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そうよどぎみ
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1 微分形式雑記帳 1 ベクトルの内積と外積次元ベクトルを A a, a, a, B b, b, b とする A a, a, a の長さを A a a a と定義する AB A B cos を A と B の内積とよぶただしはベクトル A と B がなす角度である e1 1, 0, 0, e 0,1, 0, e 0, 0,1 は互いに直交しているので e 1 e 0, e 1 e 0 であり e 1 e e 1 であるまた A ae 1 1ae ae, B be 1 1bebe であるから内積の分配法則から ae ae ae be be be ab ab ab を用いて A a, a, a B b1, b, b の内積を 1 1 する次元ベクトルを次の式で定義し, AB abababと定義しても良い行列式を要素と a a a a a a a a a a a a AB,, e e e b b b1 b 1 b1 b を A と B の a1 a a 1 b b1 b 外積と呼ぶ行列式の余因子展開 : b1 b b a1 a a を c c c1 c c1 c c c c e e e 使うと形式的だが AB a a a と書くことができ A A a a a 0 がわかる C c, c, c として A と B C ー重積と言う A a, a, a の内積 A B C e e e a a a を A, BC, のスカラ b1 b1 b と BC,, の内積を計算す c c c c1 c1 c

2 a a a A BC a a a となる同様な計算ると 1 1 c c c c1 c1 c c1 c c a a a で AAB a a a 0, B AB a a a 0 となるすなわち A と B の外積 A B は A にも B にも直交しているいいかえれば A B は A と B で作る平面に直交するでありこれは法線ベクトルと呼ばれる外積は分配法則が成立するたとえば A B AB AAABBABB A B となる直接計算により A B AB a a a b b b ab a b ab 1 1 a b b a b b a b b abab abab abab ab ab ab ab ab ab A B 他方 cos A B A B AB A B AB A B sin つまり A B はベクトル A であるからとベクトル B でつくる平行四辺形の ( 向き付けに依存して符号つきの ) 面積であるまた A B AB AB 0 より A B A B というコーシーシュワルツの不等式がでる次にベクトル A と B の平行条件は A B 0,0,0 であるなぜならそのとき 0 A B ab a b a b a b a b ab と a1 a a なりが導かれるので A と B が平行 A B A B= 0 である

3 空間曲線 r x, y, z は次元空間の中の点である時刻 t における位置 P が t の変化とともに連続的に動くときその軌跡はの軌跡は r t xt, yt, zt dr r' x' t, y' t, z' t dt 呼ばれる r r t, a t b で表されるは曲線 r r t の中で曲線を描くすなわち P の時刻 t における接線ベクトルとが at bを動くとき軌跡が描く曲線の長さ s は b b ' ' ' ' である a a s r t dt x t y t z t dt 曲面次元空間において位置ベクトル rruv, xuv,, yuv,, zuv, が変数 uv, の連続な変化に伴ってなめらかに動くとき1つの曲面を動く v を固定して u だけ動かすとu 曲線が u を固定して v だけ動かすと v 曲線がつの変数 uv, を同時に動かすとu 曲線と v 曲線が作る網目状の曲面が描かれる r 偏微分は u 曲線の接線ベクトル r は v 曲線の接線ベクトルと呼ばれる u v r r いま 0 を仮定すると u 曲線と v 曲線は平行でなく網目が正しく作 u v られる uv, u0, v0 において接線ベクトル r u と接線ベクトル r でつくる平 v 面 (つのベクトルは平行でないので正しく平面ができる) をuv, u, v おける接平面とよぶこのときベクトル r r はこの平面に直交するベクトル u v で長さを1にするため r r 1 r r で割り算をして n u v r r が接平 u v u v 面の単位法線ベクトルとなる r r y z z x x y y z z x x y x,,,, u u, u u, u u u u u u u u u yu zu xv yv zv e1 e e u v yv zv zv xv xv yv yv zv zv xv xv yv 0 0 に

4 xu yu であるが x, y などと書いて xv yv uv, r r yz, zx, xy, xu, yu, zuxv, yv, zv e e e とも表される u v uv, 1 uv, uv, 曲面の面積点 uv, が平面上の領域を動くとき rruv, xuv,, yuv,, zuv, が描く曲面の面積は r r dudv u v で計算される u, v を微小にとれば r PQ ruu, vru, v u u r P ru, vvru, v v v ベクトル PQ とベクトル P でつくる平行四辺形の面積は PQ P の大きさで r r PQP uv となるしたがってリーマン積分の定義に従って u v r r を評価することにより dudv とできるつまり u v r r d dudv ということであるベクトルのまま書いて d = ru rvdudv u v とも表される曲面は点 x, y が平面上の領域を動くとき x, y の関数としてのなかで z z x, y の軌跡は次元の曲面となる場合は特に x = u,y= v とおいてやると r ru, vx, y, zx, y r r z となるので 1, 0,, u x x

5 r r z 0,1, と表されるこのとき v y y z z 0 1 r r x x 1 0 z z,,,,1 u v z z で 0 1 x y 1 0 y y r r z z 1 x y x y 1 z z n,,1, z z x y 1 x y が得られる z z 1 dxdy x y 微分形式上の微分 1- 形式を Pdx + Qdy + Rdz と定義するここで PQR,, は上の関数である微分 0- 形式は微分可能な関数 f : のこととする向き付けられた曲線上の1- 形式の線積分を C b æ dx dy dzö Pdx+ Qdy+ Rdz= ç Pxt ( (), yt (), zt ()) + Qxt ( (), yt (), zt ()) + Rxt ( (), yt (), zt ()) dt dt dt dt ò ò ç è ø a で計算される計算結果は曲線の形にだけ依存してパラメータ表示の方法に依存しないこの microscopic version はベクトル,, るつまり abc を点 (,, ) x y z で 1- 形式が食べ ( + + )(,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) Pdx Qdy Rdz a b c P x y z a Q x y z b R x y z c と定義されるグラディエント f = f f f,, x y z は微分形式で f f f df = dx + dy + dz x y z たとえば ( ) と置き換えられる d x + y = xdx+ ydy となる a= df は exact な1- 形式は保存系のベクトル場にあたる a= df のとき f は a のスカラポテンシャルと呼ばれる

6 - 形式 : 例 dx dy ò dx dy = ベクトル場上向き flux(xy 平面からz 軸方向への流量 )=xy 座標への曲面が落とす影の面積平面座標の向き付けに応じて dx dy =-dy dx が要請される一般の- 形式 : Pdx dy + Qdy dz + Rdz dx ò Pdx dy + Qdy dz + Rdz dx はベクトル場での flux をあらわす - 形式の積分 ò fdx dy の計算 (1) dx dy =-dy dx () ab, を p - 微分形式とするとき計算規則は a ( b+ g) = a b+ a g ( f ) a b = fa b ただし f は関数 ( すなわち 0- 形式 ) - 形式引き戻し :* という記号をつける F * f = f F 合成関数 F: Ì Ì とするとき flux 積分は * fdx dy = F fdx dy ò ò ( ) と計算されるそして引き戻し演算は ( fdx dy) ( f ) ( dx) ( dy) ( f ) d ( x) d ( y) F = F F F = F F F * * * * * * * のように分配されていく具体的には ( * * F f) = f F, d( F x) = d( xf) ( fdx dy) f d ( x ) d ( y ) * F = F F F のように合成関数などとなり結局 * となるつまり ( fdx dy) f( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )) d( xuv (, )) d( yuv (, )) なる F = と

7 例 ) x, yz, 座標の上の関数などの表現を uv, 座標の上の関数表現に置き換える g g 他方一般に dg = du + dv の関係から u v x x y y dx = du + dv, dy = du + dv でこれらのをとると u v u v æ x x ö æ y y ö æ x y x yö du + dv du + dv = - du dv ç è u v ø è ç u v ø èç u v v u を得るので ø * æ x y x yö fdx dy ( fdx dy) f ( x( u, v), y( u, v), z( u, v)) = F = ç - du dv çè u v v u ø 得られる同じ方法で ò ò ò が æ ( yz, ) ( zx, ) ( xy, ) ö Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = P Q R + + du dv ç è ( uv, ) ( uv, ) ( uv, ) ø òò òò î = e 1, ĵ = e, ˆk = e という記号が用いられる不思議なことにî, ĵ, ˆk は 4 元数の i, j, k と似た性質がある Piˆ Qj ˆ Rkˆ d Piˆ Qj ˆ Rkˆ + + = + + r r du dv ò ( ) ò ( ) ( u v) ただし ò fdu dv = òò fdudv のときはとも表される ò fdv du =-òò fdudv のように向き付けに依存して符号が付けられる Fubini の定理からòò fdvdu = òò fdudv であるから òò fdu dv と òò fdv du は符号が逆であるしかしどちらを正どちらを負にとるかは uv, のとりかたの順序に依存している - 形式 dx dy dz の形のものである ( dx dy) dz dx ( dy dz) = をみたすので括弧をつける必要がないしかし dy dx dz =-dx dy dz のように一か所の入れ替えでは符号が変わる積分については ò fdx dy dz = òòò fdxdydz と定めるしたがって ò fdy dx dz =-òòò fdxdydz などとなる E E E 1- 形式 a = Pdx + Qdy + Rdz についても引き戻しで曲線上の積分を解釈しなおすことができる曲線はパラメータをt とおき a t b の範囲を動く E

8 r t x t y t z t () = ( (), (), ()) とするそして I [ ab, ] = とおいて * * * * * * * ò a = ò Pdx + Qdy + Rdz = ò r ( Pdx + Qdy + Rdz) = ò r Pd ( r x) + r Qd ( r y) + r Rd ( r z) C C I I * * * * * * * ò a = ò Pdx + Qdy + Rdz = ò r ( Pdx + Qdy + Rdz) = ò r Pd ( r x) + r Qd ( r y) + r Rd ( r z) C C I I まとめると * * F df = df f ( a b) ( a) ( b) F =F F * * * ( ) a b= - b a (a が k 形式のとき a = k とおいた ) 1 ab 4- 形式 a = 0 ( 例 : dx dy dx dz われわれは dx,d y, dz のつしか持っていないから ) ( 形式 ) ( p 1) d p- = + -形式 d( dx ) = 0 d ( fdx) = df dx ( ) d fdx + gdy = df dx + dg dy じつはもっと一般に d = 0 がいえる

応用数学A

応用数学A 応用数学 A 米田戸倉川月 7 限 1930~2100 西 5-109 V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部とする F = ye x xe y + ze z FdV = V e x e y e z F = = 2e z 2e z dv = 2e z 3 23 = 64π 3 e z y x z 4π V n Fd = 1 F nd 2 F nd 法線ベクトル n g x,