сівігоігявц игіігөд i irßdäx яіігәкэхогіге-/{>і0 р м у іг у ш о т э ш а и л з л а ж н ѵ Ь Ѵ л и іт я х ѵ ім н д ѵ д о ж ічэвсіігэф^л вмиіврчэхвм рпгвд

Transcription

1 М. Н. И л ь я с о в Ф. К. Б а я х м е т о в а Ж о ғ а р ы м а т е м а т и к а д а н ж е к е ү й т а п с ы р м а л а р ы О қ у - ә д іс т е м е л і к қ ү р а л I бөлім П а в л о д а р қ.

2 сівігоігявц игіігөд i irßdäx яіігәкэхогіге-/{>і0 р м у іг у ш о т э ш а и л з л а ж н ѵ Ь Ѵ л и іт я х ѵ ім н д ѵ д о ж ічэвсіігэф^л вмиіврчэхвм рпгвднві/іго^ フ々 / ブ / - 9 вяохэюскбд Х Ф 'ЯОЭКЧІГИ Н РЧ

3 ББК 22.1я73 С. Торайғыров атындағы П Г У д ің Ғы лы м и Кеңесі ш еш імі баспага ұсы нган Рецензенттер: Аканбай Н.Е.- доцент, Аль-Фараби атындағы КазНУдың механико-математикалық факультетінің деканының орынбасары. Аяшинов М.М. 一 профессор, ПАУдьщ «Математика кафедрасының меңгерушісі. Қасенүлы Ш. П ГУ дің «Қолданбалы математика» кафедрасының доценті. Ильясов М.Н., Баяхметова Ф.К. Жоғары математикадан үй тапсырмаларьшың жинағы. 1 бөлім.- Павлодар:111 У, б. О қу әдістемелік қүрал жоғары математика курсыньщ инженерлік-техникалық мамандықтарына арналған бағдарламаға сәйкес жазылған. Ол жеке үй тапсырмаларын (Ж Ү Т) мына бөлімдер бойынша қамтыған: векторлық алгебра, аналитикалық геометрия, шектер, бір айнымалы функцияньщ дифференциалдык жэне интегралдық есептеулері. ЖҮТтен басқа қажетті теориялык мәліметтер, есептер шығаруға әдістемелік нүсқаулар берілген. Құрал университеггердің студентгері мен оқытушыларына арналған. a îb ih A a f ь : しい академ ик C.b t-'іс аты ндас ы» じげ ае[ Ильясов М.Н., Баяхметова Ф.К., С. Торайғыров атындағы Павлодардың мемлекеггік университеті,

4 Алғысөз Қазіргі уақытга жоғары математиканьщ жалпы курсынан қазак тілінде дидактикалық материалдардың және оқу әдістемелік қүралдардың жетіспеушілігі қатты сезіледі. Мемлекеттік тілде оқулықтар да жоқтың қасы. Соның салдарынан студентгер тек қана лектордың берген конспекті мен практикалық сабақтарда өткен материалдармен ғана шектеледі. Немесе орыс тілінде жазылған құралдармен пайдалануына тура келеді. Бүл терминдерді игергенше оқу процесінде қиындық келтіреді. Осы жазылган есептер жинағы «жоғары математикадан үй тапсырмасы» инженерлік-техникалық және энергетикалық мамандықтарға арналып программаға сәйкес жасалған. Сонымен қатар бүл жинақ дистанциялы оқитьш студенттерге де арналған. Оқу құралы үш бөліктен тұрады. Әр бөліктің материалы 1-3 оқу семестрлеріне сэйкес. Жоғары математика курсын екі семестр ғана оқитын мамаіідықтар қажеттісін іріктеп алады. Бірінші бөлімінде анықтауыштар, матрицалар, сызықтык және векторлық алгебра, бір айнымалыға тәуелді функцияньщ дифференциалдык жэне интегралдық есептеулері. 1 семестрдің барлық практикалық материалы тарауларға бөлінген, кейбір тараулар параграфтарға бөлінген. Бұлардың әрқасысында қажетті теориялық мәліметтер берілген, есептердің шығару әдістері көрсетілген. Жинақтың соңында жеке, үй тапсырмалары (ЖҮТ) үш бөлікпен ( 1-3) берілген. Бұл ЖҮТты есептен үш кезеңге бөліп (әрбір оқу аптасьша 2 тапсырмадан) беру қажет. Бір кезеңнің тапсырмасын қабылдағаннан кейін екіншісі берілуі тиіс. Практикалық сабақтарда блокты-цкклды тәсіл арқылы білім бағаланады. Мүньщ мәні мынада: әрбір семестрдің материалы үш блокка бөлінеді, оның әрқайсысынан ЖҮТ орындалады. Циклдың соңьшда бақылау жұмысы жүргізіледі, оған 6-8 есеп альшады. Бұл бағалау өте объективті және емтихан процесінде бағалау жеңілдейді. Сонында айтарымыз, қүрал орташа қабілеті бар студентке арналған. Сондықтан жинақтағы материалды игерген оқушының білімін қанағаттарлық және жақсы деп бағалауға болады. Өте жақсы үлгеретін студентке күрделілігі жоғары тапсырмалар беру қажет. Бүл жинақ студенттер мен оқьпушыларға практикалық сабақтар жүргізу үшін, жеке үй тапсырмасын беруге, бақылау жүмыстарын жүргізуге арналған.

5 1 Т а р а у А н ы қ т а у ы ш т а р. М а т р и ц а л а р. С ы з ы к т ы қ т е н д е у л е р ж ү й е с і a /^ j элементінің миноры М / ^ деп а\ \ а\ 2 - а\п а \2 а2 2 - а2п ап1ап2 апп A анықтауышының k-жатық жолымен жэне m-тік жолын сызып тастағанда қалған анықтауыпггы атайды. Ак т ^ km ' ^ анықтауышының элементінің алгебралык толықтауышы. М ысал 1 Анықтаупггы есепте Ш еш уі тік жолда үш элементті нөлге айналдырып, анықтауыпггы осы тік жол ооиынша жіктейміз. Ол үшін екінш і жатық жолды 2 -ге көбеитіп біріншіге қосып, сонан соң төртіншіден альт тастаймыз = =-241 Екі матрицаның көбеитіндісі деп, сол жақ матрицаның әрбір жатық жолын оң жақ матрицаның әрбір тік жолына сәйкестіріп көбейтеміз де, нәтижесін қосып көбейтілген жатық жол мен тік жолдың қиылысына жазамыз. 4

6 д*.ллз144л д*2да 3М ы с а л 2 Егер, болса АВ ны тап '4-1 2 し В : 一 3-1 く ノ J 4 ノ Ш еш уі ' し 1 2 AB = ノい 4 ノ г 4 (-1 )-1 (-3 ) (-1 ) (-1 ) + 2(-3) (-1) (-1) + 0.(-3 ) (-1 )-3-4 Эрбір матрица үшін «11 «12 \3 «21 22 «23 ^ , Мына формула бойьшиш -,кері матрица табылды.4мүндағы \ А 0 - A матрицасының анықтауышы. А п, А і2,... - алгебралык толықтауыиггар.

7 М ы с а л 3 А '1матрицасын тап А= ノ Шешуі I А = = 56 式 О 一 = 4 12 = 8, Аі2 = 1-1 = 8,^,3 = 1 2 =8, А2\ =- 2-1 = 一 7, Аи = 1-1 =0 ノ 23 = 為丨 = = 10, А-і2= ~ = 32. Ао-і = = Бүдан формула бойынша таоамыз し " = 一 ノ ノ Тексеруге болады, яғни A À ~ l = E = 0 く0 'I О 0 1 ノ Мұнда 3-ретті матрицаға мысал келпрілген. Бірақ бұл әдіспен кезкелген ретті кері матрицалар табуға да болады. Сызықтық теқцеулер жүйесін

8 һ^зад 2 のиAh功め均めbа\х + Ь\у + c\z = d\ * ü2x + Ь2У + C2Z - d^i а^х + Ъ^у + c^z = ゴ з Жэне оньщ кейбір шешу әдістерін қарастыраиық: 1 ) Крамер формулалары бойынша Бѵл эдісті егер жүйенің анықтауышы hнөлге тең болмаса, қолдануға болады. Бұл жағдайда белгісіздер мьша формулалар бойынша аныкталады ^JC=,v = ^, z =, мұндагы А, Л А qq1^勿.^n 句^42) Матрицалық әдіс Бүл әдіс A 关 0 болғанда қолданылады. Берілген жүйеден мына матрицаларды қүрамыз ^ Ct\ Ч q ド 1 Y a j *2 c2,d = d2, X = y 3 3y A, ゾノ Сонда белгісіз матрица X формуламен табылады X A D. 3) Гаусс әдісі Алдыңғы екі әдіс барлық жағдайда қолданыла бермеиді. Гаусс әдісімен кезкелген жүйені шешуге болады. Бүл әдіс бойынша берілген

9 жүйені (кезеңді түрде) эквивалентті жүйемен ауыстырамыз; ол жүйенің әрбір келесі теңдеуінде белгісіздер саны фіғашқысынан аз. Басқаша айтқанда жүйенің матрицасын жоғарғы үш бұрыш түріне (трапеция тәрізді) келтереміз. Мысал 4 М ы на жүйені үш әдіспен шешу керек 4x-9jH-5z = 14 Шешуі: * 7 x -4 y + z = 7 Зх+5 タ -4 z = 2 3 а) Крамер формулалары бойынша. Барлык аныктауыштарды табамыз A Y 14 一 з = 一 4 4 一 一 = Q -252 = -470, : = 940, : = ^ 7 0, : =141Û Осыдан Крамер формулалары оойынша ^ , タ : Жауабы: (2,1,-3)

10 б) матрицалық әдіспен Матрицалар құрамыз Ч <14 7 一 4 1,D = 7,х : У J 23j 1матрицаны табамыз И = -470, 丨一 4 1 斗 i = し, 11 メ 1 2 = - 17 ^21= 一 = ~61 А :-1 メ 23 = A3l = , メ 32 = 4-5 :-39 メ 33 = : Сонда '11 一 ,47 一 ノ Осыдан формула бойынша fx ^ f n '14 X = У A D : ЛП(\ /U ろ ノ П し 一 ノく 1410ノ Жауабы: (2,1,-3) в ) 厂 аусс эдісі бойынша. Берілген жүйені ыңғайлы түрде жазайық

11 z-4y+7x = 7 *-4z+5y+3x = 23-5z-9y+4x=\4 Бірінші теңдеуді 4-ке көбейтіп екіншіге қосамыз. Сосын 5-ке көбейтіп үшіншісіне қосамыз Сонда z -4 ^ + 7 x = 7-11 ア +31х = 51-29ѵ+39Ьс=49 Екінш і теңдеуге үш інш ісін қосып және 10-ға бөлеміз, сосын екінші теңцеуді 3-ке көбейтіп және үшіншіден аламыз. Сонда z -4у-\-7х = 7 < 4 ター 7 х = ア -5 4 ズ = 一 104 Енді үш інш і теңдеуден екіншісін аламыз z -4 y + 7 x = 7 ' 4 ア - 7 ズ = -1 0 一 47х = -94 Берілген жүйеге эквивалентті бізге керек жүйе келіп шықты. Енді соңғы теңдеуден Х-ті, екіншіден Ү -ті және біріншіден Zj-ті табамыз Жауабы: (2,1,-3) X = ~ = 2;4 ァ = - 10,4v = 4; v = - =1; z = 7;z = =

12 ノ^%*2 *2/q^叫аз^^һ2 Т а р а у В екторлы қ алгебра М ы навекторларүшін а = {ах,а 2,а ъ\ь = {Қ, b2,b3},с = {сх,с 2,с 3) анықталған: \а\ = yja f + d - а векторының модулі; ab = а\ь\ + 2^2 " скалярлык көбейтіндісі;%i 叫- g - векторлық көбеитінді а2 аралас көбейтінді; Ьі с2 a\tf\ + a っ b-у н- а ўу^ = 0 - мен わ ның перпендикулярлығының шарты; о\ _û2 мен ひ ның коллинеарлығының шарты; 1 Ü2 а3 Һ Һ С2 сз C l,ь жэне С ның компланарлығының шарты; ab 1 } ~ ш \ - Cl мен b арасындағы бүрыштың косинусы; пр аь ab -Ъ ның a ға проекциясы. 11

13 М ы с а л 5 w4(-3,l,2), 5(1,-2,3),С(4,-3,1),D (-1,2,-2) нүктелері берілген Табу керек: a) ab ; 6)[ab] ; в) abc; г) AABC ның ауданы; д) ABCD пирамидасының кѳлемі, егер а = АВ,Ъ = А С,с = ÂD. Ш еш уі: a ) ä - I ß = ト ( 一 3), 一 2 -U -2 }= {4,-Зд} Ъ ^АС = [і 9- Л - \ ) - онда д わ = 4.7 3(~4) + 1(-1) = = 39 关 0, сондыктан а жэне Ъ перпендикуляр емес; Г 1 f -3 1 \ н = і ? 7-4 в) с - A D = {2,1,-4},сонда a b c = =5^ Сондықтан a,b9c компланар емес; г)үшбұрыиггың ауданы үшбұрыпггы қүратын векторлардың векторлық көбейтіндісінің модулінің жартысына тең, сондыктан SM B C = ^ ] \ = \ b 2 + П = y l2 l = l-y /Ï9 5 -, д) ABCD пирамидасының көлемі бір төбеден шығатын пирамиданың қырларымен сәикес келетін векторлардың аралас көбейтіндісінің алтыдан біріне тең, сондықтан

14 3 Т а р а у А н а л и т и к а л ы қ г е о м е т р и я Мына нүктелер Л{хХіу х,г1\в [х 2уУ 2 ^2 \С{хѴУЪ^ъ)ІІ:)^хЛ^УЛ^л)і және векторлар а= b = ん, れ үшін мына теңдеулер анықталған a[( x - x l )-\-a2( y - y i ) ^ a 3( z - z l ) = 0 - A нүктесіненөтетін векторына перпендикуляр жазықтық ズーズ i У - У \ z - z { ズ 2 ズ 1 ア 2 一 У\ z2 一 z\ ХЪ ~ Х\ ァ 3 ー少丨 z3 - zl үш нүкте арқылы А, В жэне С ѳтетін жазықтық; ズー А У - У і z - ズ 2 一 A ア 2 タ 1 z2 ~ zl А, В нүктелерінен ѳтетін жэне а a \ a 2 a3 векторына параллель жазықтық; ド - ズ i У - У \ z- аі а2 аз :0 - A нүктесінен ѳтетін а жэне b -ға параллель жазықтык; У - У \ z -z, ズ 2 ズ 1 У2-У\ Z2 А жэне В нүктелерінен өтетін түзу; 13

15 х - х { у ~ у х z - z x А = = L - A нүктесінен ѳтепн a -ға параллель. ах а2 аъ М ысал 6 Берілген Д - 3,1,2),В(1,- 2,3),С(4,-3,1), )(-1,2,- 2 ) : а) АВ түзуінің; б) ABC жазықтығының; в) D нүктесінен ѳтетін ABC жазықтығына перпендикуляр түзуінің теңдеулерін құру керек Шешуі: a) Формулаға қойып, табамыз ズ一 ( 一 3 ) ター 1 z 2 с х + 3 y - \ z - 2 АГ = = ,бүдан = = AB тѵзуініц 1 一 ( 3) канондык теңдеуі; o j Формулаға А, В, С ньщ координаттарын қойып, табамыз х + 3 у - \ z = 0,осыдан (x + 3)(3 + 4 ) - ( ^ - l ) ( ) + ( z -2 )( ) = 0 7(х + 3) + 1 1( ター 1)+ 5(z 一 2) = 0, 7x + lly + 5z = 0 一 белпсіз жазықтықтьщ жалпы теңдеуі; в) вектор а = {7,11,5}жазықтық АВС-ға перпендикуляр болса, онда ол белгісіз түзуге параллель болады, сондықтан формуладан ズ一 ( - 1 ) у-2 z - (-2 ) х + \ アー 2 z 一 = = , осыдан = = іздеген түзуіміздің канондық түрі келіп шығады. Жазықтықтағы геометриялық есептерде барлық формулаларда z айнымалысы жоқ. Бұл жағдайда қосымша у = кх + Ь - түзудің теңдеуі, бүрыпггық коэффициенті k: 14

16 d = -~ ~ - M (x Q,>^0) нүктесінен Ax + By-\-C = 0 d A2 + B2 түзуіне дейінгі қаш ықтық kx = k2 - гіараллельдіктің шарты kxk2 = 一 1 - бүрыштық коэффициенттері к х және к 2 екі түзудің перпендикулярлығының шарты. М ысал 7 Үшбүрыштың төбелері берілген ABC: А {\-Ъ ), Ä (-l,5),c (-2,3). Табу керек: а) АС қабырғасының теңдеуі; б) ВН б иіктігін ің геңдеуі; в) АС-ға параллель BD түзуінің теңдеуі; г) В нүктесінен АС түзуіне дейінгі ара қашыктық. Ш еш уі: а) А жэне С нүктелерінің координаттарын формулаға қоиып, _ x 1 у ( 一 3) x 1 少 + 3 таоамыз ~ ~ , осыдан = ; ズー 1 ー少 一 2, 2(х -1 ) + (у + 3) = 0, 2 ズ + ア + 1 = 0 - АС түзуінің жалпы теңдеуі; б) В Н 1 А С, өйткені К ви К АС = - 1. К = - 2, болғандықтан К вн =, сондыктан ム у = хл-b - ВН биіктігінің теңдеуі. b ның мәнін осы теңдеуге В нүктесінің координаттарын қойып табамыз: 5 = + b. b = Осыдан у - jc +,jc - 2 у +11=0 - ВН тың жалпы тевдеуі; в) B D II А С 9бүдан К BD = К АС = - 2,сондыктан у ~ -2 х + b - BD ның теңдеуі. b ның мәнін алдыңғыдағыдай табамыз 5 = 一 2 ( - 1)+ b, b = 3. 15

17 Осыдан у = -2 х + 3, 2л: + ター 3 = 0 - BD ның жалпы теңдеуі; г) белгісіз ара қашықтықты мына формула бойынша табамыз ゴ 丨 2(- 1) і 一 4 Жазықтықта тікоұрыпггы координат жүйесімен қатар полярлық координат жүйесі де бар. Бұл жүйеде О нүктесі (полюс) және сәуле О A (полярлық ось) берілген. О P 入 (p A Сонда жазықтықтың кезкелген нүктесі М мына координаттармен анықталады: О М = р - полярлықрадиус; ZA О М = 炉 -полярлық бұрыш осьтен сағат тшіне қарсы. Бүл координаттардың анықтамасынан, р > 0 және 0 < с р < 2 л келіп шығады. Бұл жүйеде қисықты салу ү ш ін ^-ге анықталу облысынан мәндер беріп, табьшған р-ны ң мәндері үш ін таблица қүрамыз да, табылған нүктелерді жазықтықта осы жүйеде белгілеп, солар арқалы график (қисы қ) сызамыз. М ысал 8 р = 2sin3ç? қисығын сызу керек. Ш еш уі немесе 2 sin 3 ^> > 0,sin 3 ^> 0 бұдан 0 < 3 ç < 7 r немесе 27T<3ç < Зтг 47г <3(р <57г, яғни (p е ハ п 2л 0 ; - u \л u. 3_. 3 _ 4тг Ъп берілген 16

18 функцияның анықталу облысы. Таблица қүрамыз <р р 0 Ѵз Ѵз 0 0 л/з Ѵз 0 0 л/з 0 Бүл нүктелерді жазықтыкта белгілеп, солар бойынша қисықты сызамыз. Параметрлік түрде берілген қисықты да параметр t-ның мәндері аркылы табылатын X және Ү-тың мәндері үшін таблица қүрып сызамыз (t мәндері анықталу облысынан алынады). Параметр t тригонометриялық функцияньщ аргументі болып келсе, онда олардьщ бүрыштық мәнін алған қолайлы. Мысал 9 [x = cos/ Мына теңдеулер мен берілген < [у = à sm t қисықты салу керек. Ш еш уі Параметр t-ға 0 ден 360 қа дейін мэндер беріп X пен Y тің мәндерін гауып, таблица қүрамыз. t x 1 0,9 0,5 0-0,5-0,9-1 -0,9-0,5 0 0,5 0,9 У 0 1,5 2,6 3 2,6 1,5 0-1,5-2,6-3 -2,6-1,5 Табылган нүктелерді жазықтықта бспгіщ ц, алмыған координаттар жүйесінде белгісіз қисықты с аламыз. -а ка д е г і :к С Б 卜 :: 丨 с е м б ае і 名 I а ты н д с:гы и л ы м и К І Т А П Х А П Д С Ы

19 ハ -3 іаоылған қисық, жарты өстері а =1,6 = 3 болатын, Аокѵстары Оу осінде орналасқан, эллипс. 4 Тарау Функциялардын шектері жэне үзіліссіздігі Математикалық анализдің негізінде математикада ең маңызды ұғымдардың бірі шек үғымы жатады. Осы ұғымның көмегімен функцияньщ үзіліссіздіп мен дифференциалдануы аныкталады, интеграл туралы түсінік енеді және шексіз қатардың қосындысы анықталады т.т. Сондықтан да математика пәнін оқығанда функцияның, атап айтқанда, тізбектердің шегін таба білуді жетік меңгерген жөн. Берілген функцияның шектік мәнін табу жалпы айтқанда, оңай емес. Өиткені кезкелген функцияның шегін есептеудің немесе оның барлығына көз жеткізудің жалпы тәсілі жоқ. Бүл мәселе көп аргументті немесе векторлық функцияны қарастырғанда күрделілене түседі. Сондықтан әрбір берілген есепте шекті тапқанда өзінше әдістер қолдануға тура келеді. Шектерді өте жеңіл табатын әдістер де бар. Бүл әдістемелік қүралдьщ мақсаты нақты мысалдар келтіріп, тәсілдердің негізін түсіндіру. 4.1 Ф ункц ияньщ ш егі туралы түсінік. Ш ектерді табу Бүл болімде төмендегі типті есептер қарастырылады: 中 ункцияның берілген нүктеде жинақталу не жинақталмау мәселесін шешу; функциялардың шектерін есептеу; біржақты шектерді табу. 18

20 Кейбір функциялардың шектерін есептегенде төменгі функциялардың белгілі шектерін пайдаланған жөн. s m x 11ГП 一 1 - бірінші тамаша шек х->о x 1 х lim X X->QO 乂八ノ l i m ( l + x ) x = e - екінш і тамаша шек x->0 ax - l, lim = lna. x. О X lim O ± x N l ^ a x->0 X. 1 - COS X 1 lim x-->0 x 2 2. Алғашқы екі шекті есептеу тәсілі математикалық анализдің дерлік барлық курсында келтірілген және лекцияларда қарастырылады, ал соңғы төртеуі алдыңғы екеуін пайдаланса,жеңіл шығады. Шындығында л->0 ズ х-^0 ズー >0 Ш екті табу жэне логарифмдеу амалдарының орын ауыстыруы, In у функциясы үзіліссіз болғандықтан жэне күрделі функцияның шегі туралы теорема бойынша, мүмкін l i m l n f ( x ) = l n l i m f( x ) Төртінші шек жаңа айнымалы кіргізу арқылы у=ах- 1 есептеледі, _1п(1 + 少 ) осыдан а =1+у жэне x = i Сонымен қатар, егер x -> 0, онда ma y->0. Сондықтан 19

21 а - 1 Ina, lim = 1 іт У т т ; r = ln a h m x-^o X 0 ln ( l + y j y-»1 ln ( l + y)ÿ Ina l n l i m ( l + y )y y -> o lna lne ln a. Бесінші мысалла (l+ x )a-l= y деп аламыз. Сонда ( І + х З ^ + І, ал a ln (l+ x)=ln (l+y). Сонымен (i+ x )o - i 广 ln (l + y) _ y ln (l + jc) û X x ln(l-i- y ) x ln (l + y ) X x Ода y 0 тан ( i+ x )«_ i 1 迚 4 セ - Алтыншы мысал оңай шешіледі 1 一 cos jc = 2 sin X Шынында 2 sm 1 -c o s x lim ö = lim - x->0 x 2 x->0 X マ lim L x->0 sin 2 Енді функциялардың не тізбектердің жинақталуын не жинақталмауын айқындаитын бірнеше мысал келтірейік. ап 7 Табу керек lim ;",мүндағы ах). п->оо п! 20

22 п дсл+1 а хп=, болсын, = ~ болғандықтан (кезкелген п>а-1) w! хп Хп+1 < 1) Сондықтан, тізбек {xn} - кемімелі. Сонымен қатар бұл тізбек төменнен шектелген, мысалға нөлмен. Вейершграсс теоремасы бойынша ол жинақталады. 1ІШх п ニb болсын. «b» ны табу үшін, х п^\ ~ 乂 п "Т жазамыз х->0 w 十 1 жэне бүл теңдіктен шекті табамыз. Сонда ж а lim x n+1= lim xn lim n->00 n->00п+1 а Мүнан b=b 0=0. Сонымен lim ~ r = 0 n->oo n! 8 Тізбек {xn} төмендегі рекурренттік қатнаспен берілген хп 十 1= 7 ^ + ズ,мұндағы Xi=Vûf, а>0, яғни X i= V â, x2=v a + Va, Хз= -y^a + a + -\fa Бүл тізбектің жинақталатындығын айқындайық, егер жинақталса, шегін табайық. Ш еш уі Тізбек {хп} нің монотонды өспелі екендігі көрініп тұр. Оньщ жоғарыдан шектелетіндігін дәлелдеиік. Математикалық индукция әдісімен пайдаланайық. Хі=л/а < -Ja +1 екеыдігі айқын. Енді xn< V ä + l деп алайық, онда х 叶 і үшін хп ト 1=а/д + хп く ^ + л/û + 1<Va + 2л/а + 1 = + l ) 2 =Vä+l. Сонымен (кезкелген nen +) xn<yfa +1. Вейерштрасс теоремасы бойынша тізбек {хп} жинақталады, яғни ІІШ x n = b. 21

23 «b» ның мәнін табамыз. Ол үшін мына теңдіктен шек аламыз, 2 x2n+i==a+xn Сонда ІІГП x n+i = a + l i m x n. Осыдан b2=a+b. Теңдеуді шешіп, табамыз b = Теріс түбірді алып тастаймыз. Өйткені (кезкелген nen +) (xn>0) жэне b>0. анықтайық. 9 Функция / ( x ) = s i n i x->0 да шегі бар жоғын ノ Ш еш уі Гейне бойынша функцияньщ шегінің анықтамасымен пайдаланайық Екі тізбек қарастырайық: х п және х 汽 - 冗,neN+. 抓 h 2ли 2 i l i m x n = l i m x n = 0 көрініп тұр (кезкелген nen +) ( х ^ 0, n >со П >00 Сол кезде lim sin ГСП-0_ f im sm lim sin^ - + 2тш Сонымен l i m Я-+00 ) {x n} тізбегіне тәуелді. Сондықтан l i m ズ (x ) Л-ХХ5 болмайды. 10 Табу керек Г x2-4 22

24 І І І е ш у і Егер шектің астындағы өрнекке х-тің орнына формальді түрде 0 оның шектік мәнін 2 қойсақ,онда анықталмағандық Т шығады. Бұл анықталмағандықты шешу үшін бөлшектің алымы мен бөлімінен х-2 көбейткішін бөліп шығарып, соған қысқартамыз. Сонда х 2-4 ( х - 2 ). ( х + 2) х + 2 пlim т ï~ о : г r г - = шlim и т ( vt? 7Т = lim г x->2 X 3x + 2 x->2 (x 2 j-(x 1) Функциялар f i x) = ~ ~ жэне ^ ( ^ ) = Г үшін, x -З х + 2 jc-1 (кезкелген X G U(2 { [ パ - 4) (x + 2) g(x) 一 үзіліссіз Зх + 2 ノ ( ズ- 1) ) функция болғандықтан х=2 нүктеде, г х ^ 1іт_ х->2 x し онымен X - 4, 1 і т ~ і ; - = 4. х-^2 X** - З х Есептеу керек ІІШ ~ ~. Ш еш уі 0 Ллдыңғы мысалдағыдан мүнда да Т анықталмағандығы бар. Бұл мысалды шешудің екі әдісш қарастырайық. 1 Лйнымалыны ауыстырамыз, 1+х=у6. Егер х->0, онда у-> 1, сондыктан 23

25 ! л/1 + X- 1 ア 3-1 (У - l).(y2 + 少 +О 3 l ;m ( タ 4 いり ; = I 2 Бѳлшектщ алымы мен бөлімін сэйкес түйіндестеріне көбейтеміз lim i. VI + x 1 д:->0 V l = lim (Vl + x - і) * ( л / і + Х + 1). V ( l + x ) 2 +M \ + X + l (V i+ x + 1). (V i+ x - 1). f^ /( i+ x ) 2 + ѴГ+Л- -f i _ r x. ^ i + x)2 + v r r ^ + i ^ ( i + x )2 + V IT 7 + i 3 ^ ~ ( V T ^ Ï p ~ =4S1 ^ Ж Т " = 2 12 Табу керек 1ІШ r~j~ " X->CO л /х * Ш еш уі Қалыпты түрде х тің орнына 00 символын қойып, 1 анықталмағандығына келеміз. Бүл анықталмағандықты ашу үшін бөлшектің алымын да бөлімін де х ке бөлеміз. Сонда

26 Үзіліссіз функцияньщ квадрат түбірі де үзіліссіз функция болғандықтан, соңғы теңдік дұрыс.! 5 ^ = (),бүдан i V? 7 i o =1 1-sin 13. Табу керек ІІГП Х->7С 71 一 X Ш еш ѵі Мүнда тағы да анықталмағандық ^ ; айнымалыны ауыстырамыз 冗 х=у, осыдан х = 兀 -y. Онда X у_>0 жэне / ヽ x 1 一 sin lim Х lim 1 sin 71 У lim 0 1 一 cos - lim 2 sin* lim タ ~»o sin lim Функция sin кезкелген yer үіпін үзіліссіз болғандықтан lim sin^ J =sin0=0. sin Әрі карай, lim - y-ko 一 бірінші тамаша шек. Соңдықтан 25

27 14 Табу керек l i m O - x )-tg х->1 V 2 ノ Ш еш уі x - тің орына 1 қойсақ, 0 оо анықталмағандьгғына әкеліп соғады. Бұл анықталмағандықты шешу үшін айнымалыны ауыстырамыз 1-х=у. Егер x >1, онда タ. Сонымен lim ( l- x ) - t g х->1 Я _ Я-) І іш У -tg у-^ f К 'х Л f 7t) ' r - = lim У tg いノ 0 U ノ lim У ctg у->0 \ lim у->0 sin lim cos у->0 V = lim _ у->0 sin n n 15 Есептеу керек 1іш ( ъ ). х-*3 X-З X2 X 6

28 Ш е ш у і Мүнда со-оо анықталмағандығы бар. Бүл анықталмағандықты түріне келтіріп барып, ашамыз i. x2 6х + 9 一! (х З)2 х1!? ( х - 3 ) \ х г ~ х - б ) = О й 1 ( х - 3 ). ( ^ - 3 ). ( x + 2) lim х іш И х ) Г (х) түріндегі шектерді тапқанда 0, 0,1 х->а анықталмағандықтары пайда болуы мүмкін; оларды ашу үшін негізгі логарифмдік тепе-теңдікпен жэне көрсеткіштік функцияньщ үзіліссіздік қасиетімен паидаланған жөн. Сонда 1 іт ф(х>іпг(х) (1) Осылай lim И х ) ] * ) шегін есептеу І іш ф ( х ) і п ф ) х-»а х->а шегін есептеуге әкелінеді және басқа типті анықталмағандықтарды шешуге мүмкіндік береді. Мүнан басқа, төмендегілерді есепке алу кажет: lim f(x )= А > О жэне ノ = В болса,онда lim f ( x ) = А егер жэне 1ішф(х ) + 00, онда Jоо, при А > 1, І і т Ш Ѵ х) [О, при 0 < А < 1; егер 27

29 lim f ^ ) ~ パ # 1 жэне lim ф(х ) = GO,онда x-*a x~+a егер lirn f( x) = 1 жэне 1ітф (х)= 00,онда f(x) =1+д(х) деп аламыз, мұндағы 1 Іта (х)= 0. бұл жағдайда екінш і тамаша шекті пайдаланып, табамыз r j 'j «( ズ > 炉レ ) lim [ ル ) 广 =lim [ いル )] 项 = x->a x->a し = I l i m 丨 1 + a (x )] ゐ丨 1 н г ( ふ W = e^ a w = ル )- 丨 ] ザ ⑷ 1о Гаоу керек xz -2x + 3 lim х-^о xし Зх + 2 Шешуі х2-2 х 十 3 3 sinx Һ т ~ 2 : I " ' Г жэне lirn = 1 болғандықтан,1 ереже х->ох - З х + 2 L x^o x бойынша lim x->0 xz -2x + 3 x2-3 x Табу керек ІІГ П (cos ^-X)x2 28

30 Ш е ш у і l i m (cos2x)* = H m [1 + (cos 2х _ 1)]. cos2jc-1 lim ~2~ х-*0 * х-»0 ' スノ 4.2 Ф ун кц и я н ы үзіліссіздікке зерттеу Үзіліссіздекке зерттеудің негізгі мақсаты функцияның үзіліссіз нүктелерінің жиынын, не үзіліс нүктелерін табу және бұл нүктелер үзілістің қай түрлеріне жататындығын анықтау. Бірнеше мысалдар келтірейік. 18 Мына функцияньщ 1,е гер x > 0, / ( jc) = sign x = <0,егер x = 0, 一 1,е гер x < 0 нөлден басқа барлық нүктелерде үзіліссіздігін дэлелдеу керек. Үзіліс нүктесінің түрін анықтау керек. Ш еш уі Функцияньщ х=0 нүктесіндегі бір жақты шектері lim sign x =1 және lim sign x = - 1 х->+0 х->-0 бар, сондықтан нөлде функцияның үзілісінің бірінш і түрі. Бүл нүктеде функцияның секіртпесі f( + 0) - f ( - 0) = 2.

31 19 Функция f ( x ) = ^j~ ке зке л ге н 1 үшін үзіліссіз, өйткені бүл бөлшектің бөлімі 1 де үзіліссіз. х=1 нүктесінде функция анықталмаған және нақты бір жакты шектері жоқ. lim х~>і+о(1 - x ) 2 текті үзіліс нүктесі. lim ўў х - > і- о ( 1 - х ) : -ко Сондықтан х = 1 - екінші 20 Функция f( x ) = sin себебі, егер ズ 0 关 0 болса, онда / 1 ( i1 Л 1 s^n = sin U J x 0 ノ х=0 нүктесінде функция sin анықталмаған және бүл нүктеде бір жақты шектер жоқ, сондықтан х=0 нүктесінде функция sin ІХ екінш і текті үзіліс алады. 21 Функция Л х )= - x sin^ J, егер д: ^ о, 0,егер x = 0, сандар осінде узіліссіз Шешуі Шындығында, егер х 式 0,онда 八 п フ一 үзіліссіз функция; үзіліссіз функциялардың көоейтіндісі. х=0 нүктесінде lim x. s in f ^ = 0 = f(o ) Сонымен f( x ) функциясы х=0 нүктесінде үзіліссіз. 30

32 22 Функцияны үзіліссіздікке зерттеу керек ' ノ l ] + е х-а мұндағы а - кезкелген анықталған сан. Ш е ш у і Функция f( x ) х=а нүктесінде анықталмаған. a / функцияньщ үзіліс нүктесі. lim = 0, lim j х->а+0 ~ х->а-0 l + ex_a l + e x- Сондықган «a» нѵктесінде функция оірінші текті үзіліс алады. Бұл нүктеде функцияньщ секіртгіесі f(a + 0 )-f(a -0 )= - 1. хфа нүктесінде функция екі үзіліссіз функцияньщ бөліндісі ретінде үзіліссіз; бөлімі нөлге тең емес. 5 Тарау Д иф ф еренциалды к есептеу Бұл тарауда әртүрлі тәсілдермен берілген функциялардың туындыларын табуға берілген мысалдарды, сонымен қатар туындыны пайдаланып шығарылатын есептерді қарастырамыз. 5.1 Диф ф еренциалдаудың ж а л п ы ережелері Ди 中中 еренциалдаудың жалпы ережелерін пайдаланып, төмендегі функциялардың туындыларын табу керек. ех 1 y = c tg x ^ z + 1п2; (l-f-x 2 y arctg х - х л 2 у = ,a ニconst 本 0 2а

33 Ш е ш у і 1 Қосындының және бөлшектің туындыларын табудьщ ережелерін пайдаланып, 一 1 ех '( l 1 ех *(2 д:) у (1 -х )2~ + (1 -х )2 2 Тұрақты көбейткішті туындының сыртына шыгаруды, сонымен катар көбейтінді мен косындының туындысын табу ережелерін пайдаланып 2х arctg x H , _ i + jc2 x. arctg x У 一 ô = la a 3 «n» функциялардьщ көбейтіндісінің туындысын табу ережелерін пайдаланьш, (м1(х )-м 2(х )-...-м п( х ) ) '= м ;(дг)-м2(х )-...-м п(дг)+ + их\х)и2 (д:) ww(x ) w1(x )m 2(x)*...- ип (д:) К урделі ф у н кц и я н ы дифференциалдау Күрделі функцияны дифференциалдау ережесімен пайдаланып, тѳмендегі функциялардьщ туындысын табу керек: 4 У = {х2-5 х + і ) І0 ; 5 у = cos(ln 1х) ; 6 у = е~хъ arcsin5;c ; Ш е ш у і: / 2 く Л10О. 4 У = \х 一 ) ズ + リ күрделі функция деп қарастырып, У = и [0 белгілейміз, мұндағы и = X 2 5 х + 1. Сонда күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша У У *W = lo O w".(2 ズ一 5 ). Енді уақытша енгізілген 32

34 айнымалы «и» дан оньщ «х» арқылы ѳрнегіне эту қалады. Соңында ア = 100. ( i 2 5 ズ +1).{2х 一 5) табамыз. 5 Берілген функцияны элементар функциялар арқылы оылай кѳрсетуге болады: у = cos и, м = ln ѵ, V = І Х. Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша 一 sm м немесе -sini( 1 п 7 х ) ~ 7х -sin(ln 7х) 6 Кебейтіндінің туындысын табу ережесімен жэне күрделі функцияньщ туындысымен пайдаланып, づ 3 arcsin 5х + е I arcsin 5х) Бѳлектеп мына - ズ3 функциялардьщ У\ = е, У2 = arcsin 5х туындысын табамыз. У\, У 2 функцияларын элементар функциялар композициясы түрінде қарастыруға болады: = e U},Wj = - х 3 жэне У2 = arcsin и 2,и2 = 5 х. Сондықтаң (yj (у2 )' (М2) ~ У' -5~ - = Г = Ѵ Г-(м 2)2 ла 一 2 5? ( ァ丨 )'= -3? パ Осыдан табамыз jc2 _.з 5 - Зл:2 л/ï - 25х2 arcsin 5х e т ^ V1-25JC2 33

35 Л о г а р и ф м д ік т у ы н д ы Логарифмдік туынды мына түрдегі функцияньщ ( ア ( 尤 )) онымен бірге функция rr W//2(4 -/;" W Sx' і^)ё г ( 4 - g f " (x ) пайдаланады ның туаындысын табуда Тѳменгі функциялардьщ туындыларын табу ке рек: У (cos x ) smx ; /х-1 л/х-\-2 火 x - 3)и 炉 W Ш е ш у і 7 Мына теңдіктің екі жағын да 丨 логарифмдейміз ln ン = sin X ln COS X. Бұдан эрі сол жағын күрделі функция деп алып, екі жағын да х бойьшша дифференциалдаймыз sin:c :cos x ln cos л: sin ズ cosx Осыдан, У - y ' (cos x ln cos д: - sin д: tg x ). Теңдікіің оң жагына «у» тың орнына есептің шартындагы оньщ мэнін койый, табамыз у = (cos x) (cos x ln COS JC- sin x tg x). I 8 Бұл функцияньщ туындысын табу үіпін логарифмдеуді ішйдалану қолайлы, өйткені көбейтіндінщ 1 жэне бөліндінің дифференциалдау ережелерін пайдаланып іпы^ару күрделі. Осы функцияньщ модулінің логарифмінен туынды ала^ыз ln jv)= Iny jx -l - ln llх + 2 ~\пу](х-з)11= \п\х ln ^ \n\x- 3. Мынаны байқаймыз 0n x ) ~,өйткені 0nH ) = (іи =, ズ 0 ; 34

36 ( ln (- x))' = = -,J C < 0. - x X Сондықтан (чм)_= 士 (H ズ + 2I) (H ズ - 31) х + 2 х -3 (ln レ丨 ). = 2 Дифференциалдап табамыз ( jc - l) - (х + 2)-----( ズ - 3), осыдан 3{х + 2). («x - 3) - 2(х 1) ( ズー 3) 33(х - 1). ( ズ + 2) 6(jc -і)-(д : + 2 )* (х -3 ) = Ѵ ^ Г. 2..(16 ぶ 2 ~ 14д: + 21).6 ( х - і).( х + 2 )-(х -3 ) = V^2-V(^-3)U 16х2-1 4 л + 21 З л / Т ^ Т 如 2 ) 4 各 3 ) 1Э П арам етрлік түрде берілген ф ункц и я н ы ң туы н д ы сы Табу керек: 9 У х мына формуламен берілген функция үшін

37 10 У xx мына формуламен берілген функция үш ін х = 2 е ' \ у = е 2і Ш е ш у і: 9 Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы мына формула бойынша есептеледі. _ タ, 3è-sin2 / -cos/ _ - 3 è sin / jc; 2a cost-( - sin/) 2a Бұдан x = a cos2 1, * -3 ô -s in / 10 Алдымен бірінш і ретті туындыны У х табамыз, _У; 一 2е2> _ з, j x = 2 e - r, У і ~ Ү, ~ ^ 2 р Г ~ ~ е -бұдан Енді табылган туындыны У х \ бойынша дифференциалдаймыз. Ол да t параметрі аркылы ѳрнектеледі, сондыктан тағы да параметрлік функцияны дифференциалдау ережесін У х функциясына қатысты пайдаланамыз. 36

38 Бұдан х= 2е~\. Зг4/ Л й қ ы н д а л м а ғ а н ф у н к ц и я н ь щ т у ы н д ы с ы Берыген функциялардьщ туындыларын табу керек il x3 л-уъ-заху= О メ 12 arcîë = Ш еш уі: Функцияның туындысы У х ты табу үш ін берілген теңцеуді x бойынша 少 функциясын күрделі деп алып, дифференциалдаймыз да, осы тендеуден У х ты табамыз. 11 Зх2 + Зу2 У - За ( ァ + ) = 0 ; у2 -у-аху' =ау-х2] у = J タ 2 ах. у х - У x 2 へ Л2 2х-һ2уу' 37

39 У х - у х -^у у X2 л-у1 ズ 2 十タ 2 осыдан У.( ズーメ ) = ズ + ヌ,. х -\-у У = х - у Қ и с ы қ қ а ж ү р гізіл ге н ж анам а мен норм альдің тендеуі 13 Берілген қисыққа У : 2; ~ нүктесінде жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеулерш жазѵ керек. 14 Мына қисыкқа жанама жүргізу керек у = 4х^ 一 6 ズ + 3 : а) у = 2х түзуіне параллель; 一 х б ) 少一 т түзуіне перпендикуляр Ш е ш у і Қисыққа ( ^ о ^ о ) нүктесінде жүргізілген жанаманьщ теңдеуі У-Уо = 少 ( ズー ^ )). Нормаль У- : х ~х0 = - у \ х0)-{у - У о) ( ズ - ズ о) і х о) немесе -2х 13 Табамыз タ ( - \2 : (1+ ズ2) жанаманьщ бұрыштық коэффициентін табамыз 38 2; нүктесінде жүргізілген 5 ノ

40 ⑵ = ヨ ~, ны жанаманьщ теңдеуіне қойып, табамыз у- 1 4(aj 2) 7 = ース ;" 一,немесе 4 х у = 0. Нормальдің теңдеуі у- 1 _ 2 5 (х -2 ) немесе 125л: 20 ァ 246 : 14 Жанама нүктесі (х 0 ',У 0 ) болсын. Осы нүктеден өтетін жанаманьщ бұрыпггық коэффициенты табамыз У レ ) = 8д: 一 6 ; а) Жанама У = 2д:түзуіне параллель болу үшін, оньщ бүрыштық коэффициеніті 8х0-6 = 2 тең болуы қажет, мұнан ズ 0 = 1 нүктенің абсциссасы келш шығады. Жанама нүктесінің ординатасын табамыз Уо :Я х 0)= Жанаманыңтеңдеуі アー 1 = 2 (х - 1 ) не ター 2л: + 1 = 0 ; б) Жанама түзуге перпендикуляр болу үш ін, олардьщ бұрыштық коэффициенттері мына шартты ん疋 һ., қанағаттандырулары Kà i 1 1 қажет; à - ル болғандықтан 8 х0-6 = - 4 шығады, осыдан х о = ~ жанама нүктесінің абсциссасы, ал ординатасы メ = 要 Жанаманьщтеңдеуі у - = -4-1 х - немесе 16х + 4 у 1 1 = 0. 39

41 5.2 Л опиталь ережесі V l + 2 x + l lim - 1л/2 + х + х lim (лл + 2х + lj= lim \л/2 + x + xj= 0 болғандықтан,: X 1 X 1 I анықталмағандығы келіп шығады. Лопиталь ережесін пайдаланайық: У Г Т ^ + 1 鲁 (1+2 ホ \ 4 х^ - 1 л/2 + x + x - Ï Ï? I ( 2 + x ) ^ Туындылардьщ қатнасыньщ шегі бар болғандықтан, Лопиталь ережесін қолдануға болады. Егер туындылардьщ катнасының шегі 0 оо тағы да «^» немесе ка әкелсе, онда ережені тағы да пайдаланып көруге болады. ех - е ' х - 2 х ц ех + е -х 2 x^o x s in x х->0 1 - cos X lim ど -: 土 : = lim - X- e-~ = 2 X о S i n x x -> 0 C O S X Осы тіркестегі алғашқы үш шек - «~» типтес анықталмағандық. е 4-е Мына шектің болуынан lim х->0 cosx lim : келіп шығады т.т. х->о sin x 40

42 x ->оо да мына функциялар X (дг>0); lo g a^ (^>1), (ö 1) шексіз үлкен болады. Осы функциялардьщ қайсысы тез өсетіндігін айқындайық. lo g ax lirn -~ = lim ~ : r r = lim x a x->-h» x - Ina -axa"" x->+<» a Ina x a GO (бұл шекте Лопиталь ережесі анықталмағандығьш ашуга пай дал аны лды). x ах 一 1 a ベ( аa - I1) I -ノ x ー 2 4 lim = lim 7- = lim X-^+oo 'd X->+o0 ax Ina x->+oo a "ln *"; 00 (эрбір сатыда Лопиталь ережесін «一» ке пайдаланып, бұл амалды бөлшектің алымьшдағы X тің дэрежесі нөлге тең болғанға деиін колданамыз, егер мұндағы a бүтін сан болса; ал a бүтін болмаса, дэрежесі нѳлден кіш і болғанға дейін; осылайша анықталмағандықты а ашамыз). Сонымен, х -и» дэрежелік функция ズ (а>0) l o g ノ (а>1) функциясына қарағанда тезірек ѳседі, ал кѳрсеткіштік x а функция (а> 1 ) - дәрежелік функциядан X (а>0) тез оседі. 0 оо Анықталмағандықтардың басқа түрлерін («~» жэне емес) U со қандай да бір эдіспен осы анықталмағандықтарға келтіру қажет. 5 lim sin x ln x х^0+ Мұнда «0 oo» анықталмағандығы бар. Теріс дэрежелерді пайдаланып, бѳлшекке түрлендіреміз. Сонда 00 Лопиталь ережесін пайдалануға болатын «一» анықталмағандығы шығады. 1., lnx v lim sin x ln x = lim 丁.~ r f = lim 7-.~ = x->0+ x->0+ (sin X j x-»0+ 一 (Sin X j. COS X sin2x sinx sinx, л л = lim = 一 lim lim X COSX X-^- X x->0+ COSX Жалпы жағдайда «0 * оо» анықталмағандығын былай түрлендіреді 41

43 Осы типтес эрбір мысалда екі функцияньщ қайсысын бөлімге жіберуді таңдап алу керек. Тэжрибе логарифмдік функцияны алымда қалдыру тиімді екенін көрсетеді. Мысалға sin x lim s in x -ln x = Um, ч_, х->0+ х->0+ (ІП X j 0 Бұл «~» анықталмағандығы. Лопиталь ережесін тағы да пайдаланғанда қайтадан («0 оо» типі) келеміз, логарифмдік функци5іның дэрежесі артып, қолайсыздыққа әкеледі. s in x cosx t 2 lim -г г т = lim г - = lim cosx lim x ln x = х-я>+ h(ln x)"' x^ - ( l n x )-: X lim x ln2x X-+0+ lim X->1 Vln X X -1 ノ Мұнда «оо oo» анықталмағандығы бар. Ортақ бөлімге келтіріп, «~» анықталмағандыгьша келіп, оған Лопиталь ережесін пайдаланамыз. 1 迚 ( Ü ) =l1^ (х -І)-Іп д -=ь' : 一 / 1 X-*\ A ノ Jf-^l ln x + : JC-l = l i m xlnx + x - l 0 Бұл аныкталмағандыққа «~» Лопиталь ережесін тағы да пайдаланамыз. l w x l n x + x - l = = 1 = 去

44 7 ノ ^ 1( / さ ). Мұндағы анықталмағандық «о». :( tg x )Ltgx деп белгілейміз де n дің орнына қарастырамыз lim ln y = lim ctgx ln (tg x )= lim = х->^-0 х~д-0 х~д-0 (Ctg xj ln (tg x) COS2X 1 = lim = lim ъ = lim = 0 x -, * - 0 x - > - 0 COS X ] g X x - ^ - 0 t g X (Мұндағы анықталмағандық «00 0» анықталмағандық«~» ге келтірілген де Лопиталь ережесі қолданылған). 呼 一 болғандықтан, е көрсеткіштік функциясыньщ х-> 0 2 үзіліссіздігінен lim у ==е0 = 1 J 1. келш шығады. х 2 Сонымен, lim (tg x 8 l i m (cos 2 x y ^ = l i m 一 ( 一 ) ノ 31n cos 2x jjm 31ncos 2x _ Л Ең соңында ^ функциясыньщ үзіліссіздігі пайдаланылған. Ыңғайлы болу үш ін е = СХр { f l } деп белгілейміз де, 43

45 31ncos2x lim ぃ ~+0 exp] 1іщ З(- sin 2x) I I x-»o 2xcos2xJ [ x-^o 2x x^o cos 2x J exp{- б} = e Тейлор формуласы Ең жеңіл варианттан 一 «n» дэржелі көпм үш елік үш ін Тейлор формуласынан бастайық р (.х ) = 尸 С О ( ズ - ズ )+ ^ (^о) ^ ( х ) х г 2 х 2 + Зл + 5, ズо = 2 болганда р (х 0) = = 11 Р_(х) = 3х2-4х + 3, Р'(х0) = = 7 Р "(х) = 6 х - 4, Р"(х0) = = 8 Р '"(х)= 6, Р",(х0)= 6 Сонымен, = 11 + і( х 2)+ 4(х 2) + (х 2) f(x ) = f ( x Q) + f '( x 0) - ( x - x 0) + f" ( x o ) ^ X ^ f (п)(хо ). 1x_z2LoJ + f (п+0 ( с ), ( х - х 0 Г 1 44

46 мұндағы С = с(х) Х0 мен X тің арасындагы нүкте, с = х0 4-Ө(х - х 0), 0<Ө<1. Қалдық мүшенің мұндай түрде жазылуының ерекшелігі: С с ( х ) бізге белгісіз болса да, қалдық мүшені багалауға болады. 10 Х0 = 0 нүктесінде /( л :) = 1п(і + х ) функциясы үш ін Тейлор формуласыньщ 10 мүшесін жазып, оның қалдық мүшесін X Е [0,і] үшін бағалау керек. Х 0 = 0 нүктесінде Тейлор формуласы мына түрде жазылады / W = / ( о ) + / (о)х + / (о) f (n){o ) + + / {п^ { Ө х ) X n+1 («+1) Бұл Маклорен формуласы Біздің мысалымыз үшін / ( 0 ) = 0 ; / ' W = ; / '( 0 ) = 1 ; /, ( х ) = ( ^ ; /,( 0 ) = - 1; / '"w = ( ^ y ; / "'(0): / > ) = Г ^ т ; / " " ( О ) - - З!;...; (1 + х ) / ( 勢 ( - 1 Г (l + x ) / W(0)=(-1 广 ч «- 1); / (л+1)(х ) = ( - 1 ) л Осыдан (п =9). (1 + x ) /1+1

47 ln(l + JC) = л; ^ 3! < + + 8! i 一 ズ 10, 2! 3! 4! 9! 10!(l + ö x ) 10 t v \ \ X X X X ln (l + X ) = X h ' n V e ю 1 Г + Ў х ў, 0 < Ö < 1 Бұл формула Д:e ( 1,1] үшін дұрыс, өйткені х = 1-1п(1 + ;с) функциясыньщ үзіліс нүктесі. Формуланың қалдық мүшесін, X Е (0,1) үшін бағалайық. 丨补 PToö^f A く i L 10( 一 1 0,ө^ткен' бүл бөлшектің ең үлкен мэні бөлімінің 1 = 0 болгандағы ең кіш і мәні болады. 11 j \ x ) = Маклорен формуласы ббйынша жіктеу керек. Осы формуланың кѳмегімен е саньш ге дейінгі дәлдікпен есептеп табу керек. / ( 0 ) = 1;f ' ( x ) = e x ; / ' ( 0 ) = 1; f { x ) ^ e x ; f { o ) = l..-, / ( я)(х ) = ど ; / (я)(0 ) = 1;/ (л+,)( х ) = е \ Сонымен X X X I Ѳх 6 = 1 ~Ь X H Һ... H h 6 2! 3! n\ x ( п + l )! Бұл (Ьормулада X е ( - с о,оо),0 < ^ < 1. Л - X = \ ^ = H ! һ.. л [ 丁 \" 2! 3! п\ (w + l ) 46

48 e Есептің шарты бойынша < ( ^ ) ~ ( ^ Т Т ) ~ T^ÖÖ ' ЯҒНИ («+ 1)!> ! = 7 2 0, 7! = 5040 болғандықтан, w + l = 7,n = 6. Сонда t, , 1 1 一 Qï e =1 +1 н = 2 H = 2,781 2! 3! 4! 5! 6! Тейлор формуласыньщ үш мүшесін жазып, л /з ^ ті жуықтап есептеп, табылган нәтиженің қатесін табу керек. J {л ) = у /X функциясын қарастырамыз жэне оны Х0 = 32 де Тейлор формуласы бойынша жіктейміз (үш мүше жэне қалдық мүше) / ( х 0) = 5Ѵ32 =2; f '( x ) = ^ = - f \ x ü) 5 ^ 1 7 ' J V 0/ , 2 5 ^ 7, ノ 广 25 プ ノ 厂 125 が 5j~ x-32 {x -3 2 f 6{x-32f Осыдан ズ ^ё 14 ' Бұл формулада -X = 33 деп алып, ѴЗЗ =2 +. Қатесі,сб[32,33і 125Ѵ с14 Ö Ö J Сонда Г < ^ 3 2 ^ =! ÔÔÔ- (Ең басынан ѴЗЗ = 2 екендігі айқын болды. Біз тің 2 ден қанша айырмашылығы барлыгын қарастьфдық). Маклорен формуласы бойынша жіктегенде төменгі функциялардьщ дайын жіктеулерін пайдалану тиімді: 47

49 ех =1 + х g + o H (2) 2! 3! ѵ 3 ѵ 5 ѵx 2к+1 2k+1 / sinx = X 十 + ( 1 ^ <г-+о(х2к+2 3! 5! ѵ 12k+ 1)! } (3) COSX = ( - l) k 7~ X T +0(x2k+1 2! 4! v ' (2k): ln(l + x ) = x - マ + 丁 - + ( l ) " 1 + o(xn) (1 + =1 + ax + x2 十 + 0(xn (4) (5) (6) 13 / ( х ) = 8 Ш " ズ一 X e функциясын ズ қоса Маклорен формуласы бойынша жіктеу керек cos2 д : 1 Г 1, (2л:)2 (2л :)4 л/ 4 ѵ smzx = = - - [ l - l + -~ ~ 一 - + 0\л:4Л = 2! 4! бар мүшесімен - ど +0 レ ) х^е~ l-x -\ ^x2) = x 2 - x3+ + O^jc4) Осыдан f(x)= x2 ----x2 + x3 ~ + o(x" 1= x3 + 0lx4 (Бұл мысалды шығарғанда (4) жіктеудегі х ті 2х ке ауыстрдық жэне (2) жіктеуде jc ті 一 jc ке ауыстырдық). 14 / W = - _ j функциясын Маклорен формуласы бойынша 4 ( ズ мүшесімен коса) жіктеу керек. jc 1 Х Х Х Х J 5\ X X X е 1 = jc OU I = x-\------h H Һ 2! 3! 4! 5! v ; 念 +0( パ ) 48

50 Енді <2 = 1 болганда (6) жіктеуді пайдаланамыз l+jc l - x + x 2 - x 3 -\-x4 - + (-1 )ял:л + o (x ) X X X X сосын x Tl + + 一 し 4) ге ауыстырамыз. Осы ѳрнекті әртүрлі дәрежеге шығарғанда, тек қана x тің 4 тен аспайтын дәрежелерін ғана жазамыз. / гニで+xx 2 x 4 x 3 x 4 / W = i ш X X X v 8 8 I ( ン _ i функциясын ズ бар мүшесін қоса жіктегенде, оізге оның бөлімін ズ қоса жіктеуге тура келді. Бұл амалдардың дұрыстығы кейінгі есептеулерден көрінеді).

51 5.3 Ф ункцияларды зерттеу. Ф ункц ияньщ ең үлкен жэне ең к іш і мәндерін есептеп табу Бұл бөлімнің есептерін шығару окушылардың математикалык талдаудьщ функцияны зерттеу мәселесіне байланысты: Ферма, Роль, Лагранж жэне дифференциалданатын функцияньщ орта мэні жѳніндегі Коши теоремалары, монотондылықтың белгісі, функцияньщ ең үлкен жэне ең кіш і мәндерін табу туралы теоремалар, майысу (иілу) н ү к т е с і, 中 ункцияньщ асимптотасының барлығы жөндегі қағидаларды берік меңгерулеріне негізделген. Ф ун кц и я н ы зерттеу Бұл параграфтың әдістемелік нүсқаулары төмендегі тақырыптарға есептер шығаруға арналған: 1 Функцияның өсуі және кемуі. 2 Функцияньщ экстремумдары. 3 Дөңестіп, ойыстығы, майысу нүктелері. 4 Асимптоталар. Ф ун кц и яны ң өсуі және кемуі. Бұл тақырыпқа есептер шығарғанда функцияның монтондылығының жеткілікті шартын пайдаланамыз. (a b) интервалында дифференциалданатын функция өсуі (кемуі) үшін бүл интервалда f туындысы оң (теріс) болуы ж еткілікті, яғни f (дг)> 0 (, (x ) < o)t x e (а,b ). 1 Мына функцияньщ өсу жэне кему интервалдарын табу керек у = x3-30jc х +1 Ш еш уі 1 Қарастырылушы функция - көпмүшелік, сондыктан оньщ аныкталу облысы - ( оо,-ьоо) 2 Оның туындысын табайык / (х) = Зх2-60х = 3( ズ- 5) (д:- 15) 3 f (^ ) = 0 болатын нүктелерді табайық. Ол үшін (x 5 )(x 15) = 0 теңдеуін шешеміз. ^үдан ' = 5,Х2 = \ j табамыз. 50

52 Кризистік нүктелер \ = 5 және ズ2 = 15 функцияньщ анықталу облысын мына интервалдарға бөледі ( 0?5), (5,1 5),( і 5,+оо) 4 Бұл интервалдардың эрқайсысында туынды / '( ^ ) т ы ң таңбаларын зерттейік. Егер X <5 болса, онда (х 5) < 0, және ( ズ 15) < 0, сондықтан f ( ぶ ) > 0 Егер 5 < X < 1 5, онда ( I 一 5 ) > 0, (л:- 1 5 )< 0 ж э н е, ( ズ ) く 0. Егер л: > 1 5,онда ( д с - 5 ) > 0, ( л :- 1 5 ) > 0, сондықтан f (x ) > 0. Табылған нәтижелерді таблицаға енгізген ьщгаилы X (-00,5) (5,15) (15,+ со) /. W / W t \ t Жауабы (_оо,5) жэне (15,+ оо) интервалдарында функция өседі, ал (5,15) интервалында кемиді. Ф ункцияларды ң экстремумдары. Экстремумды табуға арналған есептерді шығарғанда ズ о нүктесі, ( ズ ) функциясыньщ локальдік максимумы (минимумы) болу үшін керек. ( орындалатынын естен шығармау осы нүктенің аймагынан алынган). Қалыпты жағдайда «локальдық» деген сөзді алып тастап, «максимум нүктесі немесе «минимум нүктесі» деп жазылады. Максимум жэне минимум күктелері 一 экстремум нүктелері, ал функцияньщ бұл нүктедегі мәндері 一 осы функцияньщ экстремумдері. Функцияның экс фемумдары оньщ кризистік нүктелерінің арасынан ізделеді. 51

53 2 Функцияны экстремумге зерттеу керек 少 = ズ 3 (1 ズ ) ï Шешуі: 1 Функцияньщ кризистік нүктелерін табайық З д :^ (і-х )з Функциясының туындысы ズー і нүктесінде нөлге айналады, ал x = 0 жэне х = 1 нүктелерінде болмайды, яғни фунісцияның кризистік нүктелері ズ i = j,х і = 0,х ъ =1 1 Функцияны ズ 1, ズ 2, ズ з нүктелерінің айналасында зерттейміз. 0 < み < j болсын,сонда /. І_А)>0 /. + A)<0,f {-h )> 0, f{h )> 0, :,( 1 - A ) < 0,, ( 1 + A)>0 Сонымен, ~ г болганда функцияньщ максимумы d /nux = / ( 全 ) = + ; ぶ2 = 0 де экстремум жоқ, ал ズ3 = 1 де функцияда минимум; fmm = «АО = 0 Жауап ズー j нүктесінде максимум, ал х = 1 нуктесінде - минимум. 52

54 Дөңестік, ойы сты қ. М айысу нүктелері. Бұл бөлімнің есептеріне: функцияның графигінің дөнестігін немесе ойыстығын анықтау (берілген нүктенің айналасында не берілген интервалда); функцияның графигінің дөңестік және ойыстық интервалдарын анықтау; майысу нүктелерін табу жатады. Егер функция У = ) берілген интервалда кезкелген өзінің жанамасынан жоғары (тѳмен) орналасса, график онда ойыс (дөнес) болатындығын есімізге түсірейік. Дөңестіктің (ойыстықтың) жеткілікті шарты: функцияның (a, b) интервалының барлық нүктелерінде нақтылы туындысы болып, мына теңсіздіктер орындалуы f ( x ) < 0 ( /" ( л ) > 0 ) x e ( a,b ). Бірінші топқа жататын есептерді шығарғанда: функцияның екінші туындысы f ( I ) ты табу; екінші туындының таңбасын нүктенің айналасында немесе берілген интервалда зерттеу керек. 3 Мына функцияның графигі У = X5 5х3 一 15д: (1,11) жэне (3,3) нүктелершщ айналасында дөңес немесе ойыс екендігін айқындау керек. Шешуі: 1 Ф у н к ц и я н ь щ е к і н ш і т у ы н д ы с ы н т а б а м ы з f '( x ) = 5 x 4 - \ 5 х 2 -З О х, f " ( x ) = 2 0 x 3 - З О х Екінші туындының (1,11) жэне ^3,3) нүктелерінің айналасындағы таңбасын зерттейміз. 0 < А < болсын,онда /'(1 -А )< 0,, ( 1 ) < 0, ( 1 + А )< 0,, ( 3 - А ) > 0,, ( 3 ) > 0, /" ( 3 + Л )>0 Сонымен (1,11) нүктесінің айналасында график дөңес, ал (3,3) тің айналасында - ойыс. 53

55 4 Мына функцияның дѳнесгік жэне ой _ л 2 3 майысу нүктелерін табу керек У = j X X Ш е ш уі: -,. ' - 1 Қарастырылушы функцияныщ ш а а ^ п я у. обоы ш ( ос,+оо). 2 Оньщ екінш і туындысын табамыз f (x )= 6 x - 3 x 2, f (x) = 6-6x - б ( і- x). 3 X = 1 нүктесінде f"( x ) нѳлге айналады. Д өңесгіггщ жене ойыстықтың екі интервалын табамыз ( 一,1),( l,+ o ). 2 Функцияның екінш і туындысының осы интервалдардың әрқайсысындағы таңбасын зерттеп, ( - оо,1) де график ойыс жэне, те дөңес деген қорытындыға келеміз. Табылған нәтижелерді таблицаға енгізген ыңғайлы X (-оо,1) 1 (1,+ со) Г ( х ) f( x ) ОЙЫС 2 дөңес Ж ауап: (1,2) - майысу нүктесі, график (~ Д )д е ойыс, (і,-һсо)те дөңес. Асимптоталар. Егер ン = /W функциясыньщ графигінің М (х,у) нүктесі бас нүктеден шексіз алшақтағанда бір L түзуімен ара қашықтығы нөлге ұмтылса, L түзуі функцияньщ графигінің асимптотасы деп аталады. Егер f (X) немесе ^ (х ) ~ орындалса, X a түзуі у = / W функцияньщ графигінің вертикаль асимптотасы болады. 54

56 Егер lim f( x ) = b немесе lim f(x )= b болса, У = b түзуі У ~ f i? ^ ) функцияньщ графигінің горизонталь асимптотасы болады. Егер k - lim b - lim [f( x ) - k x ] к ニ lim i 士 ), b = lim [ f ( x ) кх ] болса, у k x + b функция У ~, ( ズノ тің кѳлбеу асимптотасы болады. 4 Мына функцияның графигінің асимптоталарын табу керек ヌ : х - 2 Ш еш уі Функция мына интервалдарды ( - о о, 0 ) жэне (2,+ о ) анықталған. X A) v ~ О ~~ ^ 00 болғандыкган, X = 2 түзүі осы фушсцияның x >2+ V X Z вертикаль асимптотасы болады. Мына шектерді табамыз X X х1^ = ' ѲЙТКШІ б Л ШеКТеР нақты шекті (конечное) шамалар емес, сондықтан горизонталь асимптотасы жоқ. 55

57 К өл б е у а с и м п то т ш іа р д ы табайық 1 b = f(x ) Vx- 2 I x lim = lim - - = lim X-^+00 X X И-00 X X H-00 VX 2 パ I Л X lim [ f ( x ) ~ k x ]= lim X I x - 2 x * ( v x - л / х - 2 ) x - lx - x -h 2) l i m /= = = = lim I x - 2 V x - 2 w x + v x ~ 2 ] : lim - X 一 M Л - - ЯГНИ. л. f(x ) v x 2 т \ x ~ 2 h m = lim = һ ш ;~ x >-<» X х-> oo X х~>~оо Алымын да бөлімін де оң шама (-х) ке бөлеміз x X lim һ д J -i; ь = l im l/ W ' lim U 2 -Х у[ - Х + Х Л І2 -Х Сонымен, сол жақты асимптотасы бар У ニ ~ х 一 1 56

58 Ж ауабы Түзу X = 2 - вертикаль асимптота, түзулер у = x - t - l жэне ン = _Х 1 - У Ч х - 2 функциясыньщ графигінің көлбеу асимігготалары. Ф ун кц и я н ы ң ец үлкен жэне ең к іш і мэндеріне есептер f ( x ) функцияньщ ең үлкен (ең к іш і) мәндерін кесіндісінде табу үшін ол мәндерді кризистік нүктелерде жэне кесіндінің шеткі нүістелерінен алып, сонан соң ең үлкенін (ең кіш ісін) тандап алу керек екенін есімізге түсірейік. 6 / ( х ) = 2хъ- Зх2 - Збд: 8 функциясыньщ [ - 3,6] нүктелерінде ең үлкен және ең кіш і мәндерін табу керек. Ш еш уі 1 Функцияньщ экстремумдарын табамыз. Туындысын табамыз f '( x ) ^ 6 x 2 -в х -ъ б ^ б {х + 2 \х -3 ). Осыдан х, = - 2 жэне х2=3 一 кризистік нүктелері. Екі кризистік нүкте де [-3,6 ] кесіндісінде жатады, Е кінш і туындьшы табамыз. f ( х ) = \ 2 х - 6 ;, ( 2) く 0, ал f \ і ) > 0 болғандықтан, x = 2 нүктесінде максимум, ал X ~ J нүктесінде минимум. Функцияньщ мәндерін экстремум нүктелерінде жэне берілген кесіндінің шеттерінде есептейміз / ( - 3 ) = 19, / ( 2) = 36,/(3 )= -8 9, /(6 )^ Сонымен, функцияның [-3,6] кесіндісівдегі ең үлкен және ең кіш і мэндері шах /(х )= max {і 9,36,100}=100; min /(x ) - min {l 9,-89,100} =

59 j., - графиктің координат остерімен қиылысу нүктелерін табу; таңба т^рақтылық аралықтарын табу; - функцияньщ үзіліс нүктелерін табу; - функцияньщ аныкталу облысын шектейтін нүктелерде жэне үзіліс нүктелерінде бір жақты шектерді табу; - графиктің асимптоталарын табу; - бірінш і туындыны тауып, функцияның экстремумдарын жэне ѳсу жэне кему аралыкгарын табу; - функцияньщ екінш і туындысын табу; - графиктің иілу нүктелерін, дөңестік немесе ойыстық аралықтарын табу. Иілу нүктелерінде жүргізілетін жанамалардың бүры ш ты қ коэффициентгерін табу; - қисы қты ң кейбір беліктеріндегі сипатьш айқындау үшін бірнеше қосымша нүктелер алып, функцияньщ графигін саламыз. - функцияны зерттеудің барлық пушсттерін орьшдағаннан кейін нәтижелер график не нүктелер түрінде, немесе үзіліс нуктелеріне және анықталу облысының шеткі нүктелеріне ^мтылуын стрелкалармен көрсетіледі. Сонымен бірге асимптоталар және иілу нүктелеріндегі жанамалар да сальшады. 1 М ы на функцияны зерггеп жэне графигін салу керек ズ 3 - х 2. 1 Ф ун кц и я тек X = 土 / ^ нүкгелерінде ғана үгіледі, ягвш,;' : '! -, л е ( - о о, - Ѵ з ) и ( - Ѵ з, Ѵ з ) り (л/3,+оо). f ( _ r \ _ ( - X ) 一 - 2 Ф ункц и я тақ,еебебі ノ ノ 3 ( x ) 2 し онымен,оны н гра 中 игі бас нүктеге қарағанда симметриялы. Осының негізінде зерттеуді жэне график салуды тек ズ之 0 нүктелерімен шектелуге болады, сонан соң симметриялық пен пайдаланып, графиктің қалған бөлігін салуға да болады. Функция периодсыз. 3 График Ох осін ン = 0 болатын нуктелерде кеседі, яғни v 3 ^ n 2 u б^дан х~0 (бас нүктеде). 60

60 少 > 0 немесе ~Z Г > 0 0 < х < л/з болганда жэне X アく 0 немесе ^ Т < 0 у]ъ < х く +ао болганда, бұлар теңсіздіктердің шешімдері. Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешуге болады. ( Л 4 / â + x ) > 0 = > (Vâ 一 4 / ä + * ) < 0 x e (0, 匈 Дэл солай < 0 x g (д/3,-ко j болганда. ; д 3 Функция X ~ л/з нуктесінде екінш і типті үзілісті X lim т=+, Ѵз-3- x x lim х->ѵз+3-х r x Оған коса h m ~ ミ = ~ *, 5 п.4 тен, X = - вертикаль асимптота. Кѳлбеу асимптота У ^ к Х + Ь 9мұндағы к = Ііш = lim ~ 7 1 = -!, lim [f( x )-k x ] = f X 3 ヽ :lim X X 一 )00 З -х 2 Зх Осыдан У 一ぶ графиюің кѳлбеу асимптотасы болады. 6 Туынды табамыз 61

61 ( 3 - x 2)Вх2 + 2 х х 3 9 х 2 - x 4... ズ 2( 3 - лт)(3 + х) 1 ( З - 2) 丨 2 i 3 -? ) 丨 2 1(З- jc2 Г, Оны нөлге теңестіреміз х2(3 х)(3 + х) ( 3 - ズ 2) f Сонда X 2 (3 - х Х З + X ) = 0. Бвдан Х = Ъ, Х ^ - Ъ, X Келісіміз бойынша бізге тек х = 3 нүктесінде ғана экстремммге зерттеуге тура келеді. Туындыньщ х = 3 нүктесінің сол жэне оң жағындығы таңбалары тек қана алымның таңбасына байланысты, өйткені бөлім әруақытта оң. х = 3 нүктесінің айналасцнда У (3 f ) > 0 И у (3 + 6 * ) < 0,мұндағы ど 0 Сонымен, х = 3 нүктесінде функцияньщ максимумы 一 - П 一. _ У= ~ = 4,j 6 x е М ) ( Д з ) болганда функция ѳседі, ал х ^ сьѵнкция кемиді. Осы нэтижелерді бірінші туындыньщ таңбасын интервалдар әдісімен зерттеп табуға да болады. Ох осінде ズ = 0,X = л/з, X т= 3 нүктелерін белгілеп, оірінші туындьшың таңбасын әрбір интервалда тексереміз (ху о Ѵз з 7 Қисықтың дөңестігін, ойыстығын жэне майысуын зерттейфіз. Екінші туындыны табамыз 62

62 , 9 х 2 プ " Ч ( з - パ )2 (з - лг2у (і8 x - 4д:3)ч- (9л:2 - х 4 )-2 (з - л:2 )-2л: (3 -? )4 6 - дг2 У ( і 8 x - 4д:3)+ 4:с(9д:2 - jc4 ) (3 _ д:2у 54 д:-18 jc3-12 д:3 + 4д: л:3 - А х ъ 54 д; + бд:3 6 д: + д:2) = ( 3-4 = ( З - х づ У ニ 0 бұдан Л:= О ズ = О нүктесінің айналасында ア (0 ど ) < 0 ; у (О + f ) > 0? мұндағы ど 0. Сонымен, координаттар бас нүктесінде қисық иіледі (бас нүктеде иілудің барлығы графикті симметриялы түрде сол жаққа салғанда да келіп шыгатын еді). Кейде ойыстықтың багыты үзіліс арқылы өткенде өзгеруі мүмкін, сондықтан у тың таңбасын үзіліс нүктелерінің айналасында айқындау керек. Берілген жагдайда У > 0 (o,v ä ) аралығында жэне У ' < 0 (л/з 500 ) аралығында. Сонымен қисық (0, 病 аралығында ойыс жэне (ѴЗ,оо) аралығында дөңес. Осы нәтижелерді екінш і туындының таңбасын интервалдар әдісімен зерттеп те табуға болады. Ох осінде Л:= 0 және x = л/3 нүктелерін белгілейміз де, екінші туындының таңбасын әр интервалда тексереміз: ゾ (X ) Иілу нүктесіндегі жанаманьщ бұрыиггық коэффициенті ^ = / (о )= о. 8 Есептеп /(і) = 0,5 ; /(0,5 )= 0,04; /(3,5 )= 4,6 табамыз да, график сызамыз. 63

63 Х < 0 үш ін ірафиктің симметрияльоъшен п^йдал^намьд- 64

64 6 Тарау Интегралдық есептеу Анықталмаған интегралды есептеудің практикада ыңғайлы жалпы әдістерінің жоқтығына байланысты практикада ж иі кездесетін функциялардьщ кейбір дербес кластарыньщ интегралдау әдістерін қарастыруға тура келеді. 6.1 Рационал бөлшектерді интегралдау Рационал бөлшек W ( ズ ),мұндағы )! ^, ( ^ ) және Р п { х ) т және п дәрежелі көпмүшеліктер ТП < п болғанда дұрыс, басқасында бұрыс деп аталады. (w > 1 ). әрбір бүрыс рационал бөлшекті көпмүшелік және дұрыс рационал бөлшекгің қосындысы ретінде жазуға болады. Сондыктан рационал бөлшектерді интегралдау мәселесі дұрыс бөлшектерді интегралдауға әкеледі. жағдай Шешуі А ax + b -dx,a t а,b нақты сандар, а ^ 0. А ax + b -dx : t = ax + b dt : adx [ i. ゴ lnm + C ニ一 ln o r+ 6 卜 C t a a 丨, a 丨 1 Мысал 1 2 жағдаи n=2. j~ p 2 < Ц A x + B 3dx ln!- 2 jc + C [ 2дг x 2 + px + q -dx мүидағы À, 爲 p f Н8КТЫ савдар, 65

65 Ш е ш у і А (2x + p)- r メ A^\ B P r Æt Ах-\~ 十 В ガ, f. A r(2x + p)dx J \~2 ^ ~ I - <lx = ~ f \. + xv キ4- pn v x 4- 七 q n J x~ + px + q? J ^x飞 1 + px^-q f л \ Ap dx A B ヽ2 ln(x2 + p x + q) + v ムJ x + P + す P v 2 ノ 5. 却 P x + _arctg-j=^= + C ~ ln(x2 + P + ç)+ 2B - Ap 2x-\- p, a rc tg -T= = ^ = 'V C が q p л р ч 一 p Мысал 2, зх + і гт - ( 2л + 3) - г з. 2 х + Ъ -7 - L み = f2 _ ^ d x ^ - f / そ dx- 1x +Зл: + 5 J x + 3 x ^ x + 3 x t dx 3 t ( 2 ^ л 1 2х + Ъ ~ \n {x 2 + 3jc + 5) j =. arctg~ -j=^~ + C 3 жағдай n > 3 г(х) dx > (y ), мұндағы m < n. 66

66 Ш еш уі Бөлімді сызықтық жэне квадратты көбейткіштерге жіктейміз де, берілген бөлшекті 1 және 2 жағдайд^ы анықталмаған алымдары бар бөлшектердің қосындысы түрінде жазамыз. М ысал 3 X fix + С x -dx JC3-1 X 1 X + JC + 1 x 2 + \ - а (х 2 + x + 1)+ (Вх + С)( ズ- 1) x 0 : І^А -С ' x = l: 2 = ЗА А 3 х= : ~ 1 :2 = А ~ 2 ( С - В ) 2В = 2 - А + 2С = В х-\ ム dx = ln x - l (2x + î ) ~ r \ ~ Æc = 1пд:-1 + f j x 2 + x + l 3 1 I 2x4-1

67 1 2 х + \ ^ ---- pr arctg рг + С л/з л/з 1 жэне 2 жағдайдағы бөлшектердің бѳлімдері натурал дэрежедегі жағдайларын қарастырайық. ç A dx Интеграл J ( 狀 + Ь )л ^ жағдайдағыдай шешіледі Мына интеграл J 2 W*, сол көрсетілген эдістермен + р х ^ I. r dx ( 2 V интегралына әкелінеді, ауыстыру енгіземіз ІХ + рх ' (J)

68 tdt d V (t2 + a 2)f du = dt. 人 - V- 1{ е + а 2) ~ 2 { n - \ ) {t2 + a 2Y 1 t 1 f dt Осыдан 2 п а 2{ п - \ ү + а 2У 2 a 2( n - l ) t 1 2 n a 2[ n - \ b 2 + a 2y a 2 n - \ J./1-1 Л -i Бұл рекуррентті формула бойынша J і ден ゾ 2,*^3 т.т. табамыз. М ы сал 4 dx U - 2JC + 2 dt ズー 1 : a - 丨 M dt н-----a rc tg t + C - x - 1 h-----a r c t g ( x - \ ) + C 2 [x 2-2 x - h 2 ) 2 69

69 Рационал функцияларды интегралдаудың жоғарыда көрсетілген әдістері жалпылама болғанмен де үнемі б^л әдісті пайдаланбаи-ақ кейбір жағдайларда әлдеқайда жеңілдетіп есептеуге б о л а д ы. ;; Мысал 5 f dx : ln x6+ x 5+д:4 + С \x ~tx -tx Мысал 6 r xdx r 2xdx t^2x2-1 ^2х4-2х2+ 1 ' ^Ах4-4 x 2 +2 dt = Axdx d l - 全 arctg t + C~~' arctg (2x2-1)+ C Мысал 7 ズ7 + ズ4 _ ズ3 + гх Ъ[х Л 1 ) + Л:4 +1 _ i : dx = - Л - 4 л ү ч ік л:5 1 л:4 -ІД Л " + i X x 4 + l x 4 - l, 1 r4 x dx d x こ一 4 V + l 1? - l dx- ln lx + l } + ln x ~ l x + l -a rctg x + C Иррационал функцияларды интегралдау Иррационал функцияларды интефалдаудьщ негізгі тэсілі интеграл тацбасының астындағы функцияны айнымалыны ауыстыру арқылы рационалдауга негізделген. 70

70 Мүнда біз бұл эдісті иррвдиояалдыкгың негізгі үш класына пайдалануға тоқталамыз. 1 жағдай R x, а х + Ь c x + d a x + b c x + d,рі а х + Ь ^ " c x + d ) d x мұндағы бөлшектер, a, b, c, d накты сандар, ü d Ьс 5* 0, R - өз аргументтерінің рационал функциясы. Рационалдау үш ін мына ауыстыруды а х -h b 一 s : г [ У - も пайдаланамыз,мұнд^ы S - ^ 5^ 2,, белшектерінің ең кіш і ортақ еселігі. Мысал 1 (л/х^т-л/хтт) У(х + 1)5 ~ і)2(х +1)+ л/ j - 1) し 1 х - \ і 6 +1

71 t 4 2 t h t t + 21n t + l 福 2 X + l 丨 X + l 丨 x + l + 21n 丨 x + l C 2 жағдай J r (x, ^ c I 似 + ÖX + C jd x,мұндгтеі a,bt c нақты саңдар,] рационал функция. Рационалдау ушін Эйлер ауыстыруларын пайдаланамыз: 1 ) л іа х 2 + b x + c = N a x + t, егер а > 0 ; 2) лісіх^ + b x + с л/с + x t, егер с > 0, д < 0 ; 3) л!а х2 +ÄX + C - t \ x - a \ егер с < 0,а < О мұндағы СС- квадрат үшмушеліктің түбірі. Екі жағын да квадрат дәрежеге шығарьш ズ ті жэне d x ті ташуға болады. Сонда * аркылы рационал функцияның интегралы боладі! - i Мысал 2 dx Ѵ х^-2 x + 4 = x + t, x2-2 木 + 4 = x2 + 2 xt+ t Һ - 2 x + 4 2t + 2 (2t + 2 f ft2 +2t + 4) dt (2t + 2)2 厂 + 2t + 4 I j* n / dt 4 - Г 丄 ~ ^ = j ゴ dt= 2f 2t Г 2t 十 t t2)(4-t2 + 2t2^ ) <tt=2j^ - 4

72 Эйлер ауыстырулары көп жағдайда өте көлемді есептсулерге әкелуі мүмкін. Сондықтан мына интегралдарды шешкенде り 2... dx, ^{Л х^-в У^ах1 + b x + c dx9 r dx (Ax + B )yjax2 +bx-\~c басқа ауыстырулар алған жеңілірек. * Мысал 3 厂 色. 办 = 4 ヒ )+2 也 = 1 す广 j 扣 + V x2-2 x + 5 V x2-2 x V x 2-2 x J 厂 dl = V x ^ - 2 x 空 : = V x 2-2 x + 5 ^ ( x - l f + 4 = V x ^ - 2 x n x -1 + V x " - 2 x C Мысал 4 J(x + l)v x 2 ~ 2 x + 5 dx = j 丄 ( 2 x - 2 ) + 2 V x 2-2 x -f-5 dx = = 丄 j( 2 x - 2 } y [x 2 ~ 2 x + 5 dx + 2 j y [ ^ - 2x 十 5 dx = = 全 (x2-2x js/x2-2x + 5 dx Табылган интегралды жеке есептейік 73

73 Jx 一 2 x 十 5 み : м = *v x , v = jc dv = dx, du - d x lx 2-2 x + 5 ХЛІХ.2л: J- Ix 一 2x 十 5 x - 5 -dx /x*" 一 2x + 5 = = d x = x \ x " ~ 2 x + 5 jc 一 2ズ + 5 -dx = x \.x 2x + 5 IVx 2.x *f 5cbc - Осыдан -л/х2-2x + 5- мысалдағайдай шешіледі. Мысал 5 x - 5 rdx /x し 2x + 5 Бұл интеграл 3 p dx (x + l^v ~ 2.x + Ъ x + \ - dx - dt dt j- 9 dt 4 ï ~ 4 t + 9 t2 dt t 一一 / + - I 9 9 f dt : \n t + J t ~ g t + g + C = ln 9/-2 + 3V9/2-4 / + l + C : : 一一 ln , x + l y (x +1)x + l C = Injx Іп 7-2х + ЗѴх2-2 jc+ 6 + C Мына интегралды шешкенде 74

74 я Г х, Ѵ а 2 - x 2> d x, jr ^ x V x 2 a 2 ) d x, J r [ x, V x 2 4 -a 2 dx эрқайсысына сэйкес төмендегі ауыстыруларды пайдаланған тиімді x = a * sin f, х== а -sec^ x = a tg t М ысал 6 d x x4 x2 +9 x = 3tg t J 3dt dx = -----r- COS t J d t cos ム t sin2 1 cos t cos. 1 rco s td t 9 J sin2 1 + C : 9 sin/1 л/дг + 9 9x + c 3 жағдаи Г т ( п. г \ Р (ОХ + 6 J х мұндағы m,n,p рационал сандар, a, b - нақты сандар. Л.П. Чебышев бұл интегралдың шекті (конечный) түрде S есептелетіндігін дәлелдеген: р 一 бүтін болғанда, X ауыстыруы арқылы, мұндағы S 一 т жэне п бөлшектерінің бөлімдерінің ең кіші ортақ еселіп, т +1 ひ = ахп +Ь - бүтін (р - бөлшек) болғанда ауыстыруы арқылы, мұндағы S - р бөлшегінің бөлімі; w +1 w +1 Y Р - бүтін (р мен - бөлшектер) болғанда, x nt s = а х п + Ь ауыстыруы арқылы, мұндағы S - р бөлшегінің бөлімі. Бұл ауыстырулардың бәрі рационалдайтын, яғни интегралдар t айнымалысы бойынша рационал функциялардан алынады. 75

75 厂X25冱М ысал 7 \fxdx ズ 3 1 dx : x - t dx = 6t5dt c t36 t 5d t t dt, ハr - i 1+1 ;+ i,, ri ^ ~ ~ = 6 いっ dt = 6 t2- \ J t2- \ J dt Г - 1 Г - 1 t6 + t4 + t2 + \ , \dtf f h ^ H---- lïl ^ C = 6 ^ -1AX+7V I +I 3ノ + 31n c y fx + 1 М ысал 8 x 7 V l + x 4 ах m + 1 n x

76 М ысал 9 о.з Григонометриялы қ функцияларды интегралдау Мына итегралдарды қарастырайық /R (sinx,cosx)dx? мұңдағы R - sin X жэне COS X ке тәуелді рационал ф ункция, бүлар үш ін интегралдаудың ыңғайлы түрлері жасалған.

77 1 жагдай R (- sin X,cos x) = -R(sin X,cos x) немесе R(sinx, cosx) = R(sin X,cosx) онда әрқайсысына сэйкес t = COS X жэне t = sin X рационалдайтын ауыстырулар алынады. 2 жағдай. 2п ^ へへ 2 т sin x COS x d x, мүндағы n, т бүтін теріс емес сандар. Мүндаи интеграл дәрежені. о l-co s2 x? l + cos2x sin x = , cos x = тѳмендету пайдаланып шешіледі. 6) Jsin" x cosra x d x,мұндағы /w+ n - жүп. Мұнда рационалдайтын ауыстыру t = tg x. 3 жағдаи формулаларын. dx sin2n x.cos2m X мүндағы n, m - бүтін теріс емес сандар. Мұндай итеграл мына интегралдарға әкелінеді fsin xdx f cos xdx 丨 ^ ^ 纖 J sink+2 x мүндағы k: 式一 1,ауыстыру тәсілімен есептеліп, одан әрі таблицалық деп есептеледі. tg x rsi:nk xdx t k+1 tg k+1x dx Jtkdt -+ C : cosk+2x dt k + 1 k C cos4" x / cos xdx sink+2 x d t こ :ctgx dx k+1 - jt kdt = - - ~ -+ C = 筚 +C k + 1 k + 1 dx Ism*- x + cos x Онда sin2n x -cos2m x sin2n x cos2m X -dx жақшаларды ашып, мүшелеп бөлгеннен соң таблицалық интегралдар шығады. 78

78 4 жағдаи r ^ Ü J L d x I ^2m x, мұндағы m - натурал сан, n - бүтін теріс емес сан. а) п > т. Сонда -m +l sin2n x t f sin2m 一 2. (sin2 lsm~ : x I J -dx = J ^ dx = cos m X COS X ド W ± こ cos2m X жақшаларды ашып, мүшелеп бөлгеннен соң таблицалық не осы типтес, немесе 2 жағдайдағы интегралдар келіп шығады. 6) п < т j sin2n х 办一 j sm2n.(sin2 x + cos2 x f 1 也 жақшаларды ашып жэне мѵшелеп бѳлгеннен кейін таблицалық интегралдар шығады. Г 3 4 ヽ t = cosx Jsin x cos х а х (Іж а г д а и ^ dt = - sin xdx j*sin2x.cos4x.sinxt/x:= j*(l / 2>4( öfr)= (^6 - t A t 1 t 5 ^ COS7X COS5 X 广 ト с = Һ с

79 М ы с а л 2 sin2 x. cos4 x d x (2 жағдай А) 1- cos 2 xfl + cos 2x 2 J(l + cos 2;c)sin2 2xdx = J(l 4- cos 2 x )(l- cos Ax)dx : Мысал 3 丄 J(1 + cos 2x - cos 4x cos 2x cos 4x)dx : 1 ( sin2x s i n 4 x ) ~ 2 4 ~ J 3 2 J(cos6x 十 cos2x)dx - 1 f sin2x sin4x ) 1 f sm6x sin2x 1 ハ一 x C : 16І, 2 4 J 32 い 2 J x sin2x sin4x sin6x 一 C dx パハ r(sin2^ - f cos2x f ^ (3 жагдаи) み cos x cos x cos x sm ズノ ぶ + tg 3x + 3tg x 一 ctg x + C

80 fcos X T jîô J s in X М ысал 4 cos4 x (s irr x + cos2 x j dx dx (4 жағдай Б) = Г J sin10x COS X _ COS X COS X 1, c ts : X ' - + み = É sin X sin X sin X J 5 2 c tg 7x c tg 9x с 7 9 М ысал 5 rcosüx rcos2a xicos" X», -ax (4 ж ағдаиа )= ^ ^-ax J sin x J sin x rcos2x (l-s in 2x f, / COS2 X ^ COS" X = ^ l ~ c k = 2 2 ~~z + J sin ein XV J sin X sin X \ x dx ノ c tg X ^ r l - s i n 2 X 7 rl + cos2^, c tg 3x _2 J1 ヒぢ み ^ + ' 1 -ax = - sin x J 2 i へ 1f sin 2л: ^ _ 5 sin 2x _ + 2ctg x + 2x + \ jch C = x し ! Һ2ctg x 4. ぬ + c ノ Қарастырылған 4 жағдайға жатпайтын интегралдарды ауыстыруымен есептеуге болады. Онда i 2dt. 2 t 1-12 x = zarctg t, dx = つ,,о smx т л. = , vcosx リ л - ^ 1+ t2 1 + t2 1+ t"

81 М ысал б г dx *3-sinx ]g 2dt l + t 2 f - J L 3 2t 'ъ іг - i t + ъ r dt t / + 1 dt t /-1 ^ : n + c. ' T l 3 攻 2-1 arctg- ѴГ -+ c 6.4 Гиперболалык функцияларды интегралдау sh x е х е_х Z - гиперболалық синус. th X chx: sh X ch X ch X cth X sh X гиперболалык косинус. гиперболалық тангенс жэне котангенс. М ы на түрдегі интегралдарды қарастьфаиық jr(sh x,ch x ) d x, мұндағы R - sh x жэне рационал функция. Интегралдағанда тригонометриялық қолданылатын алғашқы 4 тэсілді i,2,2 і_2 сһ 2 х-1,2 1 + сһ2х 1= ch x-sh x, sh x = ,ch x = ch x қа тәуелді функцияларға тепе-теңдіктерді жэне таблицалық интегралдарды пайдаланамыз. th k+1 x ハ f ch X cthk+ix dx + C, f- + С k + 1 shk+2: k

82 М ы с а л 1 sh2 x ch3 л:dx (1жағдай)= t = shx dt = ch xdx ^ h 2 xdx -!(l + sh2xi sh3 x sh5 X C Г + t^\it = L + L + c r 3 5 Мысал 2 Jsh4x*ch 2x ^ (2 жағдай)= ch 2д:- 1 ) 1 + ch 2д: dx : 2 2 * Jsh2 2 x. (ch 2 x - l)d x - 士 J(ch 4 x l)(ch 2 x \)d x 16 сһбх+ ch 2x ~ ch 2x - ch4x + \ 16 j l2 shôx sh2x + C 16V 12 4 Мысал 3 r dx *sh4x -c h 4x ch2x (ch2jc -s h 2x (Зжағдай)- sh x -c h X 3 sh2x sh4 x sh2 x ch2 x ch4 X Cth3JC dx + 3 c t h x t h x - ^ + C

83 М ысал 4 2み sh X dx (4 жағдай A ) = 2-S 8X2ch4 x ch6 x ch8 X ュсsh x 2 sh4 x sh6 л:, th3x. th5x th7 X ^ dx = C Мысал cch1 x -(c h 2 x f dx f ~ d x (4 жағдай A ) = Jsh ^sh 4 Xx v 一ノ J s h 4 x t 2 (л 1 2 V / f ch2 x(l + sh2 ху / ch2x ch2 X 2 sh4 Qb x v \ s sh4:c h Ax sh2x cth3x rf l + sh2jc 1 + с һ 2 д :\ z dx 3 \ sh x 2 J 1 sh 2x 3 sh2x, cth3x ハ + - X + + C = ~ x cthjc C dx = ^3 cth3x cth X + X + 7 Жоғарыдағы жағдайларға жатпайтын интегралдарды экспоненталарға көшіп есептеиміз. 84

84 М ысал 6 exdx exdx 1+ shx, ex e_ e2xdx e2x+2ex- l dt ニexdx exdx 2\ 2 + ел-е x tdt 2 \ t2+2t-l 斗 -(2t + 2 ) - l 2t d t= d t - 2 [ t2+2t-l t2+2t-l i t2+ 2 t - l '2 уі2 t+ 1 -л /г ln t + l + V2 + C: e2x+2ex 一 1 卜 f cx + 1 V 2 ex +1 + V2 +C

85 Ж ҮТ 1.1 Ж еке үй тапсырмасы 1 а11 аі2 а13 аі4 Анықтауышты есепте а21 а22 а23 а24 а31 а32 азз а34 а41 а42 а43 а44 а) алдын ала тік немесе жатық жолда нѳлдер жасап; б) k-нші жатық жолдың элементтері бойьшша жіктеп; в) m-нші тік жолдың элементтері бойьшша жіктеп. Берілгендері 1,2 таблицаларда.1-мысалды қара (1 тарау). Таблица 1 Тапсы]рмалар Вариаытта р ац ац і -1 ^12 аі аіз аіз аі4 ^ ^21 ^ а 22 ^ а 23 азі ^24 аз азі азз аз2 вц азз Ві аз4 віз ^41 В ^42 В ^43 В ^44 взі К В м Взз

86 Ж Ү Т 1.2 Матрицалар берілген а 12 а и Ьп Ьп Ьп «21 а 22 а 23 жэне В - ^22 *23 а зі а 32 а зз 屯 Ь,2 Табу керек: а) AB; б )А ;в )А и.а Берілгендері 1,2 таблицаларда. 2 жэне 3 мысалды кара (1 тарау). Таблица 2 Тапсы рмалар Варианттар ац ац а!2 а ^ а13 ^ ^ а a21 ^ а22 а ^23 азі а24 аз а31 азз а 32 ВЦ а33 Ві а34 Віз а4і В2! ^42 В ^43 В Зф* Взі К В м в33 2 з

87 Ж Ү Т -1.3 Жуйені шешу керек: aux^a î2y + al3z = bïlt а21х^ а22у + а232 = Ь\2^ a3ix + o32y-i-ai3z = bï3 а) Крамер формулалары бойынша; б) матрицалық әдіспен ; в) Гаусс әдісімен. Берілгендері 1,2 таблицаларда. 4 мысалды қара (1 тарау). Ж Ү Т -1.4 Мына векторлар ä = {a,,a2,a3}, b = {b},b2,b3}9 с = {сх,с2,съ] берілген. Табу керек: а) аъс \ б) в) д 丄 дан «р» ны; г) ъ векторьшын, а векторына проекциясы; д) а,ь жэне (b+qc) компланар болғанд^ «q» ды. Берілгендері 3,4 таблицаларда. 5-мысалды қара (2 тарау). Таблица 3 Тапсырмалар Вариантта P _ 4,5, аі а а bi b Ьз Сі с Сз di d сіз

88 Таблица 4 Тапсырмалар Варианттар 4,5, ai a a bi -6 -フ フ 1 1 b b Cl >8 0 C >4 7 Сз di ^ d ЖҮТ Пирамиданың тѳоелері мына нүктелерде А(аь аг, а3), В(ЬЬ Ъ2, Ь3),С(сь с2, с3) жэне D(db d2, d3). Табу керек: а) АБС жағының ауданьш; б) ABCD пирамидасының кѳлемін; в) ABC жағының тевдеуін; г) D төбесінен ABC ға түсірілген биіктіктің теңдеуін; д) AD түзуімен ABC жазықтығыньщ арасывдағы бұрыштың синусы.. Берілгендері 3,4 таблицаларда. 5 жэне 6 мысалдарды қара (2, 3 тараулар). Ж Ү Т -1.6 Үшбұрьшггьщ төбелері мьта нүктелерде А(аь а2), В(ЬЬ Ьг), С(сь С2). Табу керек: а) АН биікппнің тендеуін; б) ВМ медианасының теңцеуін; в) С төбесінен түсірілген биіктіктің ұзындығы; г) АН жэне ВМ түзулерінің қиылысу нүктесін. Берілгендері 3,4 таблицаларда. 7 мысалды қара (III тарау). 89

89 ЖҮТ 1.7 Төмендегі есептерді шеш. 1.А ( - 8,12) нүктесінің В(2, -3) жэне С (-5,1 ) нүктелерінен ^тетін түзуге проекциясын табу керек. (Жауабы: А! (-12,5)) 2. ABC үшб^рышының екі төбесі: А(-4, 4),В(4, -12) жэш биіктіктерінің қиылысу иүктесі М (4,2) берілген. С төбесін табу (Жауабы: С(8,4).) 3. Ординаталар осінен 2 ге тең кесінді қиятын және 2 у ~ х = 3 түзуіне параллель түзудің тевдеуін табу керек. (Ж іуабы: х - 2 у + 4 = 0 ) 4. А(2, -3) нүктесінен жэне 2 х - у ~ 5 жэне х Н[ түзулерінің қиылысу нуктесінен өтетін түзудід теңдеуін табу (Жауабы: x ニ 1) 5. А ( 3, 1 ) нүктесі арқылы ВС түзуіне перпендикуляр, В C ( l, 0 )түзудіңтеңдеуін жазу керек. (Жауабы: х + 5 у ~ 8 = 0 ) 6. А ( -2,1 )нүктесі арқылы өтетін M N түзуіне параллель, 2), N(1,6) болатын түзудің тендеуін табу керек. ÇA 2 х - у + 5 = 0 ) 6. М(2,-1) нүктесіне 2 ン + 3 = 0 түзуіне қа 神 ғанда симметриялы ңүктені табу керек. (Жауабы: М і(-4/5, 23/5). フ. Мына түзулердің 6 ズ一 4 ア + 5 = 0,2 ズ + 5 ン + 8 = 0 қшьшысу нүктесі арқылы абсциссалар осіне параллель түзу жургізѵ j керек. (Жауабы: у =-1). 8. ABC үшбүрышының AB қабырғасының 4х + у = 12 биіктіктері ВН 5 x4 у = 1 2 жэне A M x + у ~ 6 тевдеулері Үшбұрыш ABC ның қалған екі қабырғасының тевдеулерін таб; (Жауабы: 7 ズ一 7_у 16 = 0, 4 ズ + 28 = 0 ) 9. ABC үшбұрышының А жэне В тѳбелерінен ; Іѳтетін биіктіктерінің тендеулерін табу керек, А(-4, 2), В(3, -5), 0). (Жауабы: 3 ズ + 5 少 + 2 = 0,9х = 0 ). 10. Төбелері А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3) болып I келген үшбұрыштың қабьфғаларының орталары арқылы өтетін перпендикулярлардың қиылысу ңүктесінің координаттары f табу керек. (Жауабы: М(3, -2/3).) 1 1. Үшбұрыш ABC ның қабырғаларының теңдеул! \ïùî AB 2x y 3 = 0, АС JC+ 5 タ一 7 = 0,ВС 一 Зх 2у + 13 = 0б пса, А төбесі арқылы өтетін биіктіктің тендеуін құру керек. () ауабы 2 х ^ 3 у ~ 7 = 0 ). 90

90 12. Координаггардыц бас нүктесі жэне мына түзулердің 2х + 5 у - 8 = 0, 2л: + Зу + 4 = 0 қиылысу нүктесі аркылы ѳтетін түзудің теңдеуін құру керек.. (Жауабы: блг + З І^ у -О ) 13. Берілген мына түзудің Зх + 5 少一 15 = 0 координаттар осімен қиылысу нүктелері арқылы өтехін жэне осы түзуге перпендикуляр болатын түзулерін табу керек. (Жауабы: 5 ズー 3 タ一 25 ニ 0, 5 х - 3 ア + 9 = 0). 14. Т өртбұрыштың қабырғаларының теңдеулері берілген: x - y х + З^ = 0, х -^ -4 = 0, Зх + メ一 12 ニ 0. Оның диагонавдарының теңдеулерін табу керек. (Жауабы: у = 0, x = 3). 15. Егер А(4, 6), В (-4,0),С(-1, -4) болса, үшбұрыш ABC ньщ СМ медианасы мен СК биіктігінің тевдеулерін құру керек, (Жауабы: 7 х - у + 3 = 0 (СМ), 4х + 3 ア +16 = 0 (СК)) 16. Нукте Р(5, 2) аркылы түзу жүргізу керек: а) координаттар осінен тең кесінділер қиятын; б) Ох осіне параллель; в) Оу осіне параллель. (Жауабы: + ター 7 = 0, 少 = 2, ぶ = 5). 17. А(-6-6) жэне В (-3,- 1 ) нүктелерімен бір тузуде жататын жэне абсциссасы 3 ке тең С нүктесінің ординатасын табу керек. (Жауабы: у = 9) 28. Тѳбелері А ( - Э,1 ),В(7,5) жэне С(5,-3) үшбұрышының медианаларының қиылысы Е нуктесін табу керек. (Жауабы: Е (3,1)) 19. ABC үшбұрышыньщ биіктіктерінің теңдеулері 2х - 3j + 1 = 0, ズ + 2 タ + 1= 0 жэне бір төбесі А (2,3) берілген. АВ және АС қабыргаларының теңдеулерін табу керек. (Жауабы: 2 x ~ j - l = 0 (AB), Зх + 2 タ一 12-0 (АС)) 7 мысалды кара (3 тарау). ЖҮТ 1.8 Центрі А(аь а2) нүктесінде B(bj, в2) нүктесінен ететін шеңбердің тевдеуін құру керек. Берілгендері 3 жэне 4 таблицаларда. ЖҮТ1.9 Теңдеуі полярлық координат жүйесінде берілген қисықгы салу керек: 1./7 = 3sin 2. p -2 s m A < p 3. p ~ 2 cos 2<p 4. p = 1 - cos 3(p 5. p cos 2(p 6. p = l - s m 3<p 1. p = l + cos3^ 8. p = cos Ъ(р 9. p ~ l + sin 10. p = l + c o s 2 ç? 11. 厂 =1 + cos 2 妒 12. p = 2 - cos 2 ^ 91

91 13. p = 3sin (p 16.P = 2 + sin 妒 19. p = 2 + sin 2 炉 14. /9 = 2 sin 3 炉 15. p = 2 cos (p \ l. p = 2 + cos 2(p 18.p = 3cos A(p 20. p = \-% m lep 8 мысалды қара (3 тарау). (0<г<2л-) Ж ҮТ 1.10 тендеулермен берілген қисықты салу керек 1 jc= 4 cos2? = 3 sin 2t x - 5 sin/ y = 4cosr x = 2cos/ y = 5sint 10. 广 s2: x = 2 sin 3^ у - Ъ cos 3t jc = 3 cos t y = 1- sin t f jc = 2 sin f 19. \ [ j = l + cos/ мысалды қ 叩 а (3 тарау). 92

92 Ж Ү Т 2.1 Шектерді табу керек Ж е к е үй т а п с ы р м а с ы 2 L lim x 2-2 x - 3 y [x N 上 X- lim v ズ + _2 л/ 一 x x 2 - x - 2 lim 2.x2 x 6 yfx Зд:2+ Г -1 0 Зх2 1 部 v s n v? lim 3 2x2 -Һjc~ 15 7.lim іу[х + Ь -у /3 -х!. л[^х lim x 2+ ДГ 6 y[x л/jc + 8 -yj\0 一 x 10. lim x-*i x - 1L lim 2 л:2 + x - t V X + 3 -V -^-l 12* lim Ç 一 2 - Ѵ 4-Д : x2 + x lim л / ^ З 4x2- jc 14- lim 3x2+ x J^x i ^ 1. S/X I 1!? 3 - V2x lim 十 :)_1! п 10 Л/ЭЛ ѴЗлТ?-2 十, Ѵ м - 2 1Î5 12 -Ѵ ІТ з II1? Т ^ /8 19' lim 3 Ѵ-Х + Ь л/х lim -v / - \- у [х + Л 1\ мысалды қара (4 тарау). ЖҮТ 2.2 Шектерді табу керек lim lim З-х. lim jc" -X x ^ + x, lim ' ズ - 1 ノ lim レ一 1).* lim ( 2 ズー 1 尸 7. l i m レ + 3 广 lim (2 + ズ卢 93

93 13- lim 到 14-2x 1-х 16.1іт (2х + 5 )-г x lim Ь + 4 )3 x-> lim (2^+з)х 18.lim レー 2)G '3 + 2ハ lim G + 2ぶ )x 20. l i m 17 мысалды қара (4 тарау) x + 2 Ж Ү Т 2.3 Шектерді табу керек, lim 1 - cosзх 2xz lim 4.lim îg2x x 2 - lim lim い - ) な t sin 5jc - sin 2x Зх X - sin jr 5x lim 6. lim 9. lim COSX - cos 3x tgx sin ズ + sin 3jc cosx 7Г 2x 10. l i m 1 - sin JC 13.lim 2x-7 t и * lim 14. lim sin 3x + sin 5д: x 2 + 2x 1 + COSX sm x 12' lim 15* lim sin ズ一 sin 4x 2x2 - x sin 2x БІпЗд: 16-lim 1 - sin JC (2Х-7Г)2 17.lim sin Л'Д: 18 lim x lim COSJC- cos2x sm jc - sin x, ^. л 20. h m мысалды қара(4 тарау x-*0 x + Zx Ж Ү Т 2.4 Функцияны үзіліссіздікке зертте жэне графигін сал /W= 4./С Ф x + 4tx < -\y x2 + 2,-V < x <\, 2.f(x ) = 2 х, ズ >1 x, x < 0, i -З, х > 2 :2,5./(л:) = jc + 1,х<0у д:2+1,0<х<2, 3./(д:) = * - д: + 4, х > 2 一 2х -ь 1,x < 一 1, (jc+1)2, - \<х < 0,6. f(x)~ ЛГ+1,л:^0.t + 4,д:<-1, +1, 一 1< x ^ I ズ + З,х> \ - x t x < 0 f jc2, 0 < л : < 2, x-hl. x > 2

94 X2 + 1,^:< 1, x2 + 2,лг<0, \ - x, x<0, 7. / W = 2jc,1 < x < 3, 8. x+2, 0 < x < 4, 9. x 2+1, 0 < x <2, jc + 5,x> 3 -ДГ + 5, х>л x, x > 2 2x2, jc < 0, x - \, x<>0, fjc + 1, x<0, i o. / w = - jc, 0 < л: < 1, 1 1. f( x ) = x2, 0 < x < 2, 12. f( x ) = ト 2-1,0 <х<1, x + 2, x >1 2xt x > 2 1^1- л:, x > \ 1+ x, x < 0, л + 3, Д:< 0, 1 一 X, X ^ 1, 1 3.f(x ) = ' x2+1,0 < jf < 2,14./(дг)=- x 2-1,0 < x < 3,15./(x)= ЛГ2+1,""l < ДГ^ 1, x + l, x > 2 Зле 1,x > 3 л*+3, x > \ 2 - x, x < ~ 2, 3x+4, x < -l, X, x< \, 16. f(x )= x2f- 2 < x < 1, 17, /(jc)=* x2-2,-1<д:<2,18./(д:)=* {x -2 )23\<x<,3, + 3,x > \ X,x>2.-x, x>3 X l, X<1, x + 3, x< 0, 19. / W = x2 一 2,1 < ^ < 4, 20. f( x ) = * 4 - x 2, 0 < л: < 2, Зд:1 2,x > x, x > 2 18 мысалды кара (4 тарау). ЖҮТ 2.5 Кѳрініссіз ^ерілген функцияньщ ÿ жэне у н туындыларын табу керек. 1. у = x + arctg у 4. у 3 = еу + Ах 7. x y - x ^ cosy 10. х2у у 一 ;c=cos 少 5. у 2+ х 2=sin ヌ 8. Зу = 2х + ху2 11. = タ 2 3. t g y - 3x-h5y 6. ctg у = 4y + 3x 9. у 2 = x + ]ny 12. \n y -~ = J x 13. еу у 16. sin(xy)л -у-) 19.In(лу) + = Зд: x 14. Зу2-x = s in y 17. COS(Ay) - v2= 5д: xy=x 1 5.ln^ + cosy = x 18. tg (x y )-y = 2x 11,12 мысалддарды қара (5 тарау,1), ЖҮТ 2.6 у(я) табу керек.

95 :+ l 13. y= ズ. 10. У = уі2х у--хе1х 12. X 14. у - х У 15. y : 16. лг _v=sin2х 19. у ==cos Зл: мысалды қара (5 тарау, 2). Ж Ү Т 2.7 Параметрлік түрде берілген функцияньщ туындысын тап f л:= (2/ +1)sin r ІУ = 2/3 卜 : 一 レ =sin t \х-ъгл-і2 レ =r2- Зг3 \x = arctg t y = f 3+ 3/ :д/1 - = 广 =In2 / =cosj t - cos 2t ^ = /-3r 9 мысалды қара (5 тарау,1) J A' = COS2t レ =sinf Іг і \х - е 1sin t し =2, [x = 1п(1 + Г2) [y = cos t し = 3 (x = 6t2- \ レ = te1 ix = \nt 20,. [ у - і 2-2( v = e cost Îx = arcsin t 少 = 1+ / 3 \x = sin31 \y = \nt pc = sin 2t \y = te^ Ж Ү Т 2.8 Тѳмендегі есептерді шеш. \J 1. Абсциссасы X =1 нүктеде у = х 2 一 /х + 3 жүргізілген жанаманың теңцеуін жазѵ керек. 一 2. Абсциссасы X = 8 нүктеде У : жүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек. Іх 4 қисығына қисығына 96

96 \У"Ъ. у х 3 2 х 2 -\-4х 7 қисыгынын (2,1) нүктесінде жанайтын түзудің теңдеуін жазу керек. 4. x 2 - у 2 х у = 0 қисығын (3,2) нүктесінде жанайтын түзудін бүрыпггық коффициентін анықтау керек. \ / 5. Мына қисықтың у 2 ~ 4 х 3 қай нүктесінде жүргізілген жанама i + Зу - 1 = 0 түзуіне перпендикуляр болады?, 6. Абсциссасы х = 2 нүктеде у = х 2 6х + 2 қисығына жүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек. X2 s г 7. Абсциссасы х = 4 нүктеде У 一丁 x + j қисығына жүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек.. ニ? フ 15 一 8. Абсциссасы х = 3 нүктеде У = ー ~ жүргізілген жанаманьщ теңдеуін жазу керек. レ 9. Абсциссасы x = 7 r/9 нүктеде У = ^ tg Зх жүргізілген жанаманьщ теңцеуін жазу керек. 一 10. Абсциссасы x = ^ /ls нүктеде ^ = 4sin 6x қисығына қисығына қисығына жүргізілген жанаманьщ теңцеуін жазу керек. ^ 11. у = sin 2х қисығыньщ қай нүктелерінде жүргізілген жанамалар Ох осімен ^ / 4 бұрыш жасайды? レ 12. у = 2х3 一 1 қисығының қай нүктелерінде жүргізілген жанамалар Ох осімен 冗 / 3 бұрыш жасайды? \ / 13. у = х 3/3 х " / 2 7 х + 9 қисығының кай нүктелерінде жүргізілген жанамалар Ох осімен тг/а бұрыш жасайды? 一 14. ^ = x 3/ 3-5 x 2/2 + 7jc + 4 қисығының қай нүктелерінде жүрпзілген жанамалар Ох осімен 4 бұрыш жлсамды? 15. у = х 3/ 3-9 х 2/ х - 7 қисығының қай нүктелерінде жүрпзілген жанамалар Ох осіне параллель болады? 16. у = х 4/ 4-7 қисығының қай нүктесінде жүргізілген жанама у = 8х - 4 түзуіне параллель болады? 1 7. タ = 一 3 ズ ズ + 7 қисығының қай нүктесінде жүргізілген жанама д:- zoy + 5 = 0 түзуіне перпендикуляр болады? 97

97 18. у = 3 х 2 4 х -Һ 6 қисығының қай нүктесінде жүргізілген жанама 8 ズ一メー 5 = 0 түзуіне параллель болады? 19. у = Ъх" - 4 x ^ 1 қисығының қай нүктесінде жанама ズ + б 少 = 0 түзуіне перпендикуляр болады? 20. У - 5х -1 1 қисығыньщ қай нүктесінде жанама x - у -f-10 = 0 түзуіне параллель болады? 13,14 мысалдарды қара (5 тарау,1) жүргізілген жүргізілген Ж Ү Т 2.9 Жуықтап есепте 1.5л/34 V7Ô 3. 4л/і7 4.(1,0 1)4(1,Ol)2 5. л/гб + (2,9)2 4-3, ,01 7. VÏ3Ô 8. l^lö (2,02)3+(2,02)2 10. a rc tg 1, cos sin е0,2 14. e tg arcsin 0, п(е+0 1) 18. ф + 1, c o s l sin мысалды қара (5 тарау, 2) Ж Ү Т 2.10 Функцияны толық зерттеп графигін салу керек

98 х у - 1 мысалды кара (5 тарау, 4) Жеке үй тапсырмасы 3 Ж Ү Т 3.1 Анықталмаған интералдарды тауып, тексеруді орындау керек J(l-3x)4c6: dx J(l + 2x)3 7. Jcos(3 + 2x)otc 2xdx xdx 13. f 2x2 - t 4 x 2 dx 16. J 3x \e]-2xdx 2. л/5-4д: dx 5. JV3 + 2 Ü 8. Jsin (5х-1)Л 3xdx V3x Jsin (2 - Зд:) dx 9. Jcos (3-4x) dx Axdx 12 лі4х2 +3 dx 15. J; J2xz je 4x' 3dx мысалды кара (6 тарау) Ж Ү Т 3.2 Анықталмаған интегралдарды табу керек 2. Jln (x + 2)dx や 令 4. ^yfx \n x d x 5. Jarccos2xdx 6. Jar c tgxdx,. arctg xdx 8. Jarcsinjcôîj: 9. jx - œs2xâx 10. Jjc sin2xdx 11. (x2+x)e~xdx 12. ^x tg 2xdx 1 3 は \(х + Ъ)е2хсіх 16. x sin 3x dx 17. jx-tg xd x 18. \ ( 2 - x ) e 3xdx 19. j V.sin:c ゐ 20. j x 3 \nxdx мысалды кара (6 тарау) 99

99 Ж Ү Т 3 3 Анықталмаған интегралдарды табу керек dx ^ r xdx (х 一 \)dx ^ х - 2 ) ( х 2-2 х + Ъ) Г х + \ dx д:2 3 dx. ^х(х + 1)2 ( x + l ) ( 又 jc + 3) f (л: 十 2 )(x2 + -ь 5) f x + 2 dx し 3+jc2 f 2x + l dx, し2(Л+1) j f-з 2 -dx - 2 x + x 10. (2х + \)dx )(? -2 パ 10) 16. IM 段 (2? 十 3)d J(x-l)(x2+4xレ 段 ぬ xa-\ Г f - 1 ^х4 + 3x2 1 мысалдарды қара ( 6 i арау,1) ЖҮТ 3.4 Анықталмаған иитегралдарды табу кррек, ç l- y f x + l, -dx Һ + ^ î 4. 7 Г y ix -id x ij f ^ u  / 7 ^ 1 n f*v^ + 2 dx 10' 13. (# # ) 电 у[х(л[х + 1) 16 漁 19. \ Щ,, 蜂 r rx + \fx + %fx, g p \jx-\-3dx. ^ J Jx+3 石. л/х -f す (vx h Ж - 4xdx Æ Г х r % ix-\dx УІХ-\ + Vx -1 j*-^ Ax +1 + \["2 х + 1 dx j ij ïx T l лгх + läx ^Ѵх+Т+зѴхТГ Ji 12 f V i + 2 み л/дг -f л/ дг f ^ = 33 x ~ ^ иідарды қара ( 6 тарау, 2) 100

100 ЖҮТ 3.5 Анықталмаған интегралдарды табу керек 7. f r dx х 4 х 2 - JC+ 1 dx (jc + l ) v l + J (x - l) ä x dx (x - 1)Ѵ2д, dx \ - л! х г + 2 x - \ xdx r dx ХлЯ + JC-JC2 xdx ліх2 + ズ一 1 r (x - \)dx лл + Х-Х2 r xdx dx 2 + V l 2.x i r dx 2 - Ѵз + 2jc- x2 c 一イX + JC 一 1 dx dx jc л/і- Zx~ x + ^jx2+2x + i мысалдарды қара ( 6 тарау, 2) d x (дгч-і)ѵ^2 f xdx r Л І\-x - x dx (jc 土 2)dx 12. J 4bx - x xdx 15. \ + 2x f dx 18. x + лі2х c + l Ж Ү Т 3.6 Анықталмаған интегралдарды табу керек 10. гл/л -d x x X -dx xdx xdx x 2dx 2dx Ч х г - fv? 11. И- Л -dx rv? +4 ; X C x 2dx ]1 7 T i r x 2dx ]1 T T a -dx 12. j x ^ - l d x 13. jw T - ズ 2 み 14. ^x^j\ + x 2dx 15. ^ х 2 л І х 2 - A d x 101

101 1 6. х 2л /4 - jc2 d x dx 1 9 хлӏ9-х2 dx 1 7. ^ х 2 л [4 + x 2d x 18. КЛІХ d x 20 мысалдарды қара ( 6 тарау, 2) d 1+ 9 Ж Ү Т 3.7 Анықталмаған интегралдарды табу керек d x d x J 3 cos jc - sin JC r d x J 2 + cos x cos x d x r l + s i n x 10. j 1 1. j... d x 3-2 cos x J 2 + 3sin jc - ぽ ^ c o s ;c J: 2 - COSA: 1 6. sin Д:tic J と ^ 17. [ cos x l + 2 s in jc ~ c o s ;c 1 9. r 2 - s i n x 1 + COS X A 20. J ' 1 - sin a: + 2 cos x 2 4- sin x - 3 COS X d x мысалдарды қара ( о тарау, 3) d x J3-5sin Д: d x J sin x - 2 cos x d x J 2 - sin Д:+ 2 cos x r s i n i i ù : г dx 3-2 cos x co s x d x J 2 - sin jc + 2 cos л Ж Ү Т 3.8 Анықталмаған интегралдарды табу керек 丨 sin г d x дг - 4 s i n ^ c o s ^ d x ^1 + 3 sin d x sin"' x d x 13. J 3 s in 2 x - cos*" x d x 16. } 2 cos2 ズー 3 sin2. x Msin ズー 3cos x 2 ズ + sin 2x4-2 cos ^ x Г ^>tgx + 1 co s2 x d x 10. dx 1 1. f U i n 2 x + 4 c o s 2 x J l + sin X d x J COS2Л:+ ÖSin X COSX f d x Jsin2 JC+ 3 COS2 X r d x sin 2 x ä x ^sin4 jc + 4cos4 x r d x Ч - 2 s in 2 л 1 2 s in.x - f 3 s i n 2 x s in 2 x d x l 4 ДГ + c o s 4 x 102

102 sin 2 x d x 19. ^Звіп2 x + 2cos2 x すсс И дс 3sin4 мысалдарды қара ( бтарау, 3) Ж ҮТ 3.9 Анықталмаған интегралдарды табу керек 1.Jcos4 д:-sin2 x d x 4. ivsin2 jc. cos3 x d x 'xdx 2. Jsin2 x.cos3x d x r d x sm x cos cos4 x d x J: 3. Jsin3 jccos4 jc み r d x J sin4 с Д:cos6 sin2 x d x J- 10. fcos4 x d x g J s m x 11. ^ t g Ax d x 12. ' x d x 13. f d x J sm 4 xcos 4 x 14. Jsin2 ^ cos2 x d x 15. JVcos" x s in x d x 16. f cos8 x d x rsin4 x d x d x f J s m 4 8 ズ J COS X Jsin21JCCOS6 X 19. f d x ç d x J sm Д:cos x Jsin2 JC COS2 X мысалдарды қара (6 тарау, 3) Ж ҮТЗ.10 Анықіалмаған интегралдарды табу керек 1. ^ s h 1x c h 2x d x 2. ^ s h 2x c h sx d x 3. J s h 2 x c h 4x d x 4. ^ s h 4x - c h 2x d x 7Æ 10. d x r s h 2x d x s h 2x c h 4x J c h 4 x d x r s h 6 x d x c h x - 2 s h x J c h 2x f c h x + 2 s h x - d x 12. f s h x 一 Ъ с һ x dx J s h x - 2 c h x c h x + 2 s h x 13. j t h 2x d x 14. j c t h 2x d x 15. j t h 4x d x d x c d x

103 dx 19. \ s h 4x c h 2x d x 20. f- f, J J 2 c h x + 3 s h x мысалдарды қара (6 тарау, 4) 104

104 55М а з м ұ н ы Алғысөз 1тарау. Аныктауыштар. Матрицалар. Сызықтық тендеулер жүйесі 12 тарау. Векторлық алгебра 3 тарау. Аналитикалық геометрия 4 тарау. Функцияньщ ш егі жэне үзіліссіздігі 4.1 Функцияньщ шегі туралы ұғым жэне шектерді табу 4.2 Функцияны үзіліссіздіке зерттеу 5 тарау. Дифференциалдык есептеу 5.1 Дифференциалдау дьщ жалпы ережелері 5.2 Лопиталь ережесі 5.3 Функцияны зерттеу. Ең үлкен жэне ең кіші мэндерін табуға есептер 5.4 Ф ункцияны зерттеу жэне оньщ графигін салу 6 тарау. Интегралдық есептеу 6.1 Рационал бѳлшектерді интегралдау 6.2 Иррационал функцияларды интегралдау 6.3 Тригонометриялық функцияларды интегралдау 6.4 Гиперболалық функцияларды интегралдау Жеке үй тапсырмасы 1 Жеке үй тапсырмасы 2 Жеке ѵй тапсырмасы

105 УТВЕРЖ ДАЮ /Проректор по УР Н.Э.Пфейфер 200±г. Составиль: Ильясов М.Н., Баяхметова Ф.К. Кафедра прикладная математика Утверждено на заседании кафедры «1 1» 200Jr. Протокол _ Заведующий кафедрой С- Сабыров Т. Одобрено учебно-методическим советом физико-математического института «І» O fz T '^ h ^. 2003_г. Протокол L. Председатель УМС.. ぺ. - Муканова Ж.Г. СОГЛАСОВАНО Директор института どご ^ / / и 一 "> バ Тлеукенов С.К. «i» Л う / r 20Q.-T. н/к отдела М КУП, : ご / _ Баяхметова Г.С. Одобрено УМ О Начальник УМО > Амбарников Г.А. «1 0» ド 200ßr.

106 И л ь я с о в М.Н., Б аяхм етова Ф.К. Ж оғары математикадан үй тапсырмаларының ж инағы 1 бөлім Оқу әдістемелік құрал Басуға Пішім 60x84/16. Офсеттік қағаз. Әріп түрі «Times» Шартты баспа табағы 2,16. Таралымы 300 дана. Тапсырыс Бағасы келісім бойынша. С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті Павлодар қаласы, Ломов көшесі 64.3