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みさきもてぎ
5 years ago
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1 1 体積 1.1 初めにこの中では積分は第一基本量 ( 微分幾何 ) を用いて計算する基本量の意味を知らなくても別に気にする必要はなく計算をたどって行けば理解できるように書いてある計算するものは球の体積なのでカルテシアン座標 (x-y 座標の畏まった言い方 ) ではなく球座標を用いるようになる球座標も x-y 座標と同様に直交座標であるので扱うのに便利である通常は体積などを計算するために座標変換するとどうしてもヤコビアンの計算が必要になり n 次元だと n n の行列式を計算する必要が出てくるしかし直交座標の場合は第一基本量を計算してその積の平方根の絶対値は比較的簡単に計算できるそこで球の積分を第一基本量を用いて計算するのであるこれにより計算はかなり簡単になっている全体を通して円の半径を a とするすると n 次元の球の式は x 1 +x +x 3 + +x n a で表されその球の体積は V n an π n nγ( n ) となる計算内容はひどくグダグダと書いてありくどいのでわかる人は n 次元の球の体積の部分だけを読んで欲しい ( 実は書いている方はもっとうんざりしながら書いているのである ) 1. 計算のあらすじ球座標を求めその第一基本量を計算しそれをもとに積分を実行する途中にガンマ関数ベータ関数を用いるがこれも付録に計算方法を示した 1

2 1.3 円の面積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 (x 1+x r になっていることに注意 ) dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 +rcosθ 1 dθ 1 (dx 1 ) +(dx ) (drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 ) +(drsinθ 1 +rcosθ 1 dθ 1 ) (dr) cos θ 1 (drcosθ 1 )(rsinθ 1 dθ 1 )+(rsinθ 1 dθ 1 ) +(drsinθ 1 ) +(drsinθ 1 )(rcosθ 1 dθ 1 )+(rcosθ 1 dθ 1 ) (dr) +r (dθ 1 ) ここで g 11 (dr) +g 1 (dr)(dθ 1 )+g 1 (dθ 1 )(dr)+g (dθ 1 ) とおくと (dr),(dr)(dθ 1 ),(dθ 1 ) の係数を比較して g 11 1,g r,g 1 g 1 となる gg 11 g r ( 直交系なのでこの式になるが一般には g 11 g g 1 g 1 ) この調子で球の体積の計算をするこれより g r r S dr π dθ 1 g π rdr dθ 1 1 ππa (1) これは円の面積である

3 1.4 球の体積 x 1 rcosθ 1,x (rsinθ 1 )cosθ,x 3 (rsinθ 1 )sinθ (x 1+x +x 3r になっていることに注意 ) dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 sinθ +rsinθ 1 cosθ dθ (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) 3 (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ 1 ) gg 11 g g 33 r (rsinθ 1 ) r 4 sinθ 1 V 1 dr π r sinθ 1 dr dθ 1 dθ g π dθ 1 dθ π r dr sinθ 1 dθ 1 dθ 1 4πa3 (4)π 3 3 これは球の体積であるもしかしたら θ の範囲が [,π] で変だと思った人がいるかもしれないがよく考えてほしい ( 経度はから π だが緯度はから π,[,π] にすると重 ( 被覆 ) になってしまう ) 次元を一般化するための準備全く同じ計算をガンマ関数を用いて計算してみる ( この計算は少しうっとおしいかもしれないが一般的な場合はガンマ関数なしでの表記は見づらい ) cos p 1 sin q 1 θdθ 1 Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) を用いて p 1,nq 1 とおくと p 1,q n+1 sin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) となる 3

4 1.5 ガンマ関数を用いた積分の表示 sinn θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) (A) これを仮に公式 A と呼ぶガンマ関数を用いて 3 次元の球の体積の計算 V 3 ( ( V 3 ( r dr)( r dr)(4 π r dr π sinθ 1 dθ 1 dθ sinθ 1 dθ 1 )( sinθ 1 dθ 1 )( dθ ) dθ ) ここで sin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) にn1 を代入して sinθdθ Γ(1 )Γ(1+1 ) Γ( 1 +1) Γ(1 )Γ(1) Γ( 3 ) Γ(1 )Γ(1) 1 Γ(1 ) またn を代入するとsin θ1 であるから θdθ r dr)( sinθ 1 dθ 1 )( θdθ Γ(1 )Γ(+1 ) Γ( +1) (Γ(1 )) Γ(1) π であるから dθ ) a3 4πa3 ()(π) 3 3 となる 4 次元,5 次元の球の体積の計算をするが一般の場合が分かればここを読むことは意味がない 4

5 1.6 4 次元の球の体積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ (cosθ 3 ),x 4 rsinθ 1 sinθ (sinθ 3 ) (x 1 +x +x 3 +x 4 r になっていることに注意 ) dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 3 (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) 3 +(dx 4 ) 3 (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) +(rsinθ 1 sinθ ) (dθ 3 ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ ) +g 44 (dθ 3 ) gg 11 g g 33 g 44 r (rsinθ 1 ) (rsinθ 1 sinθ ) V 4 π π a4 4 π a4 4 a4 4 π dr r 6 sin 4 θ 1 sin θ π dθ 1 dθ g r 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 sin θ 1 dθ 1 sinθ dθ dθ 3 1+cosθ 1 dθ 1 ()(π) π a 4 これは4 次元の球の体積である () 同じ計算ではあるがガンマ関数を用いて 4 次元の球の体積を計算する 5

6 1.7 ガンマ関数を用いて 4 次元の球の体積の計算 ( V 4 π π r 3 dr)( a4 sin θ 1 dθ 1 )( ) r 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 r 3 sin θ 1 sinθ dθ 1 dθ dθ 3 sinθ dθ d) ) θ 3 ) 4 Γ(1 )Γ(+1 Γ( 1 )Γ(1+1 Γ( 1 )Γ(+1 Γ( +1) Γ( 1 +1) Γ( +1) a4 4 Γ(1 )Γ(3 ) Γ( 1 )Γ(1) Γ( 1 )Γ(1 ) Γ( +1) Γ( 1 +1) Γ(1) a4 Γ( 1 )41 Γ(1 ) 1 1 πa4 1 Γ(1 ) 6

7 1.8 5 次元の球の体積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ cosθ 3,x 4 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4,x 5 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 dθ 3 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 4 dx 5 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 sinθ 4 dθ 3 +rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 4 (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) +(dx 4 ) 3 +(dx 5 ) (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) +(rsinθ 1 sinθ ) (dθ 3 ) +(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) (dθ 4 ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ ) +g 44 (dθ 3 ) +g 55 (dθ 3 ) gg 11 g g 33 g 44 g 55 r (rsinθ 1 ) (rsinθ 1 sinθ ) (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) π sin 3 θ 1 dθ 1 sin θ dθ V r 8 sin 6 θ 1 sin 4 θ sin θ 3 dr π dθ 1 dθ dθ 3 g r 4 sin 3 θ 1 sin θ sinθ 3 dθ 1 dθ dθ 3 sin 3 θ 1 dθ 1 Γ(1 )Γ(3+1 ) Γ( 3 +1) (1) sin θ dθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) () sinθ 3 dθ 3 Γ(1 )Γ(1+1 ) Γ( 1 +1) (3) 7

8 ( 公式 A を用いて θsin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) であるからθ 1 の範囲は [,π] でなく [,π] に注意して sin 3 θ 1 dθ 1 ) Γ(1 )Γ(3+1 ) Γ(3/+1) Γ(1 )Γ() Γ(5/) Γ(1 )Γ() 31 Γ(1/) sin θ dθ Γ(1 )Γ(+1 ) Γ(/+1) Γ(1 )1 Γ(1 ) Γ() 3 1 ここで Γ( 1 ) π であるから V ( r 4 dr)(( sin 3 θ 1 dθ 1 ))( π sinθ 3 dθ 3 Γ(1 )Γ(1+1 ) Γ(1/+1) Γ(1 )Γ(1) 1 Γ(1/) と r 4 dr a5 5 とまた sin θ dθ )(( sinθ 3 dθ 3 )( 8π dθ 4 π だから dθ 4 ) a5 5 3 π 8π a 5 15 これは5 次元の球の体積である 8

9 1.9 5 次元の球の体積 : もう一度計算を見てみる x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ cosθ 3,x 4 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4,x 5 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 dθ 3 rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 4 dx 5 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 sinθ 4 dθ 3 +rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 4 (dx 1 ) +(dx ) +(dx 3 ) +(dx 4 ) 3 +(dx 5 ) (dr) +r (dθ 1 ) +(rsinθ 1 ) (dθ ) +(rsinθ 1 sinθ ) (dθ 3 ) +(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) (dθ 4 ) g 11 (dr) +g (dθ 1 ) +g 33 (dθ ) +g 44 (dθ 3 ) +g 55 (dθ 3 ) の計算を丁寧に見てみる (dθ k ) の係数この係数で値を持つのは (dx k ) 以上であるので Σ n+1 ik (dx i) を計算すればよい例えば (dθ ) の係数 ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ cosθ 3 ) +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 ) +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 ) ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ cosθ 3 ) +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 ) ( cos θ 4 +sin θ 4 1) ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ ) ( cos θ 3 +sin θ 3 1) ( rsinθ 1 sinθ ) +(rsinθ 1 cosθ ) ( cos θ 3 +sin θ 3 1) r sin θ 1 (dθ 3 ) の係数 (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) +(rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 ) +(rsinθ 1 sinθ cosθ 3 sinθ 4 ) 9 (rsinθ 1 sinθ ) (dθ 4 ) の係数 (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 ) +(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 ) (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 ) (dθ 1 ) の係数は r で (dr) の係数は 1 となる (3)

10 これより (dθ i+1 ) の係数 (dθ i ) の係数 sin θ i であることがわかるこれは一般に成り立つ dθ i dθ k (k>i) の係数 (i,k4)dθ dθ 4 (k>i) の係数これが現れるのはk4 なのでdx 4 とdx 5 +(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 )( rsinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 ) +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 )(rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 ) (i1,k)dθ 1 dθ (k>i) の係数 (rcosθ 1 cosθ )( rsinθ 1 sinθ )+ (rcosθ 1 sinθ cosθ 3 )(rsinθ 1 cosθ cosθ 3 )+ (rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 )(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 )+ (rcosθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ 4 )(rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 ) r (cosθ 1 cosθ )(sinθ 1 sinθ )( 1+cos θ 3 +sin θ 3 cos θ 4 +sin θ 3 sin θ 4 ) r (cosθ 1 cosθ )(sinθ 1 sinθ )( 1+cos θ 3 +sin θ 3 ) これもcos θ 4 +sin θ 4 1,cos θ 3 +sin θ 1 を繰り返してになる一般に dθ i dθ k (k>i) の係数となる dθ i dθ k (k>i): r (cosθ 1 cosθ i )(sinθ 1 sinθ i ) ( 1+cos θ i+1 +sin θ i+1 (cos θ i+ +sin θ i+ ( )) (4) (dθ 1 ) の係数は r で (dr) の係数は 1 となる drdθ k (k>i) の係数 dθ i dθ k (k>i) の係数これを踏まえてn 次元の球の体積の計算をするだらだらと書いてきたがこれよりn 次元の球の体積を計算する本当はここだけでよかったのであるが前置きを書いてしまったここまでの説明も論理的に書くというよりむしろ考え方が分かるように配慮した 1

11 つもりである証明がきちんと書かれていてもわからないということを避けたのであるここまで述べてきたことを一般化して書くことができるなら証明も難しくはないはずである 11

12 1.1 n 次元の球の体積 x 1 rcosθ 1,x rsinθ 1 cosθ,x 3 rsinθ 1 sinθ (cosθ 3 ),x 4 rsinθ 1 sinθ (sinθ 3 )cosθ 4 x n 1 rsinθ 1 cosθ n 1 x n rsinθ 1 sinθ n 1 dx 1 drcosθ 1 rsinθ 1 dθ 1 dx drsinθ 1 cosθ +rcosθ 1 dθ 1 cosθ rsinθ 1 sinθ dθ dx 3 drsinθ 1 sinθ cosθ +rcosθ 1 sinθ cosθ 3 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ cosθ 3 dθ rsinθ 1 sinθ sinθ 3 dθ 3 dx 4 drsinθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 +rcosθ 1 sinθ sinθ 3 cosθ 4 dθ 1 +rsinθ 1 cosθ sinθ 3 cosθ 4 dθ +rsinθ 1 sinθ cosθ 3 cosθ 4 dθ 3 rsinθ 1 cosθ sinθ 3 sinθ 4 dθ dx n 1 drsinθ 1 cosθ n 1 sinθ n +rcosθ 1 cosθ n 1 θ 1 + +rsinθ 1 cosθ n 1 θ rsinθ 1 sinθ n 1 dθ n 1 dx n drsinθ 1 sinθ n 1 +rcosθ 1 sinθ n 1 dθ rsinθ 1 cosθ sinθ n 1 dθ + +rsinθ 1 cosθ n 1 dθ n 1 Σ dx i ) を計算する (dr) :cos θ 1 +sin θ 1 cos θ +sin θ 1 sin θ cos θ 3 + +sin θ 1 sin θ cos θ 3 cos θ n 1 +sin θ 1 sin θ cos θ 3 sin θ n 1 1 (dθ k ) :(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 sin θ n 1 +(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 cos θ n 1 +(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 cos θ n 1 +(r sinθ 1 r cos θ k )sin θ k+1 cos θ n + +(r sinθ 1 r cos θ k )cos θ k+1 r sinθ 1 r cos θ k また計算を略すが (drθ k ):,(dθ k dθ j ):(j k) gg 11 g nn r (rsinθ 1 ) (rsinθ 1 sinθ sinθ 3 cdots(rsinθ 1 sinθ n 1 ) r n sin n 4 θ 1 sin n 6 θ (sinθ 1 sinθ sinθ 3 sinθ n ) 1 r n Π n i sinn i θ i (5)

13 確認 V n an n V n sin n 3 θ 1 dθ dθ π r n 1 dr sinθ n dθ n sin n θ 1 dθ 1 dθ n 1 ここで θsin n θdθ Γ(1 )Γ(n+1 ) Γ( n +1) であるのでこれを用いて計算できるすると Γ( 1 )Γ(n 1 ) Γ( 1 )Γ(n ) Γ( n +1) Γ( n 3 +1) Γ( 1 )Γ(n 3 ) Γ(1 Γ( n 4 +1) an n )Γ(1 ) Γ(1) Γ( 1 )n Γ( n ) ここで, 公式 A を用いて Γ( 1 )π1 であるので an π n nγ( n ) これは n 次元の球の体積である 13

14 V n an π n nγ( n ) 確認してみる n V a π Γ( ) a π πa n3 V 3 a3 π 3 3Γ( 3 ) a3 π Γ(1 ) 4πa3 3 n4 V 4 a4 π 4 4Γ( 4 a4 π ) 4Γ() a4 π 1 π a 4 n5 V 5 a5 π 5 5Γ( 5 ) a5 π Γ(1 ) a5 π π1 8a5 π 15 と確認できた 14

15 付録.1 ガンマ関数 s を有理数とするとき Γ(s) x s 1 exp( x)dx で定義する部分積分をして Γ(s) x s 1 exp( x) +(s 1) x s exp( x)dx +(s 1) x s exp( x)dx(s 1)Γ(s 1) s 1 の時 Γ( 1 ) x 1 1 exp( x)dx π が成り立つその理由はここで zx 1 とおくと dzx 1 dx Γ( 1 ) exp( x )dx π この式でピンとこない人はとりあえず Γ( 1 ) π を認めて欲しい 15

16 . ベータ関数ベータ関数を B(p,q) 1 xp 1 (1 x) q 1 dx で定義するすると部分積分をして B(p,q) 1 xp 1 (1 x) q 1 dx 1 p xp (1 x) q p xp 1 ( q)(1 x) q dx q 1 p q 1 q p (q 1)(q ) 1 xp (1 x) q dx q 1 p B(p+1,q 1) p+1 B(p+,q ) p(p+1) B(p+,q ) (q 1) 1 xp+q 1 1 (1 x) 1 1 dx (q 1) 1 xp+q 1 1 dx p(p+1) (p+q ) p(p+1) (p+q ) (q 1) p(p+1) (p+q )(p+q 1) (q 1) 1 p(p+1) (p+q )(p+q 1) (p 1)!(q 1)! (p 1)!p(p+1) (p+q )(p+q 1) (q 1) p(p+1) (p+q ) B(p+q 1,1) ここで Γ(p)(p 1)!Γ(q)(q 1)!,Γ(p+q)(p+q 1)! などより B(p,q) Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) この式で xsin θ とおくとdxsinθcosθdθ B(p,q) 1 xp 1 (1 x) q 1 dx sinp 1 θcos q 1 θdθ を得る勿論 sinp 1 θcos q 1 θdθ Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) ここでp,q が有理数の場合でも今までの議論は適用できることをお断りしておく 16

Gmech08.dvi

Gmech08.dvi 51 5 5.1 5.1.1 P r P z θ P P P z e r e, z ) r, θ, ) 5.1 z r e θ,, z r, θ, = r sin θ cos = r sin θ sin 5.1) e θ e z = r cos θ r, θ, 5.1: 0 r