混相流

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ちとらかんざとばる
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1 特集号論文推薦原稿論文 * 超音波照射下における殻付きマイクロバブルの非線形振動 Nonlinear Oscillation of an Insonified Microbubble with Shell-Coating ** 久保弘樹 ** 佐藤昭宏 ** 伊藤俊輔 *** 杉浦壽彦 KUBO Hiroki SATO Akihiro ITO Shunsuke SUGIURA Toshihiko Abstract Microbubbles oscillate nonlinearly in the ultrasound field. By irradiating ultrasound, microbubbles reflect superharmonic or subharmonic signals. In particular, microbubbles coated by a protein, lipid, or polymer shell show a mechanical property different from that of micobubbles without shell. In this research, nonlinear oscillations of shell-coated microbubbls were compared with those of gas microubbles. We use the modified Rayleigh-Plesset equation introduced by P. Marmottant, et al. which describes the dynamics of microbubbless coated with lipid shell that has viscosity and elasticity. The dynamical behavior of insonified shell-coated microbubbles was investigated by numerical simulation. Our numerical results suggest the possibility that the oscillation center shifts to the side of bubble compression, and that the response of a shell-coated microbubble has both hardening and softening effects, because the surface tension changes with the bubble radius if the bubble shell exists. Moreover, these results are in qualitative agreement with experimental ones. Keywords: Microbubble, Nonlinear oscillation, Lipid shell, Oscillation center, Contrast agents 1. 緒言近年超音波の医療分野への応用技術が飛躍的に向上しその中でも現在最も注目を集めているのがマイクロバブルを利用した超音波治療である診断用超音波造影剤であるマイクロバブルを併用することで超音波薬物効果促進作用や薬物を生体内の必要な部位に輸送する DDS(Drug Delivery System) への応用 controlled release や targeting などの効率化への期待が高まっている [1] マイクロバブルは半径数 μm の気泡でありその特徴に非線形散乱性があるマイクロバブルの周囲の圧力が変化するとバブルはその半径方向に収縮膨張を繰り返し一種のばね質量系を形成して非線形性を伴い振動する [] この性質を利用しバブルと生体組織からの反射波の違いかブルの開発が現在進められている最初に登場した第一世代と呼ばれる Levovist などの超音波造影剤マイクロバブルは気泡の崩壊を利用して造影するため持続性がなくまた血管壁の組織に与える影響から超音波診断の場では造影剤を用いた方法は主流ではなかったしかしそれらの欠点を改善した Soazoid などの第二世代と呼ばれる次世代マイクロバブル造影剤が開発され検討が進められているこれらは気泡の周りにタンパク質や脂質からなる殻を持ち難溶性のガスを容れた微小気泡であるこれらは殻を有するが超音波の照射には脆弱であり比較的低い音圧で崩壊する一方さらに低い音圧下では共振現象を起こすなどして崩壊せずに振動し持続的に非線形信号を発する加えて必要音圧の低さから人体への影響も尐なくら造影を行う超音波造影剤としてのマイクロバさらなる応用と改善が進められている [3] * #.##.## 受付 (8 pt 受付日は決定後事務局で記入) ** 慶應義塾大学大学院理工学研究科総合デザイン工学専攻 3-85 神奈川県横浜市港北区日吉 TEL: (045) FAX: (045) squarehiroki@yahoo.co.jp *** 慶應義塾大学理工学部機械工学科 415

今後ますますマイクロバブルを利用した治療や診断は進むと考えられている分子レベルの治療や診断のためにナノサイズにしたバブルや, 目的部位に自主的に誘導されるアンテナの付いたバブルなど第三世代となるバブルが期待されているしかし更なる応用を考えると放射する超音波に対するマイクロバブルの非線形挙動を正確に知る必要があるが

(RP model) と殻付きマイクロバブルの代表的なモデル (Marmottant model)[4] において復元力の特性殻の影響によるマイクロバブルの挙動の変化などを数値シミュレーションを用いて求め T.

2 今後ますますマイクロバブルを利用した治療や診断は進むと考えられている分子レベルの治療や診断のためにナノサイズにしたバブルや, 目的部位に自主的に誘導されるアンテナの付いたバブルなど第三世代となるバブルが期待されているしかし更なる応用を考えると放射する超音波に対するマイクロバブルの非線形挙動を正確に知る必要があるがマイクロバブルの利用によって超音波治療効果が助長される理由やメカニズムは完全に解明されていないマイクロバブルの非線形振動に着目した研究は尐なくまた殻の付いたバブルに関する研究はさらに限定されるそこで本研究では殻の付いたマイクロバブルについて非線形振動の研究を主とする物理的なアプローチを試み殻の存在による一般的な気泡との違いを考える具体的には液体中の単一ガス気泡の振動の支配方程式 (RP model) と殻付きマイクロバブルの代表的なモデル (Marmottant model)[4] において復元力の特性殻の影響によるマイクロバブルの挙動の変化などを数値シミュレーションを用いて求め T. Faez らの実験結果 [5] と比較するそしてリン脂質膜などの殻の付いたマイクロバブルの振動の性質について物理的考察を行うは脂質からなっておりここではそれをダイラタント流体として捉えバブルの半径を R 1 外側までのバブルの半径を R として殻の粘性の効果は圧力テンソルの半径方向成分を積分し境界条件と連続の条件を導入すると以下のようになる [6] R 1 u r 3 μ lipid r r dr = 1μ lipid εr R 1 R R ε ここで ε R でありまた前式までにおいてはバブルの外径を R とおいていたので表記を統一してバブル内外の圧力のつり合いを考えると以下のようになる P G P 0 = σ R R + 4μ R L R + 1μ lipid εr R 式 (1) の右辺に式 (3) の右辺第三項を加えた式を Modified Rayleigh-Plesset 式 (MRP model) と呼ぶことにするこれは高分子である殻の粘性の影響を調べるために便宜的に作成したモデルであるまたここで表面張力の影響を考える殻の弾性が加わることによりマイクロバブルの表面張力は面積によって変化することがわかっている F. Petrict ら [7] は代表的な超音波造影剤のひとつである SonoVue を用いた実験により表面張力と () (3). モデルおよび支配方程式モデル図を Fig. 1 に示す超音波の照射によりバブル内の気体体積が変化してバブル壁が半径方向に振動しバブルが膨張収縮を繰り返す座標はバブルの中心を原点とする極座標 1 次元モデルである最初に殻のついていない単一球形バブルの支配方程式を考える非圧縮性のニュートン流体中の非凝縮性の気体を内部に含むバブルとする周囲の液体について Navier-Stokes 式と連続の式及び表面の境界条件より以下の Rayleigh-Plesset 式 (RP model) が導かれる [6] Fig. 1 Analytical model. RR + 3 R = P G P 0 + P a sin ωt σ R 4μ R L R (1) 次に殻の影響を考える殻に注目したモデルを Fig. に示す一般的に造影剤に用いられる殻 Fig. Shell model. 416 ff f

3 面積の関係から表面弾性定数 χの値を求めたその実験結果を Fig. 3 のように簡単化する [4] これより表面張力は四段階に区別して考えることができるすなわち気泡部分の収縮に殻の収縮が付いていけず殻であるリン脂質膜のみが表面に飛び出す形になっている座屈 (buckled) 状態気泡と殻がともに収縮膨張している弾性 (elastic) 状態気泡の膨張に殻が付いてゆけなくなり殻が裂けて気泡がむき出しになっているものの振動は保たれている破裂 (ruptured) 状態殻も気泡も分解されてバラバラになっている崩壊 (break-up) 状態であるこの上三段階の表面張力は以下のようになる σ R = σ 0 σ 0 + χ R 1 σ water R R buck (R buck R R rupt ) (R rupt R) これらを Rayleigh-Plesset 式に代入すると以下のような Marmottant model [4] の支配方程式が導かれる (4) RP model Marmottant model の初期気泡半径と固有振動数の関係を Fig.4 に示す (MRP model は RP model に同じ ) これよりマイクロバブルの固有振動数はバブル半径に大きく依存し半径が小さいほど固有振動数が高いことがわかる式 (5) を t = 1/ω 0 t で無次元化する x + 3 x 1 + x α + β α 1 + x 3κ x 1 + β ξ 1 + x + γ x 1 + x +ζ x 1 + x 3 + ξ = η 1 sin νt 1 + x ここで無次元パラメータを以下のように置いた break-up (8) RR + 3 R R = P G P 0 + P a sin ωt 4μ L R σ R σ 0 + χ R 1 1μ R S ε R 0 R (5) 初期状態は極めて座屈状態に近いところにあるということから σ 0 = σ として以下の数値計算を行った一般的な RP 式 (1) に R = 1 + x を代入して ρ 1 + x で割り非線形項減衰項加振項を取り除いて線形化すると固有振動数 ω 0 を求めることができる Fig. 3 Relationship between bubble area and surface tension[4]. ω 0 = 1 3κ P 0 + σ σ (6) 同様にして Marmottant model の固有振動数を求めると以下のように書ける ω 0 = 1 ω 0 = 1 3κ P 0 + σ σ 0 3κ P 0 + σ σ 0 χ R R buck (7) (R buck R R rupt ) Fig. 4 Relationship between bubble radius and natural frequency. 417

4 α = P 0 ω 0 β = σ ω 3 0 γ = 4μ ω 0 ζ = 1μ lipid ε ω 0 3 ξ = χ ω 3 0 P a η = ω 0 : 初期気泡外圧力 : 表面張力 : 周囲液体の粘性 : 殻の粘性 : 粘弾性 : 超音波加振振幅 (a) RP model ν = ω ω 0 : 加振振動数 3. 数値計算 3.1 時刻歴本研究では RP model MRP model および Marmottant model に Runge-Kutta 法を用いて数値計算を行い時刻歴と周波数分析結果を得たまずそれぞれのモデルにおいて共振点付近 ν = 1 で加振した時の定常状態の無次元時刻歴と周波数分析結果を Fig. 5 に示す加振は一般的な sin 波であり周波数の成分としては 1 のみであるまた加振の振動中心は 0 であるこれを見ると全体的に RP model MRP model はほとんど波形が変わらずその違いは MRP model の方がやや振幅が抑えられていることのみである対して Marmottant model の方は振幅が大きく抑えられているいずれの場合にも固有振動数の整数倍の周波数で振動する高調波成分が確認され非線形性を示しているすなわち殻の有無にかかわらずマイクロバブルの存在によって非線形信号が受信されることが確認されたまた波形としては収縮リバウンドを繰り返し下側が尖っていることがわかるこの傾向は Marmottant model ではほとんど見られないさらに振動中心を確認すると Marmottant model では de Jong や Marmottant[4] が述べている通り負の方向にずれる compression only behavior を示しているのに対し RP model MRP model では正の方向にずれていることが確認できるこれらの確認された挙動に関して次章で物理的な考察を行う (b) MRP model (c) Marmottant model Fig. 5 Time histories and spectra of primary resonance (P a = 100kPa, ν = 1). 3. 周波数応答三つのモデルでの周波数応答の例を Fig. 6 に示す加振振動数 1 付近の主共振以外にも加振振動数付近や 0.5 付近などで共振が起きていることがわかる MRP model の振幅の抑えられ方が前節の時刻歴よりも明らかであるが RP モデル MRP model に関してはよく似た応答を示しているここで最も注目に値するのは三つのモデルでの主共振の傾きである RP model MRP model は共振する振動数が固有振動数よりも小さくなるソフトスプリング特性を持ちこの性質は主共振以外の共振部分にも表れているが Marmottant model は一見すると固有振動数よりも大きくなるハードスプリング特性を示しているまた式 (5) より殻の粘性を表す ζ が入る項には x も含まれ主に減衰として作用することが予想されるこの殻の粘性の影響を考えるため殻の厚さを元の 4nm より徐々に大きくし MRP model 418 ff f

5 示されるこれは第二世代特に脂質膜が単層で数 nm と薄くなっているマイクロバブルの超音波造影剤としての有用性を裏付ける結果である Fig. 6 Frequency responses for three models. にて数値シミュレーションを行ったすると膜厚を大きくしていくにつれて振幅は抑えられ膜厚が 8nm に達した時に加振振動数付近に見られていた共振が消えることが確認された 3.3 分数調波固有振動数の倍 (ν = ) 付近での共振が場合により確認されないことを受け最初と同じ条件で ν = 付近で加振した時刻歴と周波数分析を見るといくつかの条件で加振振動数の 1/ の振動数である分数調波による共振が確認できたそれらの結果を Fig. 7 8 に示すこれを見ると加振振幅に当たる音圧が 100kPa の時は全てのモデルで分数調波が確認されているがこれを 60kPa に落としたときには Marmottant model でしか確認できないことがわかる一般に分数調波は加振振幅と減衰のせめぎあいによりその発生する領域が決まり減衰が大きくなればなるほど分数調波は現れにくくなるしかし Marmottant model は RP model に対して減衰が大きいにも関わらず RP model で確認できない分数調波が見られたということは殻の影響が分数調波の発生を助長していると考えられるまた Fig. 9 に前節に示した殻の厚さを変えた時の MRP model の時刻歴と周波数分析を示す膜厚を増した時に消えた ν = 付近の共振は分数調波であったことがわかる殻粘性項の係数の形から膜厚に伴い粘性係数が大きくなるため減衰が大きくなることで発生が抑えられるという一般的な分数調波の特徴に一致しているよってこれら二つのことから殻が存在すると分数調波が発生しやすくなることそれは殻の存在によって表面張力がバブル径とともに変化する性質に起因し殻の粘性にはよらないことが 4. 物理的考察 4.1 直流成分本章では数値計算結果からみられた特徴を実際の物理的な側面から考察するまず de Jong らが示している殻付きマイクロバブルの特徴 compression only behavior について考察する波は一般にフーリエ級数と考えられるので以下のように分解して表すことができる f t = a 0 +a 1 sin ω 1 t + φ 1 + a sin ω t + φ + +a1 sin ω1t + φ1 + a1 3 この右辺第一項を直流成分と呼び時間によって変化しない唯一の項であるすなわち直流成分は (a) RP model (b) MRP model sin ω1t + φ1 3 3 (9) + (c) Marmottant model Fig. 7 Time histories and spectra of subharmonic resonance (P a = 100kPa, ν = ). 419

6 (a) RP model Fig. 9 Time history and spectrum of MRP model (ε = 8nm, P a = 60kPa, ν = ). (b) MRP model (c) Marmottant model Fig. 8 Time histories and spectra of subharmonic resonance (P a = 60kPa, ν = ). 振動において全体として変形する傾向が正負のどちらであるかを表すことができ本研究においてはバブルの膨張圧縮の振動中心がどちらにずれるかを示す尺度となる各モデルの直流成分を数値計算によって求めた結果を Fig. 10 に示す compression only behavior を満たすには直流成分が負である必要がある Fig. 10 よりこれを満たすのは Marmottant model のみであり compression only behavior も殻の存在により表面張力がバブル径に伴い変化する性質に起因することが示される 4. 変位と復元力の関係振動中心がずれるということはもとの中心であった位置からの変位 x の正負によって働く力の大きさが異なるということであるそこでこれらを考えるために RP model および Marmottant model から加振項と減衰項を取り除いた時の膨張の変位 x とバブルに作用する力 f の関係を Fig. 11 に示す破線は各式を x = 0 近傍で線形化した Fig. 10 Frequency responses of DC component. ものであるまた座屈している時殻は緩んでその一部がバブルの表面から盛り上がっている状態であるので σ 0 = 0 とする Fig. 11 から考えると RP model ではバブルが縮んだ時 (x < 0) 元に戻ろうとする力が線形 RP model よりも大きく膨らんだ時 (x > 0) は線形より小さいすなわち膨張に対してよりも圧縮に対しての抵抗の力が大きいため振動中心が x > 0 膨張側にずれるこれを物理的に考察する RP model ではバブルが広がろうとする力即ちガスの圧力と周囲の液体の圧力および表面張力で小さくなろうとする力が釣り合っている半径 r の変化に対してガスの体積は r 3 バブルの表面積は r に比例して変化するのでガスが押し込められると押し返す力は線形より急激に大きくなるのに対しガスが膨張すると密度が低下し戻ろうとする力は線形より小さくなるそのためバブルの振動中心はやや膨張した側にずれることになる時刻歴の下側が尖った形もこれに起因していると考えられるこの図は x と f の関係を表すものであることは前述したいま mx + kx = 0 で表される一般的 40 ff f

7 なばね質量系を考えた時その式をこの図の形にすると x = k m x となるこの系の固有振動数はω 0 = k mで表されるので xとx の関係図においてはその傾きの大きさによって特性が決まる即ち曲線の傾きが線形化されたその式の傾きを上回るときにはハードスプリング特性下回るときにはソフトスプリング特性となるいま RP model にこの考えを適用すると振動中心が右にずれている時振動中のおおむねの範囲でその傾きは線形の傾きよりも緩やかになっており全体としてソフトスプリング特性となることがわかる次に Marmottant model を考えるこちらはバブルが広がろうとする力であるガスの圧力と周囲の液体の圧力と殻の弾性力ともいえる表面張力で小さくなろうとする力が釣り合っているが座屈状態では殻が緩んでいる状態のために殻の弾性力が 0 になるのでバブルが拡がろうとする力であるガスの圧力と周囲の液体の圧力のつり合いとなるよって膨張側では表面張力が殻の弾性力となるため元に戻ろうとする力が線形化 RP の式よりも大きくなるまた圧縮側では弾性力が 0 になり xの大きさによりかかる力が線形よりも大きくなる範囲と小さくなる範囲があるが Fig. 11 を見ると一般にマイクロバブルが振動により膨張圧縮する範囲であるx 0. 前後では常に膨張側での元に戻ろうとする力の方が大きくなっていることがわかるよって殻付きバブルの振動中心は圧縮寄りにずれることが理解できる振動中心が圧縮寄りである状態の時 Marmottant model の傾きはxの大きさによって変化する Marmottant らが前提としていた R の範囲ではその傾きは線形より緩やかでありソフトスプリング特性となるが振幅が大きくなり x 1. となっている範囲では傾きが線形よりも急になるため数値計算と同様の結果となるハードスプリング特性となる場合もあるこの変化を確かめるために行った数値計算の結果を次節で示す 4.3 主共振 T. Faez らは数値シミュレーションによって加振振幅を上昇させるにつれて殻付きマイクロバブルの見かけの固有振動数は主に低下すると主張した [5] これは一般的にソフトスプリング特 (a) RP model (b) Marmottant model Fig. 11 Relationship between displacement and restring force. 性の特徴であるこれに対し殻付きマイクロバブルの周波数応答曲線である Fig. 6 はハードスプリング特性を示している殻付きマイクロバブルの主共振の示す特性を詳しく調べるため加振振幅にあたる超音波圧力を 5kPa~00kPa で動かしたときの主共振成分のみを取り出した共振曲線を Fig. 1 に示したこれを見ると加振振幅を大きくするにつれて共振曲線全体が上方に広がっていくことがわかるさらに一般的なソフトスプリング特性やハードスプリング特性のように共振曲線が低振動側もしくは高振動数側に傾くのではなく途中で折れ曲がっている共振曲線の頂点を追ってゆくとその傾向が顕著であり加振振幅が 40kPa より大きいところではハードスプリング特性を示しそれより低いところではソフトスプリング特 41

8 Fig. 1 Primary resonance curves for different ultrasonic amplitudes. 性を示すようになっているまた Faez らは実験より初期直径 3 μm 以下のバブルはハードスプリング特性を示しそれ以上のバブルはソフトスプリング特性を示すと主張した [5] 章で示した無次元パラメータを考えると半径が小さいほど粘性や表面張力の影響は大きくなりハードスプリング特性を示しやすくなるしかし同時に加振振幅は相対的に小さくなるためこちらからはソフトスプリング特性を示しやすくなるよって殻付きマイクロバブルには特性の違う二種類があるわけではなく加振振幅と初期半径のバランスにより特性が切り替わる漸硬漸軟特性を示すと考えられる今後より詳細な条件を引き続き調べていく予定である 5. 結言殻付きおよび殻なしマイクロバブルモデルで数値シミュレーションおよび物理的考察を行いマイクロバブルの振動における殻の影響を確認した特に膜厚の影響は殻粘性として現れ振動を減衰させるように働くこと殻付きマイクロバブルの振動中心の圧縮側へのずれは殻の存在によって表面張力がバブル径とともに変化する性質に起因することを確認し物理的な説明を可能にしたまたその振動の主共振は音圧の域と初期半径のバランスによって特性が切り替わる漸硬漸軟特性を示すことを示唆する結果を得た謝辞本研究の裏付けとなる貴重な実験データを提供していただいた Erasmus MC, Biomedical Engineering の Prof. Nico de Jong,Dr. Marcia Emmer および Dr. Telli Faez に深い感謝の意を示す Nomenclature P : liquid pressure [Pa] P a : ultrasound pressure [Pa] P G : gas pressure [Pa] R : bubble radius [m] t : time [s] u r : radial velocity [m/s] x : non-dimensional displacement [-] Greek letters ε : shell thickness [m] κ : heat rate [-] μ : viscosity [Pa s] ρ : density [kg/m 3 ] σ : surface tension [N/m] ω : natural frequency [rad/s] Subscripts 0 : initial state L : liquid state lipid : lipid phase 参考文献 [1] Tachibana, K., Application of Microbubbles for Therapy, Transactions of the Japanese Society for Medical and Biological Engineering, Vol. 43(), (005). [] The Japan Society of Mechanical Engineers. ed., Frontiers of Micro-bubbles, v-vii, 3-1,Kyoritsu Publishing, Tokyo (006). [3] Moriyasu, F. and Iijima, H., Today and Future Outlooks of Ultrasound Imaging by Microbubble Contrast Agents (in Japanese), A Monthly journal of medical imaging and information, Vol. 38(5), (006). [4] Marmottant, P., van der Meer, S., Emmer, M., Versluis, M., de Jong, N., Hilgenfeldt, S. and Lohse, D., A model for large amplitude oscillations of coated bubbles accounting for buckling and rupture, JASA, 118(6), (005). [5] Faez, T., Emmer, M., Docter, M.,Sijl, J., Versluis, M. and de Jong, N., Subharmonic Spectroscopy of Ultrasound Contrast Agents, Proc. IEEE IUS, (010). [6] Morgan, K., Allen, J., Dayton, P., Chomas, J., Klibanov, A. and Ferrara, K., Experimental and Theoretical Evaluation of Microbubble Behavior: Effect of Transmitted Phase and Bubble Size, IEEE UFFC, Vol. 47(6), (000). [7] Pétriat, F., Roux, E., Leroux, J. and Giasson, S., Study of Molecular Interactions between a Phospholipidic Layer and a ph-sensitive Polymer Using the Langmuir Balance Technique, Langmuir, Vol. 0(4), (004). 4 ff f

2 図微小要素の流体の流入出方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量密度流速断面 Ⅰ の面積微小要素の断面 Ⅰ からだけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように

2 図微小要素の流体の流入出方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量密度流速断面 Ⅰ の面積微小要素の断面 Ⅰ からだけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように 3 章 Web に Link 解説連続式微分表示の誘導.64 *4. 連続式連続式はある領域の内部にある流体の質量の収支がその表面からの流入出の合計と等しくなることを定式化したものであり流体における質量保存則を示したものである 2. 連続式微分表示の誘導図のような微小要素コントロールボリュームの領域内の流体の増減と外部からの流体の流入出を考えることで定式化できる微小要素流入