教育課程 ( 数学 Ⅲ 数学 C) < ベクトル >( 数 B 数 C) 1 ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 2 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : a x e y e x, ) ( 1 y1 空間ベクトル : a x e y e z e x, y, )

Transcription

1 教育課程 数学 Ⅲ 数学 C < ベクトル > 数 B 数 C ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : e e, 空間ベクトル : e e e,, 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : cos 平面ベクトル :,, のとき 空間ベクトル :,,,, 4 ベクトルの大きさ 平面上 : 空間上 : は 良く用いられる 5 m: に分ける点 : m p m のとき 6 図形への応用 空間ベクトルも同様である 図形問題を解く上では 各点の位置ベクトル A, B, OA, OB, を用いるが 始点 をある点にした方が良いと判断した場合は 例えば AB, AC 等とおいて解答することも良くある 次のものは常識である 中点: c 三角形の重心: g 平行条件: : 実数 垂直条件: 一直線上にある条件: AB AC : 実数 なす角を求める : cos から を決定 ベクトル方程式 直線のベクトル方程式は 点 と方向ベクトル : p : 実数 点, を通る : p : 実数 角の二等分線 p 平面のベクトル方程式 平面 ABC 上に点 P が存在 AP s AB AC 実数 s, の存在 p r s c r s 円 球面について ベクトル方程式 : 平面上では 円 空間上では 球面 p r 成分表示した場合は それぞれの方程式は 円 : r 球面 : c r 注 交点を求めるには上記のベクトル方程式で 各座標 成分 を 媒介変数表示して求める 直線 平面について ベクトル方程式 : p は 平面上では 直線 空間上では 平面 < 複素数平面 > 数 Ⅲ 数 C 基本的には 複素数平面上の各点が 各複素数に対応している ことを用いて 図形的な扱いが出来るようになっていることが必要 である 特に回転に関して扱われることが多い 図形問題を解く上では 複素数の計算の図形的意味 和 差は平 行移動で 積 商は回転等 を考えて解く場合が多いが 絶対値を 計算する方法で ある複素数とそれに共役な複素数の積 を用いて解答することが良くある また 複素数を極形式 rcos isi に直せないと ほとんど全ての問題は解けな い i を用いる 特に 割り算は 分母に共役な複素数を分 母に共役な複素数 i i を分母と分子に掛けることを用いて計算する それ以外は 文字の計算と同じである < 複素数の大きさ 偏角 > 旧々数 Ⅲ 復活 i のとき r を利用することは頻出 rcos isi で 偏角 rg 共役な複素数 のとき は実数

2 のとき は純虚数 垂直条件 : 複素数平面 数 C i を点, と考える 点 と 軸 実軸 に関して対称な点 点 と 軸に 虚軸 関して対称な点 点 と原点に関して対称な点 演算と図形的意味 和と差はベクトルと同じ扱いで処理 積は 回転して絶対値倍 4 ド モアブルの定理 複素数の 乗を求めるには cos isi 5 の 乗根 は 個あり cos isi が純虚数 AB AC が純虚数 AB CD ならば は純虚数と連動させて解く場合が多い 一直線上にある条件 : 実数倍 点 O, A, B が同一直線上 が実数 点 A, B, C は 一直線上 ならば は実数と連動させて解く場合が多い 平行条件 6 cos 6 i si,,,, が実数 AB // CD 注 図と併用すると解きやすい 4 αの 乗根 rcos isi とおき 両辺を極形式で表して比較せよ 回転移動 回転の中心が原点のとき複素数 cos i si をかける 回転の中心が のとき 参考,,,, 5 点 は の解のひとつ の位置関係 平行四辺形 は上のの 乗根 を 回転した点が の式は cos i si 点 を回転して 回転の中心 から r 倍の点 O rcos i si 三角形の形状を調べることが出来る 円の方程式 r 6 点 の位置関係 平行四辺形 O 7 点, の距離 m 8 m:に分ける点 : m 9 直線のなす角 rg BAC m の表す図形の調べ方 m : : のときは直線である の利用 i とおく方法 アポロニウスの円距離が m : のときなので 定点を結ぶ線分を m : に内分 外分する点を直径の両端とする円 < 関数と極限 > 数 Ⅲ 分数関数 c のとき割り算の商と余りを利用して r p と変形できる このときグラフは 漸近線が q

3 q, p の直角双曲線になる 無理関数 f のグラフは f のグラフで のとき 軸より上半分 のとき 軸より下半分 特に や は完璧にしておくこと 合成関数 f : が f g : が g g f f g : g f g この関数は f g f g lim lim lim が成立する 8 無限等比級数 r r r r 収束 発散について数列の極限と混同しないように注意せよ収束するのは r のときのみで その和は r r のとき ならば に発散で ならば に発散 r のときは振動 発散 する 4 逆関数 < 関数の極限 > f が:のとき lim f または のとき f と表記する f f lim f lim g のとき以下が成立する 逆関数を作るには 定義域に注意して f を について解き f とし ここで と を入れ替えて f とする lim cf c c は定数 lim{ f g } lim{ f g } 複号同順 5 数列の極限 収束 : lim 極限値が f lim g 発散 : lim に発散 lim に発散 が振動 極限値なし 6 知っているべき数列の極限 のとき lim に発散 のとき lim 極限値 c lim について のとき振動 のとき のとき lim lim = のとき lim 7 数列の極限に関する公式 lim lim のとき = のとき, とも書く 右方極限 左方極限について lim f lim f 極限の存在 特に のとき lim f と書くことができる つまり 右方極限と左方極限の一致する場合である 不定形の極限の対処法 型のときは 分数式ならば約分 無理式は有理化 型のときは 分母分子を分母の最高次数で割る 型のときは 無理式は有理化 整式は最高次数の項でくくり出す注 右方極限 左方極限は f のグラフの概形を調べるときにも利用される 漸近線の存在 < 三角関数 指数関数 対数関数の極限 > si lim は ラジアン角 lim e. 788 自然対数の底 指数関数 対数関数のグラフからも分かるように

4 ときは lim lim lim log lim log のときは lim lim lim log lim log < 関数の連続性 > lim f f のとき すなわち lim f が存在し それが f の値と一致する場合に この関数は で連続である < 中間値の定理 > 閉区間, で連続な関数 f は その区間で f, f の間の < 高次導関数 > f f g f f f f f 階微分 < 基本的な関数の微分 > c c は定数 は実数 si cos 任意の値をとる 特に f f ならば 区間, に f c cos si となる c が 少なくとも つ存在する 方程式の解の存在を示す場合に利用される < 導関数 > 数 Ⅲ f における微分係数 f lim f f 導関数の定義 : f lim f cos log log e log e < 微分法 > 数 Ⅲ 積の微分 : f g f g f g 商の微分 : 合成関数の微分 : f g u u f u で u g のとき つまり f g f g f g g である { g } f g 4 陰関数の微分 : F, のとき を の関数とみて両辺 を で微分する が の関数のときは f f を利用する 5 対数微分法 : 両辺の対数をとり 両辺を で微分する 6 逆関数の微分 : f 7 媒介変数表示された関数の微分 f, g のとき log, < 平均値の定理 > 関数 f が区間 f f, で f をもてば f c となるc が 区間, に少なくとも つ存在する 表現の仕方を変えると以下の式を満たす が存在する f f f 極限値を求める問題にも応用される < 接線 法線 > 接線 : 法線 : 曲線 f 上の における接線の方程式は f f 曲線 f 上の における法線の方程式は < 関数のグラフ > f f f で f を求め f の符号を調べて関数の増 減や極大値 極小値を調べるのは 数学 Ⅱ と同様だが f の符号を調べて 曲線の凹凸や変曲点を調べること

5 ができる 変曲点とは グラフが下に凸から上に凸に変わる点 またはグラフが上に凸から下に凸に変わる点である 通常は 微 分可能な点なので f になる の値の前後で符号が変わ るかを調べることになる 微分可能な点ではないときは 極値 と同様に注意を要することになる また 漸近線については lim f のとき lim { f } のとき さらに グラフの対称性 座標軸との交点 不連続点 存在範 囲に注意をして概形を描くことができる < 近似式 > が十分小さいとき 次の近似式 f f f とすれば f f f さらに が十分 に近ければ f f f 特に 近似式 p p は 有名である 次の近似式 f f f f が十分小さいときは と考えて良い < 基本的な不定積分 > 数 Ⅲ 積分定数を C とする C log C si cos C 4 cos si C 5 6 e e C C log < 積分法 > 置換積分 g とおくと g より f g g f 例 :,,, si 等々 または g とおき g f f g g 例 : si,, 等々 注意 : 定積分のときは 積分範囲が変わるので気をつけること 部分積分 f g f g f g 注意 : 定積分のときは 求める積分を I とおいて 繰り返し 式の変形 部分積分を使って求める方法がある 積和の公式 si cos {si si } cos si {si si } cos cos {cos cos } si si {cos cos } その他 三角関数の公式 割り算 有理化 部分分数分解で対応 する 注意 : 置換積分と変形を組み合わせて 三角関数を有理式に変 形する方法もあるが乱用は避けよう とおくと で si きる < 定積分 > 数 Ⅲ cos F f S S は符号付面積 < 定積分の基本性質 > cf c f f f f c f 円の半分の面積 は有名 f f 4 g { f 5 f g } f c f f : 偶関数 f : 奇関数 6 f g f g 余裕があれば シュワルツの不等式も覚えよう を利用で

6 f g { f } { g } < 微分と定積分 > f f 数学 Ⅱと同じ < 区分求積 >, として f lim f lim f 積分を利用して極限値を求めることに利用される 計算を楽にす るため以下の式が良く用いられる < 面積 > f lim f f と 軸に挟まれた部分の面積 S f 曲線に囲まれた部分の面積 S f g < 体積 > 切り口の面積が S のときはV S V { f } 回転体の体積 < 曲線の長さ > 数 Ⅲ f の孤の長さ s { f } f, g の孤の長さ 旧々数 Ⅲ 復活 s { f } { g } < 速度 加速度 点の位置 > 時刻 の関数として 点の位置が s s のとき s 点の位置 微分 v 速度 微分 加速度 計算上は s v, s 逆に考えて 加速度 積分 v 速度 積分 s 点の位置 計算上は s v s v v 注 平面運動のときは ベクトルとして扱う 速度ベクトル v v, v 加速度ベクトル, 注 速さはベクトルの大きさ v である < 道のり > 数 Ⅲ l v < 微分方程式 > 旧数 Ⅲ の内容入試用 変数分離形 f g と変形して 両辺を 積分して解く f g 同次型の場合 u とおくと 変数分離形に帰着 される f u u g の一般解は < 次曲線 > 数 Ⅲ 数 C e を離心率とする 円 : r 焦点, 楕円 : 双曲線 : 4 放物線 : Ce C は任意定数 準線なし 焦点, 焦点, 4 p 焦点 p, 準線 p 準線 e 準線 e 注意 : 楕円での と の違い 双曲線での 放物線 4 p も 焦点 準線 どのような図 形になるかを押さえておくこと < 次曲線の接線 > 数 Ⅲ 数 C 接点, のとき 円 : r 楕円 : 接線 双曲線 : 4 放物線 : r 接線 接線 4 p 接線 p 接線の作り方を統一して覚えておこう < 次曲線の平行移動 > 旧数 C 数 Ⅲ 軸方向に 軸方向に 平行移動する F, F, < 離心率での 次曲線の分類 Ⅰ> 定点 F と定直線 gからの距離の比が e : と 一定である点 P の 軌跡は e のとき楕円離心率 e

7 e のとき放物線離心率 e e のとき双曲線離心率 e [4 e のとき円 ] 定点 F と定直線 gに下ろした垂線の足をhとする e 離心率という 注 焦点 F 準線 g である < 離心率での 次曲線の分類 Ⅱ> 曲方程式の表す曲線 r e cos l l で e のとき楕円 e のとき放物線 e のとき双曲線 [4 e のとき円 ] PF PH を < 媒介変数表示 > 旧数 C 数 Ⅲ 4 円 : r cos 5 楕円 : cos 6 双曲線 : cos, r si, si, 7 サイクロイド : si, cos < 極座標と極方程式 > 旧数 C 数 Ⅲ 直交座標, と極座標 r, の関係 r cos, r si r 特に 極方程式 r f で表される曲線は f cos, f si である 良くある曲方程式 中心 r, 半径 の円 : r r rr cos 注 左辺は 点 r, r, 間の距離を表す 極 O を通り 始線 OX となす角がαである直線 : 点 A, を通り OA に垂直な直線 : r cos < 色々な曲線 > 旧数 C 数 Ⅲ カージオイド 心臓形 : r cos アルキメデスの渦巻き線 : r 正葉曲線 : r si 4 リマソン 蝸牛線 : r cos 5 レムニスケート : r cos