Architectural Arohiteotural Institute エ of Japan カテゴリー 11 日本建築学会構造系諭文集. 第 576 号,.71 7S,2004 年 2 月 J.Struct.Constr.Eng.,AIJ,No.576,71 78,Feb.,2004 スウェイ
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- はな よしくに
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1 カテゴリー 日本建築学会構造系諭文集 第 576 号,7 7S,004 年 月 JStructConstrEng,AIJ,No 576,7 78,Feb,004 スウェイロッキングモデルに入力される地震エネルギーの限界値 BQUND F EARTHQUAKE INPUT ENERGY T SWAY,RCKING BUILDING MDELS 竹脇 出 Izurn TAKEWAKI * Anew critical excitation me 重 hod isdevelopedf}r a Clampedlineqrelastic struc 重 u e supported by a sway rocking sys 重 em lhe input energies to the sway rocking mode 止 and to the supel structure only during an earthquake are introduccd as a new measure of cri 重 icalityit isshown tha 重 thefomiulatien of theearthqualfe inputenergy in 重 he frequency domain is essential forsolセingthecriticalexcitation problem and derivin9bounds on the earthquake inputenergies,itisdemonstrated that the analysis of thebounds on 重 he inputenergies 重 o th6 sway rocking model and to the super structure only isusefu for urderstanding the ratio of the input energy to thesuper s 恤 cture tothatto the total system invarious soil condi 重 ions Keyw 侃 ls; Criti a excitation iethod, Earthguake input energy,sway rocking n0det,freguency domain analysis, Robust design,soil st 厂 ucture intleraction 極限外乱法 地震入力エネルギー スウェイロッキングモデル 周波数領域解析 ロバスト殻計 構造物地盤相互作用 序 地盤条件の差異が地震時の構造物の被害様相 に大きな影響を及ぼす報告が過去の地震において数多くなされており 同時に 構造物 と地盤の動的相互作用も構造物の被害状況に少なからぬ影響を及ぼ すという報告がなされている e これまでに 構造物と地盤の動的相 互作用に関する研究は 主として変形や力に関するものが多く, 地 震入力エネルギーを論じた研究は数少ない その原因としては 両者の動的相互作用を考慮した場合には挙動が複雑となり 振動数 領域での解析が適したモデルもある 入力エネルギーを定義する ことが容易ではなかったことや 地震動の有する不確定性と地盤物 性等の不確定性とが相俟って 基礎固定モデルに比べて評価のばら つきが大きいこと等が挙げられる 系に入力される地震エネルギーの取り扱いについて論じた研究であ る 本論文で提案する方法は振動数領域での方法であるため kinematicinteraction の効果やインピーダンスの振動数依存性を容易 に取り扱うことが可能である さらに 本論文の最後において kinematic interaction の効果を考慮した場合の地震入力エネルギーも 上部構造質点や基礎に作用する慣性力を考えることにより比較的容易に評価できることを示す 地動を受ける上蔀 自由度 SR モデルへ の入カエネルギ尸 自由地表面加速度入力 tig t = a t を受ける質 fim 剛性 k, 粘 性減衰係数 c の上部 自由度 SR モデルを考える 図 参照 基礎 本研究では 構造物と地盤の動的相互作用を考慮したモデルとし と上部の質量をそれぞれ mo,m 基礎と上部の各々の重心回りの回 てスウェイロッキングモデル SR モデル を取り上げ SR モデ ルに入力される地震エネルギーについて考察する 特に 地盤ばねやダッシュポットまで含めた全体システムに入力されるエネルギー と 構造物に入力されるエネルギーの関係について論じ さらに 転慣性をそれぞれ IR, IR で表す 上部の質点の基礎からの高さを h で表す 地盤の水平と回転に関するばね剛性とダッシュ絮ット減 衰係数を kh,kr,ch,cr で表す 自由地表面に対する基礎の水平変 位 スウェイ を UF 回転 ロッキング を ef で表し ロッキン 地震動特性の変動に伴う地震入力エネルギーの上限値について論じ る これまでに 構造物に入力される地震エネルギーに関する研究 は数多く行われ 多くの成果が得られている 例えば 6 本論 文は 文献 6 で提案さ れた方法を SR モデルに拡張し 相互作用 グ成分を含まない基礎に対する上部質点の相対変位を u で表す こ のモデルに対する運動方程式は次式で与えられる Mti + C 血 + Ku =_ M 所 8 ここで 京都大学大学院工学研究科都市環境工学専攻教授工博 Prof,Dep し of Urban and Environmental Engineering,GraduateSchool Df Eng, Kyoto University,Dr Eng 7 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
2 ロ M tig t 図 地動加速度を受けるスウェイロッキングモデル 三瓢劇 K C di g CH R,u { uu θ F } r = { 00 } T a e 本モデルでは 基礎のインピーダンス評価において スウェ イと ッキングの連成を考慮しない 基礎の埋め込みを考慮した場合の 取り扱いは 8 節で触れる 本 SR モデルへの入力エネルギーを考える ベクトルの転置を > T で表す時 式に nt を前掛けして 0 から to まで時間積分すると次式を得る 〆 TM 魂 を otc 岫 utk 智 廖 otm 噌 ザ 3 4 を部分積分し tig 0 = tig to の条件と M,r の具体的表現を代入して変形すると次式が得られる 勝 [fi Mni k TM 倉 面 d = 虐 { mti + mo + m ab F + mh θ F }digdr を { 用 9 + ab F + M tig+ tl F + 碗 + の Mo + m tig } tigdr 倉 { 川竃 a 9 + 亘 F + 朋 tig + b F + θ F ん + の } tigdt [ X り + 已 8 智 耀 { 9 di F + m dig ab F 躯の }tigdt 4 4 式の最下式の { } の中の表現は 基礎と上部質点に作用する慣 性力の総和を表しており 4 式は 地面 自由地表面 が SR モデルに対してなす実仕事とザが致することを示している 構造物の線形弾性応答に限定すれば 地震入力エネルギーは時間領域のみならず 振動数領域でも表現できることは知られている S π, π F, あ, % のフーリ工変換を ti,ttf,6f,ug で表し 禦 F, 転の a に g 対する伝達関数を それぞれ H ぴ,HtiF ω ω, H6F ω で表す すなわち UtUg Hti ω UF /Ug HUF ω ef IUg HF ω 5a dig の特性から 4 式の積分の上下限を, に拡張して 4 式を 逆フーリエ変換し 5 式の表現を用いると次式が得られる 壕雌 { m σ, σ σ Cl e h の汽 d 圭酷 噛 { F H 噛 }]tig d あるいは速度表現瞬 F, F の tig に対する伝達関数を それぞれ 6 H ぴ ω ノ勉 F ω,hgf ω で表すと 6 式は次のようにも表現できる デ lffo m HtiF m { HtiF H Hti }] 嶐 d π [ 上部構造への入力エネルギー ] 上部構造物の最下部で仮想の切断面を考え, 上部構造質点に作用 する慣性力がこの仮想切断面に作用する力と釣り合うと考えると 0 t で基礎が上部構造に対してなす仕事 上記の力と基礎版 7 の変位の積で上部構造物への入力エネルギー は次式で表現される E デ昌ず叩 9 + 謬 F + 偏 + の dig+ 躍 F dr + が { 加 ゴ 8 + a F + θ Fh + のぬ + RθF } θ Fd 8 8 式の下限を に拡張して 8 式を逆フーリエ変換し 5 式の伝達関数表現を用いると次式が得られる Ei 圭結 { H F h H H { tu } mh { HtiF H h } 6, 9 式を次のように置く ヂー愚 尹轟 σ d σ, + RHe 輪 ω σ d FA ω,fs ω を以下ではエネルギー伝達関数と呼ぶ El Centro NS lmperial Valley 940 と Kobe 9 0a > 0b University NS Hyogoken Nanbu lgg5 に対する全体システムと構造物への地震入力 エ ネルギーの時刻歴とその最終値の例を図 に示す モデルの質量 および回転慣性は m = 30xl3 kg,ir = L6x05 kg m, mo = g x03 kg,ir 48xl5 kg m であり 階高は h = 35 m とする 地盤のばね剛性とダッシュポット減衰係数は次のような簡略化され たものを用いる 7 kh = 6,77! 79 γ σ,k 5,00 G 3 ch 6,/ 54 γ ρvs,c = 036! 3 pvsr4 上式の妥当性は 簡易的に振動数依存性を表現できるコーンモデル 8 との比較により後で示す 7 節 地盤の密度とボアソン比は ρ L8x 03 kglm3,v 35 とし 基礎の 等価な円盤の 半径は r = 4m とする 上部構造の固有周期は 05 s 減衰定数は 05 とし 地盤のせん 断波速度は 50 m!s,00 m!s とする ここでは 比較的小さなせん 断波速度を扱うが これは 地盤特性のひずみ依存性を考慮した際 の等価なものを対象としているからである 図 3 a c は それぞれ 地盤の 等価 せん断波速度として 50 m!s,00 m!s,00 m /s を採用したときの 上部構造の固有周期 0,05 s 減衰定数 0,05 に対する 0a,b 式で定義されるエネルギ ー伝達関数 FA ω,fs ω を表す 全隼システム系は 3 自由度であ るため ほぼ全ての場合について ろ ω は 次固有振動数以外に 高次固有振動数において も増幅する傾向が見られる 方 上部構 造物へ入力されるエネルギーに関連する Fs ω は 次固有振動数 においてのみ増幅する形となっている 7 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
3 { に 石胃旦 Architectural Arohrteotural Institute エnstrtute of Japan 4 } 6b 3 儒 卩 亀 E0 6 げ o ElCem 四 NS940 erali S 切 re T= 05 [ 50 S ユL 睡 = 005 司野 D 図 0 80 ゆ 9 い 0 く匙 欄 = 三 0 匚み E 評 v 驅 50 仲 s} 冂 岬許 9 穿 商卩押 3e 50 P 04 蚤瞿 50 書量 げ 5e 0 0 S 40 e 恤 ma sp trmets 全体システムと構造物への入力エネルギー時刻歴の例 〇り er 釦 自 i 匿冒 S 廿 U 旧 T= 0 { S τ } VS =50 側 S } E Lan 60DD 三 き 40Q E 0DD Kobe Un 卍 er5 岬 NS 995 丁詛 5 蛾 鋲 D5 Vs =00 回 5 〇 veraii 幽 S ヒm α 凵隠 凵 幽圏 陣 trcutarftegu8ncy radis, ClrCularfiequency ra 齢 } 哮 葬 図 3 a エネルギー伝達関数 FA ω,fs ω 地盤のせん断波速度 Vs= 50 m!s, 上部構造固有周期 0,05 s 0 4D3000oo0L oo o 〇 ver 釦 甲 訂 n c 置凵旧ト 丁 丁匸 0 5 } >Si 暫 oo 回 sl 7 隔 P 卩 覧鯛鴨匚 冒 [ L の 6eoo 至に蹇三 0DD crrcularftequencv redtsi :lrtularfreguency tadis } 図 3 b エネルギー伝達関数 FA ω,fs ω 地盤のせん断波速度 Vs= 00 m!s, 上部構造固有周期 0,,05 s 35D 50006D0004eo0 = = ζ コ [ 極限外乱問題 A ] ハ am 涌伽醜 ω L Ω ω u 凸ヤ,, 昭 p ma 釧 佃 n 酒剛 e F frequency ω 顎 3 二 図 4 解法の模式図 AmaxA, Ω ah 式の制約と自由地表面加速度のフーリエ振幅スペクトル IA ω 亅に関する制約望! ω オを満足し 0a 式の SR モデル全体に対する地震入力エネルギーを最大にする自由地表面加速度のフー を求めよ 本論文で扱う第二の極限外乱問題は次のように表現される リエ振幅スペクトル IA ω [ 極限外乱問題 S ] 式の制約と自由地表面加速度のフーリエ振幅スペクトル IA ω に関する制約! ω λ を満足し 0b 式の上部構造物に対する地震入力エネルギーを最大にする自由地表面加速度のフーリエ 振幅スペクトル IA ω を求めよ 4 極限外乱問題の解法と地震入力工ネルギーの上限値 前節の二つの問題の解は A であれば Dirac のデルタ関数と なり A が有限であれば 関数 ω あるいは Fs ω の区間積分を最大化する矩形関数となる 図 4 参照 同様の考え方は パワー スペクトル密度関数に対する定式化については提案されている 9 0 } そのときの矩形関数の区間幅は 式より ω = π δ ん 4 で与えら れる バ呻 に対する地震入力エネルギーの上限値 absolute bound は FA ω, Fs ω が ω 圍妨 連成系の非減衰 次固有円振 動数 で最大値をとるという近似を導入すれば 0a,b 式に 式 を代入することにより 近似的に次式で与えられる 5D ボ 5 ぎ 羣 500 δ 匹 = 艀 3 E 紳 π の ω,e 抄 π 偽 at,b A が有限である場合に対する地震入力エネルギーの上限値 credible bound : 起こり得る上限 は 近似的に次式で与えられる 問題 A については 3a 問題 IS については 3b Cl darftequency radis Clrcuhr 甜 equ8n 剛 radis 万農馬 d 吻 t L 吻 ω ch 3 図 3 c エネルギー伝達関数 FA ω,fs ω 地盤のせん断波速度 Vs= 00 m!s, 上部構造固有周期 0,05 s 3 極限外乱問題 本論では 自由地表面加 me 度 tig t =a t び g ω = A ω に課 す制約は 次の 乗時間積分の値 指定値 C と そのフーリエ振幅スペクトルの上限とする 上限値 A 鳥 ω 血! π 鼎 d ω ω δ 本論文で扱う第の極限外乱問題は次のように表現される λ 鰐巧 d 吻 ω 吻 ω! 劬 3b A の設定については 現時点では確かな情報が得られていないが 無限大ではない有限の値を設定するという意味で credible beund と 呼ぶことにする 表 対象とする記録地震波とその特性 4 皿!5 / 3 ω rad /s El Centro NS , Kobe UnivNS Mexico SCTI EW JMA Kobe NS 995 5, L 73 NII-Electronic N 工工 Eleotronlo Llbrary Library Service
4 5 記録地震動に対する入カエネルギーとその上限値 記録地震動として HCentro NS lmperialvalleyl940,kobe UniveTsityNS Hyogoken Nanbu 995,SCTI EW Mexico Michoacan 985 JMA Kobe NS Hyogoken Na 皿 bu 995 の 4 波を採用する 表 にこれら 4 波の特性値を示す 4 は ax IA ω の最大値を表す 地盤と構造物モデルのパラメター値は 節と同じものを採用する 地 盤の 等価 せん断波速度は 50 m!s,00 nl!s, 00 mls の 3 種類を 考え 上部構造の減衰定数は 05 とする 図 5 は,E Centre NS 940 に対する地震入力エネルギーを 上部 構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す 太実線は 全体システムへ へ の入力エネルギー E ノを表し, 細実線は上部構造物 の入力エネルギー Ei を表す 両者の差は主として地盤により消 費されるエネルギーを表している 4 8 式から明らかなように E は Ststo で定義される量であるのに対して ただし tigの性質からsts でも同じ量を表す Ei は sts において定義され る量であることに注意する必要がある この地盤により消費される エネルギーは 地盤の 等価 せん断波速度が小さいほど大きい また 上部構造の固有周期が短くなるほど, 上部構造で消費される エネルギーに対して地盤により消費されるエネルギーの比率が大き くなる 図 5 には 3a,b 式で与えられる credible bound λ 皀 4m 胱とする と a,b 式で与えられる absolute bound も示し てある 両上限値は 上部構造の固有周期が短い領域ではほぼ致 しているのに対して 上部構造の固有周期が長い領域では大きな差 が発生する これは 基礎固定モデル 6 でも見られる現象であり 地震動の有する加速度パワーの周期特性および SR モデルのエネル ギー伝達関数の周期特性と関係している 楊と秋山 は 同様のモデルについて 異なる振動数領域の手法 運動方程式のフーリエ変換逆変換による方法 を用いて 全体 システムに入力される地震エネルギーと構造物のみに入力される地 震エネルギーを求める先駆的研究を展開し 両エネルギーの関係に ついて論じている また 構造物と地盤の特性の違いによる地下逸 散効果や 構造物のアスペクト比が地下逸散に及ぼす影響等につい て詳細に論じている 本論文の手法では 運動方程式のフーリエ変 換は用いるがその逆変換は行わず 直接振動数領域での積分により 地震入力エネルギーを求めている kinematic interactien の効果や impedance の振動数依存性を考慮した場合には 直接的に振動数領 域での積分を用いる方が適していると思われる また 入力地震動 の振動数特性の不確定性に起因する地震入力エネルギーの上限値を 論じるには 時間領域を経由する手法よりも直接的に振動数領域で の演算を行う手法が適していると思われる 図 6 は Kobe UnivNS 995 に対する地震入力エネルギーを 上 部構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す この地 震動は約 s に卓極周期を有するため これとほぼ同じ固有周期 を有するモデルの地震入力エネルギーは 全体システムおよび構造 物とも それらと対応する credible bound に近接することがわかる すなわち 実際の入力エネルギー と credible bound の近接度は 地 震動の有する極限性の周期特性を表現する有効な指標のつである といえる 本地震動は 構造物と地盤の動的相互作用効果が現れに くい周期領域においてパワーを有する地震動であるため 図 5 と比 較して 全体システムへの入力エネルギーと上部構造物への入力工 ネルギーとの差はそれほど顕著ではない 蕊 図 7 は MexicoSCTI EW l985 に対する地農入力エネルギーを n 0@ 0 actual inpu! ov 巳 rall crgdible bo 凵 nd ov 巳 rald 己 bsod 凵 te bound overdl [ } adhrad i 叩呱 redile bo ] d s 監 re} absolute beund 5tru コ Ω s 二げ!5 m s,,eicj [ s a 匠 i E 距ぜ 旧 求求 Bbu StrUC, leb 9 4 0o ノ瀬 6 : Gfli r an 0 息 natua 聖 perid xed ba!, び } 蓐 げ 0 ζ 〇コユ匚 llげ adwel lnput 肥旧 り凾凾ロ bgurxi edib o 田 ra[ り absdu ヒ obund { 剛 a 剳姜 np ロ覧 { 帥 UC 加 ra D 剛 5d 曲鵬 u 而 5 旧 薹鱗 5 げ! 鵡鬻 hp A o 0 旧 h 面 P 面 xedbase od adva [ S} c 卩 inp 頃 {o 兇 ra i} edible,,absot bound 鳳 II, 凵!e adwa 加 und evve 旧 [t } 囘 in 卩凵 StruCtUFe 齟 Lcred nd{strutu nd LL b LabSdUto bun av 睡 bou d D 0 m! j, 距 b Vs =00 mts, c Vs =00 m! j ー ユ詮 h ζ5 且 Σ 5 ガソ o oo 自 9 抛 r 創 peri 国 [ 5, <TAB> a 伽副 i 叩唄 o eral, rpre レ absol 頃 e bund 訊町 eture ゴ VS 己 { 耐 5 岡 $99000 竃蕊 δ 匸 コ { fu 鯛 b <TAB> 哈 dbl8 bund r 訓レ <TAB> ロ@bd I 勲 a lve 隔 Il d<tab> チ a 訓 <TAB> i 叩 u 伽 { 勳 r 司 <TAB> 隠曲 已 幽 ab 惚開 bo IU 倒田囘ド Si 凵 n {mcd F@ i cd <TAB>} 鷺二饗 <TAB> 9,<TAB> 朋 鹽 9 鹽 d = の <TAB>ih i {;iiii ガヒual i 叩岨 {ov 鯏り Credibte 膊冂 d l 喇朋 abse tebo 凵 nd ovendη 鹹 ua npu {structure 卩 } 幽齟齟 bu 冂 d St 旧 [ abse iil 櫛 : 6i bo 凵 nd te Struet 凵囘 t: a ivs kns D DF gr } 円 二寵 囲 糟 ー Vs 曜縲 π F StruCtur8 7 げ 5ri q 窪曄 自 鍵 :;: : :!rτ 幕 0 曜 d β i netured p od Cnxed base ] s レ b }5 El Centro による全体システムと上 構造物への地震入力エネルギ ー : 実際の入力工ネルギ ーと crediblebo 皿 n S 祀如 r 己 p 師自 d fixed e} b S a: a inp 凵 { ve 阻匹 rεdibb absodute bu 囗 d 0 り ar 己 り bund 6vor 釦り adual inpセ ro 舘啣 <TAB> D05 鹽 d <TAB> <TAB> <TAB> <TAB> 幽 <TAB>: 淳 <TAB> トー L D 低 U<TAB> r 彈 <TAB> :: : ll 孫 げ f f0 5 冂 a ヒ ur 創 perio6 haed b c { S b }6 Kobe Univ NS 95 による全体システムと 部構造物への地震入力エ 74L NII-Electronic ルギー : 実際の入力工ネLibrary ルギ Service ーと
5 ゴ ac 凶司 [nput 0 ピ剛 冊 CradbVe bund overall 己 bsdul 巳 bo 凵 nd overa 凵 a 副 叩 u ± struditu 囘 ; a 信 tualinp 凵ヒ 0 ern, 響響,cntibleb 凵 d D over 四 absoeuヒ 9 bumd overa actual i 門醐 s 齟 幽 ε 四 credlblebund CStrUChrrg 哈 ; C 喝 dl 凵 8 bund { 馴川 abstute bo 凵而 s 監 njetura } 厂 e 齟 LL abs 亅甑 ebound Slnt 響 甥腎 ヂr 莎 r : 耋 : / llllllllill 鰐醗 : 5 5 鄲 o # ; 4 na 趣圃 pe 的 d 俶 ed b 鴿 e s a a 訓 input ovora り, pmdibl8 跏 nd Ve 刺 abselute bσ 畍 d trveral aetun inpu! St 悶 Ct 凵 } oredi 凵 8 btund S 蜘 C 切 } 曲 se [ 賦 e bo 凵 nd StruCtU { 3 あ o o 註三曽帽樫〆躡 5 げ L i i 号 o o naturelpe d fixedb ra l: : ることがわかる また 図 6 と同様に 構造物と地盤の動的相 tldi E e } s c o o5,5 5 3 u 4 natu 喝 I d lfixed pe base }s b 図 7 xico scrl Ew 5 による全体システ と上部構造物への地 入力エネルギー : 実際の入力工ネ ルギーと cred 童 ble boun ィよび absolute bound a Vs =50 mls, b Vs = この地震動は約 s に卓越周期を有するため これとほぼ同じ固有周期 有するモデルの地震入力エネルギーは 全体システムおよび構造 ィとも それらと対応する credible bound に近接 作用効果が現れにく い周期領域においてパワーを有する地震動であるため 全体システ エネルギーと上部構造物への入力エネルギーとの差はほ ムへの入 られない 図 8 は 寅 S l995 に対する地震入力エネルギーを 上 とんど 構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す 図 5 とルぼ同様の特性が観察される 図 5 8 から共通に理解されることは 構造物の固有周期が同じ 剛性が変化しても 構造物に入力されるエネルギー であれば 地 はほぼ定 あることである 図 6,7 から理解されるように credib bound は長周期側で実際の入力エネルギーよりもかなり きな値を示す これは 長周期側でも 式で表される地動 速度の 乗時間積分に制約を課したことに起因すると考 られる 長周期側では 地動速度の 乗時間積分に制約を課す とが妥当である場合が多いことが文献 6 で示されている れに関する敢り扱いについては次節で述べる ここでは S cf ルに入力される地震エネルギーの特性の例 を示すために w モデルを扱い 基礎版の大きさも特定の値を用いた 基礎固 モデルとは異なり 地震入力エ c Vs = 00 m/s> ガ et げ日伽釦 Inp 凵 j etal Credibleb 側 nd { overa [ 墜 D,,,ab5plute bo 凵 overel, a 副 i 冂 pu 電 5ヒ贓 ure, 幽幽 credible bound s 童 rcrctur m/ bu j, na 宦 ur {5 j Ute ρerbd ed base beu abs 閲 o げげ 響葭 b 05 巳 Mげ o ua qfi x, d svre Q 黶 覊躍 s ョ E a i 隷認翼嚶 b ノ譁 lll: 雫 aetual 且 h o oral り, C 8dib bund erall } abs 副凵 abeundy σ er inpus 加 e re cred ibie 05 h 0 0 t 闇 8 糾 5 ガ : : : 辮 { 二 ; 七 i 剛引 ド o o n o 6 l 齪凵 ra absolu8 bun i5 ヒ mre げ 60 act 凵剖 hp 浴 korverall 閧 credible bund o erall, F, abgotute bo 凵冂 d erat 卩 } a 雛凵団 i 冂 pu 電 s ヒ ructu 旧 cre ble nd Cs 加丿 r 司 aboel ヒ凵 malu perid fixed ba } [ S c 〆 ± 黌れげコ f 彫浦響 旧 i, as l na red parid ixed base { j b 図 8JMA Kobe NS 5 による全体システムと上部構造 物への地震入力エネルギー 実際の入力工ネルギ ーと cr ible bound お よび absolute bound L a Vs = 50 m / j, b Vsrl m!s, c Vs00 m s 上部構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す ギーを単純に上 部構造物の質量のみで正規化することは 難であり 種々のモデル に対する全体像を議論するにはより幅広いパラメタ 領域での解析が必要である 6 地動速 の 乗時間積分値に制約が存在する問題 前節の例からも明 かなように credible bound は長周期側で実際の入 エネルギーよりもかなり大きな値を示す その原因のつ 式のような地動加速度の 乗時間積分値に制約を設定 たことが考えられる 長周期領 で ll 大 式の制約を満足させるには 極めてきな が要求され 非現実的となる 本節で は 次のよ とし 速度や変 うな地動速度の 乗時間 分値に制約が存在する問題を考える Z56 轟 ω! π が ω 崎 4 ここで V ω 地勁速度 ta 砺 t は地 換を表し t のフーリエ変 動速度の 乗時間積 分値の制 値を表す A ω t ia v ω の と 0a, b 性質を用い の地震入力エ ルギーは次 のように変形できる E 宀 ω ら ω IV ω d ω ヒが ω 馬 ω IV ω ω 本節で扱う第の極限外乱問題は次のよう 表現される [ 極限外乱問題 A ] 5a 5b 4 式の制約と地動速度のフーリエ 幅スペクトル 7 ω に関する制約 γ a 7 満足し 5a 式の SR モデル全体への入力エネルギー 大最にする地動速度のフーリエ振幅スペクトル 7 ω を求めよ 7 は 7 ω [ の 限値を表 NII-Electronic 上記の問題に対する解は Library 地動加速度の Service 乗時間積分値に
6 } 3 匚 唇 = ε ぴ舳航 n 忙 陌 e 臨 F F 軸 猷 甫耐 e n C価 n 齟 目 ω F 網育 Σ F3 ω ω に置き換えることにより同様にして求めることが可能であ る 図 9 参照 V に対する地震入力エネル ギーの上限値 absolllte bllnd は 関数 ω 毋 ω が t ab で最大値をとるとい う近似を導入すれ ば 5b 式に 4 式を代入するこ とにより 近似的に次式で与えら れる Eiabs π δ 7 吻塘 ω 8 ω L Ω ω 脅凵 equency ω 図 9 速度制約問題の解法の模式図 VmaPt= vm,ω 自妨 表 記録地震波の速度定式化に関する特性 δ 7 規 ω 4 アα の EI CentroNS 940 0, Kobe Univ NS ,70 Mexico SCTI EW 985 3, JMA Kobe NS ,854 4,8 ε 0s 8to4 6 6 } semlinfinited ロ冂 e e er 叫 5emHnfinl ± 巳 eone s ヒ囗戯 ure } 0s seml in 飼 ni 陪 cone trveral り sem infinitecone sbeortute レ heq Lndepandentmedelfveral 舶 qlndependent modet e er 創 ] 8 ガり freq 日 陶 qi Ind pende 冂監 medebc5trddwre d8pondenlmodel S 霍囮 CU 亠囘 s h=0 05 に 4 F= 噌ー冂冖 ノ to4 ; 妄 r,, ハ il es フ写 r na ヒur 訓 価 xed } s pariod basa 言 04 6 D8 i VS 強 60 脚 ms } 凵 LL hc 壽言 4D 0 0S natu 囘 perio fixedbase 図 0 振動数非依存型のばね剛性 ダッシュポット減衰係数に基づ くモデルと 半無限弾性地盤に対してコーンモデルによる地 盤インピーダンスを用いたモデルによる全体システムと構造 物へ の入力エネルギーの比較 V に対する地震入力エネルギーの上限値 absolute beund は 関数 ω 馬 ω が ω 目妨で最大値をとるという近似を導入すれ ば 5a 式に 4 式を代入することにより, 近似的に次式で与えられる E デ αb π Φ 妨 翔 eq 6 V が有限である場合に対する地震入力エネルギーの credible は 近似的に次式で与えられる 7 疏 F bound d 吻 t L, 吻 t L 妨 7 また 矩形関数の振勦数幅は ω 同 π グ で与えられる 5 節と同じ 4 つの記録地震波に対して求めた地動速度のフーリエ 振幅スペクトルの実際の最大値 maxlv ω = Vmax 地動速度の 乗時間積分値 矩形関数の振動数幅を表 に示す 本節で扱う第二の極限外乱問題は次のように表現される [ 極限外乱問題 S ] 4 式の制約と地動速度のフーリエ振幅スペクトル IV ω に関す る制約 jv ω r を満足し 5b 式の上部構造物への入力エネルギーを最大にする地動速度のフーリエ振幅スペクトル γ ω を求めよ 上記の問題に対する解は 地動加速度の 乗時間積分値に制約が 存在する問題 極限外乱問題 S において 関数 Fs ω } を γ が有限である場合に対する地震入力エネルギーの credible bound は 近似的に次式で与えられる 7 瑠晦 d 吻 a L, 吻 WL h 9 また 矩形関数の振動数幅は ω 呂 π 〆戸 で与えられる 構造物と地盤の動的相互作用問題は 構造物が長周期化すると 般にその影響は小さくなるため このような領域では基礎固定モデルとしての取り扱い 6 が適当である 7 コーンモデルによる地盤インピーダンスを用いた場合の例 前節の例では 地盤インピーダンスとして振動数非依存型のばね 剛性 ダッシュポット減衰係数に基づくモデルを用いた ここでは コーンモデル IS による地盤インピーダンスを用いた場合との比較を 行う 図 ID は 図 5 と同じ条件で 半無限弾性地盤に対してコーン モデルを適用した場合の地盤インピーダンスを用いて計算した全体 システムと構造物への入力エネルギーを示す 上部構造の固有周期 が 秒程度までの範囲では 地盤のせん断波速度に関係なく 振動 数非依存型のばね剛性 ダッシュポット減衰係数に基づくモデルは コーンモデルによる地盤インピーダンスを用いたモデルと良好な対 応を示すといえる ただし 地盤のせん断波速度が Gm/s では 全体システムと構造物への入力エネルギーに大きな差がなく また 両インピーダンスモデル間の差も大きくないため ここでは省略してある ここでは 層モデルで 基礎版の半径が比較的小さいモデ ルの例を示しているが, 数層モデルでより大きな基礎半径のモデル についてもほぼ同等の近似精度を有することを確認している 8 Kinematic interacti n を考慮した場合の地震入力エネルギー 前節までは 基礎の埋め込みがなく 所謂 kinematicinteraction の 影響が小さく無視できるモデルを扱っていた ここでは kinematic interaction を考慮した場合の簡易的な取り扱いについて述べる 本論 文で 提案する方法は振動数領域での方法であるため kinematic interaction の効果やインピーダンスの振動数依存性を容易に取り扱う ことが可能である 基礎の上面は地表面と致しているものとし その中央の点の水 平回転の有効入力 加速度 を配 δω, 砺 t 対応する振動数領域 での ものを ti δ ω, 曲 i ω とする tiδ t,b i t は 自由地表面の水平 加速度 tig ω と有効入力を表現する関数 SHT to,srr ω て次式で与えられる δ 払 σ6 画塾訂 i tiii JE7 e8 mt 塾 ti 幽 σ, mt 8 を用い 0a 0b 76 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
7 水平回転の有効入力に付加される基礎の水平回転変位を UT の,θ r t で表す 形式的には UT t, θ T りは前節までの UF t, θ F t に対応している このモデルに対する振動数領域での運動方 程式は次式で与えられる ω M i C K U ω M { r S, ω r S, ω } ω ここで M, 年 C は 式と同じ質量 剛性 減衰行列を表す ただ し 地盤インピーダンスは 基礎上面の中央点で評価したものを表し 基礎の回転慣性もその点回りのも のとする また U ω { U ω UT ω et ω }T, r {00 } T,r { I } T t 上部構造質点と基礎に作用する慣性力を考え それと釣り合う反 力が基礎の動きに対してなす仕事を考えることにより 構造物基礎系に入力されるエネルギーは次式で表現される 零五尹ず [ mo a th 6+ r + m { th ti6+ T h + 硲 + 魯 a + } ti δ + tir ロコ dt * IR + IR θ 0 + の + mh{ab f { + が [ [ 川 o{5 班払器 ω Hσ τ ω +tit+h θ 0 + の +a }] tiδ + El, d 棚 { SeT ω +Hdr ω + h {SRT ω +Ho τ ω } +H ぴ ω } HT ω 砺 ω } ltig 払器 { r, } +mh {SHT ω +H σr ω +h { SRT ω+ HeT ω }+ Hti ω }] { r ω r ω} ぴ,@ ヨ 3 ただし 3 では 0a, b の関係と加速度 速度の逆 T リエ変換を用いている 3 } モおける Hti ω,hdir ω He τ ω 式か ら求!i } られる加速度 U ω, CtT 禦, 6r 甲 の tig ω に対する 達関数を表す また 基礎周辺地盤に関するエネルギ も考慮する場合には の 3 式の 行目第の ] に続く tio + tit をt にし 第 行目を削除す ればよい 自由地表面の回転変 成分は考慮しないため E 6 ヂーが 用 o ゴ 吻 + m{ ab 6 + T +h 砺 + 螺 9 山 払 毒噛! H 故轍 } { SHT ω + H σ 7 ω { + 海 RT ω+ H ω } + H σ ω } ] { ω H 血 ω } ミ, d 4 方 構造物に入力される ネルギーは 上部構造質点に作用す る慣性力を考え それと釣 合う反力が基礎の動きに対してなす仕事を考えることにより 式で表現される 扉が刑 { 崎 +ti {h + 碗 +th + 嫐 } k 莇紛壷 δ 吻 ir + mb + {di δ 吻 +h * θ o + 倒 r + th }] ti6 +α iff i [ HT H T h RT } Hti { s T ω HtiT ω } σ?d 払器 { s i H, }, + 励 { SllT H ω+ 々 +h { ω T ω +HeT ω } + Hti ω }] {SRT ω H T ω}σ d j と同様に 0a, b 5 ただし 5 では, 関係と加速度 速度の逆フーリエ変換を用いている 時 が経過するに従い 基礎の運動エネルギーは減衰により消失する め 3 のE ヂは砂に等しいことを数式的に示すことが可を 能である 4, 5 式 のように表 現する ヂー鰄 iσ d 厚鋸 σ d 6a 6b 6a, b 式を評価関数とする場合にっいても 3 節と同様の極 外乱問題を構成することが可能であり 4 節とほぼ同様の解法を展開することができ これを用いて kinematic interactien の効果を 慮した場合の地震入力エネルギーの上限値を導くことができ emati interaction 地震入力 の効果 不確定性 特に振動数特性 の両者 ッ時に扱うことが可能となる 9 結論 本論文において 下の成果を得た 構造物と地盤の相互作用を表現するモルとして スウェイロッキン グるモデルを取り上げ全体シテムと構造物の両者に入力され 震エネルギーを振動数領域で評価する方法 を提示した 自由度系構造物の固有周 が同じであれば 地盤の剛性が変化しても構造物に入力され エネルギーはほぼ定である 3 自由地表面加速度の 乗時 積分値とそのフーリエ振幅スペクトルの上限に制約が設けれ 全体シスデムと構造物に入力される地震エネルギー いずれかを評価関数とする極限地震動問題を定式化し そ 問題に対する解 自由地表面加速度のフーリエ振幅スペ トル は エネルギー伝達関数との積の振動数領域積分が最大となる矩形関 となることを明らかにした 4 実際の地震入力エネルギー credible bound の近接度は 地現する有効な指標の震 動の有する極限性の周期特性を っであ るといえる 5 長周期領域では 地動速度 大きな影響を及ぼすため 地動速ズ に関する制約を付加する必要がある しかしながら 構造物 と地盤の動的相互作用問題 では 構造物が長周期 すると般にその影響は小さくなるため このような領域で 基礎固定モデルとしての取り扱い 6 が適当である i6 振動数非依存型のばね剛性 ダッシュポット減衰係数に基づ モデルと 半無限弾性地盤にコーンモデルを適用したとき 地盤インピーダンスを用いたモデルによる全体システムと 造物への入力エネルギーの比較を行い パラメターの限 されたモデルではあるが両者は良好な対応を示すことを明らかにした 7 論文で提案する方法は振動数領域での方法であるため kinematic in raction の効果やインピーダンスの振動数依存性を容 に取り扱うことが可瞭ある kinematic interac on の効果を考慮した場合の地震入力エネルギーは 上部構造質点や基礎に作用する 性力を考 NII-Electronic ることにより評価することが可能でLibrary ある Service また 3 の
8 謝辞 慮した場合についても地震入力エネルギーの上限値を導くこと ができ kinematic interaction の効果と地震入力の不確定性 に振動数特性 の両者を同時に扱うことが可能である 本研究の部は 鹿島学術振興財団研究助成 00 年度 : 代表, 竹脇出 による また 数値計算の部において藤本弘志君 京 都大学大学院生 の協力を得た ここに記して謝意を表する D 記録 地震波の部は 気象庁 関西地震観測研究協議会により観測されたものである 関係各位に謝意を表する 参考文献 楊志勇, 秋山宏 : エネルギー授受に基づく相互作用の効果 に対する評価, 日本建築学会構造系論文集, 第 536 号,pp3945, 0000 TrifUnac, M D, Hao, TY, and Todorovska, M : n energy flow in earthquake response,report CE 03, July00 Univof Southem calif, 00 3 棚橋 諒 : 地震の破壊力と建築物の耐震力に関する私見, 建築 雑誌, Housner,GW,: Behavior of structures during earthquakes,joumal f the Engineering Mechanics Divisien, ASCE, 85 4,pp ユ09 9, Lyon, RH : Statistical energy analysis of dynamical systems, lhe Mrr Press,Cambridge MA 加藤勉秋山宏 : 強震による構造物へのエネルギー入力と構造物の損傷, 日本建築学会論文報告集, 第 35 号,pp,g 8, 滝澤春男 : 地震動のエネルギー応答スペクトル, 第 4 回自然災害科学総合シンポジウム論文集, pp ,977 8 秋山宏 ; 建築物の耐震極限設計 東京大学出版会, 大井謙, 田中尚 高梨晃 : 地震動による構造物へのエネル ギー入力の統計量予測に関する基礎的考察, 日本建築学会論文報告集, 第 347 号, pp 47 55,985, 0 中村恒善, 上谷宏二, 小坂郁夫, 竹脇出 : 建築耐震設計における保有耐力と変形性能 990, 定義および算定法, pp,73 6, 990 特 Kuwamura, H, K 量 rino, Y 含 and Akiyama,H : Predictionof earthquake energy inputfrom smoothed Fouricramplitude spectrum,elarthquake Engrgand StructIlyn, 3,pp5 37, 994 小川厚治, 井上朗 中島正愛 : 損傷に寄与する地震入力エネ ルギーに関する考察 日本建築学会構造系論文集, 第 530 号, pp77 84, 000,4 3rda ろ M り Huerta,B,and Reinoso,E : Exactcomputation of input energy spectra ftm Fourieramplitude spectra,eartfiguakeengrg and Structllyn,3, pp ,003, 4 Uang,C M,and Bertero,VV: Evaluation of seismic energy 血 structures,eartheuakeengrgand St 厂 uct llyn, 9,pp 77 90, 990, 5 } Housner,GW,and JenningS,PC : The capacity of extreme earthquake motions to damage structures,structural and geotechnicalmechanics : Avolume honoring N M,Newma k edited by W JHa, pp 0 6, Prentice HallEnglewood Cliff, NJ, } 竹脇出 : 多様な減衰分布を有する構造物に入力される地震エネルギーの限界値, 日本建築学会構造系論文集, 第 57 号, pp 65 7, Parmelee,RA : The influenceef foundationparameters on the seismic response of interactionsystems,ptcof the 3rd Japan Earthguake Enginee ing Symposium,970 8 Wb 岻 JR : Foundation vibrat 励 analysis zasing simple pa ン sicat modet, Prentice Hall,994 9 竹脇出 : 確率論に基づく新しい critical 外乱法, 日本建築学会構造系論文集, 第 533 号, pp 69 74,000,7 0 Takewaki,, : Robus 量 building stiffness design for variable critical excitations, 丿 :StructEng, ASCE, 8,pp ,00 喰 mabashi,r : Studies on 重 he nonlinea vibratiens of structures subjected to destructiv earthquakes,proceedings of the First Mortd Confe 厂 ence on Earthguake En8ineering,Bclkeley,CA, pp 6 : TakewalCi,,Takeda,N,and Uetani,K: Fastpractical evaluation of soil s 重 ruc 重 ure interactionof embedded structures,soil llynamics and Eartheuake Engineering,3 3, pp 95 0, 年 8 月 9 日原稿受理,003 年 月 5 日採用決定 78 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
パソコンシミュレータの現状
第 2 章微分 偏微分, 写像 豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分 工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分 積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小な に対して傾きを表し, を無限に
2009 年 11 月 16 日版 ( 久家 ) 遠地 P 波の変位波形の作成 遠地 P 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は 波線理論をもとに P U () t = S()* t E()* t P() t で近似的に計算できる * は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録
遠地 波の変位波形の作成 遠地 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は 波線理論をもとに U () t S() t E() t () t で近似的に計算できる は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録 参照 ) ここで St () は地震の断層運動によって決まる時間関数 1 E() t は地下構造によって生じる種々の波の到着を与える時間関数 ( ここでは 直達 波とともに 震源そばの地表での反射波や変換波を与える時間関数
Microsoft Word - 4_構造特性係数の設定方法に関する検討.doc
第 4 章 構造特性係数の設定方法に関する検討 4. はじめに 平成 年度 年度の時刻歴応答解析を実施した結果 課題として以下の点が指摘 された * ) 脆性壁の評価法の問題 時刻歴応答解析により 初期剛性が高く脆性的な壁については現在の構造特性係数 Ds 評価が危険であることが判明した 脆性壁では.5 倍程度必要保有耐力が大きくなる * ) 併用構造の Ds の設定の問題 異なる荷重変形関係を持つ壁の
第６章 実験モード解析
第 6 章実験モード解析 6. 実験モード解析とは 6. 有限自由度系の実験モード解析 6.3 連続体の実験モード解析 6. 実験モード解析とは 実験モード解析とは加振実験によって測定された外力と応答を用いてモードパラメータ ( 固有振動数, モード減衰比, 正規固有モードなど ) を求める ( 同定する ) 方法である. 力計 試験体 変位計 / 加速度計 実験モード解析の概念 時間領域データを利用する方法
DVIOUT
第 章 離散フーリエ変換 離散フーリエ変換 これまで 私たちは連続関数に対するフーリエ変換およびフーリエ積分 ( 逆フーリエ変換 ) について学んできました この節では フーリエ変換を離散化した離散フーリエ変換について学びましょう 自然現象 ( 音声 ) などを観測して得られる波 ( 信号値 ; 観測値 ) は 通常 電気信号による連続的な波として観測機器から出力されます しかしながら コンピュータはこの様な連続的な波を直接扱うことができないため
36 th IChO : - 3 ( ) , G O O D L U C K final 1
36 th ICh - - 5 - - : - 3 ( ) - 169 - -, - - - - - - - G D L U C K final 1 1 1.01 2 e 4.00 3 Li 6.94 4 Be 9.01 5 B 10.81 6 C 12.01 7 N 14.01 8 16.00 9 F 19.00 10 Ne 20.18 11 Na 22.99 12 Mg 24.31 Periodic
(1.2) T D = 0 T = D = 30 kn 1.2 (1.4) 2F W = 0 F = W/2 = 300 kn/2 = 150 kn 1.3 (1.9) R = W 1 + W 2 = = 1100 N. (1.9) W 2 b W 1 a = 0
1 1 1.1 1.) T D = T = D = kn 1. 1.4) F W = F = W/ = kn/ = 15 kn 1. 1.9) R = W 1 + W = 6 + 5 = 11 N. 1.9) W b W 1 a = a = W /W 1 )b = 5/6) = 5 cm 1.4 AB AC P 1, P x, y x, y y x 1.4.) P sin 6 + P 1 sin 45
128 3 II S 1, S 2 Φ 1, Φ 2 Φ 1 = { B( r) n( r)}ds S 1 Φ 2 = { B( r) n( r)}ds (3.3) S 2 S S 1 +S 2 { B( r) n( r)}ds = 0 (3.4) S 1, S 2 { B( r) n( r)}ds
127 3 II 3.1 3.1.1 Φ(t) ϕ em = dφ dt (3.1) B( r) Φ = { B( r) n( r)}ds (3.2) S S n( r) Φ 128 3 II S 1, S 2 Φ 1, Φ 2 Φ 1 = { B( r) n( r)}ds S 1 Φ 2 = { B( r) n( r)}ds (3.3) S 2 S S 1 +S 2 { B( r) n( r)}ds
数学 t t t t t 加法定理 t t t 倍角公式加法定理で α=β と置く. 三角関数
. 三角関数 基本関係 t cot c sc c cot sc t 還元公式 t t t t t t cot t cot t 数学 数学 t t t t t 加法定理 t t t 倍角公式加法定理で α=β と置く. 三角関数 数学. 三角関数 5 積和公式 6 和積公式 数学. 三角関数 7 合成 t V v t V v t V V V V VV V V V t V v v 8 べき乗 5 6 6
2015/11/ ( 公財 ) 建築技術教育センター平成 27 年度普及事業第 4 回勉強会於 : 大垣ガスほんのりプラザ 近似応答計算の要点 (1 質点系の応答 ) 齋藤建築構造研究室齋藤幸雄 現行の耐震規定 ( 耐震性能評価法 ) 超高層建築物等を除いて 静的計算 (
2015.11.29 ( 公財 ) 建築技術教育センター平成 27 年度普及事業第 4 回勉強会於 : 大垣ガスほんのりプラザ 近似応答計算の要点 (1 質点系の応答 ) 齋藤建築構造研究室齋藤幸雄 現行の耐震規定 ( 耐震性能評価法 ) 超高層建築物等を除いて 静的計算 ( 地震時の応力計算や保有水平耐力の算定等 ) によっており 地震時の応答変位等を直接算定 ( 動的応答計算 ) するものではない
03J_sources.key
Radiation Detection & Measurement (1) (2) (3) (4)1 MeV ( ) 10 9 m 10 7 m 10 10 m < 10 18 m X 10 15 m 10 15 m ......... (isotope)...... (isotone)......... (isobar) 1 1 1 0 1 2 1 2 3 99.985% 0.015% ~0% E
1 1 H Li Be Na M g B A l C S i N P O S F He N Cl A e K Ca S c T i V C Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se B K Rb S Y Z Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb T e
No. 1 1 1 H Li Be Na M g B A l C S i N P O S F He N Cl A e K Ca S c T i V C Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se B K Rb S Y Z Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb T e I X e Cs Ba F Ra Hf Ta W Re Os I Rf Db Sg Bh
施設・構造1-5b 京都大学原子炉実験所研究用原子炉（KUR）新耐震指針に照らした耐震安全性評価（中間報告）（原子炉建屋の耐震安全性評価） （その2）
原子炉建屋屋根版の水平地震応答解析モデル 境界条件 : 周辺固定 原子炉建屋屋根版の水平方向地震応答解析モデル 屋根版は有限要素 ( 板要素 ) を用い 建屋地震応答解析による最上階の応答波形を屋根版応答解析の入力とする 応答解析は弾性応答解析とする 原子炉建屋屋根版の上下地震応答解析モデル 7.E+7 6.E+7 実部虚部固有振動数 上下地盤ばね [kn/m] 5.E+7 4.E+7 3.E+7
例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X (
第 週ラプラス変換 教科書 p.34~ 目標ラプラス変換の定義と意味を理解する フーリエ変換や Z 変換と並ぶ 信号解析やシステム設計における重要なツール ラプラス変換は波動現象や電気回路など様々な分野で 微分方程式を解くために利用されてきた ラプラス変換を用いることで微分方程式は代数方程式に変換される また 工学上使われる主要な関数のラプラス変換は簡単な形の関数で表されるので これを ラプラス変換表
線積分.indd
線積分 線積分 ( n, n, n ) (ξ n, η n, ζ n ) ( n-, n-, n- ) (ξ k, η k, ζ k ) ( k, k, k ) ( k-, k-, k- ) 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W は 次式で計算された A, A, W : d 6 d+ d+ d@,,, d+ d+
第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解 教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題 問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2
第 4 週コンボリューションその, 正弦波による分解 教科書 p. 6~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題 問. 以下の図にならって, と の δ 関数を図示せよ. - - - δ () δ ( ) - - - 図 δ 関数の図示の例 δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) - - - - - - - -
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付録 2 2 次元アフィン変換 直交変換 たたみ込み 1.2 次元のアフィン変換 座標 (x,y ) を (x,y) に移すことを 2 次元での変換. 特に, 変換が と書けるとき, アフィン変換, アフィン変換は, その 1 次の項による変換 と 0 次の項による変換 アフィン変換 0 次の項は平行移動 1 次の項は座標 (x, y ) をベクトルと考えて とすれば このようなもの 2 次元ベクトルの線形写像
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剛体の基礎理論 -. 剛体の基礎理論初めに本論文で大域的に使用する記号を定義する. 使用する記号トルク撃力力角運動量角速度姿勢対角化された慣性テンソル慣性テンソル運動量速度位置質量時間 J W f F P p .. 質点の並進運動 質点は位置 と速度 P を用いる. ニュートンの運動方程式 という状態を持つ. 但し ここでは速度ではなく運動量 F P F.... より質点の運動は既に明らかであり 質点の状態ベクトル
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本講義の範囲 都市防災工学 後半第 回 : 導入 確率過程の基礎 千葉大学大学院工学研究院都市環境システムコース岡野創 http://oko-lb.tu.chib-u.c.jp/oshibousi/. ランダム振動論 地震動を不規則波形 ( 確率過程 ) と捉えて, 構造物の地震応答を評価する理論. 震源モデルによる地震動評価 断層の動きを仮定して, 断層から発せられる地震動を評価する方法 ( 運動学的モデル
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制御工学 I 第 回 安定性 ラウス, フルビッツの安定判別 平成 年 6 月 日 /6/ 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し
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年度 物理化学 Ⅱ 講義ノート. 二原子分子の振動. 調和振動子近似 モデル 分子 = 理想的なバネでつながった原子 r : 核間距離, r e : 平衡核間距離, : 変位 ( = r r e ), k f : 力の定数ポテンシャルエネルギー ( ) k V = f (.) 古典運動方程式 [ 振動数 ] 3.3 d kf (.) dt μ : 換算質量 (m, m : 原子, の質量 ) mm
以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ
以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する
(Microsoft PowerPoint - \221\34613\211\361)
計算力学 ~ 第 回弾性問題の有限要素解析 (Ⅱ)~ 修士 年後期 ( 選択科目 ) 担当 : 岩佐貴史 講義の概要 全 5 講義. 計算力学概論, ガイダンス. 自然現象の数理モデル化. 行列 場とその演算. 数値計算法 (Ⅰ) 5. 数値計算法 (Ⅱ) 6. 初期値 境界値問題 (Ⅰ) 7. 初期値 境界値問題 (Ⅱ) 8. マトリックス変位法による構造解析 9. トラス構造の有限要素解析. 重み付き残差法と古典的近似解法.
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人工環境設計解析工学構造力学と有限要素法 ( 第 回 ) 東京大学新領域創成科学研究科 鈴木克幸 固体力学の基礎方程式 変位 - ひずみの関係 適合条件式 ひずみ - 応力の関係 構成方程式 応力 - 外力の関係 平衡方程式 境界条件 変位規定境界 反力規定境界 境界条件 荷重応力ひずみ変形 場の方程式 Γ t Γ t 平衡方程式構成方程式適合条件式 構造力学の基礎式 ひずみ 一軸 荷重応力ひずみ変形
[Ver. 0.2] 1 2 3 4 5 6 7 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1 1.1 1 1.2 1. (elasticity) 2. (plasticity) 3. (strength) 4. 5. (toughness) 6. 1 1.2 1. (elasticity) } 1 1.2 2. (plasticity), 1 1.2 3. (strength) a < b F
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講義内容 講義内容 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 ベクトルの直交性 3
006 11 8 0 3 1 5 1.1..................... 5 1......................... 6 1.3.................... 6 1.4.................. 8 1.5................... 8 1.6................... 10 1.6.1......................
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演算子の行列表現 > L いま 次元ベクトル空間の基底をケットと書くことにする この基底は完全系を成すとすると 空間内の任意のケットベクトルは > > > これより 一度基底を与えてしまえば 任意のベクトルはその基底についての成分で完全に記述することができる これらの成分を列行列の形に書くと M これをベクトル の基底 { >} による行列表現という ところで 行列 A の共役 dont 行列は A
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第 14 回モールの定理 ( 単純梁の場合 ) ( モールの定理とは何か?p.11) 例題 下記に示す単純梁の C 点のたわみ角 θ C と, たわみ δ C を求めよ ただし, 部材の曲げ 剛性は材軸に沿って一様で とする C D kn B 1.5m 0.5m 1.0m 解答 1 曲げモーメント図を描く,B 点の反力を求める kn kn 4 kn 曲げモーメント図を描く knm 先に得られた曲げモーメントの値を
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制御工学 I 第二回ラプラス変換 平成 年 4 月 9 日 /4/9 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し
地震動予測手法の現状
hayashi@archi.kyoto-u.ac.jp 3 4) ( ) / 5) 6) 7) 8) 995 G 地震動の大きさ 性能レベル グレード Ⅰ グレード Ⅱ グレード Ⅲ Q 基準法稀地震 基準法極稀地震 軽微な被害 ~ 小破 ~ 中破 レベル クライテリア 内陸直下型地震 軽微な被害 ~ 小破 ~ 中破 軽微な被害 ~ 小破 ~ 中破 の領域の検証法の提案を目指す 耐力劣化点 レベル
FEM原理講座 （サンプルテキスト）
サンプルテキスト FEM 原理講座 サイバネットシステム株式会社 8 年 月 9 日作成 サンプルテキストについて 各講師が 講義の内容が伝わりやすいページ を選びました テキストのページは必ずしも連続していません 一部を抜粋しています 幾何光学講座については 実物のテキストではなくガイダンスを掲載いたします 対象とする構造系 物理モデル 連続体 固体 弾性体 / 弾塑性体 / 粘弾性体 / 固体
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音速について考えてみよう! 金沢工業大学 中村晃 ねらい 私たちの身の回りにはいろいろな種類の波が存在する. 体感できる波もあれば, できない波もある. その中で音は体感できる最も身近な波である. 遠くで雷が光ってから雷鳴が届くまで数秒間時間がかかることにより, 音の方が光より伝わるのに時間がかかることも経験していると思う. 高校の物理の授業で音の伝わる速さ ( 音速 ) は約 m/s で, 詳しく述べると
木村の物理小ネタ ケプラーの第 2 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という) が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に
ケプラーの第 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に関する面積速度の大きさ という 定点 O まわりを回る面積速度の導き方導き方 A ( x( + D, y( + D v ( q r ( A ( x (, y( 動点 P が xy 座標平面上を時刻
Probit , Mixed logit
Probit, Mixed logit 2016/5/16 スタートアップゼミ #5 B4 後藤祥孝 1 0. 目次 Probit モデルについて 1. モデル概要 2. 定式化と理解 3. 推定 Mixed logit モデルについて 4. モデル概要 5. 定式化と理解 6. 推定 2 1.Probit 概要 プロビットモデルとは. 効用関数の誤差項に多変量正規分布を仮定したもの. 誤差項には様々な要因が存在するため,
6 2 T γ T B (6.4) (6.1) [( d nm + 3 ] 2 nt B )a 3 + nt B da 3 = 0 (6.9) na 3 = T B V 3/2 = T B V γ 1 = const. or T B a 2 = const. (6.10) H 2 = 8π kc2
![6 2 T γ T B (6.4) (6.1) [( d nm + 3 ] 2 nt B )a 3 + nt B da 3 = 0 (6.9) na 3 = T B V 3/2 = T B V γ 1 = const. or T B a 2 = const. (6.10) H 2 = 8π kc2](/thumbs/92/109118076.jpg "6 2 T γ T B (6.4) (6.1) [( d nm + 3 ] 2 nt B )a 3 + nt B da 3 = 0 (6.9) na 3 = T B V 3/2 = T B V γ 1 = const. or T B a 2 = const. (6.10) H 2 = 8π kc2")
1 6 6.1 (??) (P = ρ rad /3) ρ rad T 4 d(ρv ) + PdV = 0 (6.1) dρ rad ρ rad + 4 da a = 0 (6.2) dt T + da a = 0 T 1 a (6.3) ( ) n ρ m = n (m + 12 ) m v2 = n (m + 32 ) T, P = nt (6.4) (6.1) d [(nm + 32 ] )a
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Non-linea factue mechanics き裂先端付近の塑性変形 塑性域 R 破壊進行領域応カ特異場 Ω R R Hutchinson, Rice and Rosengen 全ひずみ塑性理論に基づいた解析 現段階のひずみは 除荷がないとすると現段階の応力で一義的に決まる 単純引張り時の応カーひずみ関係 ( 構成方程式 ): ( ) ( ) n () y y y ここで α,n 定数, /
[ 振動の発生 ] 第 1 章 土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ 復元力復元力が存在すると振動が発生する つまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2)
![[ 振動の発生 ] 第 1 章 土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ 復元力復元力が存在すると振動が発生する つまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2)](/thumbs/103/160858881.jpg "[ 振動の発生 ] 第 1 章 土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ 復元力復元力が存在すると振動が発生する つまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2)")
[ 振動の発生 ] 第 1 章 土木振動学序論 [ 振動の発生 ] 外力と内力内力が釣り合って静止釣り合って静止した状態 :[: [ 平衡状態 ] 振動の発生振動の発生 :[ 平衡状態 ] が破られ 復元力復元力が存在すると振動が発生する つまり (1) 平衡 ( 静止 ) 状態が破られる (2) 運動が発生する (3) 復元力があると 振動状態になる 自由度 (degree of freedom)
技術者のための構造力学 2014/06/11 1. はじめに 資料 2 節点座標系による傾斜支持節点節点の処理 三好崇夫加藤久人 従来, マトリックス変位法に基づく骨組解析を紹介する教科書においては, 全体座標系に対して傾斜 した斜面上の支持条件を考慮する処理方法として, 一旦, 傾斜支持を無視した
. はじめに 資料 節点座標系による傾斜支持節点節点の処理 三好崇夫加藤久人 従来, マトリックス変位法に基づく骨組解析を紹介する教科書においては, 全体座標系に対して傾斜 した斜面上の支持条件を考慮する処理方法として, 一旦, 傾斜支持を無視した全体座標系に関する構造 全体の剛性マトリックスを組み立てた後に, 傾斜支持する節点に関して対応する剛性成分を座標変換に よって傾斜方向に回転処理し, その後は通常の全体座標系に対して傾斜していない支持点に対するのと
構造力学Ⅰ第１２回
第 回材の座屈 (0 章 ) p.5~ ( 復習 ) モールの定理 ( 手順 ) 座屈とは 荷重により梁に生じた曲げモーメントをで除して仮想荷重と考える 座屈荷重 偏心荷重 ( 曲げと軸力 ) 断面の核 この仮想荷重に対するある点でのせん断力 たわみ角に相当する曲げモーメント たわみに相当する ( 例 ) 単純梁の支点のたわみ角 : は 図 を仮想荷重と考えたときの 点の支点反力 B は 図 を仮想荷重と考えたときのB
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. 正規線形モデルのベイズ推定翠川 大竹距離減衰式 (PGA(Midorikawa, S., and Ohtake, Y. (, Attenuation relationships of peak ground acceleration and velocity considering attenuation characteristics for shallow and deeper earthquakes,
(Microsoft Word - 10ta320a_\220U\223\256\212w\223\301\230__6\217\315\221O\224\274\203\214\203W\203\201.docx)
6 章スペクトルの平滑化 スペクトルの平滑化とはフーリエスペクトルやパワ スペクトルのギザギザを取り除き 滑らかにする操作のことをいう ただし 波のもっている本質的なものをゆがめてはいけない 図 6-7 パワ スペクトルの平滑化 6. 合積のフーリエ変換スペクトルの平滑化を学ぶ前に 合積とそのフーリエ変換について説明する 6. データ ウィンドウデータ ウィンドウの定義と特徴について説明する 6.3
様々なミクロ計量モデル†
担当 : 長倉大輔 ( ながくらだいすけ ) この資料は私の講義において使用するために作成した資料です WEB ページ上で公開しており 自由に参照して頂いて構いません ただし 内容について 一応検証してありますが もし間違いがあった場合でもそれによって生じるいかなる損害 不利益について責任を負いかねますのでご了承ください 間違いは発見次第 継続的に直していますが まだ存在する可能性があります 1 カウントデータモデル
Microsoft Word - 11問題表紙（選択）.docx
A B A.70g/cm 3 B.74g/cm 3 B C 70at% %A C B at% 80at% %B 350 C γ δ y=00 x-y ρ l S ρ C p k C p ρ C p T ρ l t l S S ξ S t = ( k T ) ξ ( ) S = ( k T) ( ) t y ξ S ξ / t S v T T / t = v T / y 00 x v S dy dx
2019 1 5 0 3 1 4 1.1.................... 4 1.1.1......................... 4 1.1.2........................ 5 1.1.3................... 5 1.1.4........................ 6 1.1.5......................... 6 1.2..........................
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材料力学講義 (3) 応力と変形 Ⅲ ( 曲げモーメント, 垂直応力度, 曲率 ) 今回は, 曲げモーメントに関する, 断面力 - 応力度 - 変形 - 変位の関係について学びます 1 曲げモーメント 曲げモーメント M 静定力学で求めた曲げモーメントも, 仮想的に断面を切ることによって現れる内力です 軸方向力は断面に働く力 曲げモーメント M は断面力 曲げモーメントも, 一つのモーメントとして表しますが,
日本地震工学会 大会 梗概集 建築基礎設計への利用を前提とした地盤変位の簡易評価法 新井洋 1) 1) 正会員国土交通省国土技術政策総合研究所建築研究部 主任研究官博士 ( 工学 ) 要約建築基礎設計への利用を前提に 主とし
日本地震工学会 大会 -15 梗概集 建築基礎設計への利用を前提とした地盤変位の簡易評価法 新井洋 1) 1) 正会員国土交通省国土技術政策総合研究所建築研究部 主任研究官博士 ( 工学 ) e-mail : arai-h9ta@nilim.go.jp 要約建築基礎設計への利用を前提に 主として安全限界状態における地盤変位の簡易算定法を提案している 提案法の妥当性と有効性を 粘性土地盤と砂質土地盤の例題をとおして
国土技術政策総合研究所 研究資料
3. 解析モデルの作成汎用ソフトFEMAP(Ver.9.0) を用いて, ダムおよび基礎岩盤の有限要素メッシュを8 節点要素により作成した また, 貯水池の基本寸法および分割数を規定し,UNIVERSE 2) により差分メッシュを作成した 3.1 メッシュサイズと時間刻みの設定基準解析結果の精度を確保するために, 堤体 基礎岩盤 貯水池を有限要素でモデル化する際に, 要素メッシュの最大サイズならびに解析時間刻みは,
機構学 平面機構の運動学
問題 1 静止座標系 - 平面上を運動する節 b 上に2 定点,Bを考える. いま,2 点の座標は(0,0),B(50,0) である. 2 点間の距離は 50 mm, 点の速度が a 150 mm/s, 点 Bの速度の向きが150 である. 以下の問いに答えよ. (1) 点 Bの速度を求めよ. (2) 瞬間中心を求めよ. 節 b a (0,0) b 150 B(50,0) 問題 1(1) 解答 b
Microsoft Word - NumericalComputation.docx
数値計算入門 武尾英哉. 離散数学と数値計算 数学的解法の中には理論計算では求められないものもある. 例えば, 定積分は, まずは積分 ( 被積分関数の原始関数をみつけること できなければ値を得ることはできない. また, ある関数の所定の値における微分値を得るには, まずその関数の微分ができなければならない. さらに代数方程式の解を得るためには, 解析的に代数方程式を解く必要がある. ところが, これらは必ずしも解析的に導けるとは限らない.
H1-H4
42 S H He Li H He Li Be B C N O F Ne Be B C N O F Ne H He Li Be B H H e L i Na Mg Al Si S Cl Ar Na Mg Al Si S Cl Ar C N O F Ne Na Be B C N O F Ne Na K Sc T i V C r K Sc Ti V Cr M n F e C o N i Mn Fe Mg
Microsoft PowerPoint - LectureB1handout.ppt [互換モード]
![Microsoft PowerPoint - LectureB1handout.ppt [互換モード]](/thumbs/89/97916837.jpg "Microsoft PowerPoint - LectureB1handout.ppt [互換モード]")
本講義のスコープ 都市防災工学 後半第 回 : イントロダクション 千葉大学大学院工学研究科建築 都市科学専攻都市環境システムコース岡野創 耐震工学の専門家として知っていた方が良いが 敷居が高く 入り口で挫折しがちな分野をいくつか取り上げて説明 ランダム振動論 地震波形に対する構造物応答の理論的把握 減衰と地震応答 エネルギーバランス 地震動の各種スペクトルの相互関係 震源モデル 近年では震源モデルによる地震動予測が良く行われている
s ss s ss = ε = = s ss s (3) と表される s の要素における s s = κ = κ, =,, (4) jωε jω s は複素比誘電率に相当する物理量であり ここで PML 媒質定数を次のように定義する すなわち κξ をPML 媒質の等価比誘電率 ξ をPML 媒質の
FDTD 解析法 (Matlab 版 2 次元 PML) プログラム解説 v2.11 1. 概要 FDTD 解析における吸収境界である完全整合層 (Perfectl Matched Laer, PML) の定式化とプログラミングを2 次元 TE 波について解説する PMLは異方性の損失をもつ仮想的な物質であり 侵入して来る電磁波を逃さず吸収する 通常の物質と接する界面でインピーダンスが整合しており
スライド 1
暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) デルタ関数. ローレンツ関数. ガウス関数 3. Sinc 関数 4. Sinc 関数 5. 指数関数 6. 量子力学 : デルタ関数 7. プレメリの公式 8. 電磁気学 : デルタ関数 9. デルタ関数 : スケール 微分 デルタ関数 (delta function) ( ) δ ( ) ( ), δ ( ), δ ( ), δ ( ) f x x dx
領域シンポ発表
1 次元の減衰運動の中の強制振動 ) ( f d d d d d e f e ce ) ( si ) ( 1 ) ( cos ω =ω -γ とおくと 一般解は 外力 f()=f siω の場合 f d d d d si f ce f ce si ) cos( cos si ) cos( この一般解は 1 φ は外力と変位との間の位相差で a 時間が経つと 第 1 項は無視できる この場合の振幅を
電中研レビュー No48
π ú π ª π ú ñ ñ ñ A B C D À Ã Õ Œ œ π ª º Ω æ ø ƒ À Ã Õ Œ ñ œ ÿ Ÿ fi fl  ÊÁ ËÍ Î Ï ÌÓ A BC ñ π ª ºΩ v Fv v F i v Fv n F iv i n FvF i v n v R F R R R i n nr i R i nr v n æ ø π ª º Ω π ª º Ω A B C
第 5 章 構造振動学 棒の振動を縦振動, 捩り振動, 曲げ振動に分けて考える. 5.1 棒の縦振動と捩り振動 まっすぐな棒の縦振動の固有振動数 f[ Hz] f = l 2pL である. ただし, L [ 単位 m] は棒の長さ, [ 2 N / m ] 3 r[ 単位 Kg / m ] E r
![第 5 章 構造振動学 棒の振動を縦振動, 捩り振動, 曲げ振動に分けて考える. 5.1 棒の縦振動と捩り振動 まっすぐな棒の縦振動の固有振動数 f[ Hz] f = l 2pL である. ただし, L [ 単位 m] は棒の長さ, [ 2 N / m ] 3 r[ 単位 Kg / m ] E r](/thumbs/94/120041361.jpg "第 5 章 構造振動学 棒の振動を縦振動, 捩り振動, 曲げ振動に分けて考える. 5.1 棒の縦振動と捩り振動 まっすぐな棒の縦振動の固有振動数 f[ Hz] f = l 2pL である. ただし, L [ 単位 m] は棒の長さ, [ 2 N / m ] 3 r[ 単位 Kg / m ] E r")
第 5 章 構造振動学 棒の振動を縦振動, 捩り振動, 曲げ振動に分けて考える 5 棒の縦振動と捩り振動 まっすぐな棒の縦振動の固有振動数 f[ Hz] f l pl である ただし, L [ 単位 m] は棒の長さ, [ N / m ] [ 単位 Kg / m ] E は (5) E 単位は棒の材料の縦弾性係数 ( ヤング率 ) は棒の材料の単位体積当りの質量である l は境界条件と振動モードによって決まる無
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TOP URL http://amonphys.web.fc.com/ 3.............................. 3.............................. 4.3 4................... 5.4........................ 6.5........................ 8.6...........................7
横浜市環境科学研究所
周期時系列の統計解析 単回帰分析 io 8 年 3 日 周期時系列に季節調整を行わないで単回帰分析を適用すると, 回帰係数には周期成分の影響が加わる. ここでは, 周期時系列をコサイン関数モデルで近似し単回帰分析によりモデルの回帰係数を求め, 周期成分の影響を検討した. また, その結果を気温時系列に当てはめ, 課題等について考察した. 気温時系列とコサイン関数モデル第 報の結果を利用するので, その一部を再掲する.
元素分析
: このマークが付してある著作物は 第三者が有する著作物ですので 同著作物の再使用 同著作物の二次的著作物の創作等については 著作権者より直接使用許諾を得る必要があります (PET) 1 18 1 18 H 2 13 14 15 16 17 He 1 2 Li Be B C N O F Ne 3 4 5 6 7 8 9 10 Na Mg 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Al Si P
7 π L int = gψ(x)ψ(x)φ(x) + (7.4) [ ] p ψ N = n (7.5) π (π +,π 0,π ) ψ (σ, σ, σ )ψ ( A) σ τ ( L int = gψψφ g N τ ) N π * ) (7.6) π π = (π, π, π ) π ±
![7 π L int = gψ(x)ψ(x)φ(x) + (7.4) [ ] p ψ N = n (7.5) π (π +,π 0,π ) ψ (σ, σ, σ )ψ ( A) σ τ ( L int = gψψφ g N τ ) N π * ) (7.6) π π = (π, π, π ) π ±](/thumbs/91/106462075.jpg "7 π L int = gψ(x)ψ(x)φ(x) + (7.4) [ ] p ψ N = n (7.5) π (π +,π 0,π ) ψ (σ, σ, σ )ψ ( A) σ τ ( L int = gψψφ g N τ ) N π * ) (7.6) π π = (π, π, π ) π ±")
7 7. ( ) SU() SU() 9 ( MeV) p 98.8 π + π 0 n 99.57 9.57 97.4 497.70 δm m 0.4%.% 0.% 0.8% π 9.57 4.96 Σ + Σ 0 Σ 89.6 9.46 K + K 0 49.67 (7.) p p = αp + βn, n n = γp + δn (7.a) [ ] p ψ ψ = Uψ, U = n [ α
周期時系列の統計解析 (3) 移動平均とフーリエ変換 nino 2017 年 12 月 18 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ( ノイズ ) の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分の振幅
周期時系列の統計解析 3 移動平均とフーリエ変換 io 07 年 月 8 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ノイズ の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分のがどのように変化するのか等について検討する. また, 気温の実測値に移動平均を適用した結果についてフーリエ変換も併用して考察する. 単純移動平均の計算式移動平均には,
LCR e ix LC AM m k x m x x > 0 x < 0 F x > 0 x < 0 F = k x (k > 0) k x = x(t)
338 7 7.3 LCR 2.4.3 e ix LC AM 7.3.1 7.3.1.1 m k x m x x > 0 x < 0 F x > 0 x < 0 F = k x k > 0 k 5.3.1.1 x = xt 7.3 339 m 2 x t 2 = k x 2 x t 2 = ω 2 0 x ω0 = k m ω 0 1.4.4.3 2 +α 14.9.3.1 5.3.2.1 2 x
Microsoft Word - 量子化学概論v1c.doc
この講義ノートは以下の URL から入手できます http://www.sbchem.kyoto-u.ac.p/matsuda-lab/hase_fles/educaton_jh.html 量子化学概論講義ノート 3 正準 HF(Canoncal HF) 方程式 制限 HF(RHF) 方程式 HF-Roothaan(HFR) 方程式 京都大学工学研究科合成 生物化学専攻長谷川淳也 HF 解の任意性について式
Microsoft PowerPoint - ce07-13b.ppt
制御工学 3 第 8 章 : フィードバック制御系の設計法 8. 設計手順と性能評価キーワード : 設計手順, 性能評価 8. ID 補償による制御系設計キーワード : ( 比例 ),I( 積分 ),D( 微分 ) 8.3 進み 遅れ補償による制御系設計キーワード : 遅れ補償, 進み補償 学習目標 : 一般的な制御系設計における手順と制御系の性能評価について学ぶ. ループ整形の考え方を用いて, 遅れ補償,
航空機の運動方程式
可制御性 可観測性. 可制御性システムの状態を, 適切な操作によって, 有限時間内に, 任意の状態から別の任意の状態に移動させることができるか否かという特性を可制御性という. 可制御性を有するシステムに対し, システムは可制御である, 可制御なシステム という言い方をする. 状態方程式, 出力方程式が以下で表されるn 次元 m 入力 r 出力線形時不変システム x Ax u y x Du () に対し,
NLMIXED プロシジャを用いた生存時間解析 伊藤要二アストラゼネカ株式会社臨床統計 プログラミング グループグルプ Survival analysis using PROC NLMIXED Yohji Itoh Clinical Statistics & Programming Group, A
NLMIXED プロシジャを用いた生存時間解析 伊藤要二アストラゼネカ株式会社臨床統計 プログラミング グループグルプ Survival analysis using PROC NLMIXED Yohji Itoh Clinical Statistics & Programming Group, AstraZeneca KK 要旨 : NLMIXEDプロシジャの最尤推定の機能を用いて 指数分布 Weibull
OCW-iダランベールの原理
講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理 無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明する これを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになる また, 後半では, ダランベールの原理の応用として ラグランジュ方程式の導出を示す
Microsoft Word - Chap17
第 7 章化学反応に対する磁場効果における三重項機構 その 7.. 節の訂正 年 7 月 日. 節 章の9ページ の赤枠に記載した説明は間違いであった事に気付いた 以下に訂正する しかし.. 式は 結果的には正しいので安心して下さい 磁場 の存在下でのT 状態のハミルトニアン は ゼーマン項 と時間に依存するスピン-スピン相互作用の項 との和となる..=7.. g S = g S z = S z g
2_R_新技術説明会（佐々木）
% U: 6.58%, Np, Am:.5%, Pu:.% 5.8% Cs 6.5% Sr %.9%Mo 8.74% Tc.9% TODA C 8 H 7 C 8 H 7 N CH C CH N CH O C C 8 H 7 O N MIDOA C 8 H 7 DOODA NTA + HN(C 8 H 7 ) + H O DCC + SOCl + HN(C 8 H 7 ) + Cl TODA (TODA)
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折戸の物理 スペシャル補習 http://orito-buturi.com/ NO.3 今日の目的 : 1 微分方程式をもう一度 三角関数の近似について学ぶ 3 微分の意味を考える 5. 起電力 の電池, 抵抗値 の抵抗, 自己インダクタンス のコイルとスイッチを用いて右図のような回路をつくった 始めスイッチは 開かれている 時刻 t = でスイッチを閉じた 以下の問に答えよ ただし, 電流はコイルに
CRA3689A
AVIC-DRZ90 AVIC-DRZ80 2 3 4 5 66 7 88 9 10 10 10 11 12 13 14 15 1 1 0 OPEN ANGLE REMOTE WIDE SET UP AVIC-DRZ90 SOURCE OFF AV CONTROL MIC 2 16 17 1 2 0 0 1 AVIC-DRZ90 2 3 4 OPEN ANGLE REMOTE SOURCE OFF
S I. dy fx x fx y fx + C 3 C dy fx 4 x, y dy v C xt y C v e kt k > xt yt gt [ v dt dt v e kt xt v e kt + C k x v + C C k xt v k 3 r r + dr e kt S dt d
S I.. http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda /TeX/lecture.html PDF PS.................................... 3.3.................... 9.4................5.............. 3 5. Laplace................. 5....
1/120 別表第 1(6 8 及び10 関係 ) 放射性物質の種類が明らかで かつ 一種類である場合の放射線業務従事者の呼吸する空気中の放射性物質の濃度限度等 添付 第一欄第二欄第三欄第四欄第五欄第六欄 放射性物質の種類 吸入摂取した 経口摂取した 放射線業 周辺監視 周辺監視 場合の実効線 場合
1/120 別表第 1(6 8 及び10 関係 ) 放射性物質の種類が明らかで かつ 一種類である場合の放射線業務従事者の呼吸する空気中の放射性物質の濃度限度等 添付 第一欄第二欄第三欄第四欄第五欄第六欄 放射性物質の種類 吸入摂取した 経口摂取した 放射線業 周辺監視 周辺監視 場合の実効線 場合の実効線 務従事者 区域外の 区域外の 量係数 量係数 の呼吸す 空気中の 水中の濃 る空気中 濃度限度
数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ
数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュレーションによって計算してみる 4.1 放物運動一様な重力場における放物運動を考える 一般に質量の物体に作用する力をとすると運動方程式は
Gauss Gauss ɛ 0 E ds = Q (1) xy σ (x, y, z) (2) a ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 (r, θ, φ) (1) xy A Gauss ɛ 0 E ds = ɛ 0 EA Q = ρa ɛ 0 EA = ρea E = (ρ/ɛ 0 )e
7 -a 7 -a February 4, 2007 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 1 Gauss Gauss ɛ 0 E ds = Q (1) xy σ (x, y, z) (2) a ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 (r, θ, φ) (1) xy A Gauss ɛ 0 E ds = ɛ 0 EA Q = ρa ɛ 0 EA = ρea E = (ρ/ɛ 0 )e z
) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8)
4 4 ) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8) a b a b = 6i j 4 b c b c 9) a b = 4 a b) c = 7
8km M km M M8.4 1M M M 東北地方太平洋沖で想定されていた地震 Fig % 8 9% M8. 6 3m M % Fig.1 Distribution of
東日本大震災 A Catastrophic Earthquake in Tohoku, Japan 1) 東北地方太平洋沖地震の地震 地震動について 1) Earthquake and Strong Ground Motion of the 211 off the Pacific Coast of Tohoku Earthquake 小林喜久二 Kikuji Kobayashi *1 211 3 11
ଗȨɍɫȮĘർǻ 図 : a)3 次元自由粒子の波数空間におけるエネルギー固有値の分布の様子 b) マクロなサイズの系 L ) における W E) と ΩE) の対応 として与えられる 周期境界条件を満たす波数 kn は kn = πn, L n = 0, ±, ±, 7) となる 長さ L の有限
: Email: mizushima@mp.es.osaka-u.ac.jp, D38 0 08 5 S = k B ln W ) W n [] [] 5 N. 6 d h m dx ϕ nx) = E n ϕ n x) ) L 5 ϕ n x = 0) = ϕ n x = L) = 0, N k n ϕ n = N sink n x), E n = h k n m 3) k n = nπ, n =,,
t = h x z z = h z = t (x, z) (v x (x, z, t), v z (x, z, t)) ρ v x x + v z z = 0 (1) 2-2. (v x, v z ) φ(x, z, t) v x = φ x, v z
I 1 m 2 l k 2 x = 0 x 1 x 1 2 x 2 g x x 2 x 1 m k m 1-1. L x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ẋ 1 x = 0 1-2. 2 Q = x 1 + x 2 2 q = x 2 x 1 l L Q, q, Q, q M = 2m µ = m 2 1-3. Q q 1-4. 2 x 2 = h 1 x 1 t = 0 2 1 t x 1 (t)
,. Black-Scholes u t t, x c u 0 t, x x u t t, x c u t, x x u t t, x + σ x u t, x + rx ut, x rux, t 0 x x,,.,. Step 3, 7,,, Step 6., Step 4,. Step 5,,.
9 α ν β Ξ ξ Γ γ o δ Π π ε ρ ζ Σ σ η τ Θ θ Υ υ ι Φ φ κ χ Λ λ Ψ ψ µ Ω ω Def, Prop, Th, Lem, Note, Remark, Ex,, Proof, R, N, Q, C [a, b {x R : a x b} : a, b {x R : a < x < b} : [a, b {x R : a x < b} : a,
Microsoft Word - 演習５_蒸発装置
1-4) q T sat T w T S E D.N.B.(Departure from Nucleate Boiling)h(=q/ T sat ) F q B q D 3) 1 5-7) 4) T W [K] T B [K]T BPR [K] B.P.E.Boiling Pressure Rising T B T W T BPR (3.1) Dühring T BPR T W T W T B T
振動学特論火曜 1 限 TA332J 藤井康介 6 章スペクトルの平滑化 スペクトルの平滑化とはギザギザした地震波のフーリエ スペクトルやパワ スペクトルでは正確にスペクトルの山がどこにあるかはよく分からない このようなスペクトルから不純なものを取り去って 本当の性質を浮き彫
6 章スペクトルの平滑化 スペクトルの平滑化とはギザギザした地震波のフーリエ スペクトルやパワ スペクトルでは正確にスペクトルの山がどこにあるかはよく分からない このようなスペクトルから不純なものを取り去って 本当の性質を浮き彫りにするために スペクトルを滑らかにする操作のことをいう 6.1 合積のフーリエ変換スペクトルの平滑化を行う際に必要な 合積とそのフーリエ変換について説明する 6.2 データ
2016 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 16 2 1 () X O 3 (O1) X O, O (O2) O O (O3) O O O X (X, O) O X X (O1), (O2), (O3) (O2) (O3) n (O2) U 1,..., U n O U k O k=1 (O3) U λ O( λ Λ) λ Λ U λ O 0 X 0 (O2) n =
<88AE3289F188CF88F589EF E786264>
液状化の検討方法について 資料 -6 1. 液状化の判定方法 液状化の判定は 建築基礎構造設計指針 ( 日本建築学会 ) に準拠して実施する (1) 液状化判定フロー 液状化判定フローを図 -6.1 に示す START 判定対象土層の設定 (2) 判定対象土層 液状化の判定を行う必要がある飽和土層は 一般に地表面から 2m 程度以浅の沖積層で 考慮すべき土の種類は 細粒分含有率が 35% 以下の土とする
フィードバック ~ 様々な電子回路の性質 ~ 実験 (1) 目的実験 (1) では 非反転増幅器の増幅率や位相差が 回路を構成する抵抗値や入力信号の周波数によってどのように変わるのかを調べる 実験方法 図 1 のような自由振動回路を組み オペアンプの + 入力端子を接地したときの出力電圧 が 0 と
フィードバック ~ 様々な電子回路の性質 ~ 実験 (1) 目的実験 (1) では 非反転増幅器の増幅率や位相差が 回路を構成する抵抗値や入力信号の周波数によってどのように変わるのかを調べる 実験方法 図 1 のような自由振動回路を組み オペアンプの + 入力端子を接地したときの出力電圧 が 0 となるように半固定抵抗器を調整する ( ゼロ点調整のため ) 図 1 非反転増幅器 2010 年度版物理工学実験法
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電磁波工学 第 5 回平面波の媒質への垂直および射入射と透過 柴田幸司 Bounda Plan Rgon ε μ Rgon Mdum ( ガラスなど ε μ z 平面波の反射と透過 垂直入射の場合 左図に示す様に 平面波が境界面に対して垂直に入射する場合を考える この時の入射波を とすると 入射波は境界において 透過波 と とに分解される この時の透過量を 反射量を Γ とおくと 領域 における媒質の誘電率に対して透過量
2 図微小要素の流体の流入出 方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は 以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量 密度 流速 断面 Ⅰ の面積 微小要素の断面 Ⅰ から だけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように
3 章 Web に Link 解説 連続式 微分表示 の誘導.64 *4. 連続式連続式は ある領域の内部にある流体の質量の収支が その表面からの流入出の合計と等しくなることを定式化したものであり 流体における質量保存則を示したものである 2. 連続式 微分表示 の誘導図のような微小要素 コントロールボリューム の領域内の流体の増減と外部からの流体の流入出を考えることで定式化できる 微小要素 流入
S I. dy fx x fx y fx + C 3 C vt dy fx 4 x, y dy yt gt + Ct + C dt v e kt xt v e kt + C k x v k + C C xt v k 3 r r + dr e kt S Sr πr dt d v } dt k e kt
S I. x yx y y, y,. F x, y, y, y,, y n http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda n /TeX/lecture.html PDF PS yx.................................... 3.3.................... 9.4................5..............
概論 : 人工の爆発と自然地震の違い ~ 波形の違いを調べる前に ~ 人為起源の爆発が起こり得ない場所がある 震源決定の結果から 人為起源の爆発ではない事象が ある程度ふるい分けられる 1 深い場所 ( 深さ約 2km 以上での爆発は困難 ) 2 海底下 ( 海底下での爆発は技術的に困難 ) 海中や
地震波からみた自然地震と爆発の 識別について 平成 22 年 9 月 9 日 ( 財 ) 日本気象協会 NDC-1 概論 : 人工の爆発と自然地震の違い ~ 波形の違いを調べる前に ~ 人為起源の爆発が起こり得ない場所がある 震源決定の結果から 人為起源の爆発ではない事象が ある程度ふるい分けられる 1 深い場所 ( 深さ約 2km 以上での爆発は困難 ) 2 海底下 ( 海底下での爆発は技術的に困難
chap9.dvi
9 AR (i) (ii) MA (iii) (iv) (v) 9.1 2 1 AR 1 9.1.1 S S y j = (α i + β i j) D ij + η j, η j = ρ S η j S + ε j (j =1,,T) (1) i=1 {ε j } i.i.d(,σ 2 ) η j (j ) D ij j i S 1 S =1 D ij =1 S>1 S =4 (1) y j =
( ) ( )
20 21 2 8 1 2 2 3 21 3 22 3 23 4 24 5 25 5 26 6 27 8 28 ( ) 9 3 10 31 10 32 ( ) 12 4 13 41 0 13 42 14 43 0 15 44 17 5 18 6 18 1 1 2 2 1 2 1 0 2 0 3 0 4 0 2 2 21 t (x(t) y(t)) 2 x(t) y(t) γ(t) (x(t) y(t))
スペクトルに対応する英語はスペクトラム（spectrum）です
7. ハミング窓とフラットトップ窓の等価ノイズ帯域幅 (ENBW) (1) Hamming 窓 Hamming 窓は次式で表されます MaTX にも関数が用意されています win = 0.54-0.46*cos(2*PI*[k/(N-1)); ただし k=0,1,---,n-1 N=256; K=[0:N-1]; w=0.54-0.46*cos(2*pi*k/(n-1)); mgplot_reset(1);
i
009 I 1 8 5 i 0 1 0.1..................................... 1 0.................................................. 1 0.3................................. 0.4........................................... 3
量子力学 問題
3 : 203 : 0. H = 0 0 2 6 0 () = 6, 2 = 2, 3 = 3 3 H 6 2 3 ϵ,2,3 (2) ψ = (, 2, 3 ) ψ Hψ H (3) P i = i i P P 2 = P 2 P 3 = P 3 P = O, P 2 i = P i (4) P + P 2 + P 3 = E 3 (5) i ϵ ip i H 0 0 (6) R = 0 0 [H,
1 12 CP 12.1 SU(2) U(1) U(1) W ±,Z [ ] [ ] [ ] u c t d s b [ ] [ ] [ ] ν e ν µ ν τ e µ τ (12.1a) (12.1b) u d u d +W u s +W s u (udd) (Λ = uds)
![1 12 CP 12.1 SU(2) U(1) U(1) W ±,Z [ ] [ ] [ ] u c t d s b [ ] [ ] [ ] ν e ν µ ν τ e µ τ (12.1a) (12.1b) u d u d +W u s +W s u (udd) (Λ = uds)](/thumbs/103/157838498.jpg "1 12 CP 12.1 SU(2) U(1) U(1) W ±,Z [ ] [ ] [ ] u c t d s b [ ] [ ] [ ] ν e ν µ ν τ e µ τ (12.1a) (12.1b) u d u d +W u s +W s u (udd) (Λ = uds)")
1 1 CP 1.1 SU() U(1) U(1) W ±,Z 1 [ ] [ ] [ ] u c t d s b [ ] [ ] [ ] ν e ν µ ν τ e µ τ (1.1a) (1.1b) u d u d +W u s +W s u (udd) (Λ = uds) n + e + ν e d u +W u + e + ν e (1.a) Λ + e + ν e s u +W u + e
22 610407487 ロ ペ ミ ッ ク 小 児 用 0. 0 5 % 2319001C1072 23 610412059 ゲ シ ン L 錠 5 0 m g 2478001G1046 24 610412105 ソ レ ル モ ン S R カ プ セ ル 3 7. 5 m g 1147002N1
お 知 ら せ ( 薬 ) 0 0 5 平 成 2 0 年 8 月 2 9 日 医 薬 品 マ ス タ ー の 改 定 に つ い て 今 般 下 記 の と お り 医 薬 品 マ ス タ ー を 改 定 し ま し た の で お 知 ら せ し ま す 記 次 の 医 薬 品 に つ い て は 平 成 2 0 年 3 月 5 日 付 け 厚 生 労 働 省 告 示 第 7 2 号 に 基 づ
ディジタル信号処理
ディジタルフィルタの設計法. 逆フィルター. 直線位相 FIR フィルタの設計. 窓関数法による FIR フィルタの設計.5 時間領域での FIR フィルタの設計 3. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 I 4. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 II 5. 双 次フィルタ LI 離散時間システムの基礎式の証明 [ ] 4. ] [ ]*
Note.tex 2008/09/19( )
1 20 9 19 2 1 5 1.1........................ 5 1.2............................. 8 2 9 2.1............................. 9 2.2.............................. 10 3 13 3.1.............................. 13 3.2..................................
64 3 g=9.85 m/s 2 g=9.791 m/s 2 36, km ( ) 1 () 2 () m/s : : a) b) kg/m kg/m k
63 3 Section 3.1 g 3.1 3.1: : 64 3 g=9.85 m/s 2 g=9.791 m/s 2 36, km ( ) 1 () 2 () 3 9.8 m/s 2 3.2 3.2: : a) b) 5 15 4 1 1. 1 3 14. 1 3 kg/m 3 2 3.3 1 3 5.8 1 3 kg/m 3 3 2.65 1 3 kg/m 3 4 6 m 3.1. 65 5