4STEP 数学 Ⅲ( 新課程 ) を解いてみた関数 1 微分法 1 微分係数と導関数微分法 2 導関数の計算 272 ポイント微分法の公式を利用 (1) ( )( )( ) { } ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

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1 微分法 微分係数と導関数微分法 導関数の計算 7 ポイント微分法の公式を利用 () 7 8 別解 [ ] [ ] [ ] 7 8 など () 6 6 など

2 7 ポイント微分法の公式を利用 () など

3 () 9 など

4 () þ î ì など () þ î ì þ î ì þ î ì など

5 7 () () 左辺を で微分すると, 右辺を で微分すると, ( ) ( ) ( ) よって, ( ) ここで, ゆえに, など \ ( ) より, ( ) ± 左辺を で微分すると, 右辺を で微分すると, ( ) ( ) ( ) \ ± よって, ( ) \ ここで より, ゆえに, など ± \( ) \ ±

6 7 の と の対応関係は, ¾¾ ¾ これと より, 右辺を で微分すると, \ ( ) { } ( ) ( ) 左辺を で微分すると だから, よって, の導関数は より, のとき, 8 \ 9 ¾ だから, ( ) ( ) ゆえに, の 9 ì における微分係数は î 9 þ 9 7 6

7 解説 逆関数の導関数 はじめに 関数 の逆関数を とする 関数 ¾ ¾¾ ¾ よって, 関数 ì の と の関係は, î 関数 の逆関数 ¾ ¾¾ ¾ よって, 関数 また, 問題文で, ì の と の関係は, î の逆関数 とあれば の逆関数を の逆関数 とあれば の逆関数を 始めればよい 逆関数の 次導関数 関数 の逆関数を とすると, この両辺を で微分すると, よって, { } とする で, である とする で 7

8 逆関数の 次導関数 逆関数の 次導関数 { } " { } よって, ² { } { } 例題 解 os ( p < p ) より, < の逆関数を g とする このとき, g の導関数を求めよ 富山医科薬科大学 ( 現富山大学医学部 ) os ( p < < p ) とすると, 逆関数は g ( p < p ) 補足 : の定義域は では値域になることに注意 ( p < < p ) \ os ( p < < p ) os この両辺を で微分すると, < だから, \ os sin また, sin < ( p < < p ) より, sin os よって, ゆえに, g 8

9 例題 関数 の逆関数を g ( ), ( ), ( ) () g の値を求めよ () g の値を求めよ 略解 () () とする の逆関数は のとき, 次の問いに答えよ と表せるから, この両辺を で微分することにより, が得られる よって, の逆関数 g の第 次導関数は, g また, と g ( ) Û g( ) より, g よって, g のグラフは に関して対称だから, g より, g { } また, と g ( ) Û g( ) より, g g { } 8 において, のとき のグラフは に関して対称だから, において, のとき ( 防衛医科大学校 ) 9

10 76 ポイント微分係数は傾きの極限値 () 点, と, を通る直線の傾きは よって, ゆえに, þ î ì () 点, と, を通る直線の傾きは \, と, を通る直線の傾きは \, より, þ î ì 6

11 () 点, と, を通る直線の傾きは \ ゆえに, þ î ì () 点, と, を通る直線の傾きは \ ゆえに, þ î ì

12 77 解法 ( < ( < ) の導関数は )\ ( ³ ( ³ ) の導関数は ) \,より, よって で微分可能である 解法 における右側微分係数は ( ) ( ) における左側微分係数は ( ) ( ) よって, { ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ゆえに, で微分可能である

13 78 () 連続性について sin より, sin これと より, sin よって, において連続 微分可能性について ( ) ( ) sin sin ここで, sin より, sin \ sin これと よって, より, sin ( ) ( ) \ sin () ゆえに, において微分可能 連続性について t とおくと, のとき t だから, t t t( ) t t t u とおくと, t のとき u だから, u u u ( ) u u u u

14 よって, において連続 微分可能性について ( ) ( ) ( ) ( ) ここで, v よって, とおくと, ( ) ( ) のとき v だから, v v は存在しない すなわち において微分不可能

15 解説 合成関数 媒介変数で表された関数 陰関数の微分 はじめに 微分可能な関数 上の任意の 点を P (, ),Q ( D ( D) ), とすると, 点 P から点 Q に変化するときの変化の割合は線分 PQ の傾きで与えられ, ( D) ( D) ( D) D さらに, 分子の ( D) となる は の変化が D のときの の変化を表すから, D これを D で表すと, 点 P から点 Q に変化するときの変化の割合は D となる また, D のときの, つまり点 Q を点 P に無限に近づけていったときの変化率は, 点 P における変化率と等しくなり, D D が点 P から点 Q への平均変化率ならば, D D D で与えられる D D は点 P における瞬間変化率ということになる D たとえると, 直線道路を移動中の車が D km 離れた 点 PQ 間を D 時間かけて走行したとすると, D は PQ 間の平均時速であり, D また, D D は, D や の瞬間変化率は, D D は速度計 ( 時速 ) の点 P における値である D とも表せるので, D D D

16 A. 合成関数の微分. 合成関数 g( ( i )) の場合 i i の に対する瞬間変化率 ( ) ( i ) の i に対する瞬間変化率 ( i ( )) i g( ( i )) の ( i ) より, ( i ) i ( ( )) ( ) g i に対する瞬間変化率 i ( ( i )) ( i ) i g が成り立つ また, i u, ( i ) v とすると, これと ( ( i )) u v と簡略表現できる u v g より, 瞬間変化率 i i ( ) i 瞬間変化率 i ( ( )) ( ) g i 瞬間変化率 i ( i ) ( ( i )) g. 合成関数の第 次導関数 少なくとも 階微分可能な関数 ( g ) について, 簡単のため, g u その第 次導関数は, u 解説 ( g ) の第 次導関数は, 簡単のため, g u とおくと, u u ( g ) g g g であり, g u u となる g ( g ) u とおくと, 瞬間変化率 g ( ) g 瞬間変化率 g 6

17 7 よって, g の第 次導関数 は, u u を で微分することにより得られる u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u þ î ì þ î ì あるいは, u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u よって, u u u u

18 B. 媒介変数で表された関数の微分. 第 次導関数 ( ) (, g ), とすると, の t に対する瞬間変化率 の t に対する瞬間変化率 の に対する瞬間変化率 t t t g g より, t は, 媒介変数 t を介することにより, t t g t t g. 第 次導関数 第 次導関数 とは, の に対する瞬間変化率 が媒介変数 t で表せることを利用することにより, g t t 補足 となる は, を のことだから, ( ) による 8

19 C. 陰関数の微分 が の関数であるとき, の形で表現した関数を陽関数, (, ) が の関数でありかつ で微分可能な陰関数を (, ), ただし ( ) g は で微分可能だから, (, ) ( g ) よって, g g, とすると, (, ) g 例題 解 a b ( a, b は でない実数 ) のを求めよ ( a b ) ( a ) ( b ) a a ( b ) a b a b b これと a b \ より, a b の形で表現した関数を陰関数とよぶ 9