モデリングとは

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ゆめじあわたけ
4 years ago
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1 コンピュータグラフィックス基礎第 5 回曲線曲面の表現ベジェ曲線金森由博

2 学習の目標滑らかな曲線を扱う方法を学習するパラメトリック曲線について理解する広く一般的に使われているベジェ曲線を理解する制御点を入力することでベジェ曲線を描画するアプリケーションの開発を行えるようになる C++ 言語の便利な機能を使えるようになる要素数が可変な配列としての std::vector の活用

3 計算機による曲線の表現求められるもの意図した曲線を直観的に入力できる曲線の品質がよい数学的に厳密に ( 任意の精度で ) 再現できる滑らかである ( 連続性微分可能 ) 例 : フォント Illustrator などのドローソフトこれらはどのようのデータを持ちどのような方法で画面に描画されるだろうか?

4 折れ線による曲線の近似表現折れ線 ( ポリライン ) で近似表現する細かく分割することで曲線らしく見せる

5 曲線の数学的表現陽関数表現陰関数表現パラメトリック表現 ( 媒介変数表現 ) 数式で表されるのでどこまで拡大しても滑らか実際の描画は点の集まり ( 折れ線近似 ) なので滑らかさの程度をプログラムでコントロールする

6 陽関数表現 yy = ff xx の形で表現される例 : y = x y = ( x 1) 長所 : 実装が容易短所 : 表現力が乏しい 1 つの x の値に対して 1 つの y の値しか定まらない

7 陽関数表現の実装例 glbegin(gl_line_strip); for(double x = ; x < 1.; x +=.1) { glvertexd(x, f(x)); } glend();

9 陰関数表現 ff xx, yy = の形で表現される x と y の値が陽に求まらない数式で空間を + 領域と - 領域に区分しその境界を表現したもの例 :xx + yy 1 = 陽関数を陰関数で表現することもできる例 : yy = xx xx yy = 長所 : 複雑な曲線を表現できる短所 : 方程式を解かなくてはならない ( 次数が高くなると解を求めるのが困難 )

10 陰関数表現されたグラフの描画例えば x 1 4 = + y 次元を 1 つ上げて z の場合 4 = x + y 1 とする zz >, zz < の領域の境界が求めるグラフとなる

12 パラメトリック表現 x y = = f f x y ( t) ( t) の形で表される関数個々の座標値がパラメータ ( 媒介変数 ) で表現されるパラメータ t の値が与えられれば x, y 座標が求まる例 : x y = r cos( t) = r sin( t) ( t π ) 長所 : 実装が容易 t の値の刻み幅で曲線の正確さを制御できる

13 パラメトリック表現の実装例一般に t の値はから 1 とすることが多い x y = r cos( t) = r sin( t) ( t π ) x y = r cos(πt ) = r sin(πt ) ( t 1) glbegin(gl_line_strip); for(double t = ; t <= 1.; t +=.1) { glvertexd(fx(t), fy(t)); } glend();

14 パラメトリック曲線広く使われているパラメトリック表現による曲線ベジェ曲線 ( 今週の内容 ) B スプライン曲線 ( 来週の内容 ) 制御点という概念を用いて形状を容易にコントロール ( 制御 ) できる

15 ベジェ曲線

16 ベジェ曲線の図形的理解 (1 次 ) P1 P t Q 1-t Q = ( 1 t) P + tp ( t 1) 1 t の 1 次式つの制御点直線

17 ベジェ曲線の図形的理解 ( 次 ) P1 P t Q 1-t t R 1-t t Q1 1-t Q Q 1 = (1 t) P 1 = (1 t) P + tp + tp R = ( 1 t) Q + tq R = + ( 1 t) P + t(1 t) P1 t P 1 1 P ( t ( 問 t =,.5, 1 のときの位置は?) 1) t の次式つの制御点次曲線

18 ベジェ曲線の図形的理解 ( 次 ) P Q t 1-t P1 t R R 1 1-t R t t Q1 S = (1 t) = (1 t) 1-t P P 1 1-t t R1 + t(1 t) P + t(1 t) P S = ( 1 t) R + tr 1-t 1 P 1 t + t + t Q S = + 1-t ( 1 t) P + t(1 t) P1 + t (1 t) P t P P P P ( t 1) t の次式 4 つの制御点次曲線

19 ベジェ曲線の数式表現 ( まとめ ) 1 次 P ( t) = (1 t) P + tp 1 次 P + ( t) = (1 t) P + t(1 t) P1 t P 次 P + ( t) = (1 t) P + t(1 t) P1 + t (1 t) P t P 一般的な CAD 系ソフトウェアで用いられている (Adobe Illustrator も )

20 次ベジェ曲線の性質 S + ( t) = (1 t) P + t(1 t) P1 + t (1 t) P t P S() S(1) = = ds ( t) dt ds () dt ds (1) dt = = = 問 : 上記の値を求めよまた赤線で示した各制御点の係数の和を求めよ

21 次ベジェ曲線の性質 S + ( t) = (1 t) P + t(1 t) P1 + t (1 t) P t P S ( ) = P ( 1) P ds( t) dt = (1 t) d S( t) = 6(1 t) P dt P + (9t ds() = P + = dt ds(1) = P + P = dt S = 最初と最後の制御点を通る + (18t P1 P P 1t 1) P 1 P P + ) P ( 18t + ( 9t + 6) P + 6t) P + t 第 1, 制御点と第, 4 制御点で接線の向きが決まる + 6tP P

22 次ベジェ曲線の凸包性制御点の凸包の内部に含まれる

23 複数セグメントの連結 Illustrator での作図 P P1 P P' P'1 P つのセグメントで端点を共有する ( 制御点位置の共有, C 1 階微分が接続点で同値連続 ) つのセグメントで接線を共有する ( 制御点が同一直線上で等距離,C 1 連続 )

24 N 次ベジェ曲線 ( ベジェ曲線の一般化 ) P( t) n i n i = nci t (1 t) i= P i n C i = n! i!( n i)! さらなる一般化 P n = n n i n i ( t) B i Pi Bi = n Ci t (1 t) i= n i 項係数と表記することもあるある比率で各制御点の座標を混ぜ合わせる! 混合比 ( 和は 1 になる ) 混合比を関数で表したものを基底関数とよぶ

25 ベジェ曲線の基底関数バーンスタイン基底関数 B n i 次の場合 B B = C t t) n = ( 1 t) 1 = t(1 t) B = t (1 t) B = t i i n i ( 1 n は次数を表す

26 次ベジェ曲面 : 双次ベジェ曲面 4 4 の格子状に並んだ 16 個の制御点 Pij とつのパラメータ u, v によって定義される 4 隅の位置は制御点と一致する S(u, v) = P ij B i (u)b j (v) i= j=

27 課題入力された制御点を使って次の Bezier 曲線を描画する法線 ( 接線に垂直な線 ) を描画する解答例デモ

28 サンプルコードマウスの左クリックで制御点を追加右クリックで削減する制御点を連結した折れ線を表示する

29 C++ 言語で使用できる STL STL の vector クラスが便利配列の代わりに使える最初にサイズを指定する必要がない要素の追加と削除が簡単 [C 言語 ] #define MAX_ELEMENT_NUM 1 int numpoint = ; // 要素の数を記録 double x[max_element_num ]; double y[max_element_num ]; x[] = 1.; y[] =.; x[1] =.; y[1] = 4.; numpoint = ; [C++] #include <vector> std::vector<vectord> points; points.push_back(vectord(1.,.)); points.push_back(vectord(., 4.)); // C++11 なら // points.emplace_back(1.,.); // points.emplace_back(., 4.);

30 STL の vector の使用例 #include <vector> std::vector<vectord> points; // 追加 points.push_back(vectord(1.,.)); points.push_back(vectord(., 4.)); points.push_back(vectord(5., 6.)); // 末尾の削除 points.pop_back(); // 要素数の確認 unsigned int n = points.size(); // 要素の取得 Vectord v = points[]; Vectord v1 = points[1]; // 要素の全削除 points.clear();

コンピュータグラフィックス第6回

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