平成 18 年度 ( 第 50 回 ) 岩手県教育研究発表会発表資料 算数 / 数学 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための研究 - 一次関数 での G アップシート の活用をとおして - 平成 1 9 年 1 月 9 日長期研修生所属校花巻市立花巻中学校氏名宮川琢夫 -

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1 平成 8 年度 ( 第 50 回 ) 岩手県教育研究発表会発表資料 算数 / 数学 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための研究 - 一次関数 での G アップシート の活用をとおして - 平成 9 年 月 9 日長期研修生所属校花巻市立花巻中学校氏名宮川琢夫 - -

2 目 次 Ⅰ 研究目的 Ⅱ 研究仮説 Ⅲ 研究の内容と方法 研究の内容と方法 授業実践の対象 Ⅳ 研究結果の分析と考察 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想 () 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本的な考え方 () 一次関数 での Gアップシート を活用した学習指導の在り方 () 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想図 5 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案 6 () 諸調査 検査結果の分析と考察 6 () 手だての試案作成の観点 6 () 手だての試案 7 (4) 検証計画及び調査計画の概要 7 授業実践及び実践結果の分析と考察 8 () 一次関数 での Gアップシート を活用した授業実践の概要 8 () 実践結果の分析と考察 4 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための研究のまとめ 6 () 成果 6 () 課題 6 Ⅴ 研究のまとめと今後の課題 6 研究のまとめ 6 今後の課題 7 <おわりに> 引用文献 参考文献 補充資料

3 Ⅰ 研究目的中学校数学科 一次関数 においては 具体的な事象の中から二つの数量を取り出し それらの変化や対応を調べることを通して 一次関数について理解するとともに 関数関係を見いだし表現し考察する能力を養う ことが求められている そのためには 表 式 グラフなど関数関係を表現するさまざまな方法を習得し 場面に応じて適切な表現方法を活用したり 関連付けたりしながら考えることが必要である しかし 生徒の実態を見ると 二つの数量の関係を式で表現したり 変化の割合を求めたりする場面でつまずくことが多く 関数関係の表現を習得しているとは言い難い また 個々の表現については習得していても グラフから式を求める問題などそれらを関連付けて考える場面でのつまずきも多く見られる 平成 7 年度学習定着度状況調査第 学年数学の結果を見ても C 数量関係 の平均正答率は56% とつの領域の中で最も低く 中でも 一次関数 の問題は 式を求める問題 の正答率が4% 式からグラフをかく問題 の正答率が 5% にすぎない これは 単元や授業で身に付けるべき指導目標の明確化が不十分なまま指導していることと 生徒自身に実現状況の振り返りをさせたり 学習した内容を互いに関連付けさせたりするための手だてが不足していたことによるものと考えられる このような状況を改善するためには 評価規準を基に 授業の目標をより明確にし 生徒自身に授業での実現状況を振り返らせながら学習に取り組ませることと 単元全体の構造を把握させ 学習内容を互いに関連付けさせるための指導を工夫することが大切である その手だてとして 授業において評価規準に対応した問題を盛り込み 学習内容を関連付けるシート (Gアップシート) を活用することが有効であると考える そこで この研究は Gアップシート を活用する授業実践をとおして 関数関係を表現し考察する能力 を高める学習指導の在り方を明らかにし 中学校数学科 一次関数 の学習指導の改善に役立てようとするものである Ⅱ 研究仮説中学校数学科 一次関数 において 次のように Gアップシート を活用する学習指導を行えば 生徒の 関数関係を表現し考察する能力 を高めることができるであろう 授業の終末に Gアップシート の問題を解かせて 授業での実現状況を振り返らせる 単元のまとめの時間に Gアップシート を使って単元の学習を振り返らせ 学習内容の関連を考えさせる Ⅲ 研究の内容と方法 研究の内容と方法 () 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想の立案 ( 文献法 ) 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本的な考え方をまとめるとともに 仮説に基づき 基本構想を立案する () 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案の作成基本構想に基づき 一次関数 での Gアップシート を活用した学習活動を取り入れた手だての試案を作成する () 授業実践及び実践結果の分析と考察 ( 授業実践 質問紙法 観察法 ) 手だての試案に基づき 一次関数 での授業実践を行う また 検証計画に基づき 関数関係を表現し考察する能力 の育成状況について分析と考察を行う (4) 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための研究のまとめ実践結果の分析と考察に基づき 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 --

4 を高めるための研究についてまとめる 授業実践の対象 花巻市立花巻中学校第 学年 学級 ( 男子 0 名女子 7 名計 7 名 ) Ⅳ 研究結果の分析と考察 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想 () 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本的な考え方 ア イ 関数関係を表現し考察する能力 の意味 中学校数学科における関数指導の目標は 具体的な事象を調べることを通して 関数関 係を見いだし表現し考察する能力を伸ばす ことである 第 学年 一次関数 は 年間 の関数単元の中で最も時数配当の多い重要な単元であり 関数の意味についてもここで初め て知ることになる 関数関係を見いだす とは 具体的な事象の中の二つの数量にある一 意対応の関係を見いだすことであるが 多くの生徒は 具体的な事象を関数関係として見い だし 調べることのよさにまだ気づいていない状態である 関数関係を表現する とは 数量の間の変化や対応の様子を 表 式 グラフに表すこ とであり 関数関係を考察する とは 関数の特徴を読み取ったり 場面に応じて適切な 表現方法を活用したりすることである これらを繰り返し 関数関係を表現し考察する能 力 を高めることによって 関数のよさを生徒自身が感じ 関数関係を見いだす 意欲が 高まっていくと考えられる そしてそれは 中学校数学科の目標である 数学的な見方や考 え方のよさを知り 進んで活用する態度を育てる ことにつながるものである このことから 本研究で は 関数関係を表現し考察 する能力 を高めることを ねらいとする 具体的な構 成要素として 表 に 示す内容の実現状況が お おむね満足できる段階に達 したとき 本研究のねらい が達成された と考える 構成要素 読み取る力 式をつくる力 グラフにする力 4 活用する力 H7 具体的な生徒の姿 対応関係を表にすることができる 表やグラフから 値や座 標 変化の様子などを読み取ることができる 表やグラフから あるいは与えられた条件から 関数関係を 式で表すことができる 表や式から あるいは与えられた条件から 関数関係をグラ フで表すことができる グラフの特徴をいうことができる 問題場面に応じて 解決への見通しをもって ~ の力を活用 することができる 関数関係を表現し考察する能力 を高めることの意義 表 関数関係を表現し考察する能力 の構成要素 関数の学習は 表 式 グラフなど表現方法が多様であり 学習内容も多岐にわたること から 生徒にとっては困難 さを伴う場合が多い この ことは 表 に示した ような 一次関数 の問 題に対する正答率の低さか らも伺える 関数の学習に伴う困難さ を克服するためには 表 式 グラフなどの表現方法 を別々のものとしてではな く 統合してとらえさせる ことが大切である したがっ て 学習した内容を互いに 関連づけ 単元全体の構造 出典問題正答率 岩手県学習定着度 状況調査中学 年数学 H6 表 一次関数 の問題と全県正答率 岩手県公立高校入試問題 次の () () の問いに答えなさい () 変化の割合が で χ= のとき =4 となる 次関数の式をかきなさい () =- χ+ のグラフをかきなさい ばねにおもりを下げ おもりの重さとばねの長さの関係を調 べました 下の表は おもりの重さを χg ばねの長さを cmとして その結果を表したものです なお ばねののびる長さは 下げたおもりの重さに比例します ( 図は省略 ) χ(g) ( cm ) () ばねにおもりを下げないときのばねの長さを求めなさ い () を χ の式で表しなさい () 4% () 5% () 54% () 8% --

5 を明確にした指導を展開することによって 関数関係を表現し考察する能力 を高めることができると考える それは ただ問題が解けるようにするだけではなく 具体的な問題を容易に解決することができる関数のよさに気づき 関数の表現方法を活用する意欲を高めることにもつながることに意義がある () 一次関数 での Gアップシート を活用した学習指導の在り方ア Gアップシート とは Gアップシート とは 本県の学力向上に資するよう内容を検討した評価規準 ( いわてスタンダード ) に示した 中核となる力 に対応して作成した評価問題で構成した学習シートである いわてスタンダード とは 学習指導要領及び国立教育政策研究所作成の評価規準を基に 本県の生徒の実態をふまえて 数学科において生徒に身に付けさせたい 中核となる力 を明確に示したものである 一次関数 における 中核となる力 は 表 に示したように 本研究における 関数関係を表現し考察する能力 の構成要素とほぼ重なり合うものである したがって 中核となる力 を生徒に身に付けさせることは 生徒の 関数関係を表現し考察する力 を高めることにもなる 表 一次関数 における 中核となる力 と構成要素との関連 また Gアップシート は 生徒の学習を直接支援するものであり 次のようなことをねらいとしている シート問題に取り組むことで 各自の学習の理解や定着の状況が把握できる シート問題に取り組むことで 各自の学習課題が把握できる シート問題に取り組むことで 補充的な学習や発展的な学習ができる 数学科における 中核となる力 は 単位時間の授業の指導目標を示したものでもある したがって 中核となる力 に対応して作成した評価問題で構成した Gアップシート は 授業のねらいが実現できたかどうか 授業の理解や定着の状況が十分であるかどうかを生徒自 --

6 イ ウ 身に振り返らせるために活用することが有効であると考えられる また 生徒に自分の課題をつか ませて自学自習につなげさせたり 補充的な学 習や発展的な学習の教材として使ったりするこ とも可能である 授業の振り返りが効率よくできることや す べての生徒にとって取り組みやすいものである ことに配慮して 一次関数 における原則的 な G アップシート の問題構成を 図 の ようにした 問題 はすべての生徒が取り組め るような基本的な問題 問題 はやや発展的な 問題である なお 自学自習としても使いやす いように 問題のとなりに解答を配置した 一次関数 の問題の正答率が低い原因とし て 授業における指導目標の明確化が不十分で 生徒自身に授業のねらいが実現できたかどうか を振り返らせる手だてが不足していたため 表 式 グラフなど関数関係の表現方法を十分に習 得していなかったり 関数を考察する視点を理 解していなかったりすることが考えられる そ のため 単位時間の授業の目標をより明確にし 生徒自身に授業での実現状況を振り返らせるた めに 授業の終末で G アップシート を活用 することにした 図 G アップシートの原則的な問題構成 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための G アップシート の活用方法 関数関係を表現し考察する能力 を高める ためには 授業での学習内容の確実な理解に加 えて 表 式 グラフなどの表現方法を関連づ け 統合してとらえさせる必要がある また 授業で G アップシート を活用していれば 生徒は G アップシート を見直すことで単元 での授業の目標や重要事項を容易に振り返るこ とができる そこで 単元のまとめの時間に 単元での G アップシート を参考にしながら 図 に示したような学習内容のチャート図 ( 以下 学習構造チャートと呼ぶ ) に重要事項 や問題を書き込ませることによって 学習内容 の関連を意識させ 関連づけを図る さらに 学習構造チャートに書かれた 学習内容の関連 を示す矢印の意味を考えさせることによって 単元全体の構造の把握や 関数の表現方法の統 合を助けることができるのではないかと考え た つまり 一次関数 の指導においては 図 学習構造チャート 授業の終末と 単元のまとめの時間の 段階で G アップシート を活用する 一次関数 での G アップシート を活用した学習指導の展開 問題 重要事項をまとめる問題 ( 知識 理解を中心に ) 問題 表 式 グラフで学習内容を確かめる問題 ( 表現 処理を中心に ) 問題 具体的な事象に活用し 意味を確かめる問題 ( 見方 考え方を中心に ) 一次関数 での G アップシート を活用した学習指導の流れとねらいを 図 のように -4-

7 式をつくる力まとめた 授業の構想 ( 教師の活動 ) 授業展開 単元のまとめ 授業の目標を明確にし G 授業の終末に Gアップシ 学習構造チャートに重要事項 アップシート を作成する ート の問題を解かせる や問題を書き込ませる 活用のねらい 授業での実現状況を振り返らせ つつの学習内容を つつの学習内容を 確実に 互いに関連づけ 活用 学習する前の段階 理解 定着させる しやすい状態にする 図 一次関数 での Gアップシート を活用した学習指導の展開 () 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想図これまで述べてきたことを基に 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想図を 図 4 のように作成した 生徒の実態 〇関数関係の表現を習得しているとは言い難い また それらを関連づけて考える場面でのつまずきも見られる 〇一次関数の問題は正答率が低い 指導の実態 〇単元や授業で身に付けるべき指導目標の明確化が不十分である 〇生徒に振り返りをさせたり 学習内容を関連づけたりするための手だてが不足している 一次関数 における G アップシート を活用した学習指導 構成要素 学習活動 指導の手だて 読み取る力 G アップシートの活用 問題 重要事項をまとめる G アップシート の作成 グラフにする力4 活用する力 問題 問題 表 式 グラフで学習内容を確かめる 具体的な事象に活用し意味を確かめる 授業の終末での振り返り G アップシート を参考にして 学習構造チャートに重要事 項や問題を書き込む 指導目標の明確化 ( いわてスタンダード ) 学習内容の構造化 学習構造チャートの作成 単元のまとめでの関連づけ 関数関係を表現し考察する能力 が高まった姿 読み取る力 式をつくる力 グラフにする力 を持ち 問題場面に応じて見通しを持ってそれらを活用できる生徒 図 4 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想図 -5-

8 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案 () 諸調査 検査結果の分析と考察 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案を作成するにあたり 岩手県学習定着度状況調査 ( 平成 5 年 ~7 年 ) 及び岩手県公立高校学力検査 ( 平成 6 年 7 年 ) の関数単元の問題に対する全県正答率から分析した結果 次のような生徒の実態及び課題が明らかになった ( 補充資料 参照) ア 読み取る力 については 具体的な事象について 表やグラフから値や変化量を読み取ることなどについて正答率が高く 良好な状況である それに比べて 式をつくる力 グラフにする力 活用する力 を調べる問題の正答率は低い 特に 式をつくる力 グラフにする力 を高めることが大きな課題である イ 式をつくる力 グラフにする力 については 変数 x を使って形式的に式をつくったりグラフにしたりする ( 形式的に処理する ) 問題の正答率が低い 変数 x を使うことへの抵抗が大きいこと 式やグラフの意味についての理解が不十分であることが考えられる ウ 年 比例と反比例 単元の問題は 比例の式 グラフとも正答率 50% 強であり 反比例はさらに正答率が下がる傾向にある このことをふまえた指導を行う必要がある () 手だての試案作成の観点基本構想及び諸調査 検査結果から明らかになったことを考慮して 以下の観点から Gアップシート を活用した手だての試案を作成することにする ア Gアップシート の問題の工夫 読み取る力 が良好な状態であるから それを基にして 式をつくる力 グラフにする力 を高めることができるように 具体的な事象に関する問題を Gアップシート で数多く扱い その配列を工夫する ( ア ) 単元のはじめに表 式に加えてグラフも扱う 単元のはじめの段階では 具体的な事象を表にして それを式やグラフに表現する問題を Gアップシート で繰り返し経験させ 式やグラフの意味への理解を深める 特に グラフにする力 を高める ( イ ) 形式的な処理を具体例で理解させる 単元の後半は 形式的な処理のしかたを確認することだけにとどまらず 具体的な事象の問題にできるだけ活用させ 形式的に処理する問題を解く意味の理解を深め 定着を図る イ Gアップシート で実現状況をつかみ 定着を図る工夫生徒によって Gアップシート の問題を解くのに必要な時間には差があると思われる 時間内にすべての問題を解くことができない生徒に対しても 授業の中で実現状況をつかみ 定着を図るための工夫をする ( ア ) 前の時間の Gアップシート の問題を使って導入する 導入として無理なくできる範囲で 前の時間の Gアップシート の問題を導入時に再び解かせ 生徒の実現状況をつかみながら 実現状況が十分でない問題には解説を加え 定着を図る 特に 変数 x を使って式をつくる問題でのつまずきが多いと思われることから 式をつくる問題への解説をとおして 式をつくる力 を高める ( イ ) 個別支援のきっかけとして使う 授業のねらいの実現状況が不十分だと思われる生徒に対しては 個別の支援をとおしてつまずきの解消に努める 特に 単元の後半の 一次関数のグラフ や 一次関数を求めること については Gアップシート で実現状況をつかみ その場や授業以外の時間で個別の支援を行う -6-

9 () 手だての試案 手だての試案作成の観点を基に 一次関数 での G アップシート を活用した手だての試 案を 図 5 のように作成した 時学習内容学習の流れ指導の手だて 間 ( 構成要素 ) G アップシート の活用指導上の留意点 関数 や 授業でも単元のはじめからグ 読み取るて 一次関数 力G単元のラフをかかせる また できる授 の意味とア前の時間業はじめにだけ具体的事象と関連づけッ4 変化の割合 式をつくの問題をでプ表 式にた指導を行う る力の使って導シ加えて実 導入時に実現状況が不十分ー5 一次関数 入する現グラフもトな問題 ( 式をつくる問題など ) 状 扱う 6 のグラフと況には解説を加える の7 変域 グラフにを問 一次関数のグラフ の最後する力個別支援振8 り題をは シート問題を利用して再のきっか返形式的な解テストを行う また 一次関けとしてら処理を具か9 一次関数 使うせせ体例で理数を求めること は 手順を理 0 を求めるこ 式をつくる解させる解していない生徒への机間る力と支援を行う まとめ 力 元の学習を振り返らせ 学習内 プシート を参考にして重要事 小単元の 4 活用する Gアップシート を使って単 学習構造チャートに Gアッ 容の関連を考えさせる 項や問題を書き込ませる 図 5 一次関数 での G アップシート を活用した手だての試案 (4) 検証計画及び調査計画の概要 授業実践をとおし て手だての試案の 有効性を見るため に 表 4 のよう な検証計画を作成 した 本研究では 客観的に生徒の実 現状況をつかむた めに 正答率の比 較による検証を試 みることとする また G アップシー ト を活用した学習 に関する生徒の意 識の状況を見るた めに 表 5 のよ うな調査計画を作 成した 表 4 検証計画の概要 検証項目検証内容検証方法処理 解釈の方法 関数関係を表 現し考察する能 力 の育成状況 単元で学習する 内容の習得状況 関数関係を表 現し考察する能力 についての 意識の変容 読み取る力 式をつくる力 グラフにする力 4 活用する力 見方 考え方 表現 処理 知識 理解 関数の学習に対 する意識 態度 構成要素 ~4 への自信 表 5 調査計画の概要 -7- テスト法で 事前事後に実 施する ( 主題 テスト ) テスト法で 事後に実施す る ( 単元テス ト ) 評定尺度をつ けた質問紙法で 事前事後 に実施する t 検定 ( 平均の差の検定 ) によって 分析し考察する 正答率データがある問題については 正答率の比較で考察する 正答率 平均正答率から考察する 正答率データがある問題については 正答率の比較で考察する x 検定 ( 変化の検定 ) により分析 し考察する 調査内容検証方法処理 解釈の方法 G アップシート を活用した 学習に対する意識 評定尺度をつけた質問紙 法で事後に実施する 評定尺度別選択人数の割合 及び 記述内容から考察する

10 授業実践及び実践結果の分析と考察 () 一次関数 での Gアップシート を活用した授業実践の概要ア授業実践の計画 ( ア ) 対象花巻市立花巻中学校第 学年 学級 ( 男子 0 名女子 7 名計 7 名 ) ( イ ) 授業実践期間平成 8 年 8 月 8 日 ~9 月 日 ( ウ ) 指導計画小単元 一次関数 ( 時間 - 表 6 参照) 表 6 小単元 一次関数 の指導計画 G アップシート を活用した手だて 時 学習指導目標 ( 中核となる力 ) 学習活動 終末での振り返り 表 式に加えてグラフも扱う 問題の工夫 形式的な処理を具体例で理解 実現状況をつかみ 定着を図る工夫 前の時間の問題を使って導入 個別支援のきっかけ 関数の意味がいえる 関数の関係を表 式 グラフに表すこ とができる 具体的事象から表をつくる 表からグラフに表す 関数の意味をまとめる 具体的事象の中から 一次関数で表される二つの数量について考察するこ とができる 全員がさおばかりをつくって実験を行う おもりの重さと支点からの距離の関係を考 え 変数を用いて式に表す 一次関数の意味がいえる 一次関数になる身近な事象を式に表すことができる 一次関数の特徴について考察することができる 表から変数を用いて式に表す 一次関数の意味をまとめる 比例 反比例の式と比べる 一次関数の特徴を考える 4 変化の割合の意味をいえる 一次関数の変化の割合を求めること ができる 変化の割合をもとに x の増加量を 求めることができる 変化の割合の意味と求め方をまとめる x の増加量を求めるのに 変化の割合を 利用できるようにする 5 一次関数のグラフの特徴をいえる 表をもとにして 比例のグラフをかく 表をもとにして一次関数のグラフをかき 比例のグラフと比べてその特徴をまとめる 6 グラフの傾きと切片の意味をいえる グラフの切片の意味をまとめる グラフの傾きの意味をまとめ 変化の割合との関係を知る 7 式から一次関数のグラフをかくことが できる グラフから一次関数の式を求めることができる 切片と傾きをもとに 式からグラフをかく グラフから切片と傾きを読み取り 式を求める 8 一次関数の変域を求めることができる 一次関数のグラフを利用して 変域を求める 9 変化の割合と 組の x の値から一次 関数の式を求めることができる 変化の割合と 組の x の値から一次関数の式を求める 0 組のx の値から一次関数の式を求めることができる 単元の学習を振り返り 学習内容を関連づけることができる 組の x の値から一次関数の式を求める G アップシート を参考に 重要事項や 問題を学習構造チャートに書き込む 学習構造チャートの矢印の意味を考えるこ とで 学習内容の関連を考える 0 枚すべてを活用 イ授業実践の概要指導計画に従い できるだけ授業の効率化を図り Gアップシート に取り組む時間を確保するためにワークシートを作成して授業実践を行った 本資料に取り上げた授業実践の概要は 前の時間の Gアップシート の問題を導入として活用した第 4 時 ( 資料 8 頁 ) と Gアップシート を個別の支援のきっかけとして利用した第 7 時 ( 資料 9 頁 ) 単元のまとめをした第 時 ( 資料 9 頁 ) である ( 小単元 一次関数 の Gアップシート は 補充資料 4 授業実践で使ったワークシートは 補充資料 5 単元のまとめで使った学習構造チャートは 補充資料 6 参照) -8-

11 資料 前の時間の G アップシート の問題を使って導入した授業実践の概要 (4/ 時 ) 目標〇一次関数の変化の割合を求めることができる 〇変化の割合を基に x の増加量を求めることができる 段階学習活動 G アップシート の活用指導の手だてと生徒の様子 導入 教師の働きかけ 生徒の反応 導入問題を 分の間に机間巡視で実あっ Gアップシそう 一度やった問題だから すぐ解く 現状況を調べた 素早くート の問題だ! できるよね? 分でやってみよう 解いていく生徒が多かっ た () 表をつくる問題 () グラフをかく問題は ( 分後 指名ほとんどの生徒ができて して答えさせな がら解答 式を つくる問題には 解説を加えた ) 一次関数の 値の変化を調 ( 途中省略 ) いるが () 式を作る問 題ができていない生徒が 0 人ほどいたので 解説 を加えた 全部できた生 徒は 分の 程度であっ x=0のとき た =で 6ずつ (4) は式を発表させ 6 は減っていく =8 と計算すれば簡から 式はこれ単であることを確認し でいいね これ本時の学習内容とつながは一次関数だよ =-6 全部できた人はるようにした 手をあげて はーい xでもいいよ Gアップシート で出 た問題は 度目に解く すばらしい! Gアッ ときには確実に解けるよ 学習課題の プシート をしっかり うに取り組んでほしいこ 設定 やってきたんだね とを話した 今 教室の気温が だとすると ここから 4 km上空は - 教室は暑いけど 高度とともに気温はどんどん下がっていくわけだ 今日は一次関数のこのような値の変化の様子を調べていきます ( 学習課題を板書する ) 小単元の最初の時間 ( 展開 8 変化の割合 /) に 具体的事象を の意味と求め 方を具体例で 確認する 線香の例では式は =- 0.4x+4 変化の割合は? その意味は? 表 式 グラフにまとめ た紙板書を作った ( 教科 書の扉にある 水槽の水 位 長方形の縦と横 ば ねの長さ 線香の長さの 4 種類 ) その紙板書を 用い 具体的な事象にあ てはめて学習内容を確認 した 9 Gアップ Gアップシート をや シート で振 では 今日も Gアップ る時間はこの授業では 終末 り返り シート で振り返りをします ( 配布する ) 分程度 時間内で終わった生徒はひとりもいなか がんばってやんなきゃ! 今日は 式から表をつくって考えていくよ まず 一次関数 =x+ の表をつくろう あ ~ あ 今日も宿題か -0.4 線香が 0.4 cmずつ短くなる うわ 番が難しい った 単元の前半は時間 が足りなかったが 後半 は 0 分程度確保できるこ とが多かった -9-

12 資料 G アップシート を個別の支援のきっかけとして利用した授業実践の概要 (7/ 時 ) 目標 式から一次関数のグラフをかくことができる グラフから一次関数の式を求めることができる 段階学習活動 G アップシート の活用指導の手だてと生徒の様子 教師の働きかけ ( 途中まで省略 ) 生徒の反応 6 Gアップ 習ったばかりですばやく終末シート で振 ( 解答が見えないように折り返させて ) 今からグラフをかくグラフをかける生徒がほテストをします 番の~5のグラフをかき込んでくださり返りとんどだった 傾きが分い 必ず定規でかくこと 時間は 5 分です では はじめ! 数の場合にとまどう生徒 が何人かいた 合格でき なかった生徒は 7 名であ った 再テストでの様子 黒板に一次関数の式を 4 つ書き 座標軸を配布し てグラフをかかせ 4 つ とも正しくかけたら合格 とした 7 名のうち 名 はすぐに合格した 名 は 傾きからの点の取り 方の間違いを直して合格 資料 G アップシート を活用した小単元のまとめの時間の授業実践の概要 (/ 時 ) 目標〇単元の学習を振り返り 学習内容を関連づけることができる 学習活動 G アップシート の活用指導の手だてと生徒の様子 教師の働きかけ 生徒の反応 Gアップシート 最初は指示の意味がわか を使って単元の学習を Gアップシート を見ながら 学習構造チャートの吹き出 らずとまどっていたが 振り返り 学習内容の しに その時間の重要事項や問題を書き込んでください () を例にとって重要事 関連を考える 切片が だから 傾きが だから 早く終わった人は 次の問題に進んでください (5 分後 鉛筆 丸の数 つ以上 簡単! 残念ながら合格できなかっ させた 残った 名は を置いて赤ペン が合格です 合 た人は明日の昼休みに再テ 切片と傾きの意味を理解 を持たせ 解答 格した人は手を 分数の問 ストをするので かき方を していなかったので教え を見て丸をつけ 挙げて下さい 題を間違 練習してきてくださいね た 全員が合格するまで させた ) ったよ に約 0 分かかった 人と同じでなくてもいいよ 問題は自分で考えてもいいよ ワークシートも参考にするといいよ 番号の付き方はみんな同じだよ 終わったら矢印の意味を考えてみよう もう一枚もらって 問題だけを書き込んでもいいですか? G アップシート の重要事項をまとめる問題を書き写せばいいんだな 重要事項のまとめがないときには 問題と解き方を書けばいいんだな ワークシートにも同じような問題があれば それがよく出る問題なんだな 項のまとめを書けばいい と説明すると やり方を 理解してどんどん進んで いった 問題を書いても いいと指示した 矢印は授業と授業につな がりがあるということだ から 書き終わったら矢 印の意味を考えるように 指示したが 書き終えた 生徒は少なかった 吹き出しに問題だけを 書きたいからもう一枚も らいたい という生徒に もう 枚やると 数人 もう 枚もらいに来る生 徒がいた -0-

13 () 実践結果の分析と考察 ア 検証計画に基づく分析と考察 ( ア ) 関数関係を表現し考察する能力 の育成状況 手だての試案に基づく授業実践による 関数関係を表現し考察する能力 の育成状況を見 るために 授業実践の前後に同一問題でテストを実施し その結果から分析 考察した な お より客観的に分析 考察を行うために テストの問題は 県の学習定着度調査の問題な ど正答率が公表されている問題を利用した ( 補充資料 参照 ) 関数関係を表現し考察する能力 の高まりの状況 表 7 は 表 7 関数関係を表現し考察する能力 の高まりの状況 関数関係を表 現し考察する能 力 の高まりの 状況について 事前 事後の平 均点 標準偏差 及び t 検定の結 果を示したもの である t 検定 の結果 関数 関係を表現し考 察する能力 及 びすべての構成 要素で有意差が 認められた こ のことから G アップシート 活用した手だては 関数関係を表現し考察する能力 を高める上で有効 であったと考えられる 構成要素ごとの育成状況 G アップシート を活用した手だての有効性をより客観的に分析 考察するために 過去の調査でのそれぞれの問題の正答率と事前 事後テストの正答率を構成要素の問題ご とに比較し 表 8 ~ 表 にまとめた a 読み取る力 読み取る力 に ついては 事前テ ストの段階で全県 正答率を上回って おり 十分なレデ ィネスがあったこ とがわかる 事後 テストではさらに 正答率が上がって 表 8 読み取る力 を調べる問題の正答率比較 N=4 ( 注 ) 事前テストは 8 月 日 ( 水 ) 事後テストは 9 月 5 日 ( 月 ) に実施した * 印は t 検定において 有意水準 5% で有意差があることを示している 設問は構成要素 ~4 が各 問で 問につき 点の各 点満点 関数関係を表現し考察する能力 はその合計で 点満点である 4 t 検定に用いた公式は 次の通りである t = 検証内容 X - X S + S - r S S n - 事前テスト 平均点 事後テスト X X は事前 事後の平均点 S S は事前 事後の標準偏差 r は相関係数 n は人数 おり どの問題についても全県正答率と比較して正答率が上回っていることから 授業 標準 偏差 平均点 標準 偏差 相関 係数 t 値 関数関係を表現し考察する能力 * 構成要素 読み取る力 * 番号 () () 4 () 式をつくる力 * グラフにする力 * 4 活用する力 * 問題のねらい 平面上の座標を求めることができ る 反比例のグラフの座標を読み取ることができる 具体的な事象の中から比例を判断 することができる 出典 平成 6 年 学調 年 平成 5 年学調 年 平成 6 年 学調 年 正答率 事前事後全県 有 意 差 事後 - 全県 7% 88% 70% +8 7% 76% 66% +0 8% 97% 75% + --

14 b c d 実践をとおして読み取る力をさらに高めることができた といえる G アップシート の問題を 工夫し 多くの具体的事象に関する問題を扱ったことが 読み取る力 を高める上で有効であっ たと考えられる 式をつくる力 式をつくる力 についても 表 9 式をつくる力 を調べる問題の正答率比較 すべての問題で全県正答率を 上回る結果となった G アッ プシート の問題を工夫し 形式的な処理の意味の理解を 深めたことや 具体的な事象 を式にする問題を導入の時間 も含めて繰り返し解いて 式 のつくり方を解説したりした 手だてが有効であったと考える また 比例 反比例の式をつくる問題は単元の学習内容ではない が 一次関数 の授業実践をとおして正答率を高めることができた このことから G アップ シート を活用して授業の振り返りを行うことは 既習事項への理解を深めることにもなると考え られる ただし 事後テストでの正答率が 5%~68% と決して高くはないことから 式をつくる 力 を高めるための指導は手だての更なる工夫が必要である グラフにする力 比例の式をグラフに表現する 問題は 事前事後ともに正答 率が低い この原因は 平面 上の座標を求める問題 と同 じ座標軸にグラフをかかせよ うとしたため 座標を取った 点を通るグラフを無理にかい ている生徒がいるなど 解答 欄の設定が不適切であった可 能性が大きい 表 0 グラフにする力 を調べる問題の正答率比較 速さや時間の関係をグラフに表す問題については 授業実践後の小単元 ( 一次関数と方程式 ) の 一次関数の利用 に当たる内容であり 単元全体が終了した時点ではさらに正答率が上がると 考えられる したがって 授業実践終了時に全県正答率をわずかながら上回っていることから G アップシート を活用した手だては グラフにする力 を高める上でも有効であったと考える 特 に 単元のはじめに表 式に加えてグラフも扱い 具体的事象のグラフをいくつもかかせたことが 効果的だったと思われる しかし 事後テストでの正答率は 4%~59% と決して高いとはいえない また 底が階段状の直方体に水を入れたときのグラフを選択する問題は 全国正答率を上回っては いるものの あまり向上がみられなかった これらのことから グラフの意味をよりいっそう理解 させるために 直線のグラフだけでなくいろいろな関数のグラフをかかせて比べてみるなどの工夫 が必要であると考える 活用する力 番 号 () 問題のねらい 反比例のグラフから式を求めるこ とができる 比例の関係を式で表すことができ 5 () 番号 () 6 () る 具体的な事象の表から 変数を用 いて式に表すことができる 問題のねらい 比例の式をグラフに表現できる 速さや時間の関係をグラフに表すことができる 7 底が階段状の直方体に水を入れたときの正しいグラフを選択できる 活用する力 については 事後テストの時点で 問とも全県正答率を上回る正答率になってい る 活用する力 も授業実践後の小単元 ( 一次関数と方程式 ) の 一次関数の利用 に当たる 出典 平成 5 年 学調 年 平成 7 年 学調 年 平成 6 年 高校入試 出典 平成 5 年 学調 年 平成 7 年高校入試 平成 6 年文科省 正答率 事前事後全県 事後 - 全県 6% 50% 6% +4 56% 68% 57% + 0% 5% 8% +7 正答率 事前事後全県 事後 - 全県 4% 59% 7% - 44% 59% 58% + 8% 4% % 全国 +8 --

15 内容であり どの問題も単元全体が終了した時点ではさらに正答率が上がると考えられるこ とから G アップシート を活用する手だてが有効であった といえる G アップシート で 多くの具体的な事象に 関する問題に取り組ませ たことが 活用する力 を高めることにつながっ た また 単元のまとめ の時間に G アップシー ト を参考にしながら 学習構造チャートに重要 事項や問題を書き込んで 観 点 見 方 考 え 方 表 現 処 理 知 識 理 解 問題 番号 5 () 5 () 0 () 8 () 8 () G アップシート番号と 問題のねらい 単元テスト 全 0 問 6% () 具体的な事象の表から値を推定する ことができる () 一次関数になる具体例について式に 表すことができる (0) 組の x の値の組から一次関数 を求めることができる ( 具体例 ) (7) 一次関数の式からグラフがかける (8)x の変域から の変域を求めること ができる 9 (9) 変化の割合と 組の x の値から 0 () 8 () () () 表 活用する力 を調べる問題の正答率比較 学習内容の関連を考えさせた手だてが効果的であったと考える ( イ ) 単元の学習内容の習得状況 単元の学習内容の習得 表 単元の学習内容の習得状況 状況については 単元の まとめを除く 0 時間の授 業それぞれについての評 価問題を 問ずつ 合計 0 問による事後テストに より検証した 問題はで きるだけ過去の調査での 正答率が公表されている ものを選び 適切な問題 がない場合は自作とした ( 補充資料 参照 ) その結果を示したものが 表 である 表 を見ると 全 体の平均正答率は 6% で あり 決して高いとはい えないものの 正答率が 公表されている問題 6 問 の正答率はすべて過去の 調査での全県正答率を上 回っていることがわか る このことから G アップシート を活用す る手だては単元の学習内 一次関数を求めることができる () 燃やした時間と線香の長さの関係が 関数であることを説明できる (4) 一次関数の変化の割合をいえる (5) 一次関数のグラフと比例のグラフと の関係がいえる 容の習得に役立つものであった といえる 番 号 4 () 5 () 6 () 問題のねらい グラフを利用して問題を解決するこ とができる 具体的な事象の表から はじめの値 を求めることができる 速さと時間のグラフをかき 交点か ら問題を解決することができる (6) 一次関数のグラフの傾きがいえる 正答率 事後全県事後 - 全県 6% 54% +8 5% 8% +7 % 74% 5% + 44% 6% 4% +9 6% 85% N=4 76% 66% +0 9% 78% + 観点別平 均正答率 ( 事後 ) ( 注 ) 事前テストは 8 月 日 ( 水 ) 事後テストは 9 月 5 日 ( 月 ) に実施した 問題は全部で 0 問 全県正答率の欄が斜線のものは 自作問題である 主題テストと単元テストの問題を合わせて 主題 単元テストとして同じ時間 ( 制限時間 40 分 ) に実施した 観点別に見ると 知識 理解の問題の平均正答率は 79% と比較的高い これは G アップシー ト の最初の問題 ( 問題 ) が重要事項をまとめる問題であったことや 単元のまとめの時間に 学習構造チャートに重要事項を書き込んで単元全体のまとめをしたことが 知識 理解面での習 出典 平成 6 年 学調 年 平成 6 年 高校入試 平成 7 年 高校入試 正答率 事前事後全県 事後 - 全県 59% 6% 50% + 6% 6% 54% +8 4% 47% 4% +6 4% 60% 79% --

16 得に有効であったためと考えられる それに対して 見方 考え方の問題の平均正答率は 4% に とどまっている 見方 考え方の問題の難易度が高かったのも原因の つであるが G アップ シート を授業中に終わらせることが困難で 家庭学習として解かせる場面が多かったことから 生徒が早くシートを終わらせようとしたため じっくり時間をかけて考えることができなかった のではないかと考える このことから 数学的な見方 考え方を育成するのにはもっと十分な時 間を確保した上で 集中して取り組ませることが必要であったと思われる さらに 表現 処理の問題は 一次関数の式からグラフをかく問題 一次関数の式を求める 問題 の正答率が全県正答率との比較で上回っている どちらの問題も G アップシート を きっかけとして個別の支援を行った授業の学習内容であり 個別の支援を受けた生徒の多くは正 解していることから G アップシート を個別の支援のきっかけとして使う手だてが有効であ ったと考えられる ( ウ ) 関数関係を表現し考察する能力 についての意識の変容 手だての試案に基づく授業実践によって 関数の学習 及び 関数関係を表現し考察する能力 についての生徒の意識がどのように変わったかを調べるために 授業実践の前後で意識調査を行 った ( 補充資料 参照 ) そのうち 関数関係を表現し考察する能力 についての意識の変 容を χ 検定によって分析したものが 表 である その結果 設問 4( 関数 の表現方法を活用する態 度 ) と設問 7( グラフに する ことへの自信 ) の つについては χ 検定に より有意差が認められた これは G アップシー ト を活用した手だてによ り 単元のはじめに表 式 に加えてグラフも扱ったこ とで グラフをかくことに 慣れ 自信をもってグラフ を活用しようとする態度が 身についたことによると考 えられる その他の設問に ついては 生徒の意識に明 らかな変容は認められない が 設問 6( 式をつくる ことへの自信 ) について は プラス反応への変化を 示す生徒よりマイナス反応 への変化を示す生徒の方が 表 関数関係を表現し考察する能力 についての意識の変容 番号 ( 注 ) 事前調査は8 月 日 ( 水 ) 事後調査は 9 月 5 日 ( 月 ) に実施した 調査は ア イ ウ エの4 肢選択形式で行い ア イは+ 反応 ウ エは- 反応 ア エはそれぞれの強い反応とした * は有意水準 5% で 有意差があることを示す 4 χ 検定に用いた公式は下記に示すとおりである なお bは- 反応から + 反応へ cは+ 反応から- 反応へ変化した数を示す χ = (b-c) ただしb+c 0のとき χ = ( b-c -) b+c b+c 多かった 比例や反比例に比べて 一次関数の式をつくることが複雑な操作を伴うことから 生 徒にとっては難しいと感じるためであろう 以上のことから G アップシート を活用した手 だては 特に グラフにする ことへの自信をもたせ 表やグラフを活用しようとする態度を育 成するのに役立った と考える 質問内容 4 あなたは 問題を解くとき 表やグラフを使って考えようとしていますか ( 関数の表現方法を活用する態度 ) 5 あなたは 表をつくったり 表やグラフから値 や座標 変化を読み取ることが得意ですか ( 構成要素 読み取る ことへの自信 ) 6 あなたは 表やグラフ 与えられた条件から x や の式をつくることが得意ですか ( 構成要素 式をつくる ことへの自信 ) 7 あなたは 表や式 与えられた条件から グラ フをかくことが得意ですか ( 構成要素 グラフにする ことへの自信 ) 8 あなたは 問題場面に応じて 表 式 グラフなどを活用して問題を解くことが得意ですか ( 構成要素 4 活用する ことへの自信 ) 事後 事前 + - 合計 合計 合計 合計 合計 合計 4 χ 検定 * *

17 イ 調査計画に基づく分析と考察 図 6 は G アップシート を活用した学習に関する意識について 事後に調査した結果を まとめたものである 授業の終末に G アップシート の問 題を解き 授業での 実現状況を振り返る 手だてについては 90% を越える生徒が 授業の理解に役立 った 問題が解け るようになった と 感じている 生徒の 図 6 G アップシート を活用した学習に関する意識 感想を見ても 授業の復習になってよかった と書いている生徒が多く なかには 授業であま りわからなくても G アップシートでわかることもあった という生徒もいる ( 資料 4 ) これ らのことから G アップシート の問題を解いて授業の振り返りをし 単位時間ごとの学習内容 を確実に理解するのだという活用のねらいを ほとんどの生徒は肯定的に受け止め その成果を感 じ取っていることがわかる G アップシート の問題配列を生徒にとって取り組みやすいように 工夫したことや G アップシート を 資料 4 G アップシート を活用した学習に 活用するねらいを明確に説明し 納得さついて感じたこと (N=4 複数記述あり ) せた上で授業実践を行ったことが効果的 であった と考える ただし 今後も G アップシート を 使いたいかという問いに 使いたい と 答えた生徒の割合は 70% 強にとどまり 約 0% の生徒は G アップシートは役に 立つが 今後もやりたいとは思わない と感じていることがわかる これは G アップシート を授業時間内に終わらせ ることができず 家庭学習になることが 多かったため 家庭学習が増えることを 嫌ったと思われる このことから G アップシート を活用する手だては 時 間の確保が大きな課題だといえる また 単元のまとめの時間に G アッ 〇授業の終末での振り返りについて 授業の復習になってよかった ( 名 ) いろいろな種類の問題があってよかった ( 名 ) 何度も問題を解くことで わかるようになってきた ( 名 ) 授業であまりわからなくても シートでわかることもあったし 問題の解き方などを忘れにくくなった 学力向上にはすごく効果的 テスト前にもう一度使いたい 学校で終わらないことが多くて 大変だった ( 名 ) やらないときもあった 解説も書いてあった方がわかりやすい 〇単元のまとめでの活用について 見やすくて 大切なことがまとめてあるのでいい (5 名 ) テスト勉強に役立ちそう テスト前に使いたい (4 名 ) 忘れたときに振り返れるのでいい ( 名 ) まとめかたの勉強になった ( 名 ) チャートに書き込むことが復習になってよかった ( 名 ) 一気に見直せるのがよい あまり意味がないと思った まとめるのが苦手なのであまりやりたくない 記入欄が狭かったので 全部もっと大きくしてほしい プシート を使って単元の学習を振り返り 学習内容の関連を考える手だて ( 設問では 学習構造 チャート でのまとめ と表現してある ) については 数学の学習方法としては新鮮に感じた生徒 が多かったようで あまり意味がない と答える生徒もいた反面 とても役に立った ( 役に立 ちそうだ ) と答える生徒が多かった ( 資料 4 ) 80% を越える生徒が 学習の理解に役立った と感じ そのほとんどが 次の単元でもやりたい と答えていることから 単元のまとめの時間に G アップシート を使って単元の学習を振り返る手だては多くの生徒にとって有効である とい える -5-

18 4 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための研究のまとめこれまで 手だての試案に基づく授業実践を行い 実践結果の分析と考察をとおして その有効性を考えてきた その結果から 成果と課題についてまとめる () 成果ア授業の終末部分に Gアップシート を活用して授業での実現状況を振り返らせることにより 効果的に授業の振り返りができ 関数関係を表現し考察する能力 を高めることに役立った イ 一次関数 の学習のはじめの部分の Gアップシート に表 式に加えてグラフを扱うことにより グラフにすることへの自信をもった生徒が増え 表やグラフを活用しようとする態度を育成することができた ウ Gアップシート の問題を繰り返し解いたり 個別支援のきっかけとして活用することにより 式をつくる力 グラフにする力 を高めることができた また 特に表現 処理面での学習内容の定着を図ることができた エ単元のまとめの時間に Gアップシート を使って単元の学習を振り返らせ 学習内容の関連を考えさせることにより 活用する力 を高めることができた また 特に知識 理解面での学習内容の定着を図ることができた () 課題ア 式をつくる力 グラフにする力 を調べる問題の正答率は決して高いとはいえないことから 式をつくる力 グラフにする力 を高めるための指導の手だてを更に工夫する必要がある イ 関数関係を表現し考察する能力 特に 活用する力 を高めるためには じっくりと問題に取り組み 考えさせることが大切であることから Gアップシート に取り組ませる時間を十分に確保することが必要である 以上のことから 課題はあるものの 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案は有効であり 関数関係を表現し考察する能力 を高めることに効果があったと考える Ⅴ 研究のまとめと今後の課題 研究のまとめこの研究は Gアップシート を活用する授業実践をとおして 関数関係を表現し考察する能力 を高める学習指導の在り方を明らかにし 中学校数学科 一次関数 の学習指導の改善に役立たせようとするのものであった その結果 仮説が妥当であったことが確かめられた なお 成果として次のようなことが得られた () 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本構想中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための基本的な考え方や 一次関数 における Gアップシート を活用した学習指導の在り方を明らかにして 基本構想にまとめることができた () 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案基本構想及び諸調査 検査結果から明らかになった手だての試案作成上の観点を基にして 一次関数 における手だての試案を作成することができた () 授業実践及び実践結果の分析と考察 一次関数 での Gアップシート を活用した手だての試案に基づいた授業実践を行った そして 授業実践の分析と考察により 関数関係を表現し考察する能力 の育成が認められ -6-

19 手だての試案の有効性を確かめることができた (4) 中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための研究のまとめ中学校数学科における 関数関係を表現し考察する能力 を高めるための学習指導について 成果と課題を明らかにすることができた 今後の課題本研究を今後更に生かすための課題として次のようなことが考えられる () 時間の確保を図りつつ 更に 式をつくる力 グラフにする力 を高めることができるよううに 一次関数 での Gアップシート を活用した手だてを改善すること () 一次関数 以外の単元での Gアップシート を活用した手だてについて検討すること < おわりに > 長期研修の機会を与えてくださいました関係諸機関の各位並びに所属校の諸先生方と生徒のみなさ んに心から感謝申し上げ 結びのことばといたします 引用文献 齋藤昇編著 (004), 中学校数学科 山登り学習法 入門生徒の数学的能力を高める授業づくり, 明治図書,p.7 参考文献 北尾倫彦 鈴木彬 内海淳編集 (004), 中学校数学 新しい観点別評価問題集 単元の観点別テ ストと開発問題, 図書文化 佐藤隆博 齋藤昇 長谷川勝久共著 (999), 中学校数学科の教材開発 コンセプトマップ 授業 設計 達成度評価問題, 明治図書 -7-

20 補充資料 補充資料 < 目次 > 関数単元の問題 構成要素別分類表資 補充資料 主題 単元テスト用紙及び結果資 5 補充資料 事前 事後意識調査用紙及び結果資 9 補充資料 4 小単元 一次関数 の G アップシート ( 全 0 枚 ) 資 補充資料 5 授業実践で使ったワークシート ( 全 0 枚 ) 資 補充資料 6 単元のまとめで使った学習構造チャート資 6

21 補充資料 関数単元の問題 構成要素別分類表( は主題テスト問題), 読み取る力( またはそのために必要な知識 ) を調べる問題 出題 問題 ( 省略あり ) 正答率 H5 水槽に水を入れたら 右のグラフのよう 年学調になった ()98% () 分後には何 cm か ()97% () 分当たり何 cm 増えるか H6 水槽に水を入れたら 右の表になった 分 4 5 年学調 () このまま水を入れ続けるとき cm ()90% 水の深さが 48cm になるのは何分後か H7 比例関係を下の中から選べ ( 具体例と表 ) 年学調ァ おもりとばね ィ くぎ本数と重さ ゥ 正方形の 辺と面積 ェ 長方形の縦と横 % , H5 は x に比例し 右の表になる x 年学調 () ァにあてはまる数を求めよ ァ % H5 右の図は 反比例のグラフです 年学調 ()x= の時の の値を求めよ ()66% H6 A,Bつの水槽はどちらも高さ 年学調 9 cm である 両方に同じ量ずつ水を入れたら 右のグラフのようになった Aはいっぱいになるまで Bは途中まで示している ()A は 分間で何 cm ずつ深さ ()75% が増えるか H7 右のグラフは まさおさんと弟が同時に 年学調家を出発し 900m 離れた図書館へ向かったときの様子である () まさおさんの歩く速さは毎分何 m か ()66% 学調 座標を求める問題 6- 座標を求める4 択 (,-) 8% 7- 座標を求める4 択 (-,) 8% 5- 点 P の座標を書く (-,) 84% 点 P から右へ 上へ 進んだ点の座標を書く 80% 6- 点 P の座標を書く (,-) 8% 点 Q(-,5) を書き入れる 70% 7- 点 P の座標を書く (-4,) 80% - 資 -

22 , 式をつくる力( またはそのために必要な知識 ) を調べる問題 出題 問題 ( 省略あり ) 正答率 H5 は x に比例し 右の表になる x 年学調 () を x の式で表せ ァ ()67% H 6 は x に反比例し 右の表になる x % 年学調 を x の式で表したものはどれか (4 択 ) 6 4,4 H 7 は x に反比例し 右の表になる x % 年学調 を x の式で表したものはどれか (4 択 ) 8 6 4,8 4 学調 は x に比例し x=4のとき =です 5- () を x の式で表しなさい ()56%()58% 6- ()x=- のときの の値を求めなさい ()57%()58% 7- 年間 同じ問題 ()57%()57% 学調 次関数の式を書きなさい 5- 変化の割合がで x =のとき =5 4% 6- 変化の割合がで x =のとき =7 45% 7- 変化の割合がで x =のとき =4 ( 基本構想 表 ) 4% H 5 右の図は 反比例のグラフです 年学調 () を x の式で表せ ()6% H7 右の図は 反比例のグラフです 高校入試 を x の式で表せ 6% H6 自転車に乗って 毎時 xkm の速さで 90km の道のりを走ったところ 高校入試時間かかった を x の式で表せ 69% H6 ばねの問題 ( 基本構想 表 ) x(g) 高校入試 () を x の式で表しなさい (cm) 5,8 6,6 7,4 8, ()8% H6 が x に比例しているものはどれか 年学調ァ Aさんの年齢が x 歳のときの身長を cm とする 75% ィ 個 0 円のみかんを x 個買ったときの代金を 円とする ゥ m のひもを x 等分したときの 本のひもの長さを cm とする ェ 50 ページの本を x ページ読んだときの残りのページ数を とする H7 が x に比例しているものはどれか 年学調ァ 底辺が6 cm 高さが xcm の三角形の面積を cmとする 6% ィ 00 ページの本を x ページ読んだときの残りのページ数を とする ゥ 50m の距離を秒速 xm で走るときにかかる時間を 秒とする ェ 辺の長さが xcm の正方形の面積を cm とする - 資 -

23 , グラフにする力( またはそのために必要な知識 ) を調べる問題 出題 問題 ( 省略あり ) 正答率 H6 水槽に水を入れたら 右の表になった 分 4 5 年学調 () 水を入れる時間 と cm ()8% 水の深さ の関係をグラフにしなさい 学調 次の比例の式のグラフを書きなさい 5- = x( 表のらんあり ) 7% 6- =/ x ( 表のらんなし ) 67% 7 ー =-/ x ( 表のらんなし ) 58% H6 =4/ x のグラフはどれか 年学調 7% H7 一郎さんは 000m 離れた図書館に 高校入試行くために 時に家を出発し 毎分 ()58% 60m の速さで歩いた 5 分後に忘れ物 に気づき 毎分 90m の速さで家に戻っ た 忘れ物を取った後 再び出発し 時 45 分に図書館に着いた 花子さん は 図書館を 時に出発して毎分 50m の速さで家に向かった () 太郎君のグラフを書け H7 =4/ x のグラフの特徴はどれか 年学調 原点を通る直線 原点を通らない直線 50% なめらかなつの曲線 4なめらかなつの曲線 H7 =-/ x +のグラフを書け ( 基本構想 表 ) 5% 年学調 H5 = x +4のグラフは 傾きが 切片が 4の直線であり = x 80% 年学調のグラフを 軸の正の方向に だけ平行に移動したものである 6% H6 =-5 x +のグラフは 傾きが 切片がの直線であり 78% 年学調 =-5 x のグラフを 軸の正の方向に だけ平行に移動したもので 66% ある 4, 活用する力 を調べる問題 出題 問題 ( 省略あり ) 正答率 H5 深さ 80cm の直方体の浴槽に 深さ/4までお湯を入れる 水を 年学調入れ始めて5 分後に 底から cm のところまでたまっていた ()80% () 底から何 cm の深さまで水を入れればよいか ()65% () お湯を入れ始めてから何分後にお湯を止めればよいか - 資 -

24 H6 A,Bつの水槽はどちらも高さ 年学調 9 cm である 両方に同じ量ずつ水 を入れたら 右のグラフのように なった Aはいっぱいになるまで Bは途中まで示している ()B がいっぱいになるのは Aが ()50% いっぱいになってから何分後か H7 右のグラフは まさおさんと弟が同時に 年学調家を出発し 900m 離れた図書館へ向かった ときの様子である () 弟が図書館につくのは ()50% まさおさんが図書館に着いてから何分後か H7 一郎さんは 000m 離れた図書館 高校入試に行くために 時に家を出発し 毎 分 60m の速さで歩いた 5 分後に忘 れ物に気づき 毎分 90m の速さで家 に戻った 忘れ物を取った後 再び 出発し 時 45 分に図書館に着いた ()4% 花子さんは 図書館を 時に出発し て毎分 50m の速さで家に向かった () 二人が出会う時刻を求めよ H6 ばねの問題 ( 基本構想 表 ) x(g) 高校入試 () ばねにおもりを下げないときの (cm) 5,8 6,6 7,4 8, ()54% ばねの長さを求めなさい H6 関数 = ax のグラフ上に4 点 A,B,C,D, があり 点 Bの x 座 高校入試標は, 点 Cの x 座標は正である また 線分 AB,CDはともに 軸 に平行で DC=ABである () 点 Cの 座標を a を用いて表せ () 四角形 ABCDの面積が64の ()40% とき a の値を求めよ ()9% H7 関数 =/ x のグラフ上に 点 高校入試 A,Bがあり x 軸上に 点 C,Dがあり ます 点 Aの x 座標は a(a は正 ) で 点 B,C,Dの x 座標はそれぞれ-, - です () OBC の面積を求めよ ()69% () OBC と OADの面積比が ()9% :0 のとき a の値を求めよ - 資 4 -

25 補充資料 主題 単元テスト用紙 主題 単元テスト ( 次関数 ) 年組番氏名 答えはの中に書くこと または座標軸に直接書き込むこと 計算は余白に書いて 消さないこと グラフを書き込んだときも 消さないこと ( 注 ) 吹き出しの正答率は 補充 N O 番号資料用にあとから加えたものです問題主題単元 次の問いに答えなさい () 右の座標軸上に 5 点 Q (- 5 ) を書き入れなさい 事後 88% () 右の座標軸上に 県 70% 比例 = χ のグラフを書きなさ い 事前 7% 事前 4% 事後 59% 県 7% O 4 5 x 右の図は 反比例のグラフです 次の問いに答えなさい ()χ = のときの の値を 求めなさい 事前 7% 事後 76% 県 66% () を χ の式で表しなさい 事前 6% 事後 50% 県 6% は χ に比例し χ = 4 のとき = です を χ の式で表しなさい 事前 56% 事後 68% 県 57% - 資 5 -

26 4 右の図のような円柱の形をした A, B つの 水そうがあり 高さはどちらも 9 c m です A B この つの水そうに 毎分同じ量の水を それぞれいっぱいになるまで入れ続けました 下のグラフは 水を入れ始めてからの時間にともなって 水そうのなかの水の深さがどのように変化するかを示したものです ただし A の水そうについてはいっぱいになるまで B の水そうについては途中まで示しています このグラフを見て 次の問いに答えなさい N O ()A の水そうでは 分間に何 c m ずつ深さが増えますか 事前 8% 事後 97% 県 75% c m ()B の水そうがいっぱいになるのは A の水そうがいっぱいになって から何分後ですか 事前 59% 事後 6% 県 50% 分後 4 5 ばねにおもりを下げ おもりの重さとばねの長さの関係を調べまし た 下の表は おもりの重さを χ g ばねの長さを c m として そ の結果を表したものです なお ばねののびる長さは 下げたおもり の重さに比例します 下の問いに答えなさい χ (g) (cm) cm () ばねにおもりを下げないときのばねの長さを求めなさい 4 () χg 事前 6% 事後 6% 県 54% c m () を χ の式で表しなさい () 事前 0% 事後 5% 県 8% - 資 6 -

27 N O 6 一郎さんは 000m 離れた図書館に行くために 時に家を出発し 毎分 60m の速さで歩いた 5 分後に忘れ物をしたことに気づき 毎分 90m の速さで家に戻った 忘れ物を取った後 再び家を出発し 時 45 分に図書館に着いた 一方 妹の花子さんは その図書館を 時に出発し 毎分 50m の速さで家に向かった 次の問いに答えなさい () 下の図は 一郎さんが家を出発してから忘れ物に気付くまでの時間 と道のりの関係をグラフにしたものです 一郎さんが忘れ物に気づいてから図書館に着くまでのグラフを図にかきいれなさい () 花子さんは家に向かう途中で一郎さんと出会いました 二人が出会う時刻を求めなさい 事前 44% 事後 59% 県 58% 4 時 分 事前 4% 事後 47% 県 4% 7 下の図のように 底が階段状の直方体の水そうがあります 階段 の各段は水平です この水そうに毎分同じ量ずつ水を入れていきます 水を入れ始めてから満水になるまでの時間と水面の高さとの関係を表すグラフに最も近いものはどれですか ア ~ オから つ選びなさい 事前 8% 事後 4% 全国 % - 資 7 -

28 8 次関数 = - χ + について 次の問いに答えなさい N O 4 () 右の座標軸にグラフを書きな (7) 事前 6% 5 さい 事後 74% 4 県 5% () 変化の割合をいいなさい (4) 事前 6% 事後 85% ()χ の変域が - x 4 の - (8) ときの の変域を求めなさい 事前 9% 事後 44% O 4 5 x 変化の割合が で χ = のとき = 4 である 次関数の式を書きな (9) さい 事前 % 事後 6% 県 4% 0 線香に火をつけて 燃やした時間 χ 分と線香の長さ c m の関係を調べたら 線香は一定の割合で燃えていることがわかった ( ) は χ の関数であるといえるか また その理由も書きなさい () いえるいえない 丸で囲む事前 0% 理由事後 6% ( ) 火をつけてから 5 分後の線香の長さが c m 0 分後の長 (0) さが 8 c m であった を χ の式で表しなさい 事前 % 事後 % 次関数 = ー 5 χ + のグラフの特徴について 次のようにまとめ ました 空らんにあてはまる数を入れなさい 事前 6% 事後 9% 県 78% 次関数 = ー 5 χ + のグラフは 傾きが 切片が (6) の直線であり = ー 5 χ のグラフを 軸の正の方向に だけ平行に移動させたものである 事前 6% (5) 事後 76% 県 66% - 資 8 -

29 補充資料 事前 事後意識調査用紙 数学の学習に関するアンケート ( 月日 ) 年組番氏名 ( 注 ) これは事後調査の用紙です 事前調査は 枚のうち 枚目のみで 部は太字のように表現してあります また 中は選択した生徒の割合や割合の変化を示すもので 補充資料用にあとから加えたものです このアンケートは 皆さんとの数学の授業を振り返るために行うものです 成績にはまったく関係ありませんので 思っているとおりに答えてください 番からの質問には 次関数 の学習を思い出して答えてください 比例と反比例 答え方は 自分の考えに一番近いものをア ~エの中からつ選び 記号に〇をつけてください また がある場合は その中にあなたの考えていることを書いてください 関数の学習に対する意識 5 あなたは 表をつくったり 表やグラフから 事前 事後 値や座標 変化を読み取ることが得意ですか あなたは 数学の学習が好きですか ア 得意である 8% 4% ア 好き 9% % イ どちらかといえば得意である 6% 6% イ どちらかといえば好き % 5% ウどちらかといえば得意ではない 8% 4% ウ どちらかといえば嫌い 4% % エ 得意ではない 8% 9% エ 嫌い 5% % 比例と反比例 のような 6 あなたは 表やグラフ 与えられた条件から あなたは 関数 の学習が好きですか xやの式をつくることが得意ですか ア 好き % 6% ア 得意である 9% % イ どちらかといえば好き 5% 8% イ どちらかといえば得意である 5% 6% ウ どちらかといえば嫌い 5% 47% ウどちらかといえば得意ではない % 44% エ 嫌い 8% 9% エ 得意ではない 4% 8% 比例と反比例 のような あなたは 関数 の学習は役に立つと 7 あなたは 表や式 与えられた条件から 思いますか グラフを書くことが得意ですか ア 思う 5% 9% ア 得意である 9% 6% イ どちらかといえば思う 6% 44% イ どちらかといえば得意である 5% 8% ウ どちらかといえば思わない 44% 8% ウどちらかといえば得意ではない % 6% エ 思わない 5% 9% エ 得意ではない 4% 9% 4 あなたは 問題を解くとき 表やグラフを 8 あなたは 問題場面に応じて 表 式 グラ 使って考えようとしていますか フなどを活用して問題を解くことが得意ですか ア している 5% 44% ア 得意である % 6% イ どちらかといえばしている 8% 6% イ どちらかといえば得意である 9% % ウ どちらかといえばしていない 4% 4% ウどちらかといえば得意ではない 5% 5% エ していない 4% 6% エ 得意ではない 5% 9% - 資 9 -

30 Gアップシートに対する意識 ( 事後のみ ) 事後 9 あなたは G アップシート が授業時間 あなたは 学習構造チャート を使って単元 内に終わらなかったとき 残りの問題をどう のまとめをすることで 次関数の学習を理解 しましたか するのに役立ったと思いますか ア 家などで必ずやった 5% ア 思う 44% イ 家などでだいたいはやった 44% イ どちらかといえば思う 8% ウ やらないことも何度かあった 9% ウ どちらかといえば思わない 5% エ やらなかった % エ 思わない % 0 あなたは Gアップシート の問題の解答 4 あなたは 今後の数学の授業でも Gアップ を見ても意味が理解できなかったとき どう シート を使いたいと思いますか しましたか ア 思う 4% ア 理解できない問題はなかった 9% イ どちらかといえば思う 47% イ 自分で考えたり 先生や友達などに聞い ウ どちらかといえば思わない 6% たりして 理解するようにした 5% エ 思わない % ウ 次の時間に もう一度やってみるように した 8% 5 あなたは 次の単元でも 学習構造チャート エ そのままにしておいた % を使って単元のまとめをしたいと思いますか ア 思う 5% あなたは Gアップシート を使って授業 イ どちらかといえば思う 4% の振り返りをすることが 授業を理解するた ウ どちらかといえば思わない % めに役立ったと思いますか エ 思わない 0% ア 思う 5% イ どちらかといえば思う 59% 6 Gアップシート や 学習構造チャート ウ どちらかといえば思わない 6% を使った学習について 感じたことを書いてく エ 思わない 0% ださい あなたは Gアップシート を使って授業 の振り返りをすることで 関数の問題を解け るようになったと思いますか ア 思う 9% イ どちらかといえば思う 6% ウ どちらかといえば思わない 9% エ 思わない 0% - 資 0 -

31 補充資料 4 小単元 一次関数 の G アップシート 数学 Gアップ学習シート 年第 章 次関数 () 年数学 NO 5 ー関数の意味を言えるようになろうー 次の文の空らんをうめなさい 年組番氏名 < 解答 解説 > つの変数 χ があって χ の値を決めると それにつ とき は χ の関数である という れて の値もただ つ決まる 次のア ~ ウを読んで 下の問いに答えなさい ( 類 H6 学調 年 7 ア 本 0 円の鉛筆を χ 本買ったときの代金は 円である H7 学調 年 8) イ 面積が cmの長方形の縦の長さを χcm 横の長さを cmとする ウ 底辺の長さが χcmの三角形の面積を cmとする () ウ 理由 底辺の長さ (χ) を決め エ 辺の長さが χcmの正方形の面積を cmとする ても 高さを決めないと三角形の オ 00 ページの本を χ ページ読んだときの残りのページ数を とする 面積 () は つに決まらないから () ア () が χ の関数である といえないものを つ選び 記号で答えなさい 式 =0χ また 選んだ理由をいいなさい () が χ に比例している といえるものを つ選び 記号で答えなさい また を χ の式で表しなさい () イ 式 = χ 参考までに 式にすると () が χ に反比例している といえるものを つ選び 記号で答えなさい エ =χ オ =00-χ また を χ の式で表しなさい (H5 学調 年 ) 直方体の形をした深さ 80cm の浴そうに 底から浴そうの深さのの ()80 =60cm 4 4 ところまでお湯を入れたい 空の浴そうにお湯を入れ 始め 5 分後にお湯の量を見ると 底から cm の ところまでたまっていた ()5 分後 () 底から何 cm のところまでお湯を入れればよいか だから () お湯を入れ始めてから何分後にお湯を止めれ 7 ばよいか 48 () 水を入れ始めてχ 分後のお湯の深さをcm 6 とすると はχの関数である をχの式で表しなさい 4 また 右の座標軸にグラフを書きなさい x ()5 分で cm だから 分あ たり 5=.4cm 深くなる =.4χ x - 資 -

32 数学 G アップ学習シート 年第 章 次関数 () 年数学 NO 6 ーいろいろな関数を表 式 グラフに表してみようー 年組番氏名 長さ 9cm の線香に火をつけ 分ごとに長さを測ったところ 分間に < 解答 解説 > cm ずつ短くなることが分かった () 右から () 時間と線香の長さとの関係を 下の表にまとめなさい ( 燃やした時間 ( 分 ) 線香の長さ (c m) 9 8 () 右の座標軸にグラフを書きなさい () ~ は の関数である という言い方で 表しなさい (4) χ 分間燃やしたときの線香の長さが cmで あるとして を χ の式で表しなさい ) 0 () 線香の長さは 燃やした時間 の関数である 下の図のような深さ 8 cmの水そうに 0 cmの高さまで水が入っています (4)=9 ー χ この水そうに毎分 cmずつ水位が増すように水を入れていきます () 時間と水位との関係を 下の表にまとめなさい () 水を入れる時間 ( 分 ) 水位 (c m) 0 右から 6,9 5 () 水位は 水を入れる時間の関数 8 cmである () ~ は の関数である という言い方で () 表しなさい 0 cm =χ+0 () 水を χ 分間入れたときの水位が cmであるとして を χ の式で表しなさ 6 分後に 水位は 8 cmになる い から 水そうはいっぱいになる (4) 0 χ 6 (4) 水そうに水がいっぱいになるまで水を入れることにすると χ と の変域 0 8 はどう表されますか 下の空らんにあてはまる数を入れなさい χ の変域 χ () 乗車距離 の変域 0 () x x 下の電車の運賃表を見て 問いに答えなさい 00 0 乗車距離 kmまで 6 kmまで 0kmまで 4kmまで 運賃 4 0 円 80 円 00 円 0 円 () 下の文の空らんをうめなさい 6 0 運賃は ( ) の関数である () 右の座標軸を使って グラフに表してみなさい (p49) (χ は乗車距離 は運賃と考えよう ) x x - 資 -

33 数学 G アップ学習シート 年第 章 次関数 () 年数学 NO 7 ー 次関数の意味を言えるようになろうー < 解答 解説 > 年組番氏名 次の文を読んで 問いに答えなさい (p50) () 上から順に つの変数 χ があって その関係が = のような =ax+b 次式で表されるとき は χ のである という 次関数 () 上の文の空らんをうめなさい ア ウ () 次のア ~ エの式で表される関数のうち は χ の 次関数である といえ ( アは比例でもあるが b=0 と考 るものをすべて選び 記号で答えなさい えれば 次関数といえる ) 6 ア = ー χ イ = ウ =χ+ エ =χ χ あるばねに いろいろな重さのおもりをつるしてばね 全体の長さを調べたところ 次の表のようになった 下の問いに答えなさい? おもりの重さ ( g) ばね全体の長さ (cm ) ()χg のおもりをつるしたときのばね全体の長 さを cm として グラフを書きなさい () おもりの重さが g 増えると ばね全体の長 さは何 cm 増えるだろうか () を χ の式で表しなさい cm 気温は 地上から 0 kmまでは 高度が km増すごとに 6 ずつ低くなる 地上の気温が のとき 高度と気温の関係を調べよう χg () () ()0g で cm だから g だと 0.cm ()=0.x+0 () 地上から χ km上空の気温を として ()= ー 6x+ () 表をうめなさい () χ km 0 4 () を χ の式で表しなさい () グラフを書きなさい (4) 気温が氷点下 (0 より低い温度 ) に なるのは 地上何kmか x 4 x x -6 (4)0= ー 6x+ x= x χ km ー 答え.5km - 資 -

34 数学 G アップ学習シート 年第 章 次関数 (4) 年数学 NO 8 ー 次関数の変化の割合や χ の増加量を求めようー < 解答 解説 > 年組番氏名 次の文を読んで 空らんをうめなさい (p5 5) 上から順に χ の増加量に対する の増加量の割合を という 変化の割合 次関数 = では 変化の割合はでに等しい =ax+b 一定 a の増加量 ( 変化の割合 ) = = =a x の増加量 次のア イの式で表される関数について 表の空らんに数を入れ 表を完成 しなさい また 下の問いに答えなさい (p5,5) イ =-χ+ χ ー ー ー 0 χ ー ー ー 0 ア () ア =χ- () ()χの値がずつ増加すると の値はいくつずつ増加するか () 4=8 χ ー ー ー 0 ー 7 ー 5 ー ー 5 () 変化の割合をいいなさい χ ー ー ー ー ー 4 ー 7 イ () ー () 変化の増加量が4のときの の増加量を求めなさい () ー () ー 4= ー 次の表で は χ の 次関数である 下の問いに答えなさい χ ー 0 7 ー 4 ()x がー から まで増加すると き x の増加量 -(-)=5 () 変化の割合を求めなさい の増加量 -(-4)=5 ヒント変化の割合 5= xがー からまで増加するときの増加量は 5であ 5 る そのときは? () 表中の と の値を求めなさい () = ー 4+ =5 =+ 5=6 () を χ の式で表しなさい ()=x+5 - 資 4 -

35 数学 Gアップ学習シート 年第 章 次関数 (5) 年数学 NO 9 ー 次関数のグラフと比例のグラフを比べようー < 解答 解説 > 年組番氏名 ( 復習 ) 次の文の空らんをうめなさい また 点 P Q R S を右下の座標軸上 にとりなさい 右のような図で 横の数直線を 縦の数直線を 縦と横を合わせて 座標軸の交点 Oをという 点 P(,) 点 Q(-,) 点 R(0,-) 点 S(5,0) O 4 x 上から順に x 軸 軸 座標軸 原点 上から順に 次の文の空らんをうめなさい (p56) =ax 原点 =ax+b =ax 〇比例 = のグラフは を通る直線である 軸の正の方向 b 〇 次関数 = のグラフは 比例 = のグラフを にだけ平行に移動させた直線である ア 次のア イ ウの式で表される関数について 次の問いに答えなさい () 表の空らんに数を入れ 右下の座標軸に点をとってグラフを書きなさい ア =χ イ Q O 4 x R P S χ ー ー ー 0 ー ー ー 0 χ ー ー ー 0 イ =χ+ χ ー ー ー O 4 x - χ ー ー ー 0 ー ウ χ ー ー ー 0 ー 6 ー 5 ー 4 ー ー ー 0 イア ウ =χ ー χ ー ー ー O 4 x - - () アのグラフをどちらにどれだけ移動させれば イのグラフに重なるか - -4 () アのグラフをどちらにどれだけ移動させれば ウのグラフに重なるか () 軸の正の方向へ だけ移動 ウ させればよい () 軸の正の方向へー だけ移動させればよい - 資 5 -

36 数学 G アップ学習シート 年第 章 次関数 (6) 年数学 NO 0 ー 次関数のグラフの特徴をまとめようー < 解答 解説 > 年組番氏名 次の問いに答えなさい (p57) () 次の文の空らんをうめなさい () 上から順に 〇 次関数 =χ+ は χ=0 のとき = だから グラフは切片 点 (0,) で 軸と交わる この をグラフのという 〇 次関数 =χ+ は 変化の割合がだから χ が 増加す上 ると は 増加する グラフでは 右へ 進むと へ 進む 傾き この をグラフの という () 次の文の空らんをうめなさい a 次関数 =aχ+b のグラフは 傾きが 切片がの直線 である () 空らんにあてはまる数を入れなさい 4 () 上から順に b () 上から順に (H5 年学調 年 6()) =χ+4 のグラフは 傾きが 切片が 4 の直線であり = ( 類 H6 年学調 年 7()) χ のグラフを 軸の正の方向に だけ平行に移動させたものである 次の式で表される 次関数について グラフの傾きと切片をいいなさい 傾き切片 (p58) () 4 傾き切片 () ー ー ()=χ+4 () ー 0 ()=-χ- (4) ()=-χ (4)= χ+ の ()~(4) の式で表 される 次関数のグラフを 右 の座標軸に書きなさい (p59) O 4 5 x 5 4 () (4) O 4 5 x () () - 資 6 -

37 数学 Gアップ学習シート 年第 章 次関数 (7) 年数学 NO ー 次関数のグラフが書けるようになろうー < 解答 解説 > 年組番氏名 次の式で表される 次関数のグラフを書きなさい (p59) 4 =χ =χ ー O 4 5 x - = ー χ O 4 5 x (H7 学調 年 7()) 4 = ー χ+ - ( 類 H8 学調高 7) 5 = χ ー 4 5 次のア ~ エのグラフの傾と切片をいいなさい また それぞれのグラフを傾き切片式 次関数の式で表してみよう (p60) 傾き切片式ア =x+ ア = イー = ー x+ イ = ウ ー =x ー ウ = エ ー 0 = ー x エ = 右のグラフは 線香に火をつけてからの時間 χ 分と線香の長さcmの関係を 調べた結果を表したものである () この線香のはじめの長さは何cmか ()5cm ()0.5cm ()=-0.5x+5 () この線香は 分間に何cmずつ短く 0 x 0 なっているか (4)6=-0.5x+5 x=8 答え 8 分後 ()をχの式で表しなさい また χの変域を不等号を用いて表しなさい (4) 線香の長さが 6 cmになったのは 火をつけてから何分後か - 資 7 -

38 数学 G アップ学習シート 年第 章 次関数 (8) 年数学 NO ー 次関数の変域を求められるようになろうー < 解答 解説 > 年組番氏名 次の点線のグラフは 次関数 = χ ー のグラフです ( 文科省中 ) () この点線のグラフで χ の 変域が - χ 4 の部分 はどこですか 右の点線の グラフの上に太線で書きなさい () ()χの変域が- χ 4 のときのの変域を求め の中に書きなさい () ー 次関数 =χ ー について 次の問いに答えなさい (p6) () 4 () グラフを書きなさい ()χ= ー,χ= に対応する の値を求めなさい ()χの変域が- χ< のときの の変域を求めなさい O x O x ()x= ー のとき = ー 7 x= のとき = () ー 7 < 次関数 = ー χ+について χの変域が-4 χ のとき の変域を 不等号を使って表しなさい ( 平成 8 年度高校入試問題 ) = ー x+ で x= ー 4のとき =7 x= のとき =0 だから 答え 次関数 =χ ー について の変域が > の時の χ の変域を求 4 めなさい ( のグラフを使って考えてみよう ) 答え x> - 資 8 -

39 数学 Gアップ学習シート 年第 章 次関数 (9) 年数学 NO ー変化の割合と 組のχ の値から 次関数を求めようー < 解答 解説 > 年 組 番 氏名 グラフの傾きがで, 切片がである 次関数を求めなさい =x+ 変化の割合がー で χ=のとき= である 次関数を 次の手順で 上から順に 求めた 空らんにあてはまる数を入れなさい (p6) =ax+b =-x+b 次関数の式は =aχ+b =- +b 変化の割合がー だから = χ+b b=7 χ=のとき = だから それを代入して = +b =-x+7 上の式を解くと b= したがって 求める 次関数の式は = χ+ である ()(H8 学調 高 7) ( 類 H5 学調 年 6()) 次の条件をみたす 次関数を求めなさい (p6) =x+b に代入して, () 変化の割合がで χ=のとき=5 5= +b b= 答え =x+ ()(H7 学調 年 7()) ( 類 H6 学調 年 7 ()) () 変化の割合がで χ=のとき=4 =x+b に代入して, 4= +b b= 答え =x+ ()=-x+b に代入して, () グラフの傾きがー で 点 (, ー ) を通る -=- +b b=5 答え =-x+5 (4)=ax+ に代入して, 6=a 5+ (4) グラフの切片がで 点 (5,6) を通る a= 答え =x+ 4 ( 例 ) x 分後の線香の長さを cm とすると 変化の割合がー 0.5 の 次関 4 火をつけると 分間で0.5cm ずつ短くなる線香がある 火をつけて 6 分後 数だから = ー 0.5x+b となる の線香の長さを測ったら 9cmだった 火をつける前の線香の長さを求めるこの式の bが火をつける前の線 にはどうすればよいか 求め方を説明しなさい 香の長さだから bを求めればよ い ( 求め方 ) x=6 のとき =9 を代入すると 9= ー b これを解くと b= となる 答えcm - 資 9 -

40 数学 G アップ学習シート 年第 章 次関数 (0) 年数学 NO 4 ー 組の χ の値から 次関数を求めようー < 解答 解説 > 年組番氏名 χ= ー のとき = ー χ= のとき =4 である 次関数を 次の手順で 求めた このことについて 次の問いに答えなさい () 上から順に () 空らんにあてはまる数を入れなさい (p6) =ax+b -=-a+b () 次関数の式は =aχ+b 4= a+b () χ= ー のとき = ー だから それを代入して = a+b () -a+b=- ( ) χ= のとき =4 だから それを代入して = a+b () -) a+b=4 ( ) 上の (),() の左辺と右辺を入れかえて 連立方程式として解く -a=-6 a+b= ( ) () を ( ) に代入して a= () ー ) a+b= ( ) +b= 代入 +b=4 a = b= b= a= () 式は =x+ したがって 求める 次関数の式は = χ+ である () () グラフは 点 ( ー,-) (,4) を 通る直線になる 右の座標軸に 点をとってグラフを書き 傾きと切片 を調べなさい (p6) 傾き, 切片 -5 次の条件をみたす 次関数を求めなさい (p6) ()=ax+b に代入 () χ= ー のとき =7 χ= のとき = である 7=-a+b () =a+b () ()-() ー a=6 a=- 代入して b=5 答え =-x+5 ()=ax+b に代入 () グラフが 点 ( ー, ー 8) (,7) を通る -8=-a+b () 7=a+b () ()-() ー 5a=-5 a= 代入して b= 答え =x+ ろうそくに火をつけてから 5 分後にその長さを測ったら 5cm 5 分 x 分後のろうそくの長さを cm とし 後には cm だった ろうそくの燃え方が一定であるとして ろうそくのはて x=5 のとき =5 x=5 じめの長さを求めなさい O 4 x のとき = の 次関数の式を 求めると =0.x+8 となる 答え O 4 x cm - 資 0 -

41 補充資料 5 授業実践で使ったワークシート (B4 版を縮小したもの ) 第 時 第 時 - 資 -

42 第 時 第 4 時 - 資 -

43 第 5 時 第 6 時 - 資 -

44 第 7 時 第 8 時 - 資 4 -

45 第 9 時 第 0 時 - 資 5 -

46 補充資料 6 単元のまとめで使った学習構造チャート (B4 版を縮小したもの ) 重要事項や問題を書き込んだ例 - 資 6 -

47 問題だけを書き込んだ例 - 資 7 -