応用数学A

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ありあありはら
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1 応用数学 A 米田戸倉川月 7 限 1930~2100 西 5-109

2 V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部とする F = ye x xe y + ze z FdV = V e x e y e z F = = 2e z 2e z dv = 2e z 3 23 = 64π 3 e z y x z 4π V n Fd = 1 F nd 2 F nd

3 法線ベクトル n g x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 g = 2xe x + 2ye y + 2ze z F d = D F n 1 n e z dxdy V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部 g = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 n = g g = 1 2 (xe x + ye y + ze z ) n e z = 1 2 xe x + ye y + ze z e z = z 2 F n = e x e y e z y x z x/2 y/2 z/2 = 1 2 zx yz e x zx yz e y (x2 + y 2 )e z 1 F nd = e x 2 1 zx yz d + e y 2 1 zx yz d + e z 2 1 (x 2 + y 2 d

4 e x 2 zx yz d = D zx yz 1 n e z dxdy = 2 D x + y dxdy = 2 0 2π (cos θ + sin θ)dθ 0 2 r dr =0 e y 2 zx yz d = 0 e z 2 (x 2 + y 2 d = = 2 D D x 2 + y 2 1 n e z dxdy x 2 + y 2 4 x 2 y 2 dxdy = 2 0 2π dθ 0 2 r 2 4 r 2 rdr ξ = 4 r 2, = 4 dξ = 2rdr 0 4 ξ ξ dξ = 4 2ξ1/ ξ3/2 4 = 16 3 = π 1 F d = 64 3 π e z 2 = 32π 3 e z n Fd = V FdV Gauss の発散 ( 回転 ) 定理

5 回転定理 n Fd = V FdV の証明発散定理 V A dv = A n d A=B c となる B c( 任意ベクトル ) を考えると V B cdv = B c n d スカラー 3 重積 A B C=C A B c V B dv = c c( 任意ベクトル ) なので n B d V B dv = n B d

6 グリーンの公式面積分と線積分を関連させる公式 xy- 平面上の単一閉曲面 C で囲まれた領域を D とする関数 f(x,y),g(x,y) とその偏導関数が C 上および領域 D で連続であるとき以下の式が成り立つ c fdx + gdy = D g f dxdy ただしこのとき C の向きは反時計回りとするこれをグリーンの公式と呼ぶ y GEORGE GREEN D C 証明を行っていく O x

7 グリーンの公式の証明 Ⅰ. 図様に Y 軸に平行な直線が 2 点 A, B のみで接する場合を考えるこのとき図の様に接点 A から B への二つの経路 C 1 : r x, φ 1 (x) と C 2 : r x, φ 2 (x) を考える (a x b) このとき C=C 1 -C 2 であり c fdx = fdx c1 c2 一方 D = a b f dxdy= b a f(x, φ 1 (x))dx a b f(x, φ 2 (x))dx φ 2 (x) f φ 1 (x) dydx= b φ a f(x, y) 2 (x) φ1 (x) dx = a b f x, φ2 x f x, φ 1 (x) dx よって c fdx = - D f dxdy 同様にして c gdy = D g dxdy 即ち c fdx + gdy = D g f dxdy y O A a D C 1 C 2 b B x

8 グリーンの公式の証明 II. 図の様に各座標軸に平行な直線が 3 点以上ある場合このとき図の様に微小領域に分割することによって各小領域ではその周囲の曲線と各座標軸に平行な直線と 2 点のみで交わるようにできるそこで各小領域で I の結果を用いて和をとることを考えるが分割のために新たに加えた境界面での線積分は互いに相殺されるために結果として曲線 C において c fdx + gdy = D g f dxdy が成り立つ C の方向を時計回りとしたときグリーンの公式はどうなる?

9 例題曲線 C を長方形 D:0 x 3, 0 y 1 を囲む周としグリーンの定理を用いて次の線積分の値を求めよ I = C (x 3-3x 2 y)dx + (2xy + y 2 )dy f(x,y)= x 3-3x 2 y, g(x,y)= 2xy + y 2 とすると, f =-3x2, g =2yでありグリーンの公式 c fdx + gdy = D D 2y+3x2 dxdy= y+3x2 dydx 0 3 = y2 0 +3x 2 y 1 0 dydx = x2 dx = x+x =30 g f dxdyより

10 グリーンの定理の 3 次元表示 xy- 平面上の単一閉曲線 C を C: r = (x t, y t, 0) (α t β), C を境界とする xy- 平面上の領域 D を曲面 (: r = x, y, 0, (x, y) D ) としの単位法線ベクトルとして z 軸方向の基本ベクトル k をとるこのとき上で定義されたベクトル場を A= A(x,y)=(f(x,y), g(x,y), 0) とすると c fdx + gdy = c A d r であるここでrot Aを考えると i j k A =, f g 0 = g, f, g f = 0, 0, g f

11 これにより A k = 0, 0, D g f g (0,0,1) = f g f dxdy = D A kdxdy 即ちグリーンの定理は = A kd C A d r = A kd と書くことができる

12 ストークスの定理三次元の曲面とその曲面上で定義された関数に関し, 線積分と面積分を関係づける定理グリーンの定理の 3 次元への拡張 3 次元空間内の単一閉曲線 C を境界とする曲面 : r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) に対して上の単位法線ベクトル n を図の様にとるこのときベクトル場 A とその偏導関数がを含む領域で連続であるならば次の式が成り立つ ir George Gabriel tokes Wikipedia より C A d r = A nd

13 ストークスの定理の証明右辺 = = D ここで r u =(,, ), u u u r v =( v, v, v ), A z A y, A x A z, A y A x nd r r u v =( -, -, - u v u v u v u v u v u これを用いてA x を含む成分について計算すると = D A x ( u A z A y, A x A z, A y A x v u v ) A x ( u r r u v v u dudv v ) v ) dudv

14 続き = D A x = D A x u u + A x v u A x v u A x v u v dudv = (A D u x ) (A v v x ) dudv グリーンの定理を用いると u = c A x du + Ax dv= u v c A x dx, (dx= u du+ dv) v A y A z でも同様であり C A d r = A x v v u dudv A nd 2 行目の変換ではA(x,y), x(u,v), y(u,v) より A = A u u + A を用いている u

15 グリーンの公式の証明 II. 図の様に各座標軸に平行な直線が 3 点以上ある場合このとき図の様に微小領域に分割することによって各小領域ではその周囲の曲線と各座標軸に平行な直線と 2 点のみで交わるようにできるそこで各小領域で I の結果を用いて和をとることを考えるが分割のために新たに加えた境界面での線積分は互いに相殺されるために結果として曲線 C において c fdx + gdy = D g f dxdy が成り立つ C の方向を時計回りとしたときグリーンの公式はどうなる?

16 ストークスの定理の物理的意味 A nd この A は A の回転を表しているこれの面積分を取っているということは A A nd A C A d r C A d r = A nd 図は物理のかぎしっぽより

17 例題曲面 :z=1-x 2 -y 2 (z 0) に対しての境界を C: r t = cost, sint, 0, 0 t 2π とするこのときベクトル場 A =(-y,x,z) に対してストークスの定理 C A d r = A nd が成り立つことを示せ d r=(-sint, cost,0)dt であり C 上ではベクトル場 A=(-sint, cost t, 0) よって A d r =(sint 2 t +cos 2 t )dt=dt よって C 一方 A = A d r= 0 2π 1dt=2π i j k, y x z =(0,0,2) r t r t また法線ベクトルは = (1,0, 2x) (0,1, 2y)=(2x,2y,1) この方向は図の単位法線ベクトルと同じであるよって

18 A nd= A d = D A r t r t dxdy = D 0,0,2 (2x, 2y, 1)dxdy = D 2dxdy = 2π (D は xy- 平面上への正射影であり面積 π)

19 i を電流密度ベクトル B をそれによって発生する磁場ベクトルとするとアンペールの法則は以下のように書かれる C B d r = μ 0 i nd ストークスの定理より i を B で表すと左辺 = B nd よってμ 0 i= B

20 ガウスの発散定理別の方法による導出 A=(A x, A y,a z ) 図のような微小な閉じた空間を考える矢印に垂直な面について考えると A n ΔyΔz= { A x (x,y,z)+ A x (x+δx,y,z)} ΔyΔz = A x ΔxΔyΔz = A x V 同様に他の面でも A n ΔzΔx= A y V A n ΔxΔy= A z V 空間はこれらの和によって表すことができ A nd= AdV この極限を考えれば s A nd = V AdV よってガウスの定理が成り立つ (x,y,z) (x+δx,y,z)

21 極座標表示復習媒介変数 r, θ, φ r r, θ, φ : x, y, z = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) e r e θ = e φ z e r e φ e θ X,Y 平面上への r の射影成分大きさは r sinθ y X= r sinθcosφ Y= r sinθsinφ x (0 θ π/2, 0 φ 2π) 半球面 (0 θ π, 0 φ 2π) 全球面

22 なぜ極座標必要? 例題半球面 : r(x, y, z) x 2 +y 2 +z 2 =a 2 この面積を求めるにはこのとき変数を x,y,z と考えると z dxdydz D y dx,dy,dz 積分範囲分からない x

23 図で見る極座標表示ヤコビアン J = = (,, ) ( r, θ, φ) r r r θ θ θ φ φ φ 図 : 岩波書店物理のための応用数学より面積 : Ds=rdθ r sin θ dφ = r 2 sin θ dθdφ 体積 : Dsdr=dV= r 2 sin θ drdθdφ

24 円柱座標 r(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ,z) V f(r)dv = D φ ρ, θ, z z J dρdθdz ρ r θ y θ x J = (,, ) ( ρ, θ, ) = ヤコビアン ρ ρ ρ θ θ θ 図 : 岩波書店物理のための応用数学より図より ds=rdθdz dv=rdθdzdr

25 例題半球面 : r(θ, φ) = (a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ) (0 θ π/2, 0 φ 2π) の面積を求めよこの時媒介変数は θ,φ r θ r φ r θ ds = D r θ r φ dθdφ = a(cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) = a( sin θ sin φ, sin θ cos φ, 0) cos θ r icos φ sin j θ sin φ k φ = a2 cosuθ cos sin φv cosin u θsin cos vφ sin u sin sin u sin θ v sin u cos 0 v 0 = a 2 (sin 2 θ cos φ, sin 2 θ sin φ, sin θ cosθcos 2 φ+ sin θ cosθsin 2 φ) = a 2 (sin 2 θ cos φ, sin 2 θ sin φ, sin θ cosθ)

26 以下はおまけ

27 演習 (1) 以下の円柱の側面の面積を積分からもとめよ r(θ, z) = (a cos θ, a sin θ,z) (0 z b, 0 θ 2π), a, b, > 0 (2)(1) 面上でのスカラー量 cos 2 θ の面積分を求めよ r θ (1) r r = asinθ, acosθ, 0, θ = (0,0,1) = (acosθ, asin, 0) =a r f(r)ds = f(r)ds = 0 b 0 D 2π φ u, v r u adθdz = 2πab r v dudv θ または図より ds=rdθdz (2) f(r)ds = 0 b 0 2π acos 2 θdθdz = ab 0 2π 1 + cos2θ dθ 2 =ab 1 2 θ sin2θ 0 2π = πab

28 r θ r φ = a2 =a 2 =a 2 sin 4 θ cos 2 φ + sin 4 θ sin 2 φ + sin 2 θ cos 2 θ sin 4 θ + sin 2 θ cos 2 θ sin 2 θ=a 2 sin θ したがって面積は = 0 2π = 0 2π π/2 r r 0 θ φ π/2 a2 sin θ dθdφ 0 = 2πa 2 0 π/2 sin θ dθ =2πa 2 dθdφ であり (0 θ π/2, 0 φ 2π)

29 ガウスの発散定理球面のようにその曲面によって空間を内側と外側を分けることができるような曲面を閉曲面と呼ぶ閉局面によって囲まれた立体を V とするとき空間 V において定義されたスカラー場 φ に対して V φdv を立体 V におけるスカラー場 φ の体積分を表すことにすると以下のガウスの発散定理が成り立つ Carolus Fridericus Gauss Wikipedia よりの単位法線ベクトル n の向きをの外向きとするまたベクトル場 A は空間 V 内で連続とするこのとき s A nd = V AdV

dxdy M A z x, y, f 2 (x, y) dxdy ここで面 1 上では dxdy=k nds, 面 2 上では dxdy= k nds 2 M k n y M A z x, y, f 1 (x, y)

30 ガウスの発散定理の証明 s A nd = AdV V 図のような空間 Vを考え上下で割った曲面 1と2を考える 1=(x,y,f 1 (x,y)), 2=(x,y,f 2 (x,y)), A=(A x, A y,a z ) Aのz 成分についてのみ考えると右辺は z 1 V A z V dv= A z V dxdydz f = 1 (x,y) A z M f2 (x,y) dzdxdy x = M A z x, y, f 1 (x, y) dxdy M A z x, y, f 2 (x, y) dxdy ここで面 1 上では dxdy=k nds, 面 2 上では dxdy= k nds 2 M k n y M A z x, y, f 1 (x, y) dxdy M A z x, y, f 2 (x, y) dxdy = 1 A z x, y, f 1 (x, y) k nds + 2 A z x, y, f 2 (x, y) k nds k n = A z x, y, z) k nd

31 証明続き同様に V A xx dv= A y V dv= よって A x x, y, z) i nd A y x, y, z) j nd V A x + A y + A z dv = A x x, y, z) i n + A y x, y, z) j n + A z x, y, z) k nd 即ち s A nd = V AdV

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PowerPoint プレゼンテーション米田戸倉川月 7 限 193~21 西 5-19 応用数学 A 積分定理 Gaussの定理 divbd = B nds Stokesの定理 E bds = E dr Green の定理 g x f y dxdy = fdx + gdy = f e i + ge j dr Gauss の発散定理 S n FdS = Fd 1777-1855 ドイツ Johann arl Friedrich Gauss