ブレストストロークの挟み込みインスイープにおける推力のシミュレーションブレストストロークの挟み込みインスイープにおける推力のシミュレーション山田悟史 1) 竹島良憲 The simulation of thrust in breaststroke kick during the inward p

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れれたけはな
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1 山田悟史 1) 竹島良憲 The simulation of thrust in breaststroke kick during the inward portion of the in-sweep Satoshi YAMADA, Yoshinori TAKESHIMA Abstract:Kicking like a propeller in breaststroke is nowadays widely used by breaststrokers. Yoshimura (1999) described that the kicking like a propeller was divided into the following five phases, recovery, outsweep, catch, insweep and lift. Moreover, the insweep is sorted into two phases. These two phases mean the first half of the insweep until the legs have been stretched straightly, and the inward portion of the insweep as a latter part. The inward portion of the insweep is called pinching insweep on this study because it looks like water is pinched with both feet. Maglischo explained that to get propulsion during the inward portion of the insweep, the feet must remain flexed at the ankles so that the toes are pointing the bottom of the pool and the soles of the feet should be facing in. Though the latter portion of the insweep is less propulsive than the former portion, it is possible to swim worldclass times and even set world records without performing the second portion of the insweep. The following three matters were made the premise to enable thrust analysis due to pinching insweep by this paper. The first one is that the shape was simplified in order to use hydrodynamics because the shape of the leg was complicated. The second one is that slender body theory was used to simplify the movement of pinching insweep. The third one is that the three angles δ LT of the sole face are supposed when pressing water inward with the sole. The purposes of this study are to simulate with thrust of "Pinching insweep" according to lighthill method. The conclusion is that the bigger the angle δ LT of the sole surface is within its angle limit, the bigger the swimming velocity becomes. Key words:swimming, physical education teacher, coaching, breaststroke, kick Ⅰ. 緒言水泳の中でも平泳ぎは一番ベーシックなものだと言える早くは泳げないが呼吸もしやすく長く泳ぐことが可能で一番はじめに獲得される泳ぎと言って良いまた救助などに使われる泳ぎや災害時に浮いて待つときの動きにも繋がる重要な泳ぎとも言える一方で平泳ぎのキックは上手に行うのは最も難しい技術の一つでもある学校の水泳の授業やスイミングスクールなどでも平泳ぎのキックを行う時にあおり足になってしまう生徒の矯正はとても苦労するまた平泳ぎは他の3 泳法 ( クロールバタフライ背泳ぎ ) と比べてストローク ( 腕の掻き ) よりもキックへの依存度が高いつまり平泳ぎにおいては上手にキックするということは初級者上級者関わらず重要ということである多くのスイマーが行っているプロペラの 1) 静岡産業大学経営学部静岡県磐田市大原 1572 番地 1 1. Shizuoka sangyou university Owara, Iwata, Shizuoka 35

2 スポーツと人間第 2 巻第 2 号 (2018 年 ) ようなブレストストロークのキックはリカバリーアウトスイープキャッチインスイープ及びリフトの5つの動作で構成されている ( 吉村高橋 ) 15) 本研究ではインスイープをさらに前段のインスイープ Kick Insweep と後段の挟み込みするインスイープ Pinching Insweep とに分けて考える Maglischo 3) は Pinching Insweep(the inward portion of the insweep) についてスイマーは後段のインスイープにおいて脚が伸びきった後足首を曲げてつま先はプールの底に向け両方の足の裏面が向き合った状態で両足がそろうまで水を足の裏面で押すように足を動かし推力を得ることもあるしかしながら内側への後段のインスイープは前段のインスイープと比較すると推力の発生が少ないため後段のインスイープをすることなくワールドクラスの泳ぎをすることも可能であるしワールドレコードを出すこともあり得ると解説している角川ら 7) は足背と足底に装着した4 個の圧力センサーによる圧力データとビデオ解析により平泳ぎの足部流体力に関する研究を行っているその結果得られた Pinching Insweep における左右方向成分の大きさは蹴り出しインスイープほど大きな成分ではないが推力に寄与することが期待するには十分の大きさであった本研究は平泳ぎのキック動作の中でも Pinching Insweepを取り上げその動作の違いにより泳速度にどの程度変化が生じるの 9)10) か魚の瞬時推力を計算できるLighthill の推進理論 ( 以下 Lighthillの理論 ) をもとにPinching Insweep の推力を解析しシミュレーションし学校の授業やスイミングスクールでの水泳コーチングに活かすことを目的とする腿部の4つの部位から構成されるものとし足部は3 次元平板翼踵部は3 次元直方体とし下腿部は大腿部と踵部で挟まれているため2 次元円柱とするまた各部位は流れによる相互干渉のないそれぞれ独立して存在する形態として考える座標系は泳ぐスイマーに対する流れの方向をx 軸スイマーの進行方向に対し水平右方向をy 軸鉛直方向をz 軸とする右手系のデカルト座標系とする細長い物体とは飛行船の船体や飛行機胴体のように進行方向に直角な方向の長さや運動がそれぞれの長さや進行速度に比べて小さくしかも断面長さに沿って緩やかに 12) 変化するような物体である ( 谷 ) ブレストロークでPinching Insweepをする脚は真っ直ぐに伸ばされており競泳選手では一般的にy 軸方向への変位は比較的小さいため細長い物体と見なすことができる上半身も同様に細長い物体と見なすことができるが y 軸方向へ変位しないためここでは考える必要がない分析を行うための用語定義やモデル定義を図 1 4に示す図 1. 平泳ぎのキックの Pinching Insweepの用語定義 Ⅱ. 推力の計算 1. 推力計算のための条件推力を求めるための脚のモデルは図 4-aであるこの脚モデルは足部 ( 踝 -つま先 ) 踵部( 踵 - 踝 ) 下腿部( 膝 - 踝 ) 大図 2. x-y 平面と y-z 平面のスティックピクチャー 36

図 3. x'-y' 平面の基準面 ( 図 3) また bからt(trailing edge) までのx 方向の距離をlとする Lighthill の理論では bからtの間にある任意の点 x にある右脚のy-z 平面の断面がy 軸方向に変位することのみを考えるこの変位を hで表すと hはx の他に時間 tの関数であり右脚の断面は式 (1) のように速度 wで 8) y

3 図 3. x'-y' 平面の基準面 ( 図 3) また bからt(trailing edge) までのx 方向の距離をlとする Lighthill の理論では bからtの間にある任意の点 x にある右脚のy-z 平面の断面がy 軸方向に変位することのみを考えるこの変位を hで表すと hはx の他に時間 tの関数であり右脚の断面は式 (1) のように速度 wで 8) y 軸負方向に動くことになる神部は w を横押し速度と呼び式 (2) のWを横変位速度と呼んでいる本研究もその呼称にならう図 4. 脚部と足部のモデル 2. Lighthillの理論による推力計算推力をシミュレートするためのデータとして挟み込みの変位 dと泳速度 Uは日本水泳連盟監修ビデオ水泳シリーズの中の平泳ぎに出てくる女性スイマー ( バルセロナオリンピック金メダリスト ) の泳ぎをキャプチャしたものを用い脚の長さや大きさなどの身体データは前述のスイマーとほぼ同身長の女性の実測値を用いたこれらのデータを合成して作成した挟み込みインスイープ時の脚のスティックピクチャーを図 2に示しているここではスイマーが静止流体中を推進するのではなく泳速度と同じ速さの流体が頭部から脚方向へ速度 Uで流れていると考えるスイマーの右大転子をbとし bを通るx-z 平面としてx -z 平面を設定する Lighthill 8) によると細長い物体の断面のまわりの流れについ右脚の任意位置におけるy-z 断面の流れはそれと同じ位置における同じ断面積の無限長柱体が式 (1) の横押し速度 wでy 軸方向に運動する場合の二次元的流れで近似できるこのような流れを非粘性で非回転と仮定すると x' 軸方向の単位の長さについて y 軸方向の運動量は ρa(x)w(x,t) で与えられる ( 但し ρは水の密度 ρa(x) はx 軸方向の単位の長さあたりの付加質量 A(x) は面積の次元を持ち距離 x の関数 ) 断面が半径 aの円柱であれば流体の付加質量はρπa 2 となる ( 東 ) 1) このとき流れの持つ運動量の時間変化の割合は無限長柱体のx 軸方向の単位の長さあたりに働く力に等しく方向が反対であることから片脚についてy 軸方向に式 (3) における力 Lが働くことになる両脚の仕事をE both とすると式 (4) となる式 (4) の被積分項である h/ t( / t+u / x)w(x,t)a(x) に積の微分公式を適用して整理すると式 (5) となる 37

4 スポーツと人間第 2 巻第 2 号 (2018 年 ) この (5) において付加質量をρA(x) とおき式 (1) を用いて式 (5) を変形するととなる式 (6) の右辺第 1 項は Pinching Insweepを行う脚の臀部 bからtに至る間における両脚の仕事量で時間的に変動する第 2 項は Tにおける推力となる仕事量である次にスイマーから充分に遠く離れた所に静止座標系を設定しそこの水は静止しているものとするこの静止座標系でスイマーの両脚の仕事量 E both をで表すと式 (7) となる式 (7) において右辺第 1 項はスイマーが泳速度 Uで進んでいるときの推力をPとするとスイマーが水になす仕事である第 2 項は足の単位長さあたりの水の付加質量による運動エネルギーであり Tから後流 (wake) に放出される第 3 項は臀部 bかtらの後端 lに至る間のpinching Insweepにおける両脚の水の付加質量による運動エネルギーであり時間的に変動する式 (6) と (7) からスイマーの瞬時推力 Piを式 (8) として求めることができる式 (8) の第 1 項における1/2mω 2 は運動エネルギーの式となっているが x' 軸方向の単位長さで定義されているため長さで割っていることになり力の単位を持つことになるまた式 (8) の右辺第 1 項のm は x'=lにおける付加質量であるため図 4-a に示す脚モデルの足による付加質量を求める踵 -つま先部の長さ2a(z 軸方向 ) とすれば踵 -つま先部は平板であるため x'-z' 面内に存在する無限長平板 (2 次元平板 ) を 1) 適用すれば東により足の付加質量 ρa(x) は ρπa 2 で与えられるこのためx' 軸方向の無限長円柱と同じ付加質量となるから踵 -つま先部の平板に相当する無限長平板は x' 軸方向の無限長円柱と見なせるここで横押し角度 ( 図 4-c) をδ LT とすると変位 dは y L (Leading edge of displacement) c(the mean chord) 用いてと表すことができる細長い物体理論では式 (9) の変位 dを式 (8) の変位 hとして使用できる但し本研究では角度 δ LT を計測することはできないためあとの ( 表 1) で示すように三通りのパターンを設定する 3. Pinching Insweepで生じる Lighthillの理論以外の推力計算 1) 大腿部による推力計算方法図 1に示す大腿部 r bk(buttock-kneeの長さ ) は Pinching Insweep 時に図 2のx-y 平面のStick Pictureから分かるとおり x'-y 平面をy 軸負方向に動くこのため大腿部 r bk を円柱 r bk で近似するとき ( 図 4-b) 円柱 r bk がy 軸負方向へ動く変位速度をW bk とすると図 4-bのとおりW bk と泳速度 Uとの合成速度 V rbk は式 (10) となるなお式 (11) のa bk は大腿部 r bk とV rbk とのなす迎角である r bk に垂直に入るV rbk の成分をV nrbk とするとき式 (12) のV nrbk により大腿部 r bk と見なす円柱に抵抗が生じるこの抵抗により推力 T bk が発生する推力 T bk のx 軸成分 T xbk はHOERNER 10) により式 (13) と表すことができる 38

5 但し Cd bk は2 次元円柱の抵抗係数 ( 東 ) 2) ρは水の密度 Uは泳速度 S bk は大腿部 r bk の断面積であり δ bk は大腿部 r bk とx 軸とのなす角である式 (13) の大腿部に発生す 2) る推力 T xbk を算出するにあたり東による 2 次元円柱の抵抗係数 Cd bk=1.17 は S bk は m 2 0 r bk=0.35mを用いて図 4-bに示す円柱直径 S bk/r bk は0.15mとなる即ち S bk の値は S bk= =0.053m 2 と表せるなお δ bk は図 2におけるStick Picture の座標値から求める 2) 下腿部による推力計算方法図 4-bにおける下付き文字のbkは kaと読み替えるなお kaは knee-ankleを意味する膝 - 踝を示す脛部 r ka は x'-y 平面をy 軸方向へ動くため大腿部 r bk の推力と同様に計算できる脛部に発生する推力 T xka を算出するにあたっては Cd bk と同様に Cd ka=1.17 S ka=0.0306m 2 r ka=0.34mであることから図 4-bの円柱直径はS ka/r ka=0.09mとなる即ち S bk と同様にS ka= =0.031m 2 と表せるなお δ ka もS bk と同様に図 2における Stick Pictureの座標値から求める 3) 足部による推力計算方法図 4-cに示す足を翼と見なしたとき足部に発生する推力は翼理論から式 (2) の横変位速度 W ht と泳速度 Uとの合成速度である式 (14) のV rht が足に入る流れによって生じその迎角 α ht は式 (15) と表される式 (16) におけるC Nstatic は 3 次元平板翼に垂直に発生する力 T nsole の係数 (normal force coefficient) であり 3 次元平板翼の静的失速を表すC N-α 曲線 (Jay M. Brandon) 5)6) を適用するこのときx 軸方向の足の推力 T xht は式 (17) で表わせるなお式 (15) 及び式 (17) における横押し角度 δ LT は図 4-cに示す角度であり ρは水の密度 Uは泳速度 S ht は翼としての足の面積であるなお下付き文字のht は heel-tiptoeを意味する式 (17) の足に発生する推力 T xht を算出するにあたって計測して得た足の面積 S ht は S ht=0.0143m 2 としている表 1に記載しているδ LT の値を使用して式 (20) からα ht を計算したまた C N-α 曲線からα ht に対応する C Nstatic の値を読み取り表 1に記載している表 1. 変位 dおよびその他のパラメータ Stick Picture No d(m)( 変位 ) δ LT ( ) ( 横押し角度 ) From From From α ht on(25)eq CNstatic on(25)eq. From

6 スポーツと人間第 2 巻第 2 号 (2018 年 ) Ⅲ. 身体に生じる抵抗 1. けのび姿勢の牽引抵抗の扱い現時点においては Pinching Insweep 時のスイマーの身体に発生する抵抗を研究したデータは発表されていないがけのび姿勢の牽引抵抗 ( 高木ほか ) 12) の実験的研究があるこの牽引抵抗値 R(kg f) と牽引速度 U(m/s) との関係は式 (18) で示されている Pinching Insweepをしている間の微小時間には前に伸ばされた両腕及び上半身には動きがなく形状抵抗が主要な力として発生していると考えられるこのため前に伸ばされた両腕及び上半身の抵抗はけのび姿勢の牽引抵抗の一部とみなせる 2. 踝 ( くるぶし ) による抵抗の計算方法 Pinching Insweepをしている最中には図 4-cから分かるとおり式 (14) の合成速度 V rht が踝にも入り式 (19) のx 軸方向の抵抗 D xankle を発生する (19) 但し Cd ankle は立方体の抵抗係数 ρは水の密度 Uは泳速度 S ankle は踝の断面積でああり抵抗係数はCd ankle=1.05 踝の断面積はS ankle= =0.0041m 2 とする 3. Pinching Insweepによる全抵抗の計算大腿部に発生する抵抗 D xbk 脛部に発生する抵抗 D xka 足の抵抗 D xht 及び踝に発生する抵抗 D xankle を総計し D pinch として式 (20) と表す Pinching Insweepをするときの身体に生じる抵抗は式 (18) の牽引抵抗 RにD pinch を加えた全抵抗 R pinch として表せる ( 式 (20) (21)) なお D pinch は片脚の抵抗値であるため 2 倍して両脚の抵抗値としている式 (21) のR pinch は牽引抵抗 Rにも下半身の抵抗値が含まれており式 (20) のD pinch の抵抗値の一部を重複して計算している場合があり R pinch は身体抵抗値の上限とみなす Ⅳ. 泳速度 Uvの決定 Stick PictureのNo.1から7に対応する一連の7 個の泳速度データUxに最小二乗法 ( 遠藤 ) 4) を適用し 7 個の平滑化泳速度 Uvを求めるこのUvは時間の関数として3 次の多項式で表す泳加速度 aは Uvを時間で微分して求めるここでスイマーの身体質量 mを式 (8) のスイマーの瞬時推力 Piと式 (21) の全抵抗 R pinch からなる運動方程式は式 (22) となる式 (22) のPi 及びR pinch に含まれる泳速度 Uとして各 Stick Pictureの仮定泳速度 Uxを仮定しこれにより求めたUvにより Stick Picture No. 毎に Pi R pinch 及びmaを計算するこの計算を式 (22) がPi R pinch maと見なせるまで繰り返しuxを変更し Uvを決定して泳速度を確定する Ⅴ. 結果と考察 1. 横押し速度 wと横変位速度 W 式 (1) および式 (2) から求めた横押し速度 wと横変位速度 Wの結果を図 5および図 6に示すなお w 及びWは瞬時推力 Piの独立変数であることが式 (8) から分かる細長い物体理論を適用する魚の推進理論は三日月形の尾ひれのマグロなどと異なり谷 12) によるとウナギのように体の全部をたわませる運動をする魚もいるがだいたいにおいてコダラのように尾ひれを含めた体長さの半部程度たわませる運動をして泳ぐ魚を対象とした理論である Lighthill 10) によるとウナギのように体をたわませる運動は進行波 (travelling wave) であり wとwとの間には w/w<1の関係があるまたこのとき T.YAO-TSU WU 14) によると式 (1) の h/ t と h/ xの符号は常に反対であるしかし本研究における h/ tと h/ xの符号は同符号であり Pinching Insweepの動作は進行波ではなく定在波と考えられるため h/ tと h/ xの値は加え合わされ図 5,6におけるw/ Wは w/w>1となるものと考えられる 40

7 図 5. 横押し速度図 6. 横変位速度 2. Pinching Insweepによる推力 Lighthillの理論を使用して求めた Pinching Insweepの瞬時推力 Piと全抵抗 R pinch の差を図 7に示す Pi R pinch は Pinching Insweep 時の合力を示しゼロを超えた場合加速ゼロ未満は減速を表す Stick Picture No.1からNo.3までPi R pinch 0 となって正の加速度が発生しており泳速度は増大しているがしかしStick Picture No.4 からNo.7 においては全抵抗 R pinch がPiより大きくなり Pi R pinch 0となり泳速度に対しマイナスの加速度が発生していることを示しているび下腿部 r ka のそれぞれが y 軸となす迎角として定義される δ bk 及びδ ka は図 2のStick Pictureからも判断できるとおり小さな角度であるため 0.1N 以下の非常に小さな抵抗値になっているところが踵部は図 4-c のように概ね前進方向を向いているため流れを受けて発生する抵抗 D xankle は 0.3Nから 0.4N 程度の値となっている D xht について横押し角度 δ LT がゼロでない限り抵抗 D xht が発生しているのを図 8から確認できるが D xht は0Nか0.3Nらの範囲にあり特に大きな Stick Picture No. のときD xht は小さな抵抗となる Pinching Insweepによる抵抗 2D pinch 及びけのび姿勢の牽引抵抗 Rを δ=25 の場合を一例として図 9に示す 2D pinch は牽引抵抗 Rの50% から20% 程度の値となっており無視できない値であり特に踵部の抵抗 D xankle が特に大きくなっている図 8. Pinching Insweep 中の脚の各部位にかかる抵抗図 9. けのび姿勢における抵抗と Pinching Insweep 中の脚の抵抗図 7. 推力と抵抗の合力と泳速度 3. Pinching Insweepによる抵抗大腿部に発生する抵抗 D xbk 下腿部に発生する抵抗 D xka 足部に発生する抵抗 D xht 踵部に発生する抵抗 D xankle をδをの3パターンを例として計算し図 8に示す D xbk 及びD xka については大腿部 r bk 及 4. Pinching Insweepの推力の考察 Pinching Insweepの瞬時推力 Pi 及び全抵抗 R pinch により式 (22) の運動方程式からシミュレーションして求めた平滑化泳速度 Uvを図 7に示す横押し角度 δ LT が δ i=27 から始まる横押し角度 δ LT のとき Uvが最も大きいことが図 7から分かるこのUvの大きな理由は変位 dが大きな横押し角度 δ LT のときに大きくなるからであるこのときdの変位する時間 tが一定であるため増大する変位 dにより横押し速度 w 及び横変位速度 Wの 41

8 スポーツと人間第 2 巻第 2 号 (2018 年 ) 動く速度が大きくなり Piが大きくなるのだと考えられる一方図 7のPi R pinch を見ると後半では他の横押し角度 δ LT と比べて減速が大きくなっているこのことから考えると Pinching Insweep 前半では横押し角度 δ LT を大きくし後半ではδ LT を小さくする事が効率的であることが考えられるがこれは短時間で微妙な動きをしなければならないため上級者が試すべきものだと考えられる Ⅵ. まとめ平泳ぎのPinching Insweepは大きな横押し角度で足を速く動かすと大きな推力を発生することがシミュレーション結果から明らかになったつまりキックの最終段階で親指どうしが当たるまで両脚を素早く閉じると良いということであるこれは動きのめあてが明快かつ具体的であってこのことは水泳指導にとって極めて重要である初心者であっても親指を素早くてることの意味は理解しやすくそのため修得も難しくないこれは同時に指導もしやすいという事であるつまり特に水泳指導が専門ではない小中高の体育の教員が行う水泳の授業では平泳ぎの指導においてこのPinching Insweepをしっかりと指導する事が平泳ぎの修得および指導に役立つと考えられるまた上級者へのコーチングにおいては横押し角度 δ LT をPinching Insweepの前半では大きくし後半で小さくすることを試すとよいと思われる参考引用文献 1) 東昭 (1989) 航空工学 (Ⅰ)- 航空流体力学 -. 裳華房 : 東京 pp.27-28,31-32,82-83, ) 東昭 (1993) 機械系基礎工学 3 流体力学. 朝倉書店 : 東京,pp.87-89,113. 3)Ernest W. Maglischo (1993) Swimming Even Faster. Mayfield Publishing Company:Mountain View, California, pp.509, ) 遠藤健児 (1961) 確率と統計解析. 槇書店 : 東京,pp )Jay M. Brandon and Gautam H. Shah,G.H. (1988) Effect of Large Amplitude Pitching Motions on the Unsteady Aerodynamics Characteristics of Flat-Plate Wings. AIAA , August:pp )Jay M. Brandon. DYNAMIC STALL EFFECTS AND APPLICATIONS TO HIGH PERFORMANCE AIRCRAFT. NASA Langley Reserch Center:Hampton, Virginia, Internet. 7) 角川隆明高木英樹仙石泰雄椿本昇三 (2012) 平泳ぎパフォーマンスと圧力分布から推定した足部流体力との関係. 体育学研究 57:pp ) 神部勉 (1977) 動物の流体力学的運動. 日本航空宇宙学会誌第 25 巻第 277 号 :pp )M.J.LIGHTHILL (1960) Note on the swimming of slender fish. Journal of Fluid Mechanics, Vol.9:pp )M.J.LIGHTHILL (1970) Aquatic animal propulsion of high hydromechanical efficiency. Journal of Fluid Mechanics, VOl.44, part 2:pp )SIGHARD F. HOERNER(1958) FLUID- DYNAMIC DRAG. Published by the Author: New Jersey, pp.3-11, ) 谷一郎 (1964) 魚の抵抗と推進. 科学 Vol.34,No.9:pp ) 高木英樹野村照夫松井敦典南隆尚 (1997) 日本人競泳選手の抵抗係数. 体育学研究 41:pp )T.YAO-TSU WU (1971) Hydromechanics of swimming propulsion. Part 1. Swimming of a two-dimensional flexible plate at variable forward speeds in an inviscid fluid. J. Fluid Mech. Vol. 46, part 2:pp ) 吉村豊, 高橋雄介 (1999) スイミング. 池田書店 : 東京 pp

OCW-iダランベールの原理

OCW-iダランベールの原理講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明するこれを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになるまた, 後半では, ダランベールの原理の応用としてラグランジュ方程式の導出を示す