ヤコビ楕円関数とはなにか

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きみのしんやぶき
4 years ago
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1 ヤコビ楕円関数とはなにか December 8, 0 Aio Arimoto. 非線形微分方程式ヤコビの楕円関数 n,cn,dn の一番分かりやすい導入は次の微分方程式の解とするもので 3 dx ある 0 として上での初期値問題 yz dt, dy xz dt, dz xy dt, x0 0, y 0 z0の解の各成分 x t, yt, zt はそれぞれ,, コビの楕円関数と呼ばれる命題. x t y t 証明 : n t cn t dn t と書かれヤ d dx dy x t y t x y xyzxyz 0 であるあるから dt dt dt x t y t con る tがすぐ分かるが t 0 のときを考えるとそのコンスタントはであ命題.. x t z t z t d dx dz x tz t x z xyzxyz0 であるから dt dt dt 証明 : x t z t cont がすぐ分かるが t 0 のときを考えるとそのコンスタントはであるこれから z がいえる t でベクトルであるが zt は連続 ( 微分可能 ) であるので z t x t, y t のt を動かした軌跡は半径の単位円であるが, x t z t は emi-axi がとの楕円になるつまり

2 図のように x t, y t の描く円は, れ以外はすっぽり含まれている ( 参照 [Ta]) x t z t の描く楕円に上下点で接しているがそ. 3 角関数との関係ヤコビ楕円関数は振り子の振動をあらわす関数として現れる周期関数であるが 3 角関数 dx と密接な関係がある d zdt により変数変換すると yz dt, dy xz dt, dz xy dt は dx y d, dy x d, dz xy とかける dx y d z d, dy x d は書き直すと d x x 0 d とな x in り初期条件 0 0, x 0 y 0 より x であるこれから y co もわかるそして命題. より z in となる d zdt より t d 0 in であるが K d 0 in とおけば d d d 4K in in in 0 0 であるしかし 0 d d t in in とかけるので 0 d in t4k つまりあるいは xt 4K xt in t 4K in t in t 期 4K を持つ周期関数であることが分かる ( 参照 [Ta]) となり n 関数は周

3. 振り子の振動単振り子のふれの角度をとしその最大値をとする糸の長さをl とすると位置エネルギと運動エネルギの合計が一定であることからは微分方程式 d g in をみたすただし in を in in を満 dt l d たすように決めると g dt l in d g は co となるが dt l arcin in より g d d dt l co in すなわち d を得る

3 3. 振り子の振動単振り子のふれの角度をとしその最大値をとする糸の長さをl とすると位置エネルギと運動エネルギの合計が一定であることからは微分方程式 d g in をみたすただし in を in in を満 dt l d たすように決めると g dt l in d g は co となるが dt l arcin in より g d d dt l co in すなわち d を得る節で述べたことから in g t l 0 in g t n t l となり in in は t g (3.) in n0t, 0 l となるしたがって t (3.) co n0t dn0t が得られるが (3.) の両辺を微分して (3.) をもちいると 0cn 0 t そしてさらに微分して n tdn tをえるが (3.)(3.) にもどれば (3.3) in 0 0 3

4 という微分方程式になる (3.3) は単振り子の運動方程式として知られている 4. 包絡線本節はあくまでも仮説であるあるいは open problem の提供と言っても良いすこし議論が恣意的になっていることを注意して読んでほしい楕円関数の加法定理は幾何学的には単振り子運動の以下の幾何図形より証明される [To] 図 P は振り子のおもりで B を出発して円弧 BPAP ' 上を運動する BB ' はおもりのあがる最高の位置であるひとつのおもり P が B を出発してから時間だけ遅れて P ' が B を出発す ' るが P へすすむ間に P ' は P へすすむここで直線群 PP ', PP, によって包絡線 P が作られるがこの包絡線は AO 上に中心 C を持つ円である ' 図次の図 3は円 Oに含まれる円 O ' があるとき PP はQ で接する接線で P から再び円 O ' に接線を引くことによりポンスレの閉形定理を示すためのものである 4

5 図 3 ここでひとつの仮説を立てるある関係で PP を決めるとき PP の直線群は円 O ' の包絡線を構成しているそれは単振り子の図を半時計周りに90 度回転して図 3と比べてみる図の回転つまり図 3のO ' を図のC と見るのである確かに図の円 C は円 Oに含まれてはいないがそのことはポンスレの定理と矛盾するものではないあるいは単振り子が振り子ではなく回転してしまう場合になるかもしれない 5

6 検討 : 図 ( の回転 ) において P lco, lin, P lco, lin in in co co y l in x l co (4.) co coy ininxlin とおく直線 PP はとかけるがこれは分母をはらい変形するととなる (3.) in t 0 n t,(3.) そう u 0t, v0 t とおくと t co n0t dn 0 tを思い出 (4.) in nu (4.3) in nv (4.4) co dnu (4.5) co dnv となり問題はu v cont 0 のとき直線 PP の包絡線が円 C となっていることを示せばよいことになる (4.) の包絡線を求めるには次のような方針が考えられる (4.6) Fx, y, tco coyinin xlin F とおくと (4.) からみちびかれる F x, y, t 0と 0 を連立させt を消去した x, y の t 関係式 C が円になることを示したいわけであるこのとき偏微分を求めるのに楕円関数との関係 (4.)-(4.5) をもちいて (4.6) をuv, で表すことが考えれれるがこれは得策でないとおもう (4.6) をt で偏微分すると F d d d d d d in in y co co x lco t dt dt dt dt dt dt ところが (4.) の両辺を微分すると d du co cnudnu だが (4.3) より dt dt d du d cnu を得る同様に dt dt dv cn v を得る u v cont であったから dt dt du dv F t とし上の偏微分 dt dt t の右辺を書き直すと 6

7 (4.7) cnv cnuy cnv cnux l cnu cnv in in co co co 0 を得る結局 (4.6) の右辺を0とした式と (4.7) からuv, を消去して x, y の関係式をさがしそれが円 Oと中心が a だけ離れた円であることを示したいわけである果たしてできるだろうか? 参考文献 [Ta] 高橋陽一郎力学と微分方程式岩波書店 ( 現代数学への入門 ) [To] 戸田盛和楕円関数入門日本評論社 7

ポンスレの定理

ポンスレの定理. qution Section 定理有本彰雄東京都市大学平成年月 4 日定義. n 角形 P とは平面上にあるn 個の点の順序列 ( p, p,, pn - ) のことである各 pk は P の頂点と呼ばれる記号法を簡単にするため便宜的に p n とするまた線分 p i i pp, i,,,, n - を P の辺と呼ぶ定義. すべての頂点 p k が曲線 C