Microsoft Word - 補論3.2

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おさむあいきょう
6 years ago
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1 補論 3. 多変量 GARC モデル 07//6 新谷元嗣藪友良対数尤度関数 3 章 7 節では変量の対数尤度を求めたここでは多変量の場合とくに変量について対数尤度を求める誤差項は平均 0 で次元の正規分布に従うとする単純化のため分散と共分散は時間を通じて一定としよう ( この仮定は後で変更される ) したがって ij から添え字を除くことができるこのときとの尤度関数は次元正規分布の定義から ρ L = exp + π ( ( ρ ) ρ ) ( ) となるただし ρ はとの相関係数とする (ρ = /( ) ) ここで行列を分散共分散行列と定義すれば尤度関数は L = exp / π (A3.) (A3.) と表現できるただし = (, )' でありはの行列式であるここで ' は行列の転置を意味する (A3.) 式と (A3.) 式が同じであることを示すまず行列式は = ( ) であり = ρ ( ) から = ( (ρ ) ) と書ける次にの逆行列を用いて = + = となるさらにこれは = ρ ( ) を用いると ρ + ( ρ ) ( ) となる以上を用いれば (A3.)(A3.) 式が等しいことを示せるここで { } は相互に独立としようしたがって (,, ) が同時に得られる尤度は各尤度の積となる分散が一定なら尤度は L= exp / = π

2 となる対数をとると対数尤度 ln L= ln ( ) ln π = を得る最尤法では実現値が得られる尤度を最大にするパラメータが選ばれる具体的にはの実現値が与えられたもとで対数尤度を最大にする,, が選択される GARC 効果を分析したいため条件付き分散 ij は一定ではなく時変的としよう 3 章 8 節を読み終えた方は,, が時変的なときいかに修正すればいいかは明らかだろうこのとき尤度関数はとなりは L= exp / = π となる尤度関数の対数をとると対数尤度を得る (A3.3) ln L= ln( π ) (ln + ) = これまで変量の場合を考えてきたしかし (A3.)(A3.3) 式は k 変量でも成立するただしは k x k の対称行列は k x の列ベクトルとなるまた定数項 (π) は k 乗される多変量 GARC の定式化 (A3.3) を推定するためには ij の定式化を決めなくてはならない 3 章 0 節では vec モデル対角 vec モデル CCC モデルの基本的な考え方を紹介したここでは行列を用いてより厳密に vec モデル対角 vec モデル BEKK モデル CCC モデル DCC モデルを紹介していく. vec モデル対角 vec モデル vec オペレータとは対称行列の下 ( 上 ) 三角の要素を取り出して列ベクトルにする演算方法であるたとえば対称行列をとすると vec オペレータを用いれば vec( ) = [,, ] という列ベクトルになるベクトル = [, ] を考えよう = [, ] [, ] を計算すると x の行列

3 となるさらに vec オペレータを用いると vec( ) =,, となるここで C = [ c, c, c 3 ] A =3 x 3 の行列 ( 各要素はα ij ) B =3 x 3 の行列 ( 各要素はβ ij ) とするこのとき vec モデルは vec( ) = C + A vec( - - ) + B vec( - ) と表せる行列を展開して (3.40) (3.4) 式のシステムと同じであることを確認してもらいたい = c 0 + α - + α α β + β + β 3 - (3.40) = c 0 + α - + α α β + β + β 3 - (3.4) = c 30 + α α α β 3 + β 3 + β 33 - (3.4) 対角 vec モデルとは A と B の対角要素だけを用いたものであるつまり i j に対し α ij = β ij = 0 とすればよいこのときモデルは = c 0 + α - + β = c 0 + α β - となる = c 30 + α β 33. BEKK モデルエングルら (Engle and Kroner (995)) は条件付き分散が正であることを保証するためいわゆる BEKK モデルを考案した当初論文は Baba, Engle, Kraf, and Kroner (99) として発表されたため著者たちの頭文字をとって BEKK モデルと呼ばれているこのモデルのアイデアは全てのパラメータを次形式 (quadraic form) とし分散が正であることを保証している点にある変数が k 個あるとき BEKK モデルの分散共分散行列は = C'C + A' - - 'A + B' - B と定式化される A と B は k k の行列であるしかし C は k k の対称行列でなければならない ( ij の非対角要素の定数が同一になるため ) たとえば変量なら各行列は以下のように定義される ; c c α α β β C ; A ; B c c = α α β β またはベクトルであり =(, ) ' とするこの行列を計算すると = ( c + c ) + ( α + αα + α ) + ( β + ββ + β ) = c ( c + c ) + α α + ( αα + αα ) + αα + β β + ( β β + β β ) + β β = ( c + c ) + ( α + α α + α ) + ( β + β β + β )

4 となる一般的に ij は誤差項の乗誤差項の積全ての条件付き分散共分散に依存している 3. CCC モデル CCC モデルは多変量 GARC の特殊ケースである変量の場合は ρ( ) ρ( ) となるとはともに GARC(, ) 過程であるまた = ρ ( ) / となるシステムのパラメータは 7 個だけである ( 条件付き分散の式は本あり各式は 3 つパラメータがありさらにρ を加えるとパラメータ数は 7 個となる ) 4. DCC モデルエングル (Engle (00)) は相関係数を時変的とし CCC モデルを拡張した DCC(Dynamic Condiional Correlaion) モデルを提案している DCC モデルではすべてのパラメータを同時推定するのではなく段階に分けて推定を行う第段階では CCC モデルを推定し標準化残差を求める標準化残差 s ˆ / ˆ i = i は v ii i の推定値である第段階では条件付き共分散を推定するため標準化残差を用いる具体的には標準化残差を平滑化することで相関係数を求めるエングルはいくつかの平滑化法を分析しているまずシンプルな指数的平滑化がある q ij = ( λ)s i s j + λq ij- ただし λ < とするここで {q ii } は標準化残差の交差項 s i s j の加重平均となるこのとき時変的相関係数は q ij を用いて ρ = q /( q q ) (A3.4) ij ij ii jj と推定されるエングルは段階推定によって時変的相関係数の一致推定量が得られることを示したしかしこうした段階推定は同時推定の場合に比べると効率的ではない別の平滑化法として q ij = ( α β s + αs i s j + βq ij- ) ij があるここで s ij は s i と s j 間の条件なし共分散である ( 第段階 CCC からの推定値 ) この平滑化では s ij の係数を (-α-β) と置くことで q ij が条件なし共分散に収束するようにしている第段階で推定された係数を尤度関数に入れればパラメータはαとβ だけとなるなぜ段階推定が可能なのだろうかここではその証明をしようまず D = 対角行列 ( その要素は ii ) R は時変的相関係数の行列 ( その要素は rij = (ij)/(iijj) ) とするこのとき行列は相関係数の定義からと表せるたとえば変量であれば = DRD

5 D = R /( ) 0. 5 = /( ) となり = D R D と書ける D の逆行列を用いて R = (D ) - (D ) - となる R = また標準化残差を v とすると v =D - となる v = 0.5 /( ) = /( ) 標準化残差の乗和は v 'v でありこれは v 'v = とも書ける D D 0 0 D D = 0 0 = + 対数尤度 (A3.3) のに D R D を代入すると ln L = ln( π ) (ln DRD + ( DRD ) ) = = ln( = ln( π ) = (ln D + ln R + v '( R ) v ) π ) (ln D + ln R + v '( R ) v v ' v + ' D D ) (A3.5) = となる最後の式展開では標準化残差の乗を引いてさらに加えるという操作をした段階推定が適切であることを示そう対数尤度において D と R が別々に入っていることに気づいてもらいたいしたがって D と R は別々に推定できるまず CCC モデルによって D のパラメータを推定するこれは R の値を知ることなくできる次に D の値を用いて標準化残差を作れるこれを尤度関数に代入し R のパラメータを推定する厳密には (A.3.5) の最大化は第段階で + (ln D D D ) = を最大化し第段階で次式を最大化すればよい = (ln R + v '( R ) v v ' v )

Probit , Mixed logit

Probit , Mixed logit Probit, Mixed logit 2016/5/16 スタートアップゼミ #5 B4 後藤祥孝 1 0. 目次 Probit モデルについて 1. モデル概要 2. 定式化と理解 3. 推定 Mixed logit モデルについて 4. モデル概要 5. 定式化と理解 6. 推定 2 1.Probit 概要プロビットモデルとは. 効用関数の誤差項に多変量正規分布を仮定したもの. 誤差項には様々な要因が存在するため,