信号の標本化

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1 信号処理の実例 逆フィルター

2 2 世紀社会の構造 情報ネットワーク社会 計算 情報モデル 法律 規則 守る? 物理化学法則 従う 物理 化学モデル 実世界

3 情報ネットワーク社会 計算 処理 情報世界対象数値文字図形グラフ木構造 ID 付与認証対象認識 変化のモデル化シミュレーション予測 関係 相互作用 実世界対象人自動車犬猫不動産 実世界

4 情報ネットワーク社会 逆フィルタ 情報世界対象数値文字図形グラフ木構造 ディジタル化 光景 カメラ撮影 ボケ ブレ ディジタル化 写真 実世界対象人自動車犬猫不動産 実世界

5 実世界での変換のモデル化 実世界における歪み 変換 過程を畳み込みとしてモデル化する f : 実世界の真の 歪みのない 対象 g : 実世界の歪んだ 変換後の 対象 h : 歪み 変換 の特性を表わす関数 g f * h

6 逆フィルタ畳み込みを使った劣化信号の復元 入力 変換器 通信路 線形で時不変な変換 出力 入力 画像の場合 理想的な画像 との畳み込みによる歪み ピンボケ = 2 次元ガウス関数 劣化画像 逆フィルタ

7 逆フィルタ畳み込みを使った劣化信号の復元 入力 変換器 通信路 線形で時不変な変換 出力 入力 逆フーリエ変換 との畳み込みによる歪み との積による復元 逆フィルタ フーリエ変換 とすれば 一般に, この逆フィルタはうまく働かない!

8 画像劣化のモデル 関数 h : 点広がり関数 PSF 画像劣化の性質を表す. 雑音 入力 変換器 通信路 との畳み込み 線形で時不変な変換による歪み + 出力 入力 位置不変な画像劣化のモデル フーリエ変換 とすると, この項の影響は? 復元画像 :

9 点広がり関数の例 原画像 劣化 ボケ 画像 A: ピンボケ フーリエ変換 逆フーリエ変換 0 B: 横方向のブレ v 0 u 劣化 ブレ 画像 0 0 v u

10 逆フィルタの問題点と改良 A: ピンボケ 単純な逆フィルタ の場合, が小さな範囲では, 雑音成分が非常に大きくなる. が大きな範囲のみを利用. 0 B: 横方向のブレ v 0 u 閾値 例えば,A の場合, 0 0 v u

11 ウィーナ フィルタ 単純な逆フィルタ : ノイズ項を無視している 雑音に弱い! 低周波成分のみの逆フィルタ : SN 比が比較的大きいと考えられる低周波領域のみを利用する. ウィーナ フィルタ Wieer filer * は複素共役を表す. P N, P S はそれぞれ, 雑音と原信号のパワースペクトル. 雑音に関する 統計的 性質を積極的に利用 原画像と復元画像の平均 2 乗誤差を最小とするような変換を求める.

12 ウィーナ フィルタの導出 劣化 : 復元 : 2 確率場 : F u, v とN u, v 決定的関数 : H u, v と u, v 平均 を最小とする を求める. 以下では,u, v を 省略して表記する. 2 F u, v と N u, v は独立 について整理 平方完成

13 ウィーナ フィルタの導出 ウィーナ フィルタ Wieer filer 誤差の最小値 で平均 2 乗誤差は最小となる. 通常, 正確に求めることができないので, 適当な定数で近似する. 雑音成分がない P N = 0 とすると, このフィルタは に一致し, 平均二乗誤差の最小値は 0 となる. 確率場を用いた厳密な説明は, ディジタル画像処理 監訳 : 長尾眞, 近代科学社,978 の第 7 章を参照すること.

14 結果の比較 劣化画像 単純な逆フィルタ 低周波成分のみの逆フィルタ ウィーナ フィルタ ピンボケ 横方向のブレ

15 課題課題 7 9. 真黒な紙に針で穴を開け 紙の後ろに電球を置く カメラでフォーカスを色々変えながら 前から紙の画像を撮影すると ピンボケによる点広がり関数を画像データとして求めることができる 2. 紙にフォーカスを合わせた状態で カメラのシャッタースピードを遅くし 紙を縦や横に動かして画像を撮影すると ブレによる点広がり関数を画像データとして求めることができる 3.2 枚の色の異なった紙を前後に離して置き フォーカスを変えながら画像を撮影をするとどうなるかを考えてみよう 4. 撮影した風景写真 枚を分析して 撮影時に生じた劣化を求めるには どうすればよいか考えてみよう 最近米国で発売された ligh field camera では 撮影後に画像のフォーカスを自由に変えることができる hp://

16 これまでの復習とこれからの課題アナログ信号 フーリエ変換とラプラス変換 デルタ関数の導入によるフーリエ変換の拡張 2 次元フーリエ変換 2 次元周波数 畳み込み演算 相関関数 C の原理 次元フーリエ変換と 2 次元フーリエ変換の関係 逆フィルター 標本化 デルタ関数の周期系列 標本化定理 折り返し歪み エイリアシング 補間関数 2 次元標本化定理

17 標本化

18 信号の標本化 標本化パルス系列 標本化された信号 { }, は整数 連続関数 数列 [ ], は整数

19 情報の世界 情報世界対象数値文字図形グラフ木構造 実世界対象人自動車犬猫不動産 ディジタル信号 [] ディジタル化 量子化 標本化信号 標本化 対象 実世界 計測 信号 数学の世界

20 情報の世界 情報世界対象数値文字図形グラフ木構造 実世界対象人自動車犬猫不動産 ディジ離散時間信号タル c 化 ディジタル信号 [] 量子化 符号化 標本化信号 対象 実世界 計測 信号 数学の世界 標本化

21 標本化された信号のフーリエ変換標本化された信号 * 2 X X X du u X u X X ] [ 2 ] * [ 2 標本化パルス系列のフーリエ変換 ] [ j j e d e F j e フーリエ級数展開 2

22 標本化定理 帯域制限信号 X 0 0 標本化間隔 で標本化 X X の場合 2 の場合

23 2 P X X 逆フーリエ変換 2 / Sa P と ] の畳み込み [ F 2 P なので の時 2 f F F f ] [ F 2 Sa P

24 Sa d Sa d Sa Sa Sa Sa P } { * i ] [ F なので としたとき がいつのまにか定義と異なったものになっている! としており では教科書 32 ページ式 i * * * 2.67 Sa h

25 標本化定理 帯域制限信号 X 0 2 のとき 0 i[ ] : 整数 Sa

26 標本化された信号のフーリエ変換標本化パルス系列 フーリエ変換 標本化された信号, G g F f * G F W g f du u G u F g f 2 フーリエ変換と畳み込み

27 畳み込み : f * F g u G f u du g d f 0 a フィルタ関数 インパルス応答 f 0 b 処理対象の信号 f 0 g 0 f c フィルタ関数を平行移動して倍する 0 0 d 0 を変化させたときの波形 f * g 0 2 の場合 e d の波形を全て重ね合わせて加算した信号

28 2 次元信号の標本化 2 次元フーリエ変換 ddy vy u j y f v u F } ep{,, dudv vy u j v u F y f } ep{, 2, 2 標本化格子 : 2,..., 0,,, 2 m y r r mr r m 周波数領域の双対格子 : j i j i r q p v u q p j i pq 0 2,..., 0,,, 2 但し

29 標本化格子 : 周波数領域の双対格子 : y r m pq mr r2 r, y m, 0,, 2,... 但し p q r i j 2 0 i i u, v j j 2 p, q v 0,, 2,... r 2 r u

30 2 次元信号の標本化定理 次元信号の場合 X X 2 次元信号の場合 f r f r m r r F F pq A p q A : r, で作られる平行四辺形の面積 r2 m

31 2 次元信号の標本化

32 標本化定理の意味 X X P 0 2 の場合 逆フーリエ変換 と F [ ] の畳込み P i[ ] : 整数 Sa つまり 標本化された信号 とSa を畳み込むことによって 以外の任意のにおける の値が求められる これは 離散信号の補間と見なすことができる

33 離散信号の補間法 I. 最近傍補間 2. 線形補間 ˆ ˆ のとき のとき

34 離散信号の補間法 II 3.3 次多項式補間 ˆ C C 4. 標本化定理 : 整数 Sa ] i[

35 課題 9 課題 8 行いなさい の値をいろいろ変えて 計算においては との誤差を描きなさい それぞれ計算で求め をの復元結果補間 標本化定理で元の関数から最近傍補間 線形補間 3 次多項式関数で標本化したを標本化周波数また 両者の誤差関数を描きなさい の近似関数であるが は補間関数 Sa C 0 0 ˆ i

36 補間が必要となる処理 サンプリング周波数の変換 Dowamplig: サンプリング周波数を下げる Upamplig: サンプリング周波数を上げる 画像の拡大縮小 回転 座標系の変換

37 画像の幾何学的変換 補正 幾何学的変換 計算

38 原画像 白枠の部分を拡大 最近傍補間 線形補間

39 課題 9. ホームページにある音データに対して /2 の dowamplig および 2 倍の upamplig を行ったものをそのまま音として聞くとどのようになるかを調べなさい 音再生ソフトは再生する音データのサンプリング周波数が固定あるいは可変になっている 2. 通常の NSC 規格のビデオ映像 画素 をハイビジョンテレビ 画素 で映す場合およびその逆の場合には どのような処理をすればよいか考えなさい