2014年度 東京大・文系数学

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1 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 1 解答解説のページへ以下の問いに答えよ (1) t を実数の定数とする 実数全体を定義域とする関数 f ( x ) を f ( x) =- x + 8tx- 1x+ t - 17t + 9t-18 と定める このとき, 関数 f ( x ) の最大値を t を用いて表せ () (1) の 関数 f ( x ) の最大値 を g( t ) とする t が t - 1 の範囲を動くとき, g( t ) の最小値を求めよ -1-

2 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を自然数 ( すなわち 1 以上の整数 ) の定数とする 白球と赤球があわせて 1 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (*) を考える (*) 袋 U から球を 1 個取り出し, (i) 取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 a 個, 赤球 1 個となるようにする (ii) 取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋 U の中身はそのままにする はじめに袋 U の中に, 白球が a + 個, 赤球が 1 個入っているとする この袋 U に対して操作 (*) を繰り返し行う たとえば, 1 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 a 個, 赤球 1 個となり, さらに 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 a 個のみとなる n 回目に取り出した球が赤球である確率を p n とする ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする (1) p 1, p を求めよ () n に対して p n を求めよ --

3 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面の原点を O で表す 線分 y = x (0 x ) 上の点 P と, 線分 y =- x (- x 0) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が となるように動く こ のとき, 線分 PQ の通過する領域を D とする (1) s を- s を満たす実数とするとき, 点 ( s, t) が D に入るような t の範囲を求 めよ () D を図示せよ --

4 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ r を 0 以上の整数とし, 数列 { an } を次のように定める a1 = r, a = r+ 1, a = a 1( a + 1) ( n = 1,,, ) n+ n+ n また, 素数 p を 1 つとり, an を p で割った余りをb n とする ただし, 0 を p で割った余りは 0 とする (1) 自然数 n に対し, b n + はbn+ 1 ( bn + 1) を p で割った余りと一致することを示せ () r =, p = 17 の場合に, 10 以下のすべての自然数 n に対して, bn を求めよ () ある つの相異なる自然数 n, m に対して, b n+ 1 bm+ 1 0 = >, bn+ = bm+ が成り立ったとする このとき, bn = bmが成り立つことを示せ -4-

5 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 1 問題のページへ (1) f ( x) =- x + 8tx- 1x+ t - 17t + 9t-18 に対して, f ( x) =-( x- t+ ) + t - 9t + 15t よって, f ( x ) は, t= t-のとき最大値 t - 9t + 15tをとる () (1) より, g( t ) = t - 9t + 15tとなり, g ( t ) = t - 18t+ 15 = ( t-1)( t- 5) すると, t - 1 のとき, g( t ) の増 減は右表のようになる ここで, g(5) =-5であり, g そこで, ( ) =- 1 ( ) = (- 5) = の最小値は g(5) =-5となる t g ( t ) g ( t ) = > 0 なので, g( t ) 4 [ 解説 ] 関数値の増減についての計算問題です -1- 電送数学舎 014

6 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ (1) はじめ袋 U の中に, 白球が a + 個, 赤球が 1 個入っているので, 1 回目に取り出した球が赤球である確率 p1 は, p 1 1 = a + である 次に, 回目に取り出した球が赤球であるのは, 1 回目に取り出した球が白球のときだけなので, その確率 p は, p 1 = a+ = a+ a+ a+ 1 ( a+ )( a+ 1) である () n を自然数として, n + 1 回目に取り出した球が赤球であるのは, n 回目に取り出した球が白球のときだけなので, p 1 n+ 1 = (1 -pn ), p 1 1 n+ 1 =- pn + a + 1 a+ 1 a+ 1 変形すると, p n+ 1 - =- ( pn - ) a+ a+ 1 a+ となり, 1 ( )( 1 n- n-1 pn - = p - - ) = - 1 ( - 1 ) a+ a+ a+ 1 ( a+ )( a+ ) a+ 1 n よって, p n ( ) =- - + ( a+ )( a+ ) a+ 1 a+ である [ 解説 ] 確率と漸化式についての頻出題です 与えられた条件が扱いやすいので, すんなりと立式できます -- 電送数学舎 014

7 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ (1) 条件より, P( p, p ), Q( q, - q) とおくと, OP + OQ = から, p- q =, q= p- 1 ただし, - q 0 より- p - 0となり, 0 p と合わせて 0 p である ここで, 直線 PQ の傾きは, 1 より, p+ q = ( p - ) p-q これより, 線分 PQ の方程式は, y= (p-) x- p( p- ) さて, 点 ( s, t) は直線 上にあるので, ただし, - s, p- s p, 0 p y - p= (p-)( x- p) ( p- x p) t= (p-) s- p( p- ) であり, こ れを sp 平面上に図示すると, 右図の網点部となる そこで, f ( p) = (p-) s- p( p-) とおき, この領域における f ( p) のとり得る値の範囲を求める f ( p) = {- p + (s+ ) p- s} = {- ( p - s+ s ) } (i) - s -1 のとき 右上図より 0 p s+ となり, s ( s + ) = なので, s + ( ) f (0) = f ( s+ ) f ( p) f, - s f ( p) ( s + 9) - のとき右上図より, 0 p となり, 1 s + から, (ii) 1 s 0 s + ( ) f (0) f ( p) f, - s f ( p) ( s + 9) (iii) 0 s のとき右上図より, s p となり, s + 5 である (iii-i) s + (0 s 1) のとき s + ( ) f ( s) f ( p) f, s f ( p) ( s + 9) (iii-ii) s + (1 s ) のとき f ( s) f ( p) f (), s f ( p) ( s+ 4) - - Q y P q O p x p -1 O s -- 電送数学舎 014

8 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 以上より, D に入るような t の範囲は, から t= f ( p) なので, y - s t ( s + 9) (- s 0) s t ( s + 9) (0 s 1) s t ( s+ 4) (1 s ) () 領域 D を図示すると, 右図の網点部となる ただし, 境界は領域に含む - O 1 x [ 解説 ] 線分の通過領域の問題ですが, まとめていくのに, かなりの時間を費やします 上の解答例では, 条件の不等式を sp 平面上に領域として示し, それを見ながら計算を進めています なお, この図にグラフの軸となる p = s + も書き込んでおくのも, 1 つ の方法です -4- 電送数学舎 014

9 014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ (1) bn は a n を素数 p で割った余りなので, 商を q n とすると a n = p q n + b n となり, an+ 1( an + 1) = ( p qn+ 1 + bn+ 1)( p qn + bn + 1) = p( p q q + q b + q + q b ) + b ( b + 1) n n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n すると, 条件から, an+ = an+ 1( an + 1) なので, a + を p で割った余りb + は, bn+ 1( bn + 1) を p で割った余りと一致する () r =, p = 17 のとき, a1 = r = よりb 1 =, a = r+ 1= よりb = 以下, (1) の結論から, b はb ( b 1 + 1) = 9を 17 で割った余りよりb = 9 である b はb ( b + 1) = を 17 で割った余りよりb 4 = である 4 b はb 4 ( b + 1) = 0を 17 で割った余りよりb 5 = である 5 すると, b4 = b1, b5 = bから, 帰納的に, b = b = 9, b7 = b4 =, b8 = b5 =, b9 = b = 9, b10 = b7 = となる () まず, b = b より, bn+ 1( bn + 1) を p で割った余りは, bm+ 1( bm + 1) を p で割 n+ m+ った余りに等しい すなわち, k を整数として, b ( b + 1) - b ( b + 1) = pk n+ 1 n m+ 1 m ここで, b 1 = b 1 > 0 より, b 1( b + 1) - b 1( b + 1) = pk 0 bn + 1 n+ m+ bn+ 1( bn - bm) = pk n+ n n+ m < < pより, b n + 1 は p の倍数でないので, bn -bmが p の倍数となる すると, 0 bn < p, 0 bm <p から, - p< bn - bm < pとなり, bn - bm = 0 である すなわち, bn = bmが成り立つ n n [ 解説 ] 漸化式と整数の融合問題で, 周期数列が現れます (1) の設問が, 続く (), () への誘導として利いています -5- 電送数学舎 014