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ふじよししもとり
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1 演習問題集応用編 6 年上第 3 回のくわしい解説問題ページ応用問題 A 1(1) 2 (2) 4 (3) 5 2(1) 7 (2) 9 3(1) 10 (2) 12 4(1) 14 (2) 15 (3) 16 5(1) 17 (2) 19 (3) 20 応用問題 B 1(1) 22 (2) 24 2(1) 26 (2) (1) 36 (2) 38 すぐる学習会 - 1 -

2 第 3 回 A 1(1) AE:EF:FB の長さの比を求めるような問題では, 特別のテクニックがあるそれは, まず,AE:EB を求め, 次に,AF:FB を求め, その 2 つの比を使って,AE:EF:FB を求める, というテクニックであるまず,AE:EB を求める右図のクロス形において, AG:CB=1:3 だから, AE:EBも,1:3 になる - 2 -

3 次に,AF:FB を求める右図のクロス形において, AC:DB=2:1 だから, AF:FB も,2:1 になるよって, 右図のように表すことができるここで,AE=1,EB=3 とすると, AB=1+3=4 になり, AF=2,FB=1 とすると, AB=2+1=3 になる ABが,4であり,3でもあるのは, おかしいそこで,ABを,4と3の最小公倍数である, 12にするすると,AB=4のほうは,3 倍することになるので,AE=3,EB=9 になる AB=3のほうは,4 倍することになるので, AF=8,FB=4 になるすると,EFの長さは,8-3=5 になる (9-4=5 としてもよい ) よって,AE:EF:FB=3:5:4 であることがわかった答え 3:5:4-3 -

4 第 3 回 A 1(2) (1) によって,AE:EF:FB=3:5:4 であることがわかったすると,AF:FB=(3+5):4=2:1 であるから, 右図のようになる三角形 ACFと三角形 CFBの面積の比も, 2:1 である三角形 ACBの面積は, 底辺が 2 3=6(cm), 高さが 2 2=4(cm) であるから, 6 4 2=12(cm 2 ) よって, 三角形 CFBの面積は, 12 (2+1) 1=4(cm 2 ) 答え 4 cm 2-4 -

5 第 3 回 A 1(3) 求めたいのは, 五角形 EFDHG( 右図の斜線部分 ) である (1) で,AE:EF:FB=3:5:4 であることがわかっているから, 三角形 ACE, 三角形 ECF, 三角形 FCB の面積の比も,3:5:4 である三角形 ACBの面積は,(2) で求めたように, 12 cm 2 であるよって, 三角形 ECFの面積は, 12 (3+5+4) 5=5(cm 2 ) 三角形 ACG の面積は, 2 4 2=4(cm 2 ) - 5 -

6 三角形 DCB の面積は, 6 2 2=6(cm 2 ) 長方形 ABCD の面積は,6 4=24(cm 2 ) であるから, 斜線部分の面積は, 24-(4+5+6)=9(cm 2 ) である答え 9 cm 2-6 -

7 第 3 回 A 2(1) 問題に書いてあることを図に書き込むと, 右図のようになる三角形 ADEの底辺をDEにして, 高さを cm とすると, 面積は6 cm 2 であるから, 2 2=6 =6 であるから, 三角形 ADEの高さは,6 cm になるところで, このような折り曲げる問題の基本的な解き方は, 折り曲げてない状態にもどすことである右図が, 折り曲げる前の状態である - 7 -

8 すると, 次のようなピラミッド形があることに気がつく高さの比は (6 2):6=2:1 だから, 底辺の比も 2:1 DE=2 cm であるから,BC=2 2=4(cm) 折った状態にすると, 右図のようになる BC と AC の長さは等しいので,BC が 4 cm ならば,AC も 4 cm である答え 4 cm - 8 -

9 第 3 回 A 2(2) 求めたいのは, 三角形 FCA の面積である三角形 FCA の底辺は 4 cm なので, 高ささえ求められたら, 面積も求められる高さを求めるためには, 右図のクロス形に注目する DE:CA=2:4=1:2 であるから, 高さも1:2 であるよって, 三角形 FCA の高さは, 6 (1+2) 2=4(cm) である三角形 FCA の面積は, 4 4 2=8(cm 2 ) となる答え 8 cm 2-9 -

10 第 3 回 A 3(1) AF:FD=1:3 だから, 右図のように,AF=1,FD=3 にする AD=1+3=4 であるから, BCも4になる右図のクロス形において, AF:FD=1:3 だから, 三角形 AEFと三角形 DCFの面積の比は, (1 1):(3 3)=1:9 となるそこで, 三角形 AEFの面積を1, 三角形 DCFの面積を9とする次に, 右図の斜線部分のクロス形に注目する FD:BC=3:4 であるから,

11 FG:GCも,3:4であるよって, 右図のとの部分の面積の比も 3:4 になるが,9を3:4に分ける( ということは,3+4=7 で割ることになる ) のは, 分数になるので計算しにくいそこで,1 と 9 をそれぞれ 7 倍しておいて, 右図のようにしておけば,3:4 に分けやすくなる 63 (3+4)=9 9 3=27, 9 4=36 であるから, 右図のようになるよって, 三角形 AEF と三角形 DFG の面積の比は,7:27 になる答え 7:

12 第 3 回 A 3(2) 平行四辺形 ABCD の面積が 56 cm 2 なので, 三角形 ABD, 三角形 BCD の面積は, どちらも 56 2=28(cm 2 ) である右図のクロス形に注目する FD:BC=3:4 であるから, DG:GB も,3:4 であるよって, 三角形 DGCと, 三角形 GBCの面積の比も3:4 であるから, 28 (3+4)=4 4 3=12(cm 2 ) 三角形 DGCの面積 4 4=16(cm 2 ) 三角形 GBCの面積

13 また,FG:GCも,3:4 であるから, 三角形 FGDと, 三角形 DGCの面積の比も, 3:4 である三角形 DGCの面積は12 cm 2 だから, 三角形 FGD の面積は, =9(cm 2 ) になる三角形 ABD の面積は 28 cm 2 だったから, 四角形 ABGF の面積は, 28-9=19(cm 2 ) 答え 19 cm

14 第 3 回 A 4(1) 3と5の最小公倍数は15なので,3と5の公倍数は,15,30,45, のような,15の倍数になるよってこの問題は,1から100までの中に,15の倍数が何個あるか, という問題になる =6 あまり 10 だから,15の倍数は6 個ある答え 6 個

15 第 3 回 A 4(2) 3の倍数をぬき出すと,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30, となる 5の倍数をぬき出すと,5,10,15,20,25,30, となる 3の倍数と5の倍数をぬき出すという問題の意味は,3の倍数もぬき出し,5の倍数もぬき出す, ということだから, 次のようになる 3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,27,30, 3 と 5 の最小公倍数は 15 なので,15,30, のところで折り返して段にすると, 次のようになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30, 100 までの数をすべて書くのは面倒なので,15 の倍数だけ書いていき,100 が近づくと 1 つずつ書いていくと, 次のようになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 90までは, どの段も7 個ずつある全部で6 段と, あと 93,95,96,99,100 の5 個あるから, 7 6+5=47( 個 ) よって,100はこの数列の,47 番目の数になる答え 47 番目

16 第 3 回 A 4(3) (2) で書いた次の表があれば,(3) も簡単に解ける 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99, 個目の数を求める問題だが,90までは, どの段も7 個ずつある 27 7=3 あまり 6 この式の意味は, 7 個ずつの段が3 段あって, あと6 個あまっているという意味である 7 個ずつの段が3 段で, 次の網掛け部分までになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 あと 6 個あまっているのだが,1 段には 7 個あるから,4 番目は一番右の数の直前までになる 3, 5, 6, 9,10,12,15, 18,20,21,24,25,27,30,,45,,60,,75,,90, 93,95,96,99,100 たとえば 15 の直前の数は 12 であり,30 の直前の数は 27 である同じように考えると,60 の直前の数は,60 よりも 3 小さい,57 である答え

17 第 3 回 A 5(1) このような問題では, どのように数を並べてあるのかを, 考える必要があるまず,1 を並べ, 次に,2,3,4 を並べた 4 という数は,2 2 という平方数になっている次に,9 までを並べた 9 という数は,3 3 という平方数になっている次に,16までを並べた 16という数は,4 4 という平方数になっているこのように考えると, この問題は, 平方数が大切な働きをしていることがわかる

18 次の平方数である,5 5=25 は, 第 1 行の第 5 列に並んでいるここで, 第 1 行に注目すると, 第 1 列, 第 3 列, 第 5 列という奇数列の場合は,1 1,3 3, 5 5 という, 平方数になっていることがわかるすると, 第 1 行の第 7 列も, 7 7=49 という, 平方数になっていることがわかる答え

19 第 3 回 A 5(2) 今度は, 第 1 列に注目してみよう第 2 行, 第 4 行, 第 6 行, という偶数行は, 2 2=4,4 4=16,6 6=36, というように, 平方数になっているよって, 第 20 行も,20 20=400, という平方数になっていることがわかる答え

20 第 3 回 A 5(3) この問題では, 平方数が大切な働きをしていることが,(1) や (2) の問題でわかったそこで,2005に近い平方数を探すことが大切になってくる近い平方数を探す, かんたんな方法はないいろいろやってみることが, もっとも良い方法であるたとえばならば,1600となり, 小さすぎるならば,2500となり, 大きすぎるならば,2025 となり, ちょっと大きいならば,1936 となり, ちょっと小さいでは,2025と1936の, どちらが2005に近いか, 計算をしてみよう =20, =69 だから,2025の方が近いことがわかったところで, 2025=45 45 の, 45 という数は, 奇数であるから,(1) で考えたように, 2025は, 第 1 行の, 第 45 列目にある斜線部分を見るとわかるように,2025という数は, 矢印のように数を並べていったときの, いちばん最後の数である

21 2005という数は, 2025よりも20だけ小さいから,2025よりも20 行だけ下の行にあるはずであるよって, 第 1 行よりも 20 行だけ下の, 第 21 行に,2005 という数はある答え第 21 行の第 45 列

22 第 3 回 B 1(1) 問題文に書いてあることを図に書き込むと, 右図のようになる PDの長さは, 20-12=8(cm) である BCの長さは,ADと等しいので, 20 cm である右図のようなクロス形に注目する PD:BC=8:20=2:5 だから,

23 DQ:QB も,2:5 である AD と RQ は平行なので, DQ:QB が 2:5 ならば, AR:RB も,2:5 である ABの長さは14 cm だから, 14 (2+5)=2 2 2=4(cm) AR 2 5=10(cm) RB よって,AR の長さは 4 cm である答え 4 cm

24 第 3 回 B 1(2) 相似を利用することによって, 長さを求めることのできるところがあるかどうかを考える右図の太線部分は, ピラミッド形になっているピラミッド形の場合は, きちんとぬき出すことによって, 相似がわかりやすくなる 7 上の図において,ABはRBの,14 10= ( 倍 ) になっている 5 7 よって,RQ の倍が AD の長さである 20 cm になるのだから,RQ の長さは, =14 (cm)

25 右図のように,RQ の長さを書きこんでおく三角形 BQR の面積は, 底辺を 2 RQ=14 (cm) とし, 高さは 7 ( 多少ななめになっているが ) 無理矢理,RB(=10 cm) だと考えてしまうすると, = (cm 2 ) 7 7 となる三角形 PQDの面積は, 底辺が PD=8 cm として, 高さは, やっぱり多少ななめになっているが, AR(=4 cm) だと考えてよいすると, 8 4 2=16(cm 2 ) となる 500 これで, 三角形 BQRの面積は cm 2, 三角形 PQDの面積は16 cm 2 と考えて 7 よいことがわかったから, 三角形 BQR の面積は三角形 PQD の面積の, =4 ( 倍 ) となる答え 4 倍

26 第 3 回 B 2(1) この問題は, ア : イを求める問題だが, ア : イを求めるためには, 右図のア : イ : ウを求めることになるア : イ : ウを求めるためには, 次のようなテクニックが, ひんぱんに使われるまず,EJ:JC を求め, 次に,EK:KC を求めることによって, ア : イ : ウを求める, というテクニックである

27 では, まず EJ:JC を求めることにしよう今後の説明のために, 右図のように点 L, 点 M を定めるそして, 斜線部分のような, クロス形に注目する EはABのまん中の点であるから, ELの長さはAGの長さの半分なので, 2 2=1(cm) である小さい斜線部分の三角形と, 大きい斜線部分の三角形の, 底辺の比は1:6 なので, EJ:JC も,1:6 となる

28 次に,EK:KC を求める E は AB のまん中の点であるから, EMの長さはADの長さの半分になり, 6 2=3(cm) であるよって, 小さい斜線部分の三角形と, 大きい斜線部分の三角形の, 底辺の比は,3:6= 1:2 なので, EK:KC も,1:2 になる

29 EJ:JC=1:6 のとき,ECの長さは, 1+6=7 にあたる EK:KC=1:2 のとき,ECの長さは, 1+2=3 にあたる ECの長さが,7になったり3になったりしてはまずいので,7と3の最小公倍数である 21にすると, 1+6=7の方は3 倍し, 1+2=3の方は7 倍することになるので, 右図のようになるこのとき,JK=7-3=4 である (18-14=4 としてもよい ) 右図のように, EJ:JK:KC=3:4:14 とわかったので,EJ:JK=3:4 である答え 3:4-29 -

30 第 3 回 B 2(2) (1) の問題で,EJ:JK=3:4 であることがわかったから,EJ=3,JK=4 とする右図の太線部分はピラミッド形になっている三角形 EBJと三角形 ABHとは相似で, ABの長さは 3+3=6(cm) で, EB=3 cm の2 倍であるよって,AH の長さも EJ の長さの 2 倍になり,3 2=6 である

31 同じように考えて, 右図の太線部分のピラミッド形において, HI の長さは,JK の長さの 2 倍となるので, 4 2=8 であるつまり,EJ と JK の比が 3:4 ならば, AH と HI の比も,6:8=3:4 となる AH:HI=3:4 だから, 三角形 AHG と三角形 GHI の面積の比も, 3:4 となる

32 三角形 GHI の面積を求めるためには, 右図の斜線部分の面積がわかれば,3:4 に分けることによって, 求められる斜線部分の面積を求めるためには, 底辺は AG=2 cm とわかっているから, あとは高さがわかればよいそこで, 右図の太線部分のクロス形に注目する

33 点 Mは辺 EFのまん中にあるので,MFの長さは,6 2=3(cm) である相似比は,6:3=2:1 だから, 高さの比も,2:1 になる 3 (2+1) 2=2(cm) が, 斜線部分の三角形の高さになるよって, 斜線部分の三角形の面積は, 2 2 2=2(cm 2 ) になる求めたいのは, 三角形 GHIの面積だから, 1 2 (3+4) 4=1 (cm 2 ) である 7 1 答え 1 cm

34 第 3 回 B 3 この数列 1,2,5,7,10,11,13,14, は,1から200までの整数のうち,3の倍数と4の倍数を, 取り除いた数を並べたものであるこの数列の中には,200はふくまれていないなぜなら,200は4の倍数なので, 取り除かれているはずだからである 199は,3で割り切れないし4でも割り切れないよって, この数列の中にふくまれているはずであるよって, この数列の最後の数は,199になるアの答えは199であることがわかったところで,3 と 4 の最小公倍数は 12 だから,12 までを 1 つのセットとし, 次に 24 までを 1 つのセットとするように考えると, この数列は次のようになる 1 セット目 1, 2, 5, 7,10,11 2 セット目 13,14,17,19,22,23 3 セット目 25,26,29,31,34, =16 あまり 7 で,7 という数は,1 セット目を見るとわかる通り, そのセットの4 個目の数であるよって,199は,16セットと, あと4 個目 1セットの中に数は6 個あるから,199は,6 16+4=100( 個目 ) よって, 数列の最後の数である199は, この数列の100 番目の数であるこの100 個の数を, 右の表のように, 段にして並べた 1 段目には1 個並んでいて, 2 段目までには 1+2=3( 個 ) 並んでいて, 3 段目までには 1+2+3=6( 個 ) 並んでいて, 10 段目までには =55( 個 ) 並んでいて, 13 段目までには =91( 個 ) 並んでいるよって,100 番目の数である 199 は, その次の 14 段目の, 左から,100-91= 9( 番目 ) に並んでいるこれで, イの答えは 14, ウの答えは 9 であることがわかった

35 次に,9 段目の数の和を求める 8 段目までに, 数は =36( 個 ) 並んでいる 1セットあたり, 数は6 個並んでいるのだから,36 6=6( セット ) あるよって,9 段目には,7セット目からの数が並んでいるはずである 1つセットには, 次のように6 個ずつ数が並んでいるのだった 1 セット目 1, 2, 5, 7,10,11 2 セット目 13,14,17,19,22,23 3 セット目 25,26,29,31,34,35 それぞれのセットの中の,1 個目の数に注目してみよう 1セット目の1 個目は1 2セット目の1 個目は13 3セット目の1 個目は25 このように, それぞれのセットの中の1 個目は,1から始まり12ずつ増える, 等差数列になっているよって,7セット目の1 個目の数は,1+12 (7-1)=73 になる 1 個目の数がわかったら,1セット目とくらべることによって,7セット目のすべての数がわかる 8セット目の数も, 同じようにすればわかる 1 セット目 1, 2, 5, 7,10,11 7 セット目 73,74,77,79,82,83 8 セット目 85,86,89,91,94,95 9 段目には,7 セット目からの数が 9 個並んでいるのだから,73 から数えて, 73,74,77,79,82,83,85,86,89 この 9 個の数の和は, =728 よって, エの答えは 728 になる答えア 199, イ 14, ウ 9, エ

36 第 3 回 B 4(1) ケタ数で分けて考えるまず,2ケタのときを考える 2ケタの数は,A A という形をしている Aが1のとき,A A は11, Aが2のとき,A A は22, Aが3のとき,A A は33, Aが9のとき,A A は99となるつまり,Aが1から9まで変わることによって,A A という2ケタの数も,11から 99へと変わっていくよって,2ケタの数は,9 個あることになる次に,3ケタの数を考える 3ケタの数は,A B A という形をしているこの3ケタの数は,A と B がどんな数かによって, 変わっていく A B が10だったら,A B A は101になる A B が11だったら,A B A は111になる A B が12だったら,A B A は121になる A B が99だったら,A B A は999になるつまり,A B が10から99まで変わることによって,A B A という3ケタの数も,101から999へと変わっていくよって,3 ケタの数は,A B が10から99まで変わってできる個数と同じだけある 10から99までには, 数は =90( 個 ) あるから,A B A という 3ケタの数も,90 個ある次に,4ケタの数を考える 4ケタの数は, A B B A という形をしているこの4ケタの数は,A と B がどんな数かによって, 変わっていく A B が10だったら,A B B A は1001になる A B が11だったら,A B B A は1111になる A B が12だったら,A B B A は1221になるそして, いよいよA B が20のときに,A B B A は2002になるつまり,A B が10から20まで変わることによって,A B B A という4ケタの数も,1001から2002へと変わっていく

37 よって,2002までの4ケタの数は,A B が10から20まで変わってできる個数と同じだけある 10から20までには, 数は =11( 個 ) あるから,2002までの4 ケタの数も,11 個ある結局,2 ケタの数は 9 個,3 ケタの数は 90 個,2002 までの 4 ケタの数は 11 個あるのだから, 全部で =110( 個 ) あることになるよって,2002 は,110 番目の数であることがわかった答え 110 番目

38 第 3 回 B 4(2) この問題も,(1) と同様に, ケタ数で分けて考えるまず,2 ケタの数 A A について考えるこの数は,A が 1 から 9 まで変わることによって変わっていくから,9 個ある次に,3 ケタの数 A B A についてこの数は,A B が 10 から 99 まで変わることによって変わっていくから, =90( 個 ) 次に,4 ケタの数 A B B A についてこの数も,3 ケタの数と同様に,A B が 10 から 99 まで変わることによって変わっていくから, =90( 個 ) 次に,5 ケタの数 A B C B A についてこの数は,A B C が 100 から 999 まで変わることによって変わっていくから, =900( 個 ) 次に,6 ケタの数 A B C C B A についてこの数は,A B C が 100 から 999 まで変わることによって変わっていくから, =900( 個 ) ここまでで, =1989( 個 ) あと, =13( 個 ) で,2002 番目の数となる次に,7ケタの数 A B C D C B A についてこの数は,A B C D が1000から変わることによって変わっていく 1000から13 個目は,1012であるよって,A B C D が1012のときのA B C D C B A を求めることになるから, 答えはになる答え

平成２４年度高知県算数・数学

平成２４年度高知県算数・数学平成 4 年度高知県算数数学思考オリンピック ( 中学校 ) 解答例問題 1 (1) 1 L 字型の縦の和と横の和を求めると, 左の図のように, アからケまでのうちオだけが回足したことになるオ =5 なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+5 =50 縦の和は,50 =5 とわかるアからオのうちア, イ, オが 1,9,5 のときだから, ウ + エ =5-(1+9+5)