【】平行四辺形の性質①（向かい合う辺が等しい）
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- あきひろ しもとり
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1 FdText 数学 2 年 : 中学 塾用教材 平行四辺形の性質 1( 向かい合う辺が等しい ) 次の図を使って, 平行四辺形の2 組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことを証明せよ ABCと CDAにおいて, ACは共通 1 AD // BCなので, 錯角が等しく, BCA= DAC 2 AB // DCなので, 錯角が等しく, BAC= DCA 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, ABC CDA ゆえに,AB=CD,BC=DA - 1 -
2 よ 平行四辺形 ABCD の対角線 BD に垂線 AE,CF をひくと,AE=CF となることを証明せ ABEと CDFにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AB=CD 1 仮定より, AEB= CFD=90 2 AB // DC なので, 錯角が等しく, ABE= CDF 3 1,2,3より, 直角三角形の斜辺と他の1 鋭角がそれぞれ等しいので, ABE CDF ゆえに,AE=CF - 2 -
3 平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に,BE=DF となる点 E,F をとる このとき, AE=CF であることを証明せよ ABEと CDFにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AB=CD 1 仮定より,BE=DF 2 AB // CD なので, 錯角が等しく, ABE= CDF 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABE CDF ゆえに,AE=CF - 3 -
4 平行四辺形 ABCD の辺 BC の中点を M とし,D と M を結ぶ直線と辺 AB の延長との交点を E とすると,AB=BE となることを証明せよ BEMと CDMにおいて, 仮定より BM=CM 1 対頂角は等しいので, BME= CMD 2 AE // CDなので, 錯角が等しく, EBM= DCM 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, BEM CDM ゆえに,BE=CD また, 四角形 ABCDは平行四辺形なので CD=AB ゆえに,AB=BE - 4 -
5 平行四辺形 ABCD の対角線 DB に平行に,C から直線をひいて,AB の延長との交点を E とすると,AB=BE となることを証明せよ DBCと ECBにおいて, BCは共通 1 AE // DCなので, 錯角が等しく, DCB= EBC 2 また,BD // ECなので, 錯角が等しく, CBD= BCE 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, DBC ECB ゆえに, CD=BE また, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,CD=AB よって,AB=BE - 5 -
6 平行四辺形 ABCDの対角線 ACに平行な直線を図のように引き,4 辺 BA,BC,CD,DA または, その延長と交わる点をそれぞれE,F,G,Hとすると,EH=GFである これを証明せよ AEHと CGFにおいて, 仮定より,AH // CF,AC // HFなので, 四角形 ACFHは平行四辺形となり,AH=CF 1 AD // BFなので, 同位角が等しく, AHE= CFG 2 また,AD // BCなので, 同位角が等しく, EAH= ABC AB // CDなので, 同位角が等しく, ABC= GCF ゆえに, EAH= GCF 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, AEH CGF よって,EH=GF - 6 -
7 平行四辺形 ABCD の対角線 AC に平行な直線が,AB,BC と E,F で交わり,DA,DC の 延長と G,H で交わるとき,EG=HF であることを証明せよ AEGと CHFにおいて, 仮定より,AG // CF,AC // GFなので四角形 ACFGは平行四辺形となる ゆえに,AG=CF 1 AG // CFなので, 同位角が等しく, AGE= CFH 2 AB // DCなので, 錯角が等しく, GAE= EBF= FCH 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, AEG CHF ゆえに,EG=HF - 7 -
8 次の図で,AB=AC で,AB と ED,AC と FD はそれぞれ平行である このとき, FD+DE=AB となることを証明せよ 仮定よりAB // ED,AC // FDなので, 四角形 AEDFは平行四辺形となる ゆえに,DE=FA 1 仮定より,AB=ACなので, FBD= ECD FD // ACなので, 同位角が等しく, ECD= FDB ゆえに, FBD= FDBとなり, FBDは二等辺三角形で,FD=FB 2 1,2より,FD+DE=FB+FA=AB よって,FD+DE=AB - 8 -
9 次の図のように, ABCの辺 AB 上の点 PからACと平行になるようにひいた直線と B ACの二等分線との交点をQとする また,PからQCと平行になるようにひいた直線と辺 ACとの交点をRとする このとき,RC=PAであることを証明せよ 仮定より,PQ // RC,PR // QCなので, 四角形 PQCRは平行四辺形となる ゆえに,RC=PQ 1 次に,PQ // ACなので, 錯角が等しく, PQA= RAQ 仮定より, RAQ= PAQ ゆえに, PQA= PAQとなり, PAQは二等辺三角形で,PQ=PA 2 1,2より,RC=PA - 9 -
10 平行四辺形の性質 2( 向かい合う角が等しい ) 右の図で, 四角形 ABCDは平行四辺形で,EDは ADCの二等分線である BED=35 のとき, ABCの大きさを求めよ 70 右の図で, ABCは A=90 の直角三角形で, 四角形 DEFGは平行四辺形である BDE=42, ACB=56 のとき, DGFの大きさを求めよ 76 右の図で,Eは平行四辺形 ABCDの辺 BC 上の点で, AB=AEである また,Fは線分 AE 上の点であり, AFD=90 である ABE=68 のとき CDFの大きさは何度か
11 平行四辺形 ABCD の対辺 AD,BC の中点をそれぞれ M,N とするとき,BM=DN である ことを証明せよ ABMと CDNにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AB=CD 1 また,AM= 2 1 AD= 2 1 BC=CN で,AM=CN 2 平行四辺形の向かい合う角は等しいので, BAM= DCN 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABM CDN ゆえに,BM=DN
12 平行四辺形 ABCD の対角 A, C の 2 等分線が BC,AD と交わる点をそれぞれ F,E と すると,BF=DE となることを証明せよ ABFと CDEにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AB=CD 1 ABF= CDE 2 仮定より, BAF= 2 1 BAD, DCE= 2 1 DCB BAD= DCBなので, BAF= DCE 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, ABF CDE ゆえに,BF=DE
13 次の図のように, 平行四辺形 ABCD を対角線 BD を折り目として折り返し, 頂点 C が移 る点を E,BE と AD の交点を F とする このとき,FA=FE となることを証明せよ 仮定より, FBD= CBD AD // BCなので, 錯角が等しく, CBD= FDB ゆえに, FBD= FDBとなり, FBDは二等辺三角形で,FD=FB 1 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AD=BC また,BC=BE ゆえに,AD=BE 2 FA=AD-FD,FE=BE-FB 1,2より,FA=FE
14 平行四辺形の性質 3( 対角線はそれぞれ中点で交わる ) 次の図を使って, 平行四辺形の 2 つの対角線はおのおの中点で交わることを証明せよ ABOと CDOにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AB=CD 1 AB // CDなので, 錯角が等しく, BAO= DCO 2 ABO= CDO 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, ABO CDO ゆえに,AO=CO,BO=DO
15 平行四辺形 ABCD で, 対角線の交点 O を通る直線をひき, 対辺 AB,CD との交点を, そ れぞれ P,Q とする このとき,OP=OQ であることを証明せよ BPOと DQOにおいて, 平行四辺形の対角線はたがいに中点で交わるので,BO=DO 1 対頂角は等しいので, BOP= DOQ 2 AB // CDなので, 錯角が等しく, PBO= QDO 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, BPO DQO ゆえに,OP=OQ
16 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とする O を通る直線 XY に, 頂点 A,C から垂線 AE,CF をひくと,AE=CF であることを証明せよ AEOと CFOにおいて, 仮定より, AEO= CFO=90 1 平行四辺形の対角線はたがいに中点で交わるので, AO=CO 2 対頂角は等しいので, AOE= COF 3 1,2,3より, 直角三角形の斜辺と他の1 鋭角がそれぞれ等しいので, AEO CFO ゆえに,AE=CF
17 平行四辺形の性質 4( その他 ) 平行四辺形 ABCDで, Bの2 等分線が辺 AD,CDの延長と交わる点を, それぞれE,Fとするとき, 次のことを証明せよ (1) AB=AE (2) CB=CF (1) (2) (1) 仮定より, ABE= CBE AD // BCなので, 錯角が等しく, CBE= AEB ゆえに, ABE= AEB ゆえに, ABEは二等辺三角形となり,AB=AE (2) AB // CFなので, 錯角が等しく, ABE= CFB ABE= CBFなので, CFB= CBF ゆえに, CBFは二等辺三角形となり,CB=CF
18 次の図のように, 平行四辺形 ABCDの辺 BCをのばした直線上に点 Eをとり, DCBの二等分線と DCEの二等分線とが, 直線 ADと交わる点を, それぞれF,Gとするとき,D F=DGであることを証明せよ AD // BCなので, 錯角が等しく, DFC= BCF 仮定より, BCF= DCF ゆえに, DFC= DCFとなり, DECは二等辺三角形になる ゆえに,DF=DC 同様にして,DC=DG ゆえに,DF=DG
19 次の図のような平行四辺形 ABCD の辺 AD 上に, ECD= ABC となるように点 E をと る このとき,AE+EC=BC となることを証明せよ 四角形 ABCDは平行四辺形なので, 向かい合う角が等しく, CDE= ABC 仮定より, ABC= ECD ゆえに, CDE= ECD となり, ECDは二等辺三角形ゆえに,EC=ED AE+EC=AE+ED=AD=BC よって,AE+EC=BC
20 平行四辺形 ABCDの2 辺 BC,CDをそれぞれ1 辺とする正三角形 BEC,CFDを次の図のようにつくるとき, 次のことを証明せよ (1) ABE= FDA= FCE (2) AEFは正三角形である (1) (2)
21 (1) ABC= x とおく BEC, CFDは正三角形なので, ABE= x +60 FDA= x +60 次に, BCD=180 - x なので, FCE=360 - BCD =360 -(180 - x )-120 =60 + x 以上より, ABE= FDA= FCE (2) ABEと FDAにおいて, BEC, CFDは正三角形なので,DF=DC 四角形 ABCDは平行四辺形なので,DC=AB ゆえに,AB=DF 1 同様にして,AD=BC,BC=BEなので,AD=BE 2 (1) より, FDA= ABE 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABE FDAとなり,AE=AF 4 次に, FDAと FCEにおいて CFDは正三角形なので,DF=CF 5 CE=CB,CB=DAなので,DA=CE 6 (1) より, FDA= FCE 7 5,6,7より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, FDA FCEとなり,AF=EF 8 4,8よりAE=EF=AFとなり, AEFは正三角形になる
22 次の図のように, 長方形 ABCD の頂点 B を通る直線上に,2 点 E,F を AB=AE,BC=C F となるようにとる このとき,ED=DF となることを証明せよ AEDと CDFにおいて, 仮定より,AE=AB 四角形 ABCDは長方形なので,AB=CD ゆえに,AE=CD 1 同様にして,AD=BC,BC=CFなので,AD=CF
23 次に, ABE= x とおく AB=AEなので, AEB= ABE= x ゆえに, EAB=180-2 x ゆえに, EAD=180-2 x +90 =270-2 x 3 また, ABE= x なので, CBF= x =90 - x BC=CFなので, CFB= CBF=90 - x ゆえに, BCF=180 -(90 - x ) 2=2 x ゆえに, DCF= x =270-2 x 4 3,4より, EAD= DCF 5 1,2,5より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, AED CDF ゆえに,ED=DF
24 平行四辺形になる条件 1( 向かい合う2 組の辺が等しい ) 次の図において,AB=CD,BC=DAならば, 四角形 ABCDは平行四辺形になることを証明せよ ABCと CDAにおいて, ACは共通 1 仮定より,AB=CD 2,BC=DA 3 3 辺が等しいので, ABC CDA ゆえに, BCA= DACで, 錯角が等しいので,AD // BC BAC= DCAで, 錯角が等しいので,AB // DC ゆえに, 向かい合う2 組の辺が平行なので, 四角形 ABCDは平行四辺形になる
25 平行四辺形 ABCD の辺 AB,BC,CD,DA 上にそれぞれ点 P,Q,R,S をとり,AP=C R,BQ=DS となるようにすれば, 四角形 PQRS は平行四辺形になることを証明せよ APSと CRQにおいて, 仮定より,AP=CR 1 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので,AD=CB 仮定より,DS=BQなので, AS=AD-DS=CB-BQ=CQ ゆえに,AS=CQ 2 平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいので, PAS= RCQ 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, APS CRQ ゆえに,PS=RQ 同様にして, BPQ DRSとなり,PQ=RS 向かい合う2 組の辺の長さが等しいので, 四角形 PQRSは平行四辺形になる
26 平行四辺形 ABCDの頂点 A,Cから対角線 BDへ垂線をひき, その交点をそれぞれE,Fとすると (1) ABEと CDFが合同になることを証明せよ (2) 四角形 AECFが平行四辺形になることを証明せよ (1) (2) (1) ABEと CDFにおいて, 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので,AB=CD 1 AB // CDなので, 錯角が等しく ABE= CDF 2 仮定より, AEB= CFD=90 3 1,2,3より, 直角三角形の斜辺と他の1 鋭角がそれぞれ等しいので, ABE CDF
27 (2) AFDと CEBにおいて, 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので,AD=CB 4 (1) より, ABE CDFなので,DF=BE 5 AD // BCなので, 錯角が等しく, ADF= CBE 6 4,5,6より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, AFD CEB ゆえに,AF=CE また,(1) より, ABE CDFなので,AE=CF 向かい合う2 組の辺の長さが等しいので, 四角形 AECFは平行四辺形になる 次の図のように, 平行四辺形 ABCD の各辺の延長線上に, それぞれ P,Q,R,S をとり, AP=BQ=CR=DS とすれば, 四角形 PQRS は平行四辺形であることを証明せよ
28 PDSと RBQにおいて, 仮定より,DS=BQ 1 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AD=CB また,PA=RCなので,PD=RB 2 平行四辺形の向かい合う角は等しいので, ADC= CBA ゆえに, PDS=180 - ADC=180 - CBA= RBQ ゆえに, PDS= RBQ 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, PDS RBQ ゆえに,PS=RQ 4 以上と同様にして, QAP SCRとなり,PQ=RS 5 4,5より向かい合う2 組の辺の長さが等しいので, 四角形 PQRSは平行四辺形になる
29 平行四辺形になる条件 2( 向かい合う1 組の辺が平行で等しい ) 次の図において,ADとBCが平行で等しいならば, 四角形 ABCDは平行四辺形になることを証明せよ ABCと CDAにおいて, ACは共通 1 仮定より,BC=DA 2 AD // BCなので, 錯角が等しく, BCA= DAC 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABC CDA ゆえに,AB=CD 向かい合う2 組の辺の長さが等しいので, 四角形 ABCDは平行四辺形になる
30 平行四辺形 ABCD の対辺 AD,BC 上にそれぞれ点 E,F を AE=CF となるようにとる このとき, 四角形 AFCE は平行四辺形であることを証明せよ 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AE // FC 仮定より,AE=FC 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 AFCEは平行四辺形である 平行四辺形 ABCD の対辺 AB,DC の中点を, それぞれ M,N とするとき, 四角形 AMCN は平行四辺形であることを証明せよ
31 四角形 ABCD は平行四辺形なので,AM // NC AB=DC,AM= 2 1 AB,NC= 2 1 DC なので,AM=NC 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 AMCN は平行四辺形である 平行四辺形 ABCD の対辺 AD,BC の中点をそれぞれ M,N とするとき, 四角形 PNQM は 平行四辺形であることを証明せよ
32 四角形 ANCMについて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AM // NC AD=BC,AM= 2 1 AD,NC= 2 1 BC なので,AM=NC 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 AMCN は平行四辺形である ゆえに,PN // MQ 同様にして, 四角形 BNDM は平行四辺形で,MP // QN 2 組の辺が平行なので, 四角形 PNQM は平行四辺形である 平行四辺形 ABCD の各辺の中点を,E,F,G,H とし,BG と DF の交点を P,BH と DE の交点を Q とすると, 四角形 BPDQ は平行四辺形になることを証明せよ
33 四角形 BFDHについて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,HD // BF AD=BC,HD= 2 1 AD,BF= 2 1 BC なので,HD=BF 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 BFDHは平行四辺形である ゆえに,BQ // PD 同様にして, 四角形 BGDEは平行四辺形となり,BP // QD 2 組の辺が平行なので, 四角形 BPDQは平行四辺形である 平行四辺形 ABCD の頂点 A,C から対角線 BD へ垂線をひき, その交点をそれぞれ E,F とすると, 四角形 AECF は平行四辺形になることを証明せよ
34 ABEと CDFにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AB=CD 1 AB // CDなので, 錯角が等しく, ABE= CDF 2 仮定より, AEB= CFD=90 3 1,2,3より, 直角三角形の斜辺と他の1 鋭角がそれぞれ等しいので, ABE CDF ゆえに,AE=CF また, AEF= CFE=90 なので, 錯角が等しく,AE // CF 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 AECFは平行四辺形である 台形 ABCD において, 対角線 AC の中点を P とし,DP の延長と BC の交点を E とするとき, 四角形 AECD は平行四辺形であることを証明せよ
35 ADPと CEPにおいて, 仮定より,AP=CP 1 対頂角は等しいので, APD= CPE 2 AD // BCなので, 錯角が等しく, DAP= ECP 3 1,2,3より,1 辺と両端の角がそれぞれ等しいので, ADP CEP ゆえに,AD=CE また,AD // CE 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 AECDは平行四辺形である
36 平行四辺形になる条件 3( 対角線がそれぞれ中点で交わる ) 次の図で,AO=CO,BO=DOであるとき, 四角形 ABCDは平行四辺形になることを証明せよ ABOと CDOにおいて, 仮定より,AO=CO 1 BO=DO 2 対頂角は等しいので, AOB= COD 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABO CDO ゆえに,AB=CD OAB= OCDなので, 錯角が等しく,AB // CD 1 組の辺が平行で等しいので, 四角形 ABCDは平行四辺形になる
37 平行四辺形 ABCD の 2 つの対角線の交点を O とし, 対角線 BD 上に点 E,F を OE=OF と なるようにとる このとき, 四角形 AECF は平行四辺形であることを証明せよ 四角形 ABCDは平行四辺形なので,OA=OC 仮定より,OE=OF ゆえに, 対角線がそれぞれ中点で交わるので, 四角形 AECFは平行四辺形となる 次の図のような ABCで, 点 Bと辺 ACの中点 Mを結んだ直線と, 点 Cを通りBAに平行にひいた直線との交点をDとする このとき, 四角形 ABCDが平行四角形になることを証明せよ
38 ABMと CDMにおいて, 仮定より,AM=CM 1 対頂角は等しいので, AMB= CMD 2 仮定より,AB // CDなので, 錯角が等しく, BAM= DCM 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, ABM CDM ゆえに,BM=DM 4 1,4より, 対角線がそれぞれ中点で交わるので, 四角形 ABCDは平行四辺形となる 平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通って, 次の図のように直線 PQ をひくと, 四角 形 PBQD は平行四辺形になることを証明せよ
39 APOと CQOにおいて, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,AO=CO 1 対頂角は等しいので, AOP= COQ 2 AD // BCなので, 錯角が等しく, PAO= QCO 3 1,2,3より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, APO CQO ゆえに,PO=QO また, 四角形 ABCDは平行四辺形なので,DO=BO 対角線がそれぞれ中点で交わるので, 四角形 PBQDは平行四辺形となる
40 平行四辺形になる条件 4( 向かい合う2 組の角が等しい ) 次の図で, A= C, B= Dであるとき, 四角形 ABCDは平行四辺形になることを証明せよ 四角形の内角の和は360 なので, A+ B+ C+ D=360 仮定より, A= C, B= D ゆえに,2 A+2 B=360 ゆえに, A+ B=180 ここで,BAの延長線上に点 Eをとる ABC+ BAD=180, EAD+ BAD=180 なので, ABC= EADとなり, 同位角が等しいので,AD // BC また, EAD= ADCなので, 錯角が等しく,AB // DC ゆえに,2 組の向かい合う辺が平行なので, 四角形 ABCDは平行四辺形になる
41 次の図の平行四辺形 ABCD で AEB= CFD とすると, 四角形 AECF は平行四辺形に なることを証明せよ AD // BCなので, AEB= EAF CFD= ECF 仮定より, AEB= CFDなので, EAF= ECF 1 AFC=180 - CFD AEC=180 - AEB 仮定より, AEB= CFDなので, AFC= AEC 2 1,2より向かい合う2 組の角が等しいので, 四角形 AECFは平行四辺形になる
42 平行四辺形 ABCD の対角 A, C の 2 等分線が BC,AD と交わる点をそれぞれ F,E と するとき, 四角形 AFCE は平行四辺形であることを証明せよ 四角形 ABCDは平行四辺形なので向かい合う角は等しく, BAD= BCD 仮定より, EAF= 2 1 BAD, ECF= 2 1 BCD ゆえに, EAF= ECF 1 また,AD // BCなので, BFA= EAF, DEC= ECF ゆえに, BFA= DEC CFA=180 - BFA AEC=180 - DEC ゆえに, CFA= AEC 2 1,2より向かい合う2 組の角が等しいので, 四角形 AFCEは平行四辺形になる
43 長方形 長方形は平行四辺形でもあることを証明せよ 長方形の定義より,4 つの内角はすべて等しい ゆえに, 向かい合う 2 組の角は等しくなるので, 平行四辺形となる 次の図を使って, 長方形の対角線の長さが等しいことを証明せよ
44 ABCと DCBにおいて, BCは共通 1 四角形 ABCDは長方形なので, ABC= DCB=90 2 AB=DC 3 1,2,3より2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABC DCB ゆえに,AC=DB 次の図を使って, 対角線の長さが等しい平行四辺形は長方形であることを証明せよ ABCと DCBにおいて, BCは共通 1 仮定より,AC=DB 2 平行四辺形の向かい合う角は等しいので,AB=DC
45 1,2,3 より,3 辺がそれぞれ等しいので, ABC DCB ゆえに, ABC= DCB, さらに, ABC= ADC, BAD= DCB なので 4 つの内角がすべて等しい ゆえに, 四角形 ABCD は長方形となる 1 つの角が直角である平行四辺形は長方形であることを証明せよ A=90 と仮定する 平行四辺形の向かい合う角は等しいので, C= A=90 B+ D=360 -( A+ C)= =180 B= Dなので, B= D=90 ゆえに, A= B= C= D=90 となり, 四角形 ABCDは長方形となる
46 平行四辺形 ABCD の辺 DC の中点を E とするとき,AE=BE ならば, この四角形 ABCD は長方形になることを証明せよ ADEと BCEにおいて, 仮定より AE=BE 1 DE=CE 2 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので,AD=BC 3 1,2,3より,3 辺がそれぞれ等しいので, ADE BCE ゆえに, ADE= BCE 平行四辺形の向かい合う角は等しいので, ADE= ABC, ECB= BAD ゆえに,4つの内角がすべて等しくなり, 四角形 ABCDは長方形となる
47 平行四辺形 ABCD の 4 つの角の二等分線で囲まれた四角形は長方形になる このことを 証明せよ BAE= x, ABE= y とおくと, 仮定より, DAE= DCG= BCG= x CBE= ADG= CDG= y 四角形の内角の和は360 なので,4 x +4 y =360 ゆえに, x + y =90 HEF= AEB=180 -( BAE+ ABE)=180 -( x + y )=90 同様にして, FGH=90 また, AFDについて, AFD=180 -( FAD+ FDA)=180 -( x + y )=90 同様にして, BHC=90 以上より, 四角形 EFGH の内角はすべて 90 で等しくなる ゆえに, 四角形 EFGH は長方形となる
48 ひし形 ひし形は平行四辺形でもあることを証明せよ ひし形 ABCDにおいて4 辺がすべて等しいので, AB=DC,AD=BC ゆえに, 向かい合う2 組の辺の長さが等しいので, ひし形 ABCDは平行四辺形となる
49 次の図を使って, ひし形の対角線が垂直に交わることを証明せよ ADHと CDHにおいて, DHは共通 1 四角形 ABCDはひし形なので,AD=CD 2 また, ひし形は平行四辺形でもあるので,AH=CH 3 ゆえに,3つの辺がそれぞれ等しいので, ADH CDH ゆえに, AHD= CHD また, AHD+ CHD=180 よって, AHD= CHD=90 したがって,AC DH
50 ひし形 ABCD の頂点 B から AD,CD にひいた垂線を, それぞれ BP,BQ とするとき, BP=BQ であることを証明せよ ABPと CBQにおいて, 四角形 ABCDはひし形なので,AB=CB 1 ひし形は平行四辺形でもあるので, 向かい合う内角が等しく, BAP= BCQ 2 仮定より, APB= CQB=90 3 1,2,3より, 直角三角形の斜辺と他の1 鋭角がそれぞれ等しいので, ABP CBQ ゆえに,BP=BQ
51 次の図を使って, 対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形になることを証明せよ ABOと ADOにおいて, AOは共通 1 平行四辺形の対角線はたがいに中点で交わるので,BO=DO 2 仮定より, AOB= AOD 3 1,2,3より,2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので, ABO ADO ゆえに,AB=AD 4 平行四辺形の向かい合う辺は等しいので, AB=CD,AD=BC 5 4,5よりAB=BC=CD=DA ゆえに, 四角形 ABCDはひし形となる
52 平行四辺形 ABCD の A, B の二等分線が辺 BC,AD と交わる点をそれぞれ E,F とす るとき, 四角形 ABEF はひし形になることを証明せよ AEとBFの交点をHとする ABHと AFHにおいて, AHは共通 1 仮定より, BAH= FAH 2 また, 仮定より, ABH= EBH AF // BEなので, 錯角が等しく, EBH= AFH ゆえに, ABH= AFH
53 2,3より AHB=180 -( BAH+ ABH)=180 -( FAH+ AFH)= AHF ゆえに, AHB= AHF 4 1,2,4より,1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので, ABH AFH ゆえに,AB=AF 同様にして, ABH BEHとなり,AB=BE BEH FEHとなり,BE=EF 以上より,4つの辺の長さが等しいので, 四角形 ABEFはひし形になる 次の ( ア ),( イ ) にあてはまるものを, 下の1~4から, それぞれ1つ選び, 記号で答えよ 四角形 ABCDは,ABとDCが平行で( ア ) のとき, 平行四辺形であり, さらに, 平行四辺形 ABCDは,( イ ) のとき, 長方形である 1 AD=BC 2 AB=DC 3 AB=AD 4 A= B ア イ ア 2, イ
54 平行線と面積 1( 底辺を共有 ) 2 直線 l, m が平行であるとき,l 上の2 点 A,Bから m にひいた垂線をAC,BDとすると,AC=BDである このことを証明せよ 仮定より, ACD=90 BDC=90 なので, CDの延長上に点 Eをとると, BDE=90 ゆえに, ACD= BDEで同位角が等しいので,AC // BD また, l // m なので, 四角形 ABCDは平行四辺形となり,AC=BD
55 次の図で,2 直線 l, m が平行であるとき, ABC と ABD の面積が等しくなることを 証明せよ ABC と ABD の底辺をともに AB とすると, 底辺の長さは等しい 1 2 直線 l, m が平行なので,CからABまでの距離とDからABまでの距離が等しい ゆえに, ABC と ABD の高さが等しい 2 1,2 より ABC と ABD の面積は等しい ABC で辺 BC に平行な直線をひき,AB,AC と交わる点をそれぞれ D,E とする こ のとき, ABE の面積と ACD の面積が等しくなることを証明せよ
56 BDEと CDEで底辺をともにDEとすると, DE // BCなので, 高さは同じになる よって, BDE= CDE, ABE= ADE+ BDE, ACD= ADE+ CDE なので, ABE= ACD 平行四辺形 ABCDの対角線 BDに平行な直線が, 辺 BC,CDと交わる点をそれぞれP,Qとする ABPと面積の等しい三角形をすべてあげよ DBP, DBQ, DAQ
57 平行四辺形 ABCDの対角線に平行な直線が辺 AD, CDと交わる点を, それぞれE,Fとする このとき, ABEと面積が等しい三角形が3つある この三角形をすべてあげよ ACE, ACF, BCF 次の平行四辺形 ABCDで,AD // EFであるとき, FCBと面積が等しい三角形を書け FCA, BEF 次の図で,AD,FC,BEは互いに平行である このとき, DEFは ABCの面積の何倍か 2 倍
58 等積変形 次の四角形 ABCDと, 面積が等しい三角形 ABEを作図せよ ( 作図に用いた線は, 消さずに残しておくこと ) l 上に点 P,Qをとって五角形 ABCDEの面積と CPQ の面積が等しくなるようにしたい P,Q の位置を作図に よって求めよ
59 次の図のように, 長方形 ABCDがあり,PQRを境に 2つの部分に分けられている BC 上に点 Sをとって, 2つの部分の面積を変えないでPSを新しい境界線としたい 点 Sの位置を作図によって求めよ
60 ABCにおいて, 辺 BCの中点をM,BM 上の点をPとする 辺 AC 上に点 Qをとって, 線分 PQが ABCの面積を2 等分するように, 解答用紙の図に作図せよ ただし, 作図に用いた線は残し, 必要なマークやアルファベットを必ず入れること
61 [ 印刷 / 他のPDFファイルについて ] このファイルは,FdText 数学 (9,600 円 ) の一部をPDF 形式に変換したサンプルで, 印刷 編集はできないようになっています 製品版のFdText 数学はWordの文書ファイルで, 印刷 編集を自由に行うことができます FdText( 英語 数学 社会 理科 国語 ) 全分野のPDFファイル, および製品版の購入方法は に掲載しております 弊社は,FdTextのほかにFdData 中間期末過去問 ( 数学 理科 社会 )( 各 18,900 円 ) を販売しております PDF 形式のサンプル ( 全内容 ) は, に掲載しております [FdData 無料閲覧ソフト (RunFdData)] を,Windowsのデスクトップ上にインストールすれば, FdData 中間期末の全 PDFファイルを自由に閲覧できます 次のリンクを左クリックするとインストールが開始されます ダイアログが表示されたら, 実行 ボタンを左クリックしてください インストール中, いくつかの警告が出ますが,[ 実行 ][ 許可する ][ 次へ ] 等を選択します Fd 教材開発 (092)
図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは
図形と証明 1 対頂角 a = b a+ c= 180 なので a = 180 - c b+ c= 180 なので b = 180 - c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは それを筋道立てて説明することです a も b も 角度を使った式で 同じ式になる ということを述べるのが この証明です
【】 1次関数の意味
FdText 数学 1 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 直線と角 解答欄に次のものを書き入れよ 1 直線 AB 2 線分 AB 1 2 1 2 右図のように,3 点 A,B,Cがあるとき, 次の図形を書き入れよ 1 直線 AC 2 線分 BC - 1 - 次の図で a, b, c で示された角を A,B,C,D の文字を使って表せ a : b : c :
【】三平方の定理
FdText 数学 3 年 : 中学 塾用教材 http://www.fdtext.com/txt/ 三角形 x を求めよ (3) (4) (5) (6) (3) (4) (5) (6) [ 解答 ] (1) 34 cm (2) 2 2 cm (3) 13cm (4) 2 7 cm (5) 5 3cm (6) 11 cm - 1 - 次の三角形, 台形の高さ (h) を求めよ (3) (4) (3)
FdData中間期末数学2年
対頂角 同位角と錯角 [ 対頂角 ] [ 解答 1] 対頂角 [ 解答 2] a+ b=180, c+ b=180 なので, a+ b= c+ b よって, a= c [ 解答 3] x =107 対頂角は等しい 性質を使って, 図のように x の角を移す 図より, x +41 +32 =180, x +73 =180 x =180-73, ゆえに, x =107 [ 解答 4](1) x =80
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 図形 を問う問題 ) 1 レベル 6~8(H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 答え 度 2 レベル 9 10 (H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 答え
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 図形 を問う問題 ) 1 レベル 6~8(H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 度 2 レベル 9 10 (H28 埼玉県学力 学習状況調査 ) 3 太郎さんは, 次の問題を考えています 問題右の図で,AO=BO,CO=DOならば, AC=BDであることを証明しなさい D A O B C このとき,(1)
S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ゆえに = である
S01 1 図において = =とする このとき であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 3 1 2 3 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって である S02 1 図において = =とする このとき = であることを証明せよ と において = 1 = 2 辺 は共通 3 1 2 3 より 3 辺 (3 組の辺 ) がそれぞれ等しい よって 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい
【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(平行四辺形の性質/条件/等積変形)
FdData 中間期末 : 中学数学 2 年 : 四角形 [ 平行四辺形の性質 / 平行四辺形になることの証明 / 平行四辺形についての計算問題 / いろいろな四角形 / 平行線と面積 /FdData 中間期末製品版のご案内 ] [FdData 中間期末ホームページ ] 掲載の pdf ファイル ( サンプル ) 一覧 次のリンクは [Shift] キーをおしながら左クリックすると, 新規ウィンドウが開きます数学
二等辺三角形の性質 (2) 次の図の の大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形 は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を 底角を y で表すとき y を の式で表しなさい y 2-5-2
三角形 四角形 二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形 二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理 二等辺三角形の底角は等しい 定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は 底辺を直角に2 等分する 正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で 同じ印をつけた辺や角が等しいとき の大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)
FdData中間期末数学2年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 2 年 対頂角 同位角と錯角 [ 対頂角 ] [ 問題 ](2 学期中間 ) http://www.fdtext.com/dat/ 右の図で a と c の位置にある角を ( ) という [ 解答 ] 対頂角 右の図で, a= c であることを説明せよ [ 解答 ] a+ b=180, c+ b=180 なので, a+ b= c+ b よって, a=
学習の手順
NAVI 2 MAP 3 ABCD EFGH D F ABCD EFGH CD EH A ABC A BC AD ABC DBA BC//DE x 4 a //b // c x BC//DE EC AD//EF//BC x y AD DB AE EC DE//BC 5 D E AB AC BC 12cm DE 10 AP=PB=BR AQ=CQ BS CS 11 ABCD 1 C AB M BD P
FdData中間期末数学2年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 年 方程式とグラフ [ 二元一次方程式 ax + by = c のグラフ ] [ 問題 ]( 後期中間 ) 二元一次方程式 x + y = 4 のグラフをかけ http://www.fdtext.com/dat/ [ 解答 ] 方程式の解を座標とする点の全体を, その方程式のグラフという 二元一次方程式 x + y = 4 の解は無数にあるが, 例えば,
頻出問題の解法 Check Exercize 1. 四角形 ABCD において 辺 AB, BC,CD, DA の中点をそれぞれ P,Q, R, S とすると 四角形 PQRS は平行四辺形であることを証明せよ 2. AB=2, BC =4,CA=3 である ABC において 辺 BC の中点を M
第 4 章平面図形 1. 三角形の性質 1-1 平行線と線分の比 平行線と線分の比一般に 平行線において次の定理が成立する 頻出問題の ABC の辺 AB, AC またはその延長上の点を それぞれ D, E とするとき DE BC AD AB = AE DE (= AC BC ) DE BC AD DB = AE EC 中点連結定理上の定理において D, E を辺 AB, AC の中点にとる ABC
平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合
平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合図で, 解答用紙の決められた欄に受検番号を書きなさい 5. 問題を読むとき, 声を出してはいけません
丛觙形ㆮ隢穓ㆮ亄ç�›å‹ƒç·ı
三角形の面積は == 三角形の面積の二等分線 == ( 面積 )=( 底辺 ) ( 高さ ) 2 の公式で求められます. 次の図のように, ABC の頂点 A から対辺 BC の中点 ( 真ん中の点,1 対 1 に内分する点 ) D に線分 AD をひくと, ABD と DCA とは, 底辺が等しく, 高さが共通になるから, これら 2 つの三角形の面積は等しくなります.( 高さは底辺と垂直 ( 直角
全都道府県 公立高校入試 数学 単元別
学習塾 家庭教師の先生方へ 公立高校入試過去問数学 4. 平面図形 3. 合同の証明ほか よく受ける質問内容をもとに この教材の効果的な使い方をお伝えいたします 特に中学 3 年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります 中学 1 2 年生の学年では 1 年間で数学の教科書 1 冊を終えればよいのですが 3 年生の場合はそういうわけにはいきません 3 年生の 1
(Microsoft Word - part2.docx)
2 章図形と角の性質 () 鋭角 (2) 直角 () 鈍角 (4) 平行 :A//D 垂直 :A D 2 () x= 60 (2) x= 80 () x= 07 (4)60 (5)20 () e (2) g () f (4) c (5) w (6) s (7) x (8) r 4 () x = 65 (2) x = 45 () x = 85 y = 60 (4) x = 02 (5) x = 45
数学 A 図形の性質発展問題 ( 1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つ
数学 A 図形の性質発展問題 (1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つことを証明せよ ( 証明 ) 点 Cから辺 ABに平行線を引いて ABの延長線と交わる点を Fとする 点
FdData中間期末数学3年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 3 年 http://www.fdtext.com/dat/ 相似比と面積比 [ 相似比と面積比 1] [ 問題 ](3 学期 ) 右の図の 2 つの円 A,B について, 次の各問いに答えよ (1) A,B の円の相似比を求めよ (2) A,B の円の面積をそれぞれ求めよ (3) 面積の比を求めよ (1) (2)A B (3) [ 解答 ](1) 7:10
Taro-1803 平行線と線分の比
平行線と線分の比 1 4 平行線と線分の比 ポイント : 平行な直線がある つの三角形の線分の比について考える 証明 右の図で で とする (1) は と相似である これを証明しなさい と において から 平行線の ( ) は等しいから 9c = ( ) 1 = ( ) 1, より ( ) がそれぞれ等しいので 相似な図形になるので相似比を利用して () : の相似比を求めなさい 対応する線分の長さを求めることができる
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 答え 2 15x 2 y 5xy 2 3 答え 2 次の各問いに答えなさい レベル 9 10 (1)
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 2 15x 2 y 5xy 2 3 2 次の各問いになさい レベル 9 10 (1) 次の等式を の中の文字について解きなさい c=5(a+b) a a= (2) 次の連立方程式を解きなさい 3x 5y
隢穓æ¯fl
面積の比 つの三角形の高さが等しいときは, 面積の比は底辺の長さの比に等しい. 三角形の面積は ( 底辺 ) ( 高さ ) で求められる. 右図の ABC と ABD の面積は各々 ABC ABD BC h BD h ここで BC:BDa:b ならば 辺 BC の長さを BC と書く. 文字式の計算として B と C を掛けているわけではない.BD も辺の長さを表す記号. 式の中で ABC と書いたときは
4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた 平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1
平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 A B AB AA AB + AC AA + AB AA AB + AC AB AB + AC + AC AB これと A B ¹, AB ¹ より, A B // AB \A B //AB A C A B A B B C 6 解法 AB b, AC とすると, QR AR AQ b QP AP AQ AB + BC b b + ( b ) b b b QR よって,P,
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(比例と反比例の応用/点の移動/速さ)
FdDt 中間期末過去問題 中学数学 1 年 ( 比例と反比例の応用 / 点の移動 / 速さ ) http://www.fdtet.com/dt/ 水そうの問題 [ 問題 ](2 学期期末 ) 水が 200 l 入る水そうに, 毎分 8 l の割合で水を入れていく 水を入れはじめてから 分後の水の量を y l とするとき, 次の各問いに答えよ (1), y の関係を式に表せ (2) の変域を求めよ
平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問いに答えなさい 合計 (1) 関数 y = x 2 において,x の変域が -2 x 3 のとき, y
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 図形の性質 線分 に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さ を求めよ ただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=:
平成２４年度高知県算数・数学
平成 4 年度高知県算数 数学思考オリンピック ( 中学校 ) 解答例 問題 1 (1) 1 L 字型の縦の和と横の和を求めると, 左の図のように, アからケまでのうちオだけが 回足したことになる オ =5 なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+5 =50 縦の和は,50 =5 とわかる アからオのうちア, イ, オが 1,9,5 のときだから, ウ + エ =5-(1+9+5)
1 次の (1) から (4) までの各問いに答えなさい (1) ' を計算しなさい (2)2#(-5 2 ) を計算しなさい 中数 A 1
平成 26 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
二次関数 1 二次関数とは ともなって変化する 2 つの数 ( 変数 ) x, y があります x y つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また,2 つの変数を式に表すと, 2 y x となりま
二次関数 二次関数とは ともなって変化する つの数 ( 変数 ) x, y があります y 0 9 6 5 つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また, つの変数を式に表すと, x となります < 二次関数の例 > x y 0 7 8 75 x ( 表の上の数 ) を 乗して 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります x y 0 - -8-8 -
EBC= ABC これと ( ) より BFC= A.. ある人が0 段の階段を以下の条件を満たして登る登り方は何通りあるか 条件 : 一歩につき 段までとばして登ることができる 解説問題と同じ条件で k 段を登る場合の数を f(k) と表すことにする 一般に n 段の階段を登ることを考える 最初に
JFMO 解答 解説. 台形 ABCD において AD//BC, BC=AD が成り立っている 辺 AB の中点を点 E とし 線分 CE 上に点 F を ADE= FDE となるようにとると ADE= FBC が成り立つ 台形 ABCD の面積は であり AB=α,CE=β とするとき 三角形 FBC の面積をα,βを用いて表せ 解説直線 BF と AD の交点を G とする AD//BC より
中２テスト０６
中学校第 学年単元別確認テスト 6 単元名 : 一次関数と方程式 ( 啓林館 ) 次関数と方程式 ( 東京書籍 ) 年 ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) ~6 7~9 得点 ( /) ( /) ( /) ( /9) 知識 理解技能見方や考え方 χ+=6 のグラフは ( 0,( ア ) ),( ( イ ),0) の 点を通る直線である ( ア ),( イ ) にあてはまる数を書きなさい ( ア )
テレビ講座追加資料1105
数学類題にチャレンジ 問題編 類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形 を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目とします さらに, 頂点 が線分 上に重なるように を折り目として折り曲げ, 頂点 と線分 が重なった点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい 類題 縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形
2015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名
015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名 正負の数 (1) 6-1 4 3 を計算しなさい () 6-4 ( -3) を計算しなさい (3) 4+5 ( -6) を計算しなさい 正負の数指数を含む計算 (4) 3-3 - 3 1 を計算しなさい 1 1 3 (5) ( 3- ) + - 4 を計算しなさい (6) 9 5 3 1 - - 3 6 を計算しなさい 3 (7) { (
a (a + ), a + a > (a + ), a + 4 a < a 4 a,,, y y = + a y = + a, y = a y = ( + a) ( x) + ( a) x, x y,y a y y y ( + a : a ) ( a : a > ) y = (a + ) y = a
[] a x f(x) = ( + a)( x) + ( a)x f(x) = ( a + ) x + a + () x f(x) a a + a > a + () x f(x) a (a + ) a x 4 f (x) = ( + a) ( x) + ( a) x = ( a + a) x + a + = ( a + ) x + a +, () a + a f(x) f(x) = f() = a
<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364>
4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において,
数論入門
数学のかたち 共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1 テーマ メネラウスの定理 チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える 共線 点が同一直線上に存在 共点 直線が 1 点で交わる 2 内容 I. メネラウスの定理 1. メネラウスの定理とその証明 2. メネラウスの定理の応用 II. 3. チェバの定理とその証明 メネラウスの定理 チェバの定理の逆 1. メネラウスの定理の逆
" 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な
1 " 数学発想ゼミナール # ( 改題 ) 直径を とする半円周上に一定の長さの弦がある. この弦の中点と, 弦の両端の各点から直径 への垂線の足は三角形をつくる. この三角形は二等辺三角形であり, かつその三角形は弦の位置にかかわらず相似であることを示せ. ( 証明 ) 弦の両端を X,Y とし,M を線分 XY の中点,, をそれぞれ X,Y から直径 への垂線の足とする. また,M の直径
紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 2 個 固定固定固定 固定 2 個 2 個 固定 固定 3 個 3 個 固定 3 個 4 個 4 個
紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 個 固定固定固定 固定 個 個 固定 固定 個 個 固定 個 4 個 4 個 * 隣り合う辺を結んで折るとき 最大 個 * 向かい合う辺を結んで折るとき 最大 4 個 < 問題 > 固定される場合 その位置はどこか? そのときの相似比はいくらか? 返上を移動する場合 その範囲はどうか? 合同になるときはあるか? それはどんなときか?
FdText理科1年
中学理科 2 年 : オームの法則 [ http://www.fdtext.com/dat/ ] オームの法則 [ 要点 ] 電流: 電圧に比例 ( 電圧を 2 倍にすると電流は 2 倍になる ) ていこう : 抵抗の大きさに反比例 ( 抵抗を 2 倍にすると電流は半分になる ) 公式: 電流 (A)= 電圧 (V) 抵抗 (Ω) 抵抗 (Ω)= 電圧 (V) 電流 (A) 電圧 (V)= 抵抗 (Ω)
平成25年度全国学力・学習状況調査：調査問題の内容/中学校/数学Ａ｜国立教育政策研究所 National Institute for Educational Policy Research
平成 25 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります すべ 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
熊本県数学問題正解
00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (
( )
18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................
年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0y) 4 ()(-9χ-y) χ+5y -χ -4y ()(-6a-9ab) (4)(5χ +5χ-0) (-5) -a- a-ab ab -χ -χ+6 次の計算をしなさい ()(χ+4y)+(χ-4y) ()(4a-b)+6
年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + y - χ - y ab-a - χ - y 6 次の計算をしなさい - ()(χ+y)+( 4χ +y) ()(χ y)+(χ +5y) - - χ + y 5χ + y ()(4χ-y)-(5χ-y) (4)(-χ-8+y)+(χ+5y)
PSCHG000.PS
b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bcd
FdData中間期末数学1年
中学中間 期末試験問題集 ( 過去問 ): 数学 年 四則をふくむ式の計算 http://www.fdtext.com/dat/ [ 加減と乗除が混じった計算 ] [ 問題 ]( 前期中間 ) 9+8 (-) [ 解答 ]-7 加減と乗除が混じった式では, 乗除を先に計算する ( +-の順で計算) 9+8 (-) では,8 (-) の部分を先に計算 9+8 (-)9--7 [ 問題 ]( 学期期末
untitled
( )!? 1 1. 0 1 ..1 6. 3 10 ffi 3 3 360 3.3 F E V F E + V = x x E E =5x 1 = 5 x 4 360 3 V V =5x 1 3 = 5 3 x F = x; E = 5 x; V = 5 3 x x 5 x + 5 3 x = x =1 1 30 0 1 x x E E =4x 1 =x 3 V V =4x 1 3 = 4 3 x
平成 25 年度京都数学オリンピック道場 ( 第 1 回 ) H 正三角形 ABC の外接円の,A を含まない弧 BC 上に点 P をとる. このとき, AP = BP + CP となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4APC = 4ABC = 60, であるから, 図のよ
1 正三角形 の外接円の, を含まない弧 上に点 をとる. このとき, = + となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4 = 4 = 60, であるから, 図のように直線 上に点 を, 三角形 が正三角形となるようにとることができる. 三角形 と三角形 において, =, = であり, 4 = 4 = 60, - 4 であるから, 辺とその間の角がそれぞれ等しく, 三角形 と三角形 は合同である.
平成 31 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) 3 (-2 2 ) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 1 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の ~(7) の問いに答えなさい (- ) を計算しなさい 表合計 次の ~(6) の問いに答えなさい 合計 関数 y = x のグラフについて正しいものを, 次のア ~ エからすべて選んで記号を書きなさい アイウエ グラフは原点を通る
2 (1) a = ( 2, 2), b = (1, 2), c = (4, 4) c = l a + k b l, k (2) a = (3, 5) (1) (4, 4) = l( 2, 2) + k(1, 2), (4, 4) = ( 2l + k, 2l 2k) 2l + k = 4, 2l
ABCDEF a = AB, b = a b (1) AC (3) CD (2) AD (4) CE AF B C a A D b F E (1) AC = AB + BC = AB + AO = AB + ( AB + AF) = a + ( a + b) = 2 a + b (2) AD = 2 AO = 2( AB + AF) = 2( a + b) (3) CD = AF = b (4) CE
2016年度 九州大・理系数学
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S,
HITACHI 液晶プロジェクター CP-AX3505J/CP-AW3005J 取扱説明書 -詳細版- 【技術情報編】
B A C E D 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 4 6 8 10 12 14 16 18 H G I F J M N L K Y CB/PB CR/PR COMPONENT VIDEO OUT RS-232C LAN RS-232C LAN LAN BE EF 03 06 00 2A D3 01 00 00 60 00 00 BE EF 03 06 00 BA D2 01
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 平面のベクトル 例題 1 つなぐ, 伸ばす / 正多角形正 n 角形問題を解くとき注目すべき主な点 角 図形点について頂点, 辺の中点, 外接円の中心角について円周角, 中心角図形について頂点を結んで
平面のベクトル 例題 つなぐ, 伸ばす / 正多角形正 n 角形問題を解くとき注目すべき主な点 角 図形点について頂点, 辺の中点, 外接円の中心角について円周角, 中心角図形について頂点を結んでできる平行四辺形 ( ひし形 ) または三角形頂点, 外接円の中心, 辺の中点を頂点とする直角三角形別解頂点を結んでできる平行四辺形 ( ひし形 ) と三角形に注目して解く A B E F C D 図より,
取扱説明書 -詳細版- 液晶プロジェクター CP-AW3019WNJ
B A C D E F K I M L J H G N O Q P Y CB/PB CR/PR COMPONENT VIDEO OUT RS-232C LAN RS-232C LAN LAN BE EF 03 06 00 2A D3 01 00 00 60 00 00 BE EF 03 06 00 BA D2 01 00 00 60 01 00 BE EF 03 06 00 19 D3 02 00
ピタゴラスの定理の証明４
[ 証明 ] この証明を論理的に厳密に行うには 何回か三角形 四角形の合同を証明しなくてはなりません 以下では 直感的な分かりやすさを重視して この証明を行いません 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 Fを三角形 の外側につくる 直線 と直線 との交点を J とし 直線 と直線 F
全都道府県 公立高校入試 数学 単元別
学習塾 家庭教師の先生方へ よく受ける質問内容をもとに この教材の効果的な使い方をお伝えいたします 特に中学 3 年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります 中学 1 2 年生の学年では 1 年間で数学の教科書 1 冊を終えればよいのですが 3 年生の場合はそういうわけにはいきません 3 年生の 1 年間で 3 年生の教科書 1 冊と受験対策 (1 年 ~3 年
( 表紙 )
( 表紙 ) 1 次の各問いに答えなさい. 解答用紙には答えのみ記入すること. ( 48 点 ) (1) U108 -U8 %5U6 + 7 U を計算しなさい. () 15a 7 b 8 &0-5a b 1& - 8 9 ab を計算しなさい. () + y - -5y 6 を計算しなさい. (4) 1 4 5 の 5 枚のカードから 枚を選び, 横に並べて 桁の数を作 るとき, それが の倍数になる確率を求めなさい.
PowerPoint プレゼンテーション
平成 28 年度全国学力 学習状況調査 中学校数学 2 特徴的な問題 A 問題より A B C 垂線の作図方法について理解しているかどうか 3 関連問題 問題番号 問題の概要 全国正答率 三重県 公立 正答率 H24A 4 (1) 角の二等分線の作図の方法で作図された直線がもつ性質として, 正しい記述を選ぶ 58.2% 56.9% H26A 4 (2) 線分の垂直二等分線の作図の方法で作図される直線について,
< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A>
数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点 は辺 を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点 は辺 を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点 は辺 を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線 は の二等分線であるから :=: 直線 は の二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=:
問 題
数学 出題のねらい 数と式, 図形, 関数, 資料の活用 の 4 領域について, 基礎的な概念や原理 法則の理解と, それらに基づき, 数学的に考察したり, 表現したり, 処理したりする力をみることをねらいとした () 数と式 では, 数の概念についての理解の程度, 文字を用いた式を処理したり, 文字を用いて式に表現したりする力, 目的に応じて式を変形する力をみるものとした () 図形 では, 平面図形や空間図形についての理解の程度,
年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0) 4 =x ()(-9χ-) =-9x - χ+5 -χ -4 ()(-6a-9ab) = - 6 a - 9 a b (4)(5χ +5χ-0) (-5) =5x (- 5 )+5x (- 5 )+(-0) (
年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ =( 9-)a+(-6+5)b =(-)χ +(-6-)χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + - χ - =(5-)ab+(-6+5)a =( - )x+( - ) 次の計算をしなさい ab-a - χ - 6 - ()(χ+)+( 4χ +) ()(χ
数学 19 1 平面図形立体 6 1 解答解説 ライブ授業 ( 第 1 部 ) 授業内小テスト 1 (1) ( ) 1 ( 12) ( ) 1 ( 12) を計算せよ ( ) 12 = = 2 (3-2 2
ライブ授業 ( 第 部 ) 授業内小テスト () ( ) ( ) 6-8 ( ) ( ) 6 を計算せよ ( ) 6 (- )- -8 () 二次方程式 (-)(+)(-) + を解け ± (-)(+) (-) + -- -++ -6-8 0 ± () n -6n+が素数になるような自然数 nをすべて求めよ n,9 素数になる n-8 と n-8 がともに負の数の場合 n
FdData社会歴史
( ) Home [http://www.fdtext.com/dat/ ] [ ](1 ) (1) (2) (1) (1) (2) [ ](1) (2) [ ] [ ](3 ) () () [ ] [ ] (1874 ) (1876 ) 1877 ( 10 ) ( (1877) ) [ ](2 ) 1877 (1) [ ] (2) (1) (2) [ ](1) (2) [ ](2 ) 1877 (
20～22.prt
[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 )
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください
立体切断⑹-２回切り
2 回切り問題のポイント 1. 交線を作図する 2つの平面が交わると 必ず直線ができます この直線のことを 交線 ( こうせん ) といいます 2. 体積を求める方法は次の 3 通りのどれか! 1 柱の体積 = 底面積 高さ 1 2 すいの体積 = 底面積 高さ 3 3 柱の斜め切り= 底面積 高さの平均 ただし 高さの平均が使えるのは 底面が円 三角形 正方形 長方形 ひし形 平行四辺形 正偶数角形のときだけ
しんきんの現況Ｈ３０.PS
テ ィスクローシ ャー 2018 氷見伏木しんきんの現況 > くらしのとなりに いつもしんきん氷見伏木信用金庫 http://www.shinkin.co.jp/himifusi/ ab cdef a a a å æ б d d de aef д aef aef ф aef ф aef aef a dfb d ff ab cdeb f å a a a c
ORIGINAL TEXT I II A B 1 4 13 21 27 44 54 64 84 98 113 126 138 146 165 175 181 188 198 213 225 234 244 261 268 273 2 281 I II A B 292 3 I II A B c 1 1 (1) x 2 + 4xy + 4y 2 x 2y 2 (2) 8x 2 + 16xy + 6y 2
HITACHI 液晶プロジェクター CP-EX301NJ/CP-EW301NJ 取扱説明書 -詳細版- 【技術情報編】 日本語
A B C D E F G H I 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 4 6 8 10 12 14 16 18 K L J Y CB/PB CR/PR COMPONENT VIDEO OUT RS-232C RS-232C RS-232C Cable (cross) LAN cable (CAT-5 or greater) LAN LAN LAN LAN RS-232C BE
0.6 A = ( 0 ),. () A. () x n+ = x n+ + x n (n ) {x n }, x, x., (x, x ) = (0, ) e, (x, x ) = (, 0) e, {x n }, T, e, e T A. (3) A n {x n }, (x, x ) = (,
[ ], IC 0. A, B, C (, 0, 0), (0,, 0), (,, ) () CA CB ACBD D () ACB θ cos θ (3) ABC (4) ABC ( 9) ( s090304) 0. 3, O(0, 0, 0), A(,, 3), B( 3,, ),. () AOB () AOB ( 8) ( s8066) 0.3 O xyz, P x Q, OP = P Q =
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(負の数/数直線/絶対値/数の大小)
FdData 中間期末 : 中学数学 年 : 正負の数 [ 正の数 負の数 / 数直線 / 正の数 負の数で量を表す / 絶対値 / 数の大小 / 数直線を使って ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 正の数 負の数 [ 負の数 ] 次の文章中の ( ) に適語を入れよ () +5 や+8 のような 0 より大きい数を ( ) という () - や-7 のような 0 より小さい数を ( ) という
木村の理論化学小ネタ 体心立方構造 面心立方構造 六方最密構造 剛球の並べ方と最密構造剛球を平面上に の向きに整列させるのに次の 2 つの方法がある 図より,B の方が A より密であることがわかる A B 1
体心立方構造 面心立方構造 六方最密構造 剛球の並べ方と最密構造剛球を平面上に の向きに整列させるのに次の 2 つの方法がある 図より,B の方が A より密であることがわかる A B 1 体心立方構造 A を土台に剛球を積み重ねる 1 段目 2 2 段目 3 3 段目 他と色で区別した部分は上から見た最小繰り返し単位構造 ( 体心立方構造 ) 4 つまり,1 段目,2 段目,3 段目と順に重ねることにより,
相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を
台形に潜むいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 台形に調和平均 相加平均をみる 右図の台形 において = = とする の長さを, を用いて表してみよう = x = y = c とすると であることから : = : より c y = x + y であることから : = : より c x = x + y を辺々加えると x + y c + = より + = x + y c となる ここで = = c =
グラフと組み合わせ 課題 7 ( 解答例 ) 2013/5/27 1 列挙 n 個の文字の集合 { } S = a, a,, an の全てからなる文字列 つまり同じ文字を含まない 長さ n の文字列を列挙する 方法を考える 1. 何通りの文字列があるかを答えなさい また そのことが正しい
グラフと組み合わせ 課題 7 ( 解答例 ) 2013/5/27 1 列挙 n 個の文字の集合 { S = a, a,, an 0 1 1 の全てからなる文字列 つまり同じ文字を含まない 長さ n の文字列を列挙する 方法を考える 1. 何通りの文字列があるかを答えなさい また そのことが正しいことを数学的帰納法で示しなさい 2. 文字列を列挙する再帰的アルゴリズムを構築しなさい 3. n = 4
Microsoft Word - スーパーナビ 第６回 数学.docx
1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 図形と計量 三角形の面積 三角形の面積 の面積を S とすると, S in in in 解説 から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in より, S H in H STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in(
Taro-3.jtd
演習問題集応用編 6 年上 第 3 回のくわしい解説 問題 ページ 応用問題 A 1(1) 2 (2) 4 (3) 5 2(1) 7 (2) 9 3(1) 10 (2) 12 4(1) 14 (2) 15 (3) 16 5(1) 17 (2) 19 (3) 20 応用問題 B 1(1) 22 (2) 24 2(1) 26 (2) 30 3 34 4(1) 36 (2) 38 すぐる学習会 - 1 -
() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, =
図形の性質演習題 解法例 //F,F// より, 四角形 F は平行四辺形である よって,=F は の中点だから,= ~ より, 四角形 F は平行四辺形である したがって, 平行四辺形 F の対角線の交点を P とすると, 平行四辺形の性質より,P=P P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 また, 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7
3 次のにあてはまる数を書きましょう レベル 5 6 (H23 埼玉県小 中学校学習状況調査 3(3)) 下の数直線で アのめもりが表す分数は, ア です イまた イのめもりが表す分数は, です ア イ 4 次の問題を読み 問いになさい レベル 5 6 だいきさんは, の計算をするのに
埼玉県学力 学習状況調査 ( 小学校 ) 復習シート第 5 学年算数 組 番 号 名 前 ( 数と計算 を問う問題) 1 次の計算をしなさい (H27 埼玉県学力 学習状況調査 1 H24 埼玉県小 中学校学習状況調査 1) (1) 3.5+4.9 レベル2~4 (2) 8-2.7 レベル2~4 (3) + (4) 57.6 16 レベル 2~4 レベル 5 6 (5) 8.3 25 レベル 5 6
IMO 1 n, 21n n (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a
1 40 (1959 1999 ) (IMO) 41 (2000 ) WEB 1 1959 1 IMO 1 n, 21n + 4 13n + 3 2 (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a = 4, b =
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 3 年 : 仕事 [ 仕事の原理 : 斜面 ] [ 仕事の原理 引く力 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 図のような斜面を使って質量 35kg の物体を 3m の高さまで引き上げた ただし, ひもの重さ, 斜面や滑車の摩擦はないものとする また,100g の物体を引き上げるのに必要な力を 1N とする (1) このとき, 物体がされた仕事はいくらか (2) 図のとき,
‚å™J‚å−w“LŁñfi~P01†`08
156 2003 2 3 4 5 6 7 8 9 c f c a g 10 d c d 11 e a d 12 a g e 13 d fg f 14 g e 15 16 17 18 19 20 21 db de de fg fg g gf b eb g a a e e cf b db 22 d b e ag dc dc ed gf cb f f e b d ef 23 f fb ed e g gf
1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C
0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,
1 下の表は, 国際宇宙ステーション (ISS ) と気象衛星ひまわり 7 号 についての情報です 写真 写真 国際宇宙ステーション (ISS) 気象衛星ひまわり 7 号 ISS ひまわり 7 号 全長約 108.5m 約 72.8m ( サッカーのフィールド と同じくらい ) 約 30 m 地表か
中学校第 3 学年 数学 B 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 12 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 B ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください
2014年度 センター試験・数学ⅡB
第 問 解答解説のページへ [] O を原点とする座標平面において, 点 P(, q) を中心とする円 C が, 方程式 y 4 x で表される直線 l に接しているとする () 円 C の半径 r を求めよう 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は, y - ア ( x- ) + qなので, P イ から l に引いた垂線と l の交点 Q の座標は ( ( ウ + エ q ), 4 (
三角形に内接する正方形 目次 第 1 節 三角形に内接する最大の正方形, 最小の正方形 2 第 2 節 相似の位置 4 第 3 節 基本原理と準備 5 第 4 節 鋭角三角形に内接する最大の正方形 9 第 5 節 鋭角三角形に内接する最小の正方形 11 第 6 節 鈍角三角形に内接する最大の正方形
三角形に内接する正方形 目次 第 1 節 三角形に内接する最大の正方形, 最小の正方形 第 節 相似の位置 第 3 節 基本原理と準備 5 第 節 鋭角三角形に内接する最大の正方形 9 第 5 節 鋭角三角形に内接する最小の正方形 11 第 6 節 鈍角三角形に内接する最大の正方形 1 第 7 節 鈍角三角形に内接する最小の正方形 17-1 - 三角形に内接する正方形 第 1 節三角形に内接する最大の正方形,
Microsoft Word - 中2数学解答【一問一答i〜n】.doc.pdf
塾 TV(05 年 4 月版) 一問一答 i-0 式の計算 次の計算をしなさい () xy x y 4 (4) a a 4 ( () ab a b a aaaa aaa a a (7) a a aa a 6a ) ( () x y 4 x y ab 4 x5 y 5 (5) 6 xy 6 xy (6) a b a b 4 6xy 6xy (8) 4 x y xy 4 xxyyy xy (4) ( x
untitled
Adobe-Japan1-6 Unicode : Unicode Adobe-Japan1-6 Adobe Systems : PDF CID OpenType/CFF Adobe-Japan1-6 vs. Unicode Character codes in Japan Koichi Yasuoka Author Abstract: In Japan we use so many kanji variants
平成 27 年度 中学校第 3 学年 数学 B 注意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 12 ページまであります 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 B ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗り潰してください
FdData数学3年
中学中間 期末試験問題集 ( 過去問 ): 数学 3 年 平行線と線分 三角形と線分の比 http://www.fdtext.com/dat/ [ 三角形と線分の比 1] [ 問題 ](3 学期 ) 次は三角形と比の定理である [ ] にあてはまるものを 答えよ AD:AB=AE:[ ]=[ ]:[ ] AD:AB=AE:[ ]=[ ]:[ ] [ 解答 ]AD:AB=AE:[AC]=[DE]:[BC]
さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) 平成 23 年度高等学校入学者選抜学力検査問題 第 2 部 [ 豆 注意 1 問題は, から回まであり,6 ヘ ーシ まで印刷してあります 2 答えは, すべて別紙の解答用紙に記入し, 解答用紙だけ提出しなさい 3 回の閥 L 間 2, 回の間 3, 回の
平成 年度高等学校入学者選抜学力検査問題 第 部 [ 豆 注意 1 問題は, から回まであり,6 ヘ ーシ まで印刷してあります 答えは, すべて別紙の解答用紙に記入し, 解答用紙だけ提出しなさい 回の閥 L 間, 回の間, 回の間 は, 途中の計算も解 答用紙に轡きなさい それ以外の計算は, 問題用紙のあいているところを利用しなさい ゲ 次の問いに答えなさい (1)~() の計算をしなさい (1)1-(-6)
補足情報
1 危 険 警 告 注 意 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 9 6 7 8 9 10 10 1 2 11 1 12 1 2 13 3 4 14 1 2 15 3 4 5 16 1 2 3 17 1 2 3 4 18 19 20 21 22 23 1 2 3 4 5 24 6 7 8 9 10 25 26 27 28 6 1 2 7 8 9 3 4 5 29 1 2 警 告 3 4 5
Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき,
図形と計量 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする 地点の目の位置 ' から 木の先端への仰角が 0, から 7m 離れた Q=90 と なる 地点の目の位置 ' から木の先端への仰角が であ るとき, 木の高さを求めよ ただし, 目の高さを.m とし, Q' を右の図のように定める ' 0 Q' '.m Q 7m 要点 PQ PQ PQ' =x とおき,' Q',' Q' を
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0020 1 0021 2 0022 3 0023 4 0024 5 0025 6 0026 7 0027 8 0028 9 0029 10 002A 11 002B 12 002C 13 002D 14 002E 15 002F 16 0030 17 0031 18 0032 19 0033 20 0034 21 0035 22 0036 23 0037 24 0038 25 0039 26 003A
課題 次の つの図形が相似であるとき角の大きさや対応する 辺の長さはどのような関係があるかを調べなさい A D B C E F 角の大きさについて 辺の長さについて 対応する角の大きさが等しい 対応する線分の長さの比が全て等しい 相似な図形の性質 まとめ 相似な図形では 相似な図形では 対応する線分
目標相似とは何かが説明でき性質を利用して問題が解ける あるキャラクターを町で見つけ写真を撮りましたすると とても小さくて見づらく写ってしまいました 課題 見やすくする方法を考えよう 僕が誰だか分かるかな? どんな方法があるだろう ( メモ欄 ) 虫 メガネで見る コピー木幾で拡大する など 倍に拡大 _ 誥に縮小 相似 について まとめ 拡大形を変えずに, 一定の割合で大きくすること 縮小 " 小さくすること
FdText理科1年
中学理科 3 年 : 四季の星座 [ http://www.fdtext.com/dat/ ] [ 要点 ] 夏にさそり座( 夏の星座 ) の見える方位日没時 : 東の空に見える真夜中 : 南の空明け方 : 西の空 夏の真夜中: しし座は西の空, おうし座は見えない 黄道( 天球上の太陽の通り道 ): 例えば, 夏はおうし座の方向 秋はしし座の方向 星は 1 日に約 1 東 西へ動く = 同じ位置に来る時刻が
iii 1 1 1 1................................ 1 2.......................... 3 3.............................. 5 4................................ 7 5................................ 9 6............................
05‚å™J“LŁñfi~P01-06_12/27
2005 164 FFFFFFFFF FFFFFFFFF 2 3 4 5 6 7 8 g a 9 f a 10 g e g 11 f g g 12 a g g 1 13 d d f f d 14 a 15 16 17 18 r r 19 20 21 ce eb c b c bd c bd c e c gf cb ed ed fe ed g b cd c b 22 bc ff bf f c f cg
1 1 3 ABCD ABD AC BD E E BD 1 : 2 (1) AB = AD =, AB AD = (2) AE = AB + (3) A F AD AE 2 = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD 1 1
ABCD ABD AC BD E E BD : () AB = AD =, AB AD = () AE = AB + () A F AD AE = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD AB + AD AB + 7 9 AD AB + AD AB + 9 7 4 9 AD () AB sin π = AB = ABD AD
DEF ABC の外接円に内接する種々の DEF について, の値 ABC 点 P を ABC 内の点とし,AP,BP,CP をそ れぞれ延長し, ABC の外接円との交点をそ れぞれ D,E,F とする また,AD と BC,BE と CA,CF と AB との交点をそれぞれ L,M, DEF N
の外接円に内接する種々の について の値 点 P を 内の点とし PBPP をそ れぞれ延長し の外接円との交点をそ れぞれ DEF とする また D と BBE と F と B との交点をそれぞれ LM N とする 次の種々の点 P に対して の値を 辺 と を用いて表せ ただし (7) については = の使用も 可とする また (0) については さらに ot の使用も可とする ( 二等辺三角形を
< 中 3 分野例題付き公式集 > (1)2 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は偶数 ( 例題 )1~5 までの 5 つの数字を使って 3 ケタの数をつくるとき 2 の倍数は何通りできるか (2)5 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は 5 ( 例題 )1~9 までの 9 個の数字を使って 3
() の倍数の判定法は の位が 0 又は偶数 ~ までの つの数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は の位が 0 又は ~9 までの 9 個の数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は 下 ケタが 00 又は の倍数 ケタの数 8 が の倍数となるときの 最小の ケタの数は ( 解 ) 一の位の数は の 通り 十の位は一の位の数以外の
2016年度 広島大・文系数学
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を正の定数とし, 座標平面上において, 円 C : x + y, 放物線 C : y ax + C 上の点 P (, ) を考える - におけるC の接線 l は点 Q( s, t) でC に接してい る 次の問いに答えよ () s, t および a を求めよ () C, l および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ () 円 C