本 資 料 の 内 容 と 範 囲 本 資 料 は S&P ダウ ジョーンズ インデックスの 一 つである S&P/JPX 日 本 国 債 ボラティリ ティー インデックス(S&P/JPX JGB VIX 以 下 本 指 数 という )の 設 計 仕 様 と 計 算 方 法 を 説 明 する 本 指

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1 S&P/JPX 日 本 国 債 VIX 指 数 ホワイト ペーパー 参 考 訳 この 参 考 訳 は 公 式 訳 ではありません あくまで 参 考 訳 であり 翻 訳 と 英 語 原 文 間 に 齟 齬 がある 場 合 は 英 語 原 文 が 優 先 するものとします 015 年 10 月 15 日

2 本 資 料 の 内 容 と 範 囲 本 資 料 は S&P ダウ ジョーンズ インデックスの 一 つである S&P/JPX 日 本 国 債 ボラティリ ティー インデックス(S&P/JPX JGB VIX 以 下 本 指 数 という )の 設 計 仕 様 と 計 算 方 法 を 説 明 する 本 指 数 は 長 期 国 債 先 物 オプション 価 格 から 導 出 された 長 期 国 債 先 物 価 格 の 期 間 を 30 日 間 に 固 定 したボラティリティーの 公 正 な 市 場 価 格 を 測 定 する 本 指 数 はアッ ト ザ マネー(ATM)の 権 利 行 使 価 格 から 導 出 されるインプライド ボラティリティーとは 異 なり アウト オブ ザ マネー(OTM)の 権 利 行 使 価 格 のオプション 価 格 に 織 り 込 まれる 情 報 を 取 り 込 むことにより 権 利 行 使 価 格 水 準 に 左 右 されず かつ 特 定 の 理 論 モデルに 依 拠 しない(モデル フリーな)ボラティリティーの 計 測 を 可 能 としている 謝 辞 本 指 数 の 開 発 においては アントニオ メレ ヨシキ オオバヤシ 両 氏 による 多 大 な 貢 献 を この 場 を 借 りて 深 く 感 謝 したい

3 背 景 : 日 本 国 債 日 本 国 債 先 物 日 本 国 債 先 物 オプション 日 本 国 債 及 び 国 庫 短 期 証 券 の 発 行 総 額 は 014 年 4 月 時 点 で 1,000 兆 円 を 僅 かに 下 回 る 規 模 であり わが 国 は 米 国 に 次 ぐ 世 界 第 位 のソブリン 債 市 場 となっている このう ち 発 行 総 額 の 90% 超 は 日 本 銀 行 ゆうちょ 銀 行 地 方 銀 行 都 市 銀 行 生 命 保 険 会 社 及 び 年 金 基 金 等 から 構 成 される 国 内 投 資 家 層 が 保 有 している 日 本 国 債 に 係 る 上 場 デリバティブ 取 引 には 先 物 取 引 と 先 物 オプション 取 引 があり 株 式 会 社 東 京 証 券 取 引 所 と 株 式 会 社 大 阪 証 券 取 引 所 の 経 営 統 合 に 伴 い デリバティブ 市 場 が 株 式 会 社 大 阪 取 引 所 (デリバティブ 市 場 統 合 後 同 社 は 社 名 を 株 式 会 社 大 阪 取 引 所 と 変 更 )に 集 約 された 後 は 株 式 会 社 大 阪 取 引 所 (OSE)において 先 物 オプション 取 引 が 行 われている 国 債 先 物 価 格 や 国 債 のボラティリティーは 幅 広 い 投 資 家 に 影 響 を 及 ぼしていると 考 えられる 算 出 式 本 指 数 は 国 債 先 物 を 原 資 産 とする 仮 想 バリアンス スワップを 想 定 し 簡 素 化 された 方 法 により 算 出 されたオプション 価 格 に 基 づく 算 出 式 を 用 いて 計 算 される: 1 s t = é 1 æ å Put t (K i ) DK i (T - t) P t (T ) K i < ˆK K + Call (K ) DK ö å i ç t i è i K i ³ ˆK K - F - ˆK æ ö ù ç ú ë i ø è ˆK ø û ú 上 述 の 算 出 式 における 変 数 は 以 下 のとおり 定 義 する t 現 時 点 ( 指 数 計 算 時 点 ) T F Put u (K u ) Call u (K u ) ˆK K u ボラティリティー 満 期 T 時 点 以 降 に 満 期 が 到 来 する 国 債 先 物 のt 時 点 における 価 格 国 債 先 物 OTM プット オプション( 権 利 行 使 価 格 :K u 満 期 :T) 契 約 のt 時 点 における 価 格 国 債 先 物 OTM コール オプション( 権 利 行 使 価 格 :K u 満 期 :T) 契 約 のt 時 点 における 価 格 F 以 下 で 最 初 に 有 効 な 権 利 行 使 価 格 水 準 i 番 目 に 高 い OTM 権 利 行 使 価 格 水 準 1 後 述 の 追 補 ご 参 照

4 K u 最 も 高 い OTM 権 利 行 使 価 格 水 準 K u につきK u K uuu 最 も 低 い OTM 権 利 行 使 価 格 水 準 K u につきK uuu K u ; 上 述 以 外 :(K uuu K uuu ) / P u (T) 満 期 T のゼロクーポン 日 本 国 債 のt 時 点 における 価 格 この 算 出 式 の 平 方 根 内 は 追 補 に 詳 述 のとおりF に 対 する 満 期 Tのバリアンス スワップ のt 時 点 における 価 格 を 表 す

5 計 算 方 法 投 資 期 間 : 本 指 数 は 長 期 国 債 先 物 における 30 日 間 のインプライド ボラティリティーを 計 測 する 目 的 で 設 計 されている データ: 先 物 とオプションに 関 するデータは OSE 提 供 の 日 次 清 算 値 段 を 利 用 し 日 本 国 債 利 回 りに 関 するデータは Reuters のものを 利 用 Step 1: オプション 満 期 の 選 択 本 指 数 の 対 象 となるオプションの 残 存 期 間 ( 満 期 )が 30 日 と 一 致 しない 限 り つの 異 なる 満 期 のオプションの 期 待 バリアンス( 分 散 )の 残 存 期 間 に 関 する 加 重 平 均 値 によ って 期 間 30 日 間 の 期 待 ボラティリティーを 推 計 する 最 も 期 近 な 限 月 ( 第 1 限 月 )のオプション 及 び 次 に 期 近 な 限 月 ( 第 限 月 )のオプショ ンより 期 間 30 日 間 のボラティリティーを 算 出 する 具 体 的 に 例 示 すると 013 年 6 月 1 日 において 本 指 数 は 第 1 限 月 である 013 年 6 月 8 日 及 び 第 限 月 である 013 年 7 月 31 日 満 期 のオプションを 用 いて 計 算 する 第 1 限 月 / 第 限 月 のオプションは 原 資 産 となる 先 物 取 引 限 月 が 異 なる 場 合 があるが 実 務 上 はプライシングへの 影 響 は 考 慮 しない Step : 権 利 行 使 価 格 の 選 択 ある 満 期 に 対 してコールとプットの 価 格 差 が 最 小 となる 権 利 行 使 価 格 が ATM 権 利 行 使 価 格 の 近 似 解 となりえる ATM 権 利 行 使 価 格 を 上 回 る( 下 回 る)OTM コール(プット) オプションについて もし 当 該 オプションの 清 算 値 段 が 0 円 または 0.01 円 になる 権 利 行 使 価 格 が 存 在 すれば 当 該 権 利 行 使 価 格 までの 銘 柄 が 対 象 となる Step1 の 例 に 次 の 条 件 を 追 加 し 013 年 9 月 0 日 に 受 渡 決 済 を 行 う 先 物 取 引 の 013 年 6 月 1 日 における 清 算 値 段 が 円 また 第 1 限 月 (Near Term) 及 び 第 限 月 (Next Term)の オプション 取 引 における 清 算 値 段 が 以 下 のとおりだったとする 後 述 の 追 補 ご 参 照

6 Strike Near Call Near Put Next Call Next Put 上 表 では 14 円 の 権 利 行 使 価 格 がプットとコールの 清 算 値 段 の 差 が 第 1 限 月 / 第 限 月 双 方 において 最 小 となり 第 1 限 月 / 第 限 月 双 方 の ATM 権 利 行 使 価 格 となる 3 この 権 利 行 使 価 格 (14 円 )は 原 資 産 である 先 物 取 引 の 清 算 値 段 円 に 近 接 しており 本 指 数 計 算 対 象 に 含 まれるオプションは 上 表 に 薄 緑 色 で 記 載 している 本 指 数 の 算 出 に 利 用 す る ATM 権 利 行 使 価 格 の 清 算 値 段 はコール 価 格 とプット 価 格 の 平 均 値 であり 第 1 限 月 が 0.50 円 第 限 月 が 0.85 円 である なお 本 指 数 計 算 対 象 に 含 まれる 権 利 行 使 価 格 は プットとコール 第 1 限 月 / 第 限 月 の 間 で 本 数 が 異 なり 市 況 によっても 変 わりうる Step 3: 第 1 限 月 / 第 限 月 のバリアンス( 分 散 )の 計 算 前 掲 のボラティリティー 算 出 式 の 平 方 根 内 の 数 値 が オプションから 導 出 されたバリ アンス( 分 散 )である: 3 つの 異 なる 満 期 を 有 するオプションは 異 なる ATM 権 利 行 使 水 準 を 持 ち 得 る( 急 に 上 がる/ 下 がるボラテ ィリティーの 期 間 構 造 を 有 する 場 合 )

7 é 1 æ s = å Put t (K i ) DK i (T - t) P t (T) K i < ˆK K + Call (K ) DK ö å i ç t i è i K i ³ ˆK K - F - ˆK æ ö ù ç ú ë i ø è ˆK ø û ú Step1 Step の 例 に 条 件 を 追 加 して 実 日 数 /365 日 の 年 換 算 で 第 1 限 月 / 第 限 月 オプ ションの 満 期 までの 残 存 期 間 を (=7/365) 年 及 び (=40/365 ) 年 と 仮 定 する Step で 選 択 されたオプションはそれぞれウェイト DK i ( ストライク ウェイト )を 有 する Near Term Options Next-Term Options Strike Price delta K Strike Weight Price x Weight Price delta K Strike Weight Price x Weight E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-06 Sum E-05 Sum K i

8 Reuter 社 から 情 報 取 得 した 1 か 月 満 期 のゼロクーポン 日 本 国 債 (ZC JGB)のイールド を 使 用 して 残 存 期 間 7 日 及 び 40 日 の ZC JGB 価 格 を 算 出 する(ただしフラットなイール ドカーブを 想 定 する): P(7) = 残 存 期 間 7 日 ZC JGB 価 格 = exp ( * ) = P(40) = 残 存 期 間 40 日 ZC JGB 価 格 = exp ( * ) = これらをまとめると: s s near next = = 1 (7 /365) 1 (40/365) é ë é ë ( ) æ ö - ç è 14 ø æ ö ù ç ú è 14 ø úû ù ú = úû ( ) - = Step 4: 残 存 期 間 に 関 する 加 重 平 均 したバリアンスに 基 づき 本 指 数 を 計 算 ( 期 間 30 日 ) 期 間 30 日 のバリアンスは Step 3 で 計 算 された 第 1 限 月 / 第 限 月 のバリアンス 残 存 期 間 に 関 する 加 重 平 均 値 である JGB-VIX t =100 é æ N T near s next - 30 ö æ 30 - N near ç +T next s near öù next ç ú 365 ë è N next - N near ø è N next - N near øû 30 ここでN uuuu と N uuuu はそれぞれ 第 1 限 月 / 第 限 月 の 満 期 までの 残 存 日 数 である 最 終 的 に 以 下 のとおり 導 出 される: JGB-VIX t =100 é 7 æ ö ç + 40 æ 30-7öù ç ú 365 ë365 è 40-7 ø 365 è 40-7øû 30 = 5.6%

9 008 年 1 月 15 日 以 降 のヒストリカル 指 数 値 JGB VIX /15/08 3/15/08 5/15/08 7/15/08 9/15/08 11/15/08 1/15/09 3/15/09 5/15/09 7/15/09 9/15/09 11/15/09 1/15/10 3/15/10 5/15/10 7/15/10 9/15/10 11/15/10 1/15/11 3/15/11 5/15/11 7/15/11 9/15/11 11/15/11 1/15/1 3/15/1 5/15/1 7/15/1 9/15/1 11/15/1 1/15/13 3/15/13 5/15/13 7/15/13 9/15/13 11/15/13 1/15/14 3/15/14 5/15/14 7/15/14 9/15/14 11/15/14 1/15/15 3/15/15 4 ヒストリカル 指 数 算 出 のために 対 応 する 1 か 月 ZC 利 回 り 情 報 は Reuter 社 が 010 年 4 月 5 日 より 提 供 しているためそれ 以 前 は 全 て 0.30%とした

10 追 補 : 理 論 と 計 算 方 法 国 債 先 物 のバリアンス スワップにおける 厳 密 な 理 論 展 開 と 精 緻 な 理 論 価 格 算 出 式 は Mele and Obayashi (014, a)による バリアンス 評 価 出 式 によると 国 債 のバリアンス スワ ップの 公 正 市 場 価 値 は いわゆるフォワード 確 率 (Jamshidian, 1989 等 )に 基 づいた 将 来 実 現 するであろうバリアンスの 期 待 値 であり 一 般 的 に 株 式 のバリアンス 算 出 の 際 に 用 い られる 金 利 固 定 を 前 提 ( 例 :CBOE VIX )とするリスク 中 立 的 な 確 率 に 基 づくものではない このフェアバリューの 特 性 は 金 利 商 品 の 公 正 価 値 評 価 を 行 ううえで 金 利 固 定 してはい けないことからも 明 白 である 些 細 に 思 われるかもしれないが 本 指 数 に 基 づく 先 物 や オプションといった 市 場 流 通 性 を 有 する 商 品 の 評 価 を 行 う 際 には 重 要 なことである 本 指 数 算 出 には 以 下 の4つの 近 似 を 用 いて 理 論 的 なバリアンス 価 値 を 実 務 上 評 価 する 上 で 必 要 な 補 正 を 行 っている: 近 似 1: オプションと 先 物 の 満 期 ミスマッチ 本 指 数 ではオプション 価 格 から 長 期 国 債 先 物 のインプライド ボラティリティーを 導 出 する 原 資 産 たる 先 物 とオプションの 満 期 が 一 致 する 場 合 のみ 本 指 数 算 出 式 は 数 学 的 に かつ 厳 密 に 正 しい 原 資 産 たる 先 物 の 満 期 よりバリアンス 計 算 のために 用 いられる 先 物 オプションの 満 期 の 方 が 短 い 場 合 理 論 的 にはかかる 満 期 ミスマッチの 補 正 が 必 要 とな る 幸 いにも 本 指 数 のように 計 算 対 象 期 間 が 短 い 場 合 このミスマッチによる 誤 差 を Vasicek(1977)の 呈 示 したモデルを 用 いて 計 測 すると 実 務 上 捨 象 できる 程 軽 微 なものであり ミスマッチは 考 慮 する 必 要 がないと 考 える

11 近 似 : アメリカンとヨーロピアン オプション 本 指 数 算 出 はヨーロピアン オプション 即 ち 満 期 日 のみに 行 使 可 能 であるという 前 提 に 依 拠 する しかしながら 実 務 上 は OSE に 上 場 する 長 期 国 債 先 物 オプションは 満 期 日 まで 何 時 でも 行 使 できるアメリカン オプションであり 満 期 前 の 権 利 行 使 に 係 るプレミ アムを 有 する Mele and Obayashi (014, b)による Longstaff Schwartz (001)に 基 づくアメリカン オプションからヨーロピアン オプションへの 変 換 式 によれば 本 指 数 のプライシング 上 の 評 価 誤 差 は 指 数 価 格 対 比 僅 か 1% 程 度 であり 前 述 の 満 期 ミスマッチの 影 響 よりは 大 きいものの 本 指 数 の 算 出 式 にアメリカン オプションの 適 用 を 妨 げない 軽 微 な 影 響 である 詳 細 は 参 考 文 献 Mele and Obayashi (014, b)を 参 照 されたい

12 Impact of early exercise premium JGB VIX (%) American style European style Risk aversion parameter 近 似 3: 存 在 する 権 利 行 使 価 格 は 有 限 個 でありかつ 離 散 的 である 数 学 的 に 厳 密 な 理 論 前 提 においては 権 利 行 使 価 格 がゼロから 無 限 大 まで 無 限 に 連 続 的 に 存 在 する 実 務 上 は 上 場 オプションは 有 限 個 であり したがって 本 指 数 は 実 際 に 存 在 する 個 々の 権 利 行 使 価 格 を 用 いて 加 重 平 均 値 を 算 出 することとした これはどの ようなオプション 市 場 であれ 避 けられないものであり 近 似 誤 差 の 程 度 は 本 指 数 導 出 に 用 いるオプション 権 利 行 使 価 格 水 準 の 範 囲 と 権 利 行 使 価 格 の 数 を 変 えることによって 確 認 できる 近 似 4: アット ザ マネーの 権 利 行 使 価 格 欠 落 æ 数 式 の F - ˆK ö ç 項 はオプションが ATM (At-The-Money)と 一 致 する 権 利 行 使 価 格 が 存 在 しない è ˆK ø 場 合 の 補 正 を 行 っている 詳 細 は Mele and Obayashi (014, b)を 参 照 内 挿 補 間 と 外 挿 補 間 の 比 較 と 早 期 ロール のルールについて CBOE においては VIX の 計 算 に 期 間 1 週 間 の SPX オプションを 取 り 入 れる 以 前 の VIX メソドロジーは 期 近 限 月 オプションの 残 存 期 間 が 1 週 間 以 内 である 場 合 第 限 月 と 第 3

13 限 月 オプションをボラティリティー 算 出 に 利 用 していた これは 残 存 期 間 が 非 常 に 短 い オプションは 特 異 な 挙 動 を 示 すことがあるためで その 影 響 を 低 減 することを 目 的 とし ている CBOE / CBOT 10 年 債 のボラティリティー 指 数 ( TYVIX 米 国 市 場 においての S& P/JPX JGB VIX に 相 当 )の 算 出 においても 同 じ 手 法 を 用 いている OSE における 国 債 先 物 オプションは 3 月 6 月 9 月 及 び 1 月 においては 直 近 3 限 月 が 取 引 可 能 であるが それ 以 外 の 月 は 直 近 限 月 が 取 引 可 能 な 限 月 構 成 となっている よ って 本 指 数 を 算 出 するにあたり 早 期 ロール の 導 入 は 難 しいと 判 断 される しかし 各 四 半 期 限 月 取 引 の 最 後 の 1 か 月 の 期 間 においては 早 期 ロール を 適 用 したデータと 早 期 ロール を 適 用 しないデータを 比 較 してみることとする 下 の 図 は 008 年 1 月 15 日 以 降 における 3 月 6 月 9 月 及 び 1 月 の 各 四 半 期 限 月 取 引 の 取 引 最 終 日 まで 15 取 引 日 以 内 の 期 間 においての 内 挿 補 間 手 法 により 算 出 された 指 数 値 から 外 挿 補 間 手 法 によ り 算 出 された 指 数 値 を 差 し 引 いた 差 の 平 均 値 と 95% 信 頼 区 間 を 示 している 上 の 図 が 示 すように 内 挿 補 間 手 法 により 算 出 された 指 数 値 の 平 均 値 は 外 挿 補 間 手 法 に より 算 出 された 指 数 値 の 平 均 値 よりも 統 計 的 に 有 意 に 高 いことを 確 認 することができる これは 第 1 限 月 と 第 限 月 よりも 第 限 月 と 第 3 限 月 の 間 のボラティリティスロープが 急 であることを 意 味 するとともに 取 引 最 終 日 に 向 かいその 差 は 縮 小 していることがみ てとれる よって 残 存 期 間 が 5 取 引 日 といった 非 常 に 短 いオプションの 特 異 な 挙 動 が 指 数 値 に 与 える 影 響 は 補 間 手 法 の 違 い( 内 挿 か 外 挿 か)に 関 係 なく 第 限 月 における 残 存 期 間 に 関 する 加 重 平 均 計 算 における 重 みによって 抑 制 されると 解 釈 することができる

14 別 の 視 点 での 検 証 として 標 準 的 なイベント スタディのフレームワークを 用 いて 内 挿 補 間 手 法 を 適 用 した 本 指 数 の 第 1 限 月 オプションの 権 利 行 使 最 終 日 近 辺 のパターンを 解 析 した 下 の 図 は 月 末 前 後 それぞれ 10 日 間 の 本 指 数 の 対 数 変 化 率 の 累 積 値 の 平 均 とその 95% 信 頼 区 間 を 示 している ここに 統 計 的 に 有 意 なパターンを 見 つけることはできず したがって 本 指 数 算 出 にあたり VIX メソドロジーの 早 期 ロールを 適 用 しないことが 必 ずしもインデックスの 挙 動 に 重 大 なバイアスや 癖 を 生 成 することはないとの 解 釈 の 根 拠 となっている 参 考 文 献 Jamshidian, Farshid, An Exact Bond Option Pricing Formula. Journal of Finance 44, Longstaff, Francis A. and Eduardo S. Schwartz, 001. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach. Review of Financial Studies 14, Mele, Antonio and Yoshiki Obayashi, 014, a. Interest Rate Variance Swaps and the Pricing of Fixed Income Volatility. GARP Risk Professional: Quant Perspectives, March 1-8. Mele, Antonio and Yoshiki Obayashi, 014, b. The Price of Fixed Income Volatility. Book manuscript. Vasicek, Oldrich A., An Equilibrium Characterization of the Term Structure. Journal of Financial Economics 5,

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