1 対 1 対応の演習例題を解いてみた微分法とその応用例題 1 極限微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)

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うのすけはしかわ
2 years ago
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1 微分法とその応用例題 1 極限微分係数の定義 () 関数 ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか ( 1, ( 1) ) と ( 1 + h, ( 1 + h) ) の傾き= ( 1 + h ) - ( 1 ) ( 1 + ) - ( 1) = ( 1 + h) - 1 h ( 1) = lim h ( 1 + h) - ( 1) h ( 1, ( 1) ) と ( 1 - h, ( 1 - h) ) の傾き= ( 1 h ) - ( 1 ) ( 1 - h) -1 ( 1) \ lim h = - lim h ( 1 - h) - ( 1) h ( 1 - ) - ( ) より, - 1 = より, - h ( 1 + h) - ( 1 - h) ( 1 + h) - ( 1) ì ( 1 - h) - ( 1) h = lim h = = h ( 1) + ( 1) ( 1) ( x) = x + x + x + 1より, ( 1) = + í- lim î h h ü ý þ 1

2 例題極値を求める / 次数下げ ( x) = -x + 6x - x + 1 とおくと, ( x) = -x + 1x - 1 \ (- 1 ) = -16 <, ( ) = 8 > 1 ここで, ( x) = の解をa, b ( b ) また, 増減表は次のようになる x a b ( x) ( x) ( a ) ( b ) これと1より, 1 < a < < b よって, 最小値は ( a ) ( a ) = a より, - + 1a - 1 = 6 - a < とすると, a = \ + a + 1 ( a ) = -a + 6a - a + 1 = ( a - )( - a + 1a - 1) a = より, 最小値は,

3 例題極値の条件から求める (1) 別解 ( x) = ax + bx cx より, ( x) = ax + bx + c ( x) = x =1, であることと ( x) の ( x) = a( x - 1)( x - ) ( x) = ax - ax + a + の解が 6 1 との係数比較より, b = - a, c = 6a a ( x) ax = - ax + 6ax = ( x - x + x) \ 1 \ a a ( 1 ) + ( ) = 5 + = a より, a = \a = これと ( 1 ) + ( ) = よって, b = -, c = 1 1 x の係数が a であることより,

4 例題多変数関数の最大最小別解変数の基本対称式を使って立式し解いてみた処理や計算が大変だということがわかりました多変数関数では変数の多い基本対称式で始める方がいいのかもしれません縦を x, 横を y とすると, 高さは 7 - ( x + y) ここで, x + y = とおくと, が満たすべき必要条件は, < < 7 1 直方体の表面積がであることより, [ xy + x{ 7 - ( x + y) } + y{ 7 - ( x + y) }] xy + x{ 7 - ( x + y) } + y{ 7 - ( x + )} = 15 -( x + y) + 7( x + y) + = 15 = \ y \ xy \ xy = xy = v とおくと, v = の右辺の判別式 D = - 6 = -11 < より, すべての実数において v > が成り立つまた, x, y はt についての次方程式 t - ( x + y) t + xy = すなわち t - t + v = の実数解だから, 判別式 D = - v ³ \ v x + y あるいは, x >, y > より, ³ xy \ ³ v \ v,より, \ \ 6 1 1かつより, 6 1 よって, が満たすべき条件は, 6 v > はすべての実数について成り立つが, v も満たさなければならず, 1 v であるためには, 6 でなければならない 1 よって, が満たすべき条件は, 6 となる

5 したがって, 直方体の体積の式は, = xy{ 7 - ( x y) } より, V v( - ) V + æ1 ö = 7 ç 6 è ø これとより, V = ( )( 7 - ) æ1 ö \ V = ç 6 è ø V = V = のとき, 16 =, よって, 増減表は次のようになる V V V æ1 ö ç 6 è ø 75 7 O

6 75 よって,V の最小値は, 最大値は 7 V = のとき, = または 6 = のとき = x + y =,より, v = xy = よって, x, y は, - t + = t の解である \ ( x, y) = ( 1,), (,1 ) また, このとき, 高さ = 7 - ( x + y) = = 6 のとき = x + y = 6,1より, v = xy = よって, x, y は, - 6t + = t の解である \( x, y) = (,) また, このとき, 高さ = 7 - ( x + y) = 1 以上より, 縦, 横, 高さは, その値の小さいものから並べると, 1,, 6

7 例題 1 接線の本数補足 : 共有点を 1 つしかもたない次関数の接線の式と接点 ( x) = ax + bx + cx d ( a ¹ ) の点 ( ( t) ) + ( x) = ( at + bt + c) x - at - bt d より, ( x) - g( x) = ax + bx - ( at + bt) x + at bt g + + ( x) - g( x) = x = をもつとき, ( x) - g( x) = a( x - t) = ax - atx + at x at が重解 t - であるから, t, における接線の式 ( at + bt) x + at + bt º ax - atx + at x at ax + bx - - \ b = -at, t = のとき - bt = at b = より, ( x) = ax + cx + d ( x) cx d g = + 1 t ¹ のとき t g b - a ( a ¹ ) 上の点 (, d ) = より, ( x) = ax + bx + cx + d ( x) x - - b + ac b - 7a d = a 7a における接線 æ b b bc ö 上の点 ç -, - + d における接線 è a 7a a ø 1はにおいて, b = とした特殊な場合だから,に含まれるよって, ( x) = ax + bx + cx d ( a ¹ ) の接線 g( x) が ( x) + その接点と接線の式はそれぞれ æ b b bc ö ç -, - + d è a 7a a ø 一方, - b + ac a, g( x) = x - y = ( x) の変曲点の x 座標は, ( x) = ( x) = 6 ax + b より, x = - b a æ b b bc ö よって, 変曲点は, ç -, - + d è a 7a a ø したがって, y = と共有点を 1 つしか持たないとき, 7a b - 7a d を満たすから, 次関数 y = ( x) の変曲点における接線は y = ( x) と変曲点のみにおいて共有点をもつ 7

8 y 変曲点 O x 8

9 例題 1 次関数のグラフの形 (1) 別解 1: 必要条件を活かす ( x) = ax + bx - 18x + 11 ( x) = ax + bx - 18 とおくと, x = - のとき極大値をとることから, (- ) = \ a - b = 6 1 (- + t) + (- 1 t) 1 - の値はt の値にかかわらず一定だから, t = と t = 1 の場合において, (- 1 + ) + (- 1 - ) = ( ) + (- 1-1) (- 1) + (- 1) = ( ) + (- ) (- 1) = ( ) + (- ) \ \ \- a + b + 58 = 11-8a + b + 7 よって, (- + t) + (- 1 - t) a = b 1,より, a =, b = 6 つぎに, が成り立つ 1 であるための必要条件は, a =, b = 6 が与えられた条件が成り立つための十分条件であるかについて調べる a =, b = 6 のとき, ( x) = x + 6x - 18x + 11 ( x) = 6x + 1x - 18 = 6( x + )( x -1) より, 増減表は次のようになる x - 1 ( x) ( x) 65 1 よって, x = - のとき極大値, x = 1のとき極小値をとるまた, (- 1 + t) + (- 1 - t) = ( t) + 6( t) - 18( t) ( t) + 6( t) - 18( t) よって, (- + t) + (- 1 t) = は t の値にかかわらず一定である以上より, a =, b = 6 が与えられた条件が成り立つための必要十分条件であるゆえに, ( x) = x + 6x - 18x + 11 であり, x = 1のとき極小値をとる + 11

10 別解 ( x) = ax + bx + cx d y = g + が原点に関して対称であるとすると, g x + g - x 点 ( x, g( x) ) と点 (- x, g( - x) ) の中点は原点であるから, ( ) ( ) = すなわち g ( x) + g( - x) = \ g( x) = -g(- x) \ ax + bx + cx + d = ax - bx + cx - d これが任意の実数 x について成り立つから, b = d = よって, 原点に関して対称な次関数は y = g( x) = ax + cx これを x 方向に p, y 方向に q 平行移動すると, 原点に対応する点は, 点 ( p, q) に移されるから, 点 ( p, q) に関して対称な次関数が得られるこれを y = h( x) とすると, h ( x) = g( x - p) + q より, y = h( x) = a( x - p) + c( x - p) + q また, y = h( x) は点 ( p, q) に関して対称であるから, ( p - x, h( p - x) ) と ( p + x, h( p + x) ) の中点は ( p, q) である h p + x + h p - x よって, ( ) ( ) = q 以上より, 点 ( p, q) に関して対称な次関数を h( x) 実数 a ( ¹ ( p + x) + h( p - x) = q \ h y = とすると, a ) と c を用いて, y = h( x) = a( x - p) + c( x - p) + q また, h( p + x) + h( p - x) = q 問題の場合, (- + t) + (- 1 - t) y = ( x) は点 ( 1, (- 1) ) よって, ( x) º h( x) とすると, p = -1 \ h ( x) = a( x + 1) + c( x + 1) + q \ h ( x) = ax + ax + ( a + c) x + a + c + q \ h ( x) = ax + 6ax + a + c h (- ) = より, 1 a + c = 1 が t の値にかかわらず一定であることから, - に関して点対称である ( x) = ax + 6ax + a - 1a = a( x + x - ) = a( x + )( -1) \ h x よって, a > かつ = 1 x のとき関数 ( x) ( ( x) ) と表せる h º は極小値をもつと表せるまた, h ( x) = ax + ax + ( a + c) x + a + c + q = ax + ax - ax -11a + q, ( x) ( x) a =, q = ( x) = x + 6x \ x h º より, 1

11 補足点 ( p, q) に関して対称な次関数を h( x) 実数 a ( a ¹ ) と c を用いて, y = h( x) = a( x - p) + c( x - p) + q よって, h ( x) = 6a( x - p) より, h ( p) = y = とすると, と表せるこれと y = h( x) = a( x - p) + c( x - p) + q 次関数 y = ( x) の点対称点の x 座標をa とすると, ( a ) = ( a ¹ ) が任意の次関数を表すことから, となる 11

12 例題 1 接線法線補足 : 点 Q の x 座標の別の求め方 P ( t t + at), とすると, 直線 l : y = ( t + a) x - t 点 Q の x 座標をa ( a ¹ t) とすると, 点 Q は直線 l と曲線 C の交点だから, x = a は方程式 x + ax = ( t + a) x - t, すなわち x - t x + t = の解の 1 つである他の解は点 P の x 座標 t であり, 点 P が接点であることから, x = t は重解であるよって, 解と係数の関係より, t + t + a =, t + ta + ta = -t, t a = -t \a = -t \Q (- t, -8t - at) したがって, 点 Q を通る接線 m の傾きは, (- t ) + a = 1t + a l と m が直交することから, ( + a)( 1t + a) = -1 t \ 6t + 15at + a + 1 = 以下略 1

13 例題 16 複接線接するとき重解の別証明 ( x) と ( x) ( a) g( a) g が x = a で接するならば, = 1 かつ ( a) = g ( a) 1 より, ( x) g( x) = ( x a) p( x) ( x) - g ( x) = p( x) + ( x - a) p ( x) - - \ a これとより, ( a) - g ( ) = だから, p ( a) = \ p( x) = ( x - a) q( x), より, ( x) - g( x) = ( x - a) q( x) 1

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PowerPoint プレゼンテーション - = 4 = 4 = - y = x y = x y = x + 4 y = x 比例は y = ax の形であらわすことができる 4 - 秒後 y = 5 y = 0 (m) 5 秒後 y = 5 5 y = 5 (m) 5 0 = 05 (m) 05 5 = 5 (m/ 秒 ) 4 4 秒後 y = 5 4 y = 80 (m) 5-80 5 4 = 45 (m/ 秒 ) 5 v = 0 5

1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)

1 対 1 対応の演習例題を解いてみた微分法とその応用例題 1 極限微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)