ一般のときは互換の積で表されるので成り立つこの時 σ と - τ στ は位相的に同型である定義二つの関数の差が定数のとき同組と呼ぶことにするつまり f ( x) g( x) k(,,,,) 二つの関数が標準形の式で α の値の違いのみのとき合同と呼ぶことにする改めて標準形で定義したつまり F x α A x α C x α D x α E (, ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + f x F x α g x F x α ' ( ) (, ), ( ) (, ) 回転合同を改めて合同と言い直す α 二つの関数が以下の式で α の値の違いのみのとき

25 同族と呼ぶことにする α α α α F( x, ) A( x+ ) + C( x+ ) + D( x+ ) + E f x F x α g x F x α ' ( ) (, ), ( ) (, ) これは合同の場合の α の項がないだけである二つの関数の値についてその値が以下のとき同順とよぶことにする同順とは,, a b c d e b c d e a c d e a b, d e a b c e a b c d f, f が合同同組同族同順のときその写像 σ, σ についても, 同様によぶことにする定理のいずれかに等しいときをいう fとgが合同のとき f: 全単射のならば gも全単射である fとgが同組のとき f: 全単射のならば gも全単射である fとgが同族のとき f: 全単射のならば gも全単射である fとgが同族のとき fの値とgの値は同順である 5fとgが同族のとき fの逆置換とgの逆置換は同組である 5

26 証明 5 つの合同の写像の値は a b+ c+ d + e+ b c d e a c d + e+ a+ b+ d e+ a+ b+ c+ e a+ b+ c+ d + ある列が全単射ならば他の列も全単射であることがわかる 5 つの同組の写像の値は a a+ a+ a+ a+ b b b b b c c+ c+ c+ c+ d d + d + d + d + e e+ e+ e+ e+ ある列が全単射ならば他の列も全単射であることがわかる同族のときは F( x, α) A( x+ α) + C( x+ α) + D( x+ α) + E としてなのでなので E E+ D+ C + A E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A D D+ C+ A D+ C + A D+ C+ A D+ C+ A C C+ A C+ A C + A C+ A A A A A A A A A A p E E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E D C A E D C A E D C A E D C A E E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E E+ D+ C+ A E+ D+ C+ A E D C A E E D C A E D C A E D C A ある列が全単射ならば他の列も全単射であることがわかるのでが示された 5 については σ a b c d e k + k + k + k + k kが存在して σ a b c d e 表記の仕方が異なるが写像として同じものとみなせるの同族は同順なので適当な数 6

27 a b c d e τ σ, σ が同族でそれぞれの逆置換は a b c d e τ k + k + k + k + k 更にそれぞれの関数を考えると f, f f + k となる QED 全単射の同族の中に必ず対称的な σ が存在する回転合同は次の次関数で表されることがわかる σ, ( ) f x x σ, ( ) f x x+ σ, ( ) f x x+ σ, f ( x ) x + σ, f ( x ) x + f, f, f, f, f はそれぞれ合同ではないが同組かつ同族である任意の合同な 5つの写像 τ に対して σ による同型変換 ( 回転合同変換 ) はそれぞれ合同になる 7

28 合同合同 τ σ τ σ + τ σ τσ σ τσ σ σ τσσ σ τσ : + σ τσ σ σ τσ σ σ τσ + τ σ τσ σ τσ σ σ τσσ σ τσ + τ σ τσ σ τσ σ σ τ σσ σ τσ σ τ σ τ σ となる任意の写像 τ に対して合同変換による同型変換は合同である σ : σ : τσ σ : τ σ τσ σ τσ σ : τ σ τσ σ τσ σ : 合同 τ τ τ σ τσ τ σ 合同 σ τσ σ τσ となる反転合同も次関数で表されることがわかる ρ, ( ) g x x ρ, ( ) g x x+ ρ, ( ) g x x+ ρ, g ( x ) x + ρ, g ( x ) x + 8

29 g, g, g, g, g はそれぞれ合同かつ同組かつ同族である任意の合同な 5 つの写像に対して ρ による同型変換 ( 反転合同変換 ) はそれぞれ合同になる合同合同 τ ρ τρ σ ρ σ ρ τρσ σ ρ τρσ ρ τρ ρ σ τσ ρ σ ρ τρσ σ ρ τρσ τ σ τ σ ρ τ ρ ρ σ τ σ ρ σ ρ τ ρσ σ ρ τ ρσ ρ : τ σ τ σ ρ τ ρ ρ σ τ σ ρ σ ρ τ ρσ σ ρ τ ρσ τ σ τ σ ρ τ ρ ρ σ τ τ σ τ σ ρ σ ( ) o ( ) ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) o ( ) ( ) の関数は x x x x+ + σρ の関数は x+ x x + x+ + ρσ の関数は x + x x + x+ + σρの関数は x+ x+ x+ + x+ +, ρ σ σ ρ ρσ σ ρ が成り立つこのこと合同を合同に移す ( x,x+,x+,x+,x+ ) についても成り立つ x,x+,x+,x+,x+ ( ) は合同かつ同組かつ同族でありその同型変換は合同である次関数の合同なその同型変換については合同にはならない 9

30 任意の写像 τ に対して同族 ρ による同型変換は合同である ρ : τρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ τρ σ ρ τ ρσ σ ρ τρσ ρ : τ ρ : τ ρ τρ σ ρ τ ρσ σ ρ τρσ ρ : τ ρ τρ σ ρ τ ρσ σ ρ τρσ ρ : 合同 τ τ ρ 合同 ρ τρ σ ρ τ ρ σ σ ρ τρ σ, 同族のとき ρ ρσ ρ σ ρ ( ) ( ) ρ : A x+ + B x+ + C Ax + Bx+ C が成り立つなぜならば ( + ) + ( + ) + ( + + ) o ( + ) ρ : A x B x C Ax Bx C x ρ ρ σ ρ σ このことは置換以外の写像についても成り立つ一般の写像の逆写像 ( 逆関数多価 ) を定義し積またその結果について簡約則をきめなければならないと思います具体的な例で考えると ( 矛盾なく定義されているか?) σ, σ τ を同型変換と同じように x と y ( 多価 ) を考えてその写像はそれぞれ σ, σ は同族でを交換して逆関数

31 σ τσ σ τσ それぞれのグラフは σ σ σσ σ σ σσ

32 逆関数までグラフを拡げるとその積を含めて様々なグラフを考えることができるまとめ合同については標準形にすることにすることによって図で確認することなしに関数上で判別できる写像と関数の変換行列の一般式を求めることができる合同と反転について適当な行列により求めることができる置換による同型変換を関数によって特徴づけができる課題一般の素数 p について全単射を見つけること二つの素数の関係 ( 埋め込みがどのようになされるか?) 逆関数に拡張して多重にする ( 陰数関数を利用 ) 場合その積や簡約則を決めること島袋清

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Microsoft PowerPoint - 9.pptx 9. 線形写像ここでは行列の積によって写像を定義できることをみていくまた行列の積によって定義される写像の性質を調べていく行列演算と写像 ( 次変換 3 拡大とスカラー倍 p ' = ( ', ' = ( k, kk p = (, k 倍 k 倍拡大後 k 倍拡大の関係はスカラー倍を用いて次のように表現できる ' = k ' 拡大前拡大 4 拡大と行列の積 p ' = ( ', '