Math-Aquarium 練習問題 + 解答整数の性質整数の性質 1 a,b は整数とする a,b が 5 の倍数ならば,2a-3b は 5 の倍数であることを証明せよ証明 a,b が 5 の倍数であるから, 整数 k,l を用いて, a=5k,b=5l と表すことができるよって 2a-3

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てるえとべ
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整数の性質 a,b は整数とする a,b がの倍数ならば,a-b はの倍数であることを証明せよ証明 a,b がの倍数であるから, 整数 k,l を用いて, a=k,b=l と表すことができるよって a-b= k- l=0k-l=(k-l) k-l は整数であるから,a-b はの倍数である次の式を満たす整数 x,y の組 (x,y) をすべて求めよ () xy=-7 ()

1 整数の性質 a,b は整数とする a,b がの倍数ならば,a-b はの倍数であることを証明せよ証明 a,b がの倍数であるから, 整数 k,l を用いて, a=k,b=l と表すことができるよって a-b= k- l=0k-l=(k-l) k-l は整数であるから,a-b はの倍数である次の式を満たす整数 x,y の組 (x,y) をすべて求めよ () xy=-7 () xy+4x+y= () x は-7 の約数となるから x=±,±7 したがって, 求める組は (x,y)=(,-7),(7,-), (-,7),(-7,) () xy+4x+y= について, (y+4)x+(y+4)-4= から x (x+)(y+4)=9 y と変形できる x x+,y+4 は整数であり, 9 の約数は ±,±,±9 であるから x+= x+= x+ =9 y+4= 9 y+4= y+4= y x+=- y+4=-9 y+4=- y+4=- x+=- x+=- 9 したがって, 求める組は (x,y)=(0,),(,-),(8,-), (-,-),(-4,-7),(-0,-)

2 7 個の自然数 4,4,46,467,678,6789,7890 のうち, 次の条件を満たすものをすべて答えよ () の倍数 () の倍数 () 4 の倍数 (4) の倍数 () 9 の倍数 () 7 個の自然数のうち, 一の位の数が偶数であるものは 4,46,678,7890 () 7 個の自然数のうち, 各位の数の和がの倍数であるものは 46,6789,7890 () 7 個の自然数のうち, 下桁の数が 4 の倍数であるものは 46 (4) 7 個の自然数のうち, 一の位の数が 0 かであるものは 4,7890 () 7 個の自然数のうち, 各位の数の和が 9 の倍数であるものは 46 4 次の問いに答えよ () 次の数を素因数分解せよ 0 4 () 0n が自然数となるような, 最小の自然数 n を求めよ () 0= 7 )0 ) 0 ) 7 4= )4 ) 8 ) 7 ) 9

3 () 0= )0 )0 0n = n の素因数分解において, それぞれの素因数の指数がすべて偶数になればよいから n= のとき 0n = = したがって, 求める自然数 n は () 次の数の最大公約数, 最小公倍数を求めよ 0, 9,90 () 次の数の最大公約数, 最小公倍数を求めよ 4,6,8 8,6,48 () 最大公約数が 7, 最小公倍数が 4 となるつの自然数の組をすべて求めよ (4) 積が 40, 最大公約数がとなるつの自然数の組をすべて求めよ () 0= = 最大公約数は最小公倍数は =0 9= 90= 最大公約数は =9 最小公倍数は =90 () 4= 6= 8= 最大公約数は最小公倍数は =4 8= 6= 48= 4 最大公約数は =6 最小公倍数は 4 =44

4 () つの自然数を a,b (a<b) とすると, 最大公約数が 7 であるから a=7a',b=7b' (a',b' は互いに素で a' <b' ) と表すことができるこのとき, 最小公倍数が 4 であるから 7a' b' =4 よって a' b' =6 a',b' は互いに素で,a' <b' より (a',b' )=(,6),(,) (a',b' )=(,6) のとき a=7 =7,b=7 6=4 (a',b' )=(,) のとき a=7 =4,b=7 = したがって, 7 と 4,4 と (4) つの自然数を a,b (a<b) とし, 最小公倍数を l, 最大公約数を g とすると,ab=gl が成り立つ積が 40, 最大公約数がであるから 40= l よって l=90 また,a=a',b=b' (a',b' は互いに素で a' <b' ) と表すと,l=ga' b' から 90=a' b' よって a' b' =8 a',b' は互いに素で,a' <b' より (a',b' )=(,8),(,9) (a',b' )=(,8) のとき a= =,b= 8=90 (a',b' )=(,9) のとき a= =0,b= 9=4 したがって, と 90,0 と 4 6 a,b は整数とする a を 8 で割ると余り,b を 8 で割ると余るこのとき, 次の式の値を 8 で割ったときの余りを求めよ () a+b () ab 整数 k,l を用いて,a=8k+,b=8l+ と表すことができる () a+b=(8k+)+(8l+)=4k+6+6l+0=8(k+l+) ここで,k+l+ は整数であるから,a+b を 8 で割ったときの余りは 0 である () ab=(8k+)(8l+)=64kl+40k+6l+0=8(8kl+k+l+)+ ここで,8kl+k+l+ は整数であるから,ab を 8 で割ったときの余りはである 4

5 7 n は整数とする n を 4 で割ったときの余りは 0 かであることを証明せよ証明 k を整数とすると, すべての整数 n は,4k,4k+,4k+,4k+ のいずれかの形で表される (ⅰ) n=4k のとき n =(4k) =6k =4 4k (ⅱ) n=4k+ のとき n =(4k+) =6k +8k+=4(4k +k)+ (ⅲ) n=4k+ のとき n =(4k+) =6k +6k+4=4(4k +4k+) (ⅳ) n=4k+ のとき n =(4k+) =6k +4k+9=4(4k +6k+)+ よって,n を 4 で割ったときの余りは 0 かである 8 次の数の最大公約数を求めよ () 7,799 () 667,77 () 799=7 +8 7= = 7 したがって, 最大公約数は 7 7 ) ) ) 右の筆算から計算していく () 77= = = = = 9 したがって, 最大公約数は 9 ) ) 0 07 ) ) 右の筆算から計算していく )

6 9 () 次の方程式の整数解をすべて求めよ x-7y= 4x+9y= () 00 以下の自然数で,8 で割ると余り, で割ると 6 余るものを求めよ () x-7y= (ⅰ) の組の整数解は x=,y= であるから -7 = (ⅱ) (ⅰ)-(ⅱ) より (x-)-7(y-)=0 移項すると (x-)=7(y-) と 7 は互いに素であるから,k を整数として x-=7k,y-=k したがって, 整数解は x=7k+,y=k+(k は整数 ) 4x+9y= (ⅰ) 4x+9y= の組の整数解は x=-,y= であるから 4 (-)+9 = 両辺を倍すると 4 (-6)+9 = (ⅱ) (ⅰ)-(ⅱ) より 4(x+6)+9(y-)=0 移項すると 4(x+6)=9(-y+) 4 と 9 は互いに素であるから,k を整数として x+6=9k,-y+=4k したがって, 整数解は x=9k-6,y=-4k+(k は整数 ) 別解 4x+9y= の組の整数解を, 試行錯誤で x=,y=- として解いてもよいこのとき, 整数解は x=9k+,y=-4k-(k は整数 ) となる () 求める自然数を n とし,8, で割ったときの商をそれぞれ l,m とすると n=8l+, n=m+6 (ⅰ) n を消去すると 8l+=m+6 これを整理して 8l-m=4 (ⅱ) (ⅱ) の組の整数解は l=7,m=4 であるから 8 7-4=4 (ⅲ) (ⅱ)-(ⅲ) より 8(l-7)-(m-4)=0 移項すると 8(l-7)=(m-4) 8 とは互いに素であるから,(ⅱ) の整数解は l=k+7,m=8k+4(k は整数 ) (ⅰ) より n=8l+=8(k+7)+=04k+8 n は 00 以下の自然数であるから k=0 したがって, 求める自然数は 8 6

7 0 () 次の分数を小数で表したとき, 有限小数になるかどうか調べよ () 次の数を 0 進数で表せ (4) () 0. () () 次の 0 進数を,[ ] 内で指示された記数法で表せ 0 [ 進法 ] 00 [ 6 進法 ] [ 4 進法 ] 6 () = より, 分母の素因数はのみであるよって, 有限小数になる 40 を既約分数で表すと 80 80= 4 より, 分母の素因数はとのみであるよって, 有限小数になる 00 を既約分数で表すと 0 0= より, 分母の素因数にと以外のものがあるよって, 有限小数にならない () (4)= =7 ()= + +=8 0. ()=0+ + = 9 () 0= 0 = ( ) = = ( +) = 4 + = )0 ) 00 ) 0 ) 0 =000 () 00=6 6+4 =6 (6 +4)+4 = = )00 6 ) =44 (6) 4+ = 6 4 = =0.(4) 7

8 研究 0! を計算すると, 末尾に 0 が何個並ぶかただし,0! はから 0 までのすべての自然数の積を表す 0! = = a b c 7 d (a,b,c,d, は整数 ) 0! を素因数分解したとき, 素因数の方が素因数より多く含まれるので,c より a の方が大きいよって 0! = a-c b 7 d ( c c )= a-c b 7 d 0 c 0! を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数は,c に等しいすなわち,0! を素因数分解したときの素因数の個数と等しいから 0 までの自然数のうち, の倍数は 0 個, の倍数は 6 個, の倍数は個あるよって,0! はで 0 回割り切れ, その商はさらにで 6 回割り切れ, その商はさらにで回割り切れるしたがって,0! を素因数分解したときの素因数の個数は 0+6+=7( 個 ) すなわち, 末尾に 0 が 7 個並ぶ研究合同式を利用して, 次のものを求めよ () を 7 で割ったときの余り () をで割ったときの余り () = 74 =8 74 であり,8 (mod 7) であるから (mod 7) したがって, 余りは () (mod ) であるから (mod ) 4 - (mod ) であるから 4 (-) - 4 (mod ) したがって, 余りは 4 8

9 研究 a,b を自然数とするとき, 次のことを証明せよ () a,b が互いに素 a+b,a+b は互いに素 () 任意の自然数 n に対し,n+4 と 4n+ は互いに素であることを証明せよただし,ax+by= を満たす整数 x,y が存在するとき,a,b は互いに素であることは証明なしに用いてもよい証明 () ( ) 背理法を用いる a,b が互いに素であるとき,a+b,a+b は互いに素でないと仮定するこのとき,a+b,a+b はある素数 p を公約数にもつから a+b=pk,a+b=pl (k,l は自然数 ) -から a=pk-pl=p(k-l) - から b=pl-pk=p(l-k) と表すことができる k-l,l-k は整数であるから,a,b はともに p の倍数であるこのことは,a,b が互いに素であるに矛盾するしたがって,a,b が互いに素であるとき,a+b,a+b は互いに素である ( ) 背理法を用いる a+b,a+b が互いに素であるとき,a,b は互いに素でないと仮定するこのとき,a,b はある素数 p を公約数にもつから a=pk, b=pl (k,l は自然数 ) と表すことができるこのとき a+b=pk+pl=p(k+l),a+b=pk+pl=p(k+l) k+l,k+l は自然数であるから,a+b,a+b はともに p の倍数であるこのことは,a+b,a+b が互いに素であるに矛盾するしたがって,a+b,a+b が互いに素であるとき,a,b は互いに素である () a=n+4,b=4n+,x=4,y=- とすると ax+by=(n+4) 4+(4n+) (-)=n+6-n-= したがって, 自然数 n+4,4n+ に対して,(n+4)x+(4n+)y= を満たす整数 x,y が存在するから, n+4,4n+ は互いに素である 9

10 研究 4 6 個の整数があるこの中からうまく個選べば, その個の整数の差はで割り切れることを証明せよ証明整数をで割ったときの余りは 0,,,,4 のいずれかであるすべての整数はで割ったときの余りによって, 次のつの集合に分類される {k k は整数 },{k+ k は整数 },{k+ k は整数 },{k+ k は整数 },{k+4 k は整数 } 与えられた整数は 6 個であるから, 部屋割り論法により同じ集合に属する個の整数があるこの個の整数の差はで割り切れる 0

2015－2018年度２次数学セレクション（整数と数列）解答解説

2015－2018年度２次数学セレクション（整数と数列）解答解説 015 次数学セレクション問題 1 [ 千葉大文 ] k, m, n を自然数とする以下の問いに答えよ (1) k を 7 で割った余りが 4 であるとするこのとき, k を 3 で割った余りはであることを示せ () 4m+ 5nが 3 で割り切れるとするこのとき, mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -1- 015 次数学セレクション問題 [ 九州大理 ] 以下の問いに答えよ

Math-Aquarium 練習問題 + 解答 整数の性質 整数の性質 1 a,b は整数とする a,b が 5 の倍数ならば,2a-3b は 5 の倍数であることを証明せよ 証明 a,b が 5 の倍数であるから, 整数 k,l を用いて, a=5k,b=5l と表すことができる よって 2a-3

Math-Aquarium 練習問題 + 解答整数の性質整数の性質 1 a,b は整数とする a,b が 5 の倍数ならば,2a-3b は 5 の倍数であることを証明せよ証明 a,b が 5 の倍数であるから, 整数 k,l を用いて, a=5k,b=5l と表すことができるよって 2a-3