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1 ロボットの運動学 順運動学とは 座標系の回転と並進 同次座標変換行列 Denavit-Hartenberg の表記法 多関節ロボットの順運動学 レポート課題 & 中間試験について 逆運動学とは ヤコビアン行列

2 運動方程式 ( 微分方程式 ) ロボットの運動学 動力学 Equation of motion f ( ( t), ( t), ( t)) τ( t) 姿勢 ( 関節角の組合せ ) Posture () t ( () t () t N () t ) 手先位置 i osition ( t) x( t) y( t) z( t) ( 順 ) 運動学 Kinematics 逆運動学 Inverse kinematics ( ) 姿勢 ( 関節角 ) から手先位置 方向を求める ( 目標とする ) 手先位置 方向を 運動 ( 軌道 ) 計画 実現する姿勢 ( 関節角 ) を求める ( 順 ) 動力学 τ () t () t 運動方程式を解いてトルクパターンン Dynamics 逆動力学 シミュレーション () t τ () t ( 目標とする ) 姿勢変化を実現する Inverse Dynamics 制御 から姿勢変化 ( 時間変化 ) を求める トルクパターン ( 時間関数 ) を求める

3 ロボットの順運動学 順運動学とは, ロボットの各関節の変位量が与えられたとき, ロボットの手先の位置と方向が 基準座標系から見てどのようになるかを求める問題である. [] 回転運動に伴う座標変換座標変換 x O x y z O x y z 座標変換行列 R x z z O R z ( ) y y y.86 x ( 5.5 x y y O [] 並進運動を伴う座標変換同次座標変換行列 y O ( z ) x ( y ) u z x x [] 多関節ロボットの座標変換 ( q ) ( q ) ( q ) n n n n

4 例 手先位置の計算関節の回転角から手先位置を求める e x e lcos+ lcos( + ) ye lsin+ lsin( + ) 平面 リンクの場合 x +. y e.87 + y e O l l l cos e + 6 l cos( + ) x 意味を考えると x e + y e O から へ移動 から e へ移動 + 度の回転

5 例 つづき y O u y 各関節の座標系から見たリンク先端位置座標を組合わせて基準座標系における手先位置を得る O x 座標系 O -x y から 見たO の位置 O -x y から O -x y への平行移動 座標系 O -x y から x 見た の位置 cos sin R ( ) sin cos 座標系 O -x y から見た座標系 O -x y の回転 u 平行移動と回転をつの変換で表す ( )( ) u R

6 座標系の回転 次元の例.87.5 x x x y y y y x cos sin x y sin cos y 回転 の場合 x 移動後の座標系で与えられた位置が基準座標系から見てどの位置になるかを座標変換行列で計算する

7 演習座標系の回転 x y 回転後の座標系で与えられた位置が基準座標系から見てどの位置になるか座標変換行列を用いて計算しなさい の場合 y? x? y y + 45? x x の場合 まず 45 回転の行列を求める? cos 45 sin 45 sin 45 cos 45?

8 z 軸周りに 回転 任意軸 r x cos sin x 周りに 回転 y sin cos y 座標変換行列 R x r ( C ) C rr ( C ) rs rr ( C ) r S x x y z x z y + + x y rr( C ) + rs r ( C ) + C rr( C ) rs y x y z y y z x z rr( C ) rs rr( C ) + rs r ( C ) + C z x z y y z x z whe re C cos, S sin z r r x ry r z y R x ( Ry ( ) Rz ( ) z z Rz( ) x 軸周りに 回転 x x y cos sin y z sin cos z R ( ) r r x r Ry だけ sin の符号が違うことに注意 x y軸周りに 回転 x cos sin x y y z sin cos z Ry( )

9 並進を伴う座標変換 y () O x.87.5 y O R z () x R + 単純な掛算で表したい (つの変換行列) R

10 同次座標変換行列 u x x y y, u z z 位置座標に形式的に を加える u u 同次座標変換行列 z y ().5 O y x O.5 座標系 O -x y z から 座標系 O -x y z への.87 x 同次座標変換行列

11 多関節ロボットの座標変換 座標系 O n -x n y n z n から基準座標系 O -x y z への座標変換行列 n ( ) ( ) n q q ( q ) 各関節間の座標変換行列の積 n n n int cos( 9) sin( 9) z l sin( 9) cos( 9) l x9 l cos sin sin cos cos9 sin9 9 9 l z l 9 sin cos x z cos sin sin cos l cos sin sin cos l

12 多関節ロボットの座標変換ー同次変換行列の別誘導法ー 前頁の は次のように求めることもできる cos sin cos 9 sin 9 y z l sin9 cos9 l sin cos x 9 cos sin l sin cos cos sin sin cos l どんな順序で座標系の変換を行ったと考えるかで誘導は異なるが, 結果は同じ

13 演習極座標型ロボットの運動学 x x z h z d x r y φ y z e. 座標系 O -x y z から基準座標系 O -x y z への座標変換行列 を 求めよ. 手順. O -x y z から O -x y z への変換行 列 (y 方向へ d 平行移動 + y 軸周りに φ 回転 ), O -x y z から O - x y z へとするの変換行列 (z 方向へ h 平行移動 + z 軸周りに 回転 ) y を求め, とする.. O から O への平行移動量 h, z 軸回転角, O から O への 平行移動量 d, y 軸回転角 φ7, r5のとき, O -x y z から見た e の座標を求めよ.. に h,, d, φ7, r5 を代入して を具体的に数値で表し, O -x y z から見た手先位置の座標 (,, r) ) から作った ( r ) を掛けて e を得る.

14 演習極座標型ロボットの運動学 ( 解 ). 変換行列, は, それぞれ cosφ sinφ cos sin d sin cos y d sinφ cosφ z h h y φ z d cos cos φ sin cos sinφ d sin cosφsin cos sin sin φ d cos d sinφ cos φ h s c φ φ よって c s s c s s d φ φ c s c s s c φ φ h. に h,, d, φ7, r5 を代入するとよく行われる略記法 e なので ( 5 ) を掛けて x x z h x r d z z y y φ y e

15 DH 法 -Denavit-Hartenbergg の表記法ー 4 つの変数 ( リンクパラメータ ) で多リンク機構を系統的に表現 リンク座標系 i を i- から見た場合の同次変換で記述する リンクパラメータ 変換行列 (i) x i 軸に沿って a i- だけ並進 X, a (ii) x i- 軸回りに α i- だけ回転 R ( X i, αi ) (iii) z i 軸に沿って d i だけ並進 ( Zi, di) (iv) z i 軸回りに i だけ回転 ( Zi i) ( ) i i R, 長さ a i- の線分は, 関節 i- の回転軸にも, 関節 i の回転軸にも直交する

16 DH 法による変換行列 i ( Xi, ai) ( X, i i i α α α i ) i a ( ) ( Z i i ) i R cos sin sin α i cos α i cosi sini Zi, di sini cosi d i R, ( Xi, ai) ( Xi, αi) ( Zi, di) ( Zi, i) R R C S a i i i Cα S i α S C i i i Sα C d i αi i C S i a i i C α S C C S S d i i αi i αi αi i Sα S S C C C d i i αi i αi αi i

17 ロボットの逆運動学手先の位置 方向が与えられた時に, それを実現する各関節の変位量を求める問題 x l cos + l cos( + ) y l sin + l sin( + ) 例 の設定の場合, y x + y l + l + ll cos x + y l l ll cos ( ) 解は唯一ではない 右手系と左手系 ( x, y ) 演習, はいくらか? l l 各関節角をどう変化させたらワークを把持できるか?

18 ヤコビアン行列 (Jacob 行列, Jacobian) 各関節の回転速度と手先速度の関係を表す行列 ω v e f(q) : 各関節の回転角度と手先位置の関係 並進速度に関するヤコビアン行列 J L ( J J ) v J de f dq dq v J L JLq dt q dt dt 回転関節のみなら J e : 基準座標系上での手先位置 (e: end-effecter) q : ロボットの一般化座標 関節の回転角 ( 回転関節 ) ( 直動関節 ) L L L ( x ) e J J q J y, 可変リンク長 回転速度に関するヤコビアン行列 JA d L ω JAq L

19 例題ヤコビアン行列と手先速度 y () ヤコビアン行列 J L を求めよ () l, l, の時の J L を計算せよ () () の時, 45 とすると [deg sec] 手先速度はいくらか l [deg sec] 解法手順 () 手先位置 e の座標 (x,y) を で表す. x x e L y y J を計算する. () J L に を代入する l () J ( ) () L に -45 x を掛ける [deg sec]

20 例題ヤコビアン行列と手先速度 ( 解答例 ) () J e L ( ) ( ) x l cos + l cos + y l sin + l sin + x x ( ) ( ) l sin lsin + lsin + y y l ( ) ( ) cos+ lcos + lcos + J () L () v π 6 π 7.. JL [m sec] π

21 ヤコビ行列と特異姿勢 v (4) 手先速度をとするためには各関節をどのような 速度で回転させればよいか? 4.5 L +. 4 J v J もしが存在しない場合は? L sin+ sin sin sin sin 8 J L cos cos cos cos cos 8 特異姿勢

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