公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 si

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1 公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, B x, のとき x x + : に分ける点 A x, B x, のとき 線分 AB を:に分ける点 æ x + x + ö は ç, è + + ø 注 < のとき外分点 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : x 点 x, x, を通る : x 注 分母が のとき は座標軸と平行な直線 x x 4 直線の位置関係 となる x x x x 直線の傾きが, のとき平行 : 一致の場合も平行に含めた 垂直 : または さらに 余裕があれば以下の公式も知っていると良い 一般形の場合は x + + x 平行 : 垂直 : 5 点と直線の距離 点 x, と直線 x + + の距離 d d x + 6 円の方程式 + + 一般形 : x + + lx + + 平方完成により 標準形 : x + となり 中心, で半径 の円を得る 7 円と直線の関係 接点が点 x, で原点を中心とする円のとき, 接線 : x x + 接点が点 x で中心, の円のとき 接線 : x x + 交点の数に関しては 判別式の利用か 中心と直線までの距離 を利用して調べることが出来る 8 不等式と領域 直線の上部 : > x + 直線の下部 : < x + 曲線の上部 : > f 曲線の下部 : < f 円の内部 : x + < 円の外部 : x + > 注 領域内かどうかは 点の座標を代入して成立するかどうか で調べることが出来る また 境界を含むかどうかは必ずチェ ックすること < 三角関数 > 一般角 q + 6 は 整数 相互関係 si q + os q siq t q t q + os q 三角関数の性質 si q siq os q t q tq q ± 9 やq ±8 も 図から求められる 4 グラフは 周期分を覚えていること 振幅や周期の変化 平行移動について確実にしておくこと 例えば 5 加法定理 si x + si ± si os ± os si os ± os os si si t ± t t ± t t 6 倍角 半角 倍角の公式 si si os os os si si os t t t q si si si 4si os 4os 7 積和の公式 q + os os si os {si + + si } os si {si + si } os os {os + + os } si si {os + os } q t +

2 公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 siq + si q + ただし + si + os 注 図を用いて求める方法が便利である < 指数関数 > 累乗根の計算法則 指数の拡張 + p p 指数法則は, s が実数の範囲で成立する s + s 指数関数のグラフ s s x > のときは単調に増加 < < のときは単調に減少ともに 切片は 点, を通る 4 大小関係 x > のときは > Û x > x < < のときは > Û x < < 対数関数 > 対数の計算法則 log log log log A + log B log AB log A log B log log A log A A B log log 底変換の公式 log 余裕があれば以下の式は覚えると便利である log log 対数関数のグラフ log x > のときは単調に増加 < < のときは単調に減少ともに x 切片は 点, を通る 指数関数とは 直線 x に関して対称である 大小関係 > のときは log x > log Û x > < < のときは log x > log Û x < また 真数条件 x >, > に注意せよ 4 常用対数 底が の対数 log x の値で x の桁数や小数点以下第何位に初めてでな い数が現れるかを調べることが出来る log x < Û x が 桁の数 log x < Û x は 小数点以下第 位に初めて でない数が現れる < 微分法 > 平均変化率 微分係数 関数の極限 4 接線 5 導関数 f f f li h f + h h f f li で li g Þ li f x g x x x 曲線 f 上の x における接線の方程式は f f x 定義 : f li Þ h f x + h h x f Þ x 6 関数のグラフ f を満たす x を定義域内で調べ 増減表を作る 極大 極小 切片となる点に注意して描くが 場合によっては f の解を求めて x 切片も得る 7 最大 最小 定義域に注意して 増減表から判断する 8 方程式 不等式への応用 グラフと直線との交点または上下関係を調べればよい ì f f Þ í 交点等を調べる î f > g Þ F f g のグラフで調べる 増減表のみで対応することもできる

3 公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 積分法 > 不定積分 f F + C C : 積分定数 + x x + C + 定積分 f [ F ] 性質 : f S S は符号付面積 f f + f f f 4 + g { f + 5 f g } f ì í î f f : 偶関数 f : 奇関数 6 f ³ g Þ f ³ g d x 微分と定積分 f t dt 4 曲線に囲まれた部分の面積 S { f g } f 特に, が 方程式 x + x + の解ならば 6 x + x + 5 体積 切り口の面積が S のときはV S V p < 複素数 > { f } 回転体の体積 複素数の四則計算 i を用いる 特に 割り算は 分母に共役な複素数を分 母と分子に掛けることを用いて計算する それ以外は 文字の 計算と同じである 次方程式の解 ± 4 解の公式を用いる x また ± が偶数のとき は x 判別式 : 判別式 D 4 判別式 D >, D, D < で解を分類できる 注 図形で交点の数を調べることができる 5 解と係数の関係, が 方程式 x + x + ì + í î の解ならば これを用いて 解の和と積が分かれば 次方程式を作ることがで きる 次方程式の解と係数の関係も作れると良い,, g が 方程式 x + x + x + d の解ならば ì + + g í + g + g d g î 6 剰余の定理 f を g で割って 商が Q で余りが R のときは Q g f /////// R f g Q + R と書けるが とくに g x の ときは f R Û f x Q + R つまり 割った余りが R 7 因数定理 f Û f x Q つまり f は x という因数をもつ 高次方程式は上記因数定理の利用で解く場合が多い 8 複素数の大きさ 偏角 + i のとき + を利用することは頻出 + isiq で g q 9 共役な複素数 のとき は実数 のとき は純虚数 ¹ 複素数平面 + i を点, と考える 点 と x 軸 実軸 に関して対称な点 点 と 軸に 虚軸 関して対称な点 点 と原点に関して対称な点 演算と図形的意味 和と差はベクトルと同じ扱いで処理 積は 回転して絶対値倍 ド モアブルの定理 複素数の 乗を求めるには os q + isiq os q + i si q

4 公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? の 乗根 は 個あり 6 6 os + i si 注 図と併用すると解きやすい,,,, 4 αの 乗根 + isiq とおき 両辺を極形式で表して比較せよ 参考,,,, は 5 点, の距離 の解のひとつ + 6 :に分ける点 : g + 7 直線のなす角 g g ÐBAC 垂直条件 : g が純虚数 AB ^ AC d g が純虚数 AB ^ CD は上の の 乗根 ならば は純虚数と連動させて解く場合が多い 一直線上にある条件 : g が実数 Û 点 A, B, C は 一直線上 ならば は実数と連動させて解く場合が多い 平行条件 d g が実数 Û AB // CD 8 回転移動 回転の中心が原点のとき 複素数 + i siq をかける 回転の中心が のとき を q 回転した点が g の式は g + isiq 点 を回転して 回転の中心 から 倍の点 g g + i siq 三角形の形状を調べることが出来る 9 円の方程式 の表す図形の調べ方 : : のときは直線である の利用 x + i とおく方法 アポロニウスの円 距離が : のときなので 定点を結ぶ線分を : に内分 外分する点を直径の両端とする円 < ベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : x e + e x, 空間ベクトル : x e + e + e x,, 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : 平面ベクトル : x, x, のとき xx + 空間ベクトル : x,, x,, のとき x + x + 4 ベクトルの大きさ 平面上 : x + 空間上 : x + + は 良く用いられる 5 : に分ける点 : + p + 6 図形への応用 空間ベクトルも同様である 図形問題を解く上では 各点の位置ベクトル A, B, OA, OB, を用いるが 始点 をある点にした方が良いと判断した場合は 例えば AB, AC 等とおいて解答することも良くある 次のものは常識である + 中点:

5 公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? + + 三角形の重心: g 平行条件: t t : 実数 垂直条件: 一直線上にある条件 : なす角を求める: AB t AC t : 実数 からq を決定 7 ベクトル方程式直線のベクトル方程式は 点 と方向ベクトル d : p + td t : 実数 点, を通る : p t t + t : 実数 角の二等分線 p æ ö ç t ç + è ø 平面のベクトル方程式 平面 ABC 上に点 P が存在 AP sab + t AC 実数 s, t の存在 p + s + t + s + t 円 球面について ベクトル方程式 : p 平面上では 円 空間上では 球面成分表示した場合は それぞれの方程式は 円 : x + 球面 : x + + 注 交点を求めるには上記のベクトル方程式で 各座標 成分 を媒介変数表示して求める 直線 平面について ベクトル方程式 : p は 平面上では 直線 空間上では 平面