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1 数と式 ⑴ 氏点00 次の式を展開せよ ( 各 6 点 ) ⑴ (a-)(a -a+) ⑵ (x+y+)(x+y-5) 次の式を因数分解せよ (⑴⑵ 各 6 点, ⑶⑷ 各 8 点 ) ⑴ x y+x -x-6y ⑵ x -x - ⑶ a +5b ⑷ (x+y+z+)(x+)+yz

2 数と式 ⑵ 氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の循環小数を分数で表せ. a-5 = ⑵ 次の等式を満たす実数 a の値を求めよ 次の式を計算せよ ( 各 6 点 ) ⑴ ( - )( + ) ⑵ x= +,y= - のとき, 次の式の値を求めよ ( 各 8 点 ) ⑴ x +y ⑵ x +y

3 次不等式, 次方程式氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の不等式を解け x+ < x- x+ ⑵ 連立不等式 x- -5 x+< をみたす自然数 x の値をすべて求めよ 次の 次方程式を解け ( 各 7 点 ) ⑴ (x+)(x-)=x x - -x ⑵ - x- 5 = x 0 次方程式 x +(k-)x-(k-)=0 が重解をもつように定数 k の値を求めよ (8 点 )

4 集合と命題氏点00 次の問いに答えよ ( 各 0 点 ) ⑴ 集合 U={,,,,5,6,7,8,9,} の部分集合 A,B,C を A={,,,6,8}, B={,,6,9},C={,,7,9} とするとき, 次の集合を求めよ A B A B A (B C) ⑵ a,b を整数とする 集合 A={-5,a +,a-,0},b={8,b,b+a} について, A B となるような a,b を求めよ 整数 m に関する次の命題 A について, 以下の問いに答えよ ( 各 0 点 ) 命題 A:m が奇数ならば,m は奇数である ⑴ 命題 A の対偶を述べよ ⑵ ⑴が真であることを証明し, 命題 A が真であることを証明せよ 5 が無理数であることを使って,+ 5 が無理数であることを背理法を使って証明せよ (0 点 ) 次のの中に, 必要, 十分, 必要十分 のうち, 適切な語句を入れよ ( 各 0 点 ) ⑴ x =y であることは x =y であるための条件 ⑵ ab(a-)(b-)=0 であることは a(a-)=b(b-)=0 であるための条件 ⑶ x +y =0 であることは x=y=0 であるための条件

5 5 次関数のグラフ氏点00 次関数のグラフが次の条件を満たすとき, 各場合について, その 次関数を求めよ ( 各 点 ) ⑴ 軸の方程式が x= で, 点 (-,6),(,6) を通る ⑵ 点 (-,-),(,5),(,-9) を通る 放物線 y=-x +0x- は, ある放物線を x 軸方向に,y 軸方向に 5 だけ平行移動したもの であるという もとの放物線の方程式を求めよ (5 点 ) 次関数 y=x -x-a+ の 0 x における最大値が 0 であるとき, 定数 a の値を求めよ (5 点 ) p を正の定数とするとき, 次関数 y=x -px の 0 x における最大値および最小値を次の 各場合について求めよ ( 各 点 ) 0<p のとき <p のとき <p のとき

6 6 次関数と方程式 不等式氏点00 放物線 y=x +x+a が直線 y=x+ と接するとき,a の値を求めよ ( 点 ) 次の 次不等式を解け ( 各 点 ) ⑴ x +x->0 ⑵ -x +x- 0 次の関数のグラフをかけ ( 各 点 ) ⑴ y= x +x-6 ⑵ y=x - x+ 次の問いに答えよ ( 各 5 点 ) ⑴ すべての x について, 不等式 x -kx+>x-k が成り立つような定数 k の値の範囲を求めよ ⑵ x の 次方程式 x -kx+k=0 の解がともに 0 より大きく より小さいとき, 定数 k の値の 範囲を求めよ

7 7 三角比氏点00 次の等式を満たす i の値, 不等式を満たすiの範囲を求めよ ただし,0 i 80 とする ( 各 点 ) ⑴ sini-=0 ⑵ tani= ⑶ sini ⑷ cosi< ⑴ 次の式を簡単にせよ ( 各 点 ) cosi -sini -tani ⑵ (tan0 +tan50 ) -(tan0 +tan0 ) sini+cosi= のとき, 次の値を求めよ ( 各 点 ) ⑴ sini cosi ⑵ sin i+cos i 0 i 80 のとき, cos i+ sini-=0 を満たす i の値を求めよ ( 点 )

8 8 正弦定理と余弦定理氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ⑴ 完答 ) ⑴ ABC において,BC=,A=5,B=75 のとき,AB と外接円の半径を求めよ ⑵ ABC において,AB=,BC=,B=0 のとき,CA を求めよ 四角形 ABCD において,AB=,BC=6,CD=,B=60 とする 四角形 ABCD が円に内接 するとき,AD を求めよ (7 点 ) ABC において, 次の等式が成り立つとき, この三角形はどのような三角形か ( 各 7 点 ) ⑴ a+b=c(sin A+sin B) ⑵ a cos A+b cos B=c cos C AB=,BC=6,CA=5 である ABC の面積を求めよ (7 点 ) X

9 数と式 ⑴ 氏点00 次の式を展開せよ ( 各 6 点 ) ⑴ (a-)(a -a+) ⑵ (x+y+)(x+y-5) 与式 =a -a +a-(a -a+) x+y=a とおくと, =a -a +a-6a +a- 与式 =(A+)(A-5) =a -0a +a- =A -A-0 =(x+y) -(x+y)-0 =x +6xy+9y -x-9y-0 a -0a +a- x +6xy+9y -x-9y-0 次の式を因数分解せよ (⑴⑵ 各 6 点, ⑶⑷ 各 8 点 ) ⑴ x y+x -x-6y ⑵ x -x - 与式 =(x -6)y+x -x x =A とおくと =(x+)(x-)y+x(x-) 与式 =A -A- =(x-){(x+)y+x} =(A+)(A-) =(x-)(x+xy+y) =(x +)(x -) =(x +)(x+)(x-) (x-)(x+xy+y) (x +)(x+)(x-) ⑶ a +5b ⑷ (x+y+z+)(x+)+yz 与式 =a +(5b) x+=a とおくと =(a+5b){a -a 5b+(5b) } 与式 =(A+y+z)A+yz =(a+5b)(a -5ab+5b ) =A +(y+z)a+yz =(A+y)(A+z) =(x++y)(x++z) =(x+y+)(x+z+) (a+5b)(a -5ab+5b ) (x+y+)(x+z+)

10 数と式 ⑵ 氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の循環小数を分数で表せ. a-5 =. =x とおくと 00x=. より, 00x-x= よって,x= 99 = ⑵ 次の等式を満たす実数 a の値を求めよ a-5=± より, a=,7 a=,7 次の式を計算せよ ( 各 6 点 ) ⑴ ( - )( + ) ⑵ 与式 = ( ) ( ) = = ( 6- )+ ( 6+ ) 与式 = ( 6+ )( 6 - ) = ( 6 ) -( ) = 8 6- = 6 = x= +,y= - のとき, 次の式の値を求めよ ( 各 8 点 ) ⑴ x +y ⑵ x +y ( - )+( + ) x+y= ( + )( - ) = xy= = より, ( + )( - ) 与式 =(x+y) -xy =( ) - =0 0 与式 =(x+y) -xy(x+y) =( ) - = -6 =8 8

11 次不等式, 次方程式氏点00 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ) ⑴ 次の不等式を解け x+ < x- x+ [] x+ 0 すなわち,x - のとき [] x- 0 すなわち,x のとき x+< より,x< x- x+ より,x よって, このとき,- x< よって, このとき, x [] x+<0 すなわち,x<- のとき [] x-<0 すなわち,x< -(x+)< より,x>-5 のとき -(x-) x+ より,- よって, このとき,-5<x<- x [],[] より,-5<x< よって, このとき,- x< [],[] より, - x - -5<x< x x- -5 ⑵ 連立不等式 x+< をみたす自然数 x の値をすべて求めよ x- -5 より,x - x+< より,x< 8, より,- x< 8 を満たす自然数 x は,x=, x=, 次の 次方程式を解け ( 各 7 点 ) ⑴ (x+)(x-)=x x - -x ⑵ - x- 5 = x 0 x -=x -x x +x-=0 (x+)(x-)=0 x =-, x=-, 両辺に0をかけて,(x -)-5(x-)=x 整理すると,x -x-=0 x= -(-)± (-) - (-) = ± x= ± 次方程式 x +(k-)x-(k-)=0 が重解をもつように定数 k の値を求めよ (8 点 ) D=(k-) - {-(k-)} =k +k-=0 より, (k+)(k-)=0 よって,k=-, k=-,

12 集合と命題氏点00 次の問いに答えよ ( 各 0 点 ) ⑴ 集合 U={,,,,5,6,7,8,9,} の部分集合 A,B,C を A={,,,6,8}, B={,,6,9},C={,,7,9} とするとき, 次の集合を求めよ A B A B=A B A B A (B C) B C=B C, A B={,,,,6,8,9} A B=A B=A B B C={,,,6,7,9} より,A B={5,7} B={,,5,7,8} より, より,B C={,5,8} A B={5,7} A B={,,,5,6,7,8} A (B C)={,,,5,6,8} ⑵ a,b を整数とする 集合 A={-5,a +,a-,0},b={8,b,b+a} について, A Bとなるような a,b を求めよ [] a +=8 [] a-=8 の場合がある [] a= のとき A={-5,8,5,0},B={8,b,b+} で A Bとなる b は存在しない a=- のとき A={-5,8,-7,0},B={8,b,b-} で b=-5 のとき,A B となる [] a= のとき A={-5,,8,0},B={8,b,b+} で,b=0 のとき,A B となる (a,b)=(-,-5),(,0) 整数 m に関する次の命題 A について, 以下の問いに答えよ ( 各 0 点 ) 命題 A:m が奇数ならば,m は奇数である ⑴ 命題 A の対偶を述べよ mが偶数ならば,m は偶数である ⑵ ⑴が真であることを証明し, 命題 A が真であることを証明せよ m=k(k は整数 ) と表せる ここで,m =(k) =k = k より, これは偶数である したがって, 対偶は真である ゆえに, 命題 A も真である 5 が無理数であることを使って,+ 5 が無理数であることを背理法を使って証明せよ + 5=p(p は有理数 ) とすると, 5=p- (0 点 ) p- は有理数であるから, 5 も有理数となり, 5 が無理数であることに矛盾する よって,+ 5 は無理数である 次のの中に, 必要, 十分, 必要十分 のうち, 適切な語句を入れよ ( 各 0 点 ) ⑴ x =y であることは x =y であるための 条件 a =b a =b は成り立つ a =b a =b は成り立たない 反例 :a=,b=- 十分 ⑵ ab(a-)(b-)=0 であることは a(a-)=b(b-)=0 であるための 条件 ab(a-)(b-)=0 a(a-)=b(b-)=0 は成り立たない 反例 :a=,b= a(a-)=b(b-)=0 ab(a-)(b-)=0 は成り立つ 必要 ⑶ x +y =0 であることは x=y=0 であるための 条件 必要十分

13 5 次関数のグラフ氏点00 次関数のグラフが次の条件を満たすとき, 各場合について, その 次関数を求めよ ( 各 点 ) ⑴ 軸の方程式が x= で, 点 (-,6),(,6) を通る y=p(x-) -q とおいて 点の座標を代入 9p-q=6,p-q=6 これを解いて p=,q= よって,y=x -x y=x -x ⑵ 点 (-,-),(,5),(,-9) を通る y=ax +bx+c とおいて, 点の座標を代入 -=a-b+c,5=a+b+c,-9=6a+b+c これを解いて,a=-,b=5,c= y=-x +5x+ よって,y=-x +5x+ 放物線 y=-x +0x- は, ある放物線を x 軸方向に,y 軸方向に 5 だけ平行移動したもの であるという もとの放物線の方程式を求めよ (5 点 ) y=-x +0x-=-(x-5) + 求める放物線の頂点 (p,q) は,p+=5,q+5= より,p=,q=6 よって,y=-(x-) +6 より,y=-x +x+ y=-x +x+ 次関数 y=x -x-a+ の 0 x における最大値が0であるとき, 定数 a の値を求めよ (5 点 ) x= y=(x-) -a+ より,x= のとき最大値 -a+6 とな (, -a+6) る -a+6=0 より,a=- (0, -a+) (, -a+) a=- p を正の定数とするとき, 次関数 y=x -px の 0 x における最大値および最小値を次の 各場合について求めよ ( 各 点 ) 0<p のとき <p のとき <p のとき y y y -p p O x p p 最大値 -p(x=) p 最大値 0(x=0) 最大値 0(x=0) O x O p x -p -p 最小値 -p (x=p) -p 最小値 -p (x=p) -p 最小値 -p(x=) y=x -px=(x-p) -p より, 軸は x=p, 各場合のグラフは上の図のようになる

14 6 次関数と方程式 不等式氏点00 放物線 y=x +x+a が直線 y=x+ と接するとき,a の値を求めよ ( 点 ) つの式から y を消去して整理すると,x +x+a-=0 接することから D=0 よって,D= - (a-)=0 -a+8=0 より,a= a= 次の 次不等式を解け ( 各 点 ) ⑴ x +x->0 x +x-=0 の解は, ⑵ -x +x- 0 x= -± - (-) = -± よって,x< --, -+ <x x< --, -+ <x -x +x-=- x- - <0 より, -x +x- 0 は, 解なし 解なし 次の関数のグラフをかけ ( 各 点 ) ⑴ y= x +x-6 ⑵ y=x - x+ 次の問いに答えよ ( 各 5 点 ) ⑴ すべての x について, 不等式 x -kx+>x-k が成り立つような定数 k の値の範囲を求めよ ⑵ x +x-6 0 すなわち x -, x のとき, y=x +x-6 x +x-6<0 すなわち -<x< のとき, y=-x -x+6 x -(k+)x+k+>0 求める条件は,x -(k+)x+k+=0 の判別式 D<0 D={-(k+)} - (k+)=k -8k より,k(k-8)<0 よって,0<k<8 x の 次方程式 x -kx+k=0 の解がともに 0 より大きく より小さいとき, 定数 k の値の 範囲を求めよ - - y 5 6 O 左辺 =f(x) とおくと,f(x)=(x-k) -k +k よって, 求める条件は -k +k 0,0<k<,f(0)=k>0,f()=9-k>0 x x+ 0 すなわち - x のとき, y=x -x- y x+<0 すなわち x<- のとき, y=x +x+ - O <k<8 x,,, の共通範囲を求めると, a< 9 a< 9

15 得名W 高校ゼミ高校数学サポート Ⅰ 確認テスト selectⅢ 数学 Ⅰ 確認テスト 7 三角比氏点00 次の等式を満たす i の値, 不等式を満たす i の範囲を求めよ ただし,0 i 80 とする ⑴ sini-=0 ⑵ tani= y y sini= より, 傾き 5 i=5,5 ( 各 点 ) 図を参照して, i=60 - O ⑶ sini y 5 x i=5,5 図を参照して, - O ⑷ cosi< y 60 x i=60 図を参照して, O x 0 i 60, 0 i 80 - O 60 x 60 <i 80 ⑴ 次の式を簡単にせよ ( 各 点 ) cosi -sini -tani ⑵ (tan0 +tan50 ) -(tan0 +tan0 ) 与式 = cosi -sini - sini cosi = cos i-(-sini)sini 与式 =(tan0 +tan50 ) -(tan0 -tan50 ) (-sini)cosi -sini = (-sini)cosi = =tan0 tan50 =tan0 tan0 cosi = cosi sini+cosi= のとき, 次の値を求めよ ( 各 点 ) ⑴ sini cosi ⑵ sin i+cos i (sini+cosi) = 9 より, sini cosi=- 8 9 よって,sini cosi=- 9-9 sin i+cos i=(sin i+cos i) - sin i cos i = - - = i 80 のとき, cos i+ sini-=0 を満たす i の値を求めよ ( 点 ) 与式 =(-sin i)+ sini-=0 sin i- sini+=0 (sini-)( sini-)=0 から, sini=, 0 i 80 より,i=0,90,50 i=0,90,50

16 8 正弦定理と余弦定理氏点00 ⑴ ⑵ 次の問いに答えよ ( 各 6 点 ⑴ 完答 ) ABC において,BC=,A=5,B=75 のとき,AB と外接円の半径を求めよ C=80 -(5 +75 )=60 外接円の半径をRとして, 正弦定理により, sin5 = AB sin60 =R sin60 よって,AB= = 6,R= sin5 sin5 = AB= 6,R= ABC において,AB=,BC=,B=0 のとき,CA を求めよ 余弦定理により,CA = + - cos 0 =- - よって,CA= 9 =9 四角形 ABCD において,AB=,BC=6,CD=,B=60 とする 四角形 ABCD が円に内接 するとき,AD を求めよ (7 点 ) ABC について余弦定理により,AC = +6-6 cos 60 =+6- =8 D=80-60 =0 だから,AD=x とおいて ACD について余弦定理により, 8=x + - x cos0 8=x +6-8x - x +x-=0 x>0 より,x= よって,AD= ABC において, 次の等式が成り立つとき, この三角形はどのような三角形か ( 各 7 点 ) ⑴ a+b=c(sin A+sin B) ABC の外接円の半径をRとする 正弦定理より a=rsina,b=rsinb,c=rsinc だから, これを与式に代入すると, RsinA+RsinB=RsinC(sinA+sinB) sina+sinb=sinc(sina+sinb) 0 <A<80,0 <B<80 より sina+sinb>0 だから,sinC= よって,C=90 したがって, C=90 の直角三角形 C=90 の直角三角形 ⑵ a cos A+b cos B=c cos C 余弦定理より a b +c -a +b c +a -b =c a +b -c bc ca ab a (b +c -a )+b (c +a -b )=c (a +b -c ) a -a b +b -c =0 (a -b ) -c =0 (a -b +c )(a -b -c )=0 より, B=90 または A=90 の直角三角形 a +c =b または b +c =a よって, B=90 または A=90 の直角三角形 AB=,BC=6,CA=5 である ABC の面積を求めよ (7 点 ) 余弦定理より cosa= +5-6 = 5 8 sina= -cos A= - 8 = 6 8 = <A<80 より sina>0 だから, よって, 面積は, AB CA sina= = X